Grupo operando sobre un conjunto

2. Antecedentes
3. Definición
   de términos básicos
4. Grupo
   G operando sobre un conjunto E
5. Teorema de
   Lagrange

Introducción

En el presente trabajo de
investigación nos dedicaremos al estudio de
los grupos, el
comportamiento
y propiedades de sus elementos además de las diferentes
aplicaciones que estos tienen.

Con el propósito de presentar un desarrollo
riguroso de este tema, utilizaremos conocimientos básicos,
además se requieren conocimientos matemáticos de un
nivel considerablemente mayor del que estamos suponiendo
aquí, que en el transcurso del desarrollo del proyecto iremos
tocando.

De esta manera el lector podrá preguntarse si
este tema es del todo útil y si servirá o no en la
concepción de conocimientos en nuestra formación ya
que el concepto de
grupos es natural.

Antecedentes

Galois y Rufini introdujeron de forma independiente el
concepto de grupo. En la
primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teoría
de grupo jugaron un papel auxiliar, especialmente en la
teoría de las ecuaciones
algebraicas, formándose, predominantemente. la
teoría de los grupos finitos.

Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de
Cayley y otros, comenzaron a aparecer definiciones abstractas
más generales de grupo, este proceso se
aceleró desde el año 1870 con los trabajos de C.
Jordán, quien hizo un resumen de los resultados de la
teoría de grupos finitos en su aplicación a la
teoría de números, teoría de funciones y
geometría algebraica.

A finales de siglo, aparecieron las primeras
aplicaciones de la teoría de grupo, resolviéndose,
por ejemplo, el problema de la clasificación de todas las
redes cristalinas
espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov . Los grupos
discretos finitos, a los que pertenecen los grupos de Fiedorov,
obtuvieron extensión en la teoría de los espacios
multidimensionales en relación con la teoría de los
poliedros regulares en éstos.

Posteriormente se planteó la investigación
de los grupos infinitos, tanto discretos como continuos y
también sobre la creación de un aparato de cálculo
adaptado a las necesidades de la teoría de grupo, los
logros fundamentales sobre estas cuestiones pertenecen a los
discípulos de C. Jordán, F. Klein y S.
Lie.

En la confluencia de los siglos XIX y XX la
teoría de grupos se ramificó desmesuradamente,
formando el núcleo del álgebra
actual. Ella se compone de una serie de teorías
altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos
infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie.
Los métodos
teóricos de grupos penetraron en una serie de disciplinas
matemáticas y sus aplicaciones. Los
descubrimientos de De Broglie, Schródinger, Dirac y otros,
en la mecánica
cuántica y en la teoría de la estructura de
la materia
mostraron que la física moderna debe
apoyarse en la teoría de los grupos continuos, en
particular en la teoría de la representación de
grupos por operadores lineales, la teoría de los
caracteres y otras elaboradas por Carian, H. Weyí y otros
científicos.

Pasó medio siglo desde los trabajos de Gauss,
Abel y Galois y el centro de gravedad en las investigaciones
algebraicas se trasladó a la teoría de grupos,
subgrupos, anillos, estructuras.
En al álgebra comenzó el periodo de las
matemáticas modernas.

La historia del álgebra
del siglo XIX quedaría incompleta si no
atendiésemos a la formación del álgebra
lineal, surgida de la teoría de los sistemas de
ecuaciones lineales y relacionada con la teoría de
determinantes y matrices.
Durante la segunda mitad de siglo se realizaron investigaciones
muy importantes de la teoría de los invariantes de las
ecuaciones. Fn este camino del desarrollo, creció la
teoría de las formas que encontró aplicación
además de en el álgebra, en la teoría de
números, la geometría
diferencial, la geometría algebraica y la mecánica.

• Capítulo I: Definición de
términos básicos:

1. Conjunto

2. Grupo

3. Subgrupo

4. Homomorfismo

5. Isomorfismo

6. Automorfismo

7. Espacio vectorial

8. Cardinal

9. Normalizador

10. Matriz

• Capítulo II:

1. Grupo G operando sobre un conjunto E

2. Órbita

3. Estabilizador

4. Clases de conjugaciones

5. Grupo simétrico

6. Grupo alterno

7. Representación matricial de un
grupo