Grupo operando sobre un conjunto (página 2)

Partes: 1, 2

Capítulo I:
Definición de términos
básicos

Un conjunto es una colección cualquiera de
objetos, donde cada uno de los objeto del conjunto es llamado
elemento.
Conjunto:
Un grupo es
un conjunto G que posee una operación interna, el cual
es llamada producto
interno y se puede representar por:
u : GxG  G
El grupo G provisto de una operación interna
puede ser representado por (G,u), donde para dos elemento
cualesquiera a, b en G se tiene que ab también se
encuentra en G.
Además debe cumplir las siguientes
condiciones:
1. Para tres elementos cualesquiera a, b, c
G
entonces (ab)c = a(bc)
2. Existe un único elemento e G talque ea = a
= ae, Va G
3. Para todo elemento a G existe un elemento a"
G
talque a''a = e = a a''
Un Grupo Abeliano o Conmutativo es un grupo
cuyos elementos son conmutantes unos con otros es decir ab =
ba.
Un grupo finito es un grupo que posee un
número finito de elementos.
Un grupo infinito es un grupo que posee un
numero infinito de elementos.
El Orden de un grupo G finito, es definido
como el número total de elementos y puede ser denotado
por g ó oG.
Grupo:
Un conjunto no vacío H es sub grupo de un
grupo G si:
se puede ver que para que H sea sub grupo de G, H
debe ser considerado en si mismo un grupo respecto al
producto interno que hereda de G.
Subgrupo:
Un homomorfismo de grupos es una
aplicación que va del conjunto de los elementos del
grupo al conjunto de elementos del otro grupo y conserva la
multiplicación.
Es decir:
Sean G y G' dos grupos y sea la aplicación
: G  G' entonces se dice que  es un
homomorfismo ya que G y G' son grupos y se cumple
que:
La composición de homomorfismos es
también un homomorfismo, es decir:
Sean : G —>• G' y :
G'—> G" homomorfismos entonces Vx, y G se tiene:
Homomorfismo:
Sea el grupo G y sea la correspondencia : G
—> G' que conserva la operación del
grupo, se dice que un isomorfismo es un tipo especial de
homomorfismo, es decir: debe cumplirse que esta
aplicación debe ser uno a uno además debe ser
sobreyectivo. !
Si : G —> G' es un
isomorfísmo entonces la aplicación
-1: G'—> G conserva la
multiplicación y es también un
isomorfismo.
Isomorfismo:
Un automorfísmo de un campo E es una
aplicación que es inyectiva y sobreyectiva
que conserva la adición y la
multiplicación, es decir:
Automorfismo:
Espacio vectorial:

Un espacio vectorial V sobre un campo F cualquiera, es
un grupo aditivo(abeliano) en el cual esta definido la
adición y la multiplicación de los elementos del
campo F por elementos del espacio V, de modo que a cada par
(,x), con  F y x V le corresponde un elemento x V, y cumple lo
siguiente:

Propiedad asociativa:
()x = (x), , 
F y x
V
( + )x = x +
x,
(x + y) = x +y; , 
F ;y, x
V
Propiedad distributiva:
1.x = x, donde 1 designa a la identidad de
F.

Los elementos de V se llaman vectores y los
elementos F son llamados escalares.

El vector nulo se representa por 0.

Cardinal:

Para un conjunto finito A, el cardinal de A denotado por
#A ó n(A), es el número de elementos de A. Si A, B
y C son sub conjuntos de
algún conjunto universal E, se tiene:

#(A U B) = #A + #B – #(A ∩ B)
#(A U B U C) = #A + #B +#C – #(A ∩ B) – #(A ∩
C) – #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C)

Si g G, el normalizador de g en G es el conjunto es el
conjunto
N(g) = {x G/ xg = gx}, N(g) consiste precisamente de
aquellos elementos de g que conmutan con g.
Con N(g) sub grupo de G.
Normalizador:
Matriz:

Se llama matriz
nm, a un
conjunto de nm escalares

; (i =
1, 2,………, n, j = 1,
2,……… , m)

dispuestos de la forma siguiente:

A =

Los escalares se llaman términos de la matriz. Los
términos, , ,
……., constituyen la fila i de la matriz, y los términos
, , ….., constituyen la columna j.
Por lo tanto la matriz tiene n filas y m columnas.

El conjunto M(nm) de todas las matrices
nm constituye un
espacio vectorial respecto de las operaciones
siguientes:

A + B = () + () =
( +)

A =
() = ()

Capítulo II:

1.- Grupo G
operando sobre un conjunto:

Se dice que un grupo G opera por la izquierda sobre un
conjunto E si se define sobre E una ley de
composición externa dado por:

Además verifica las siguientes
condiciones:

1. Sea g1, g2 G y x E entonces
(g1g2)x =
g1(g2x)

2. Sea x E y e el elemento neutro de G entonces ex = x

Nota: así como G opera por la izquierda,
también puede hacerlo por la derecha.

Ejemplos:

• K* opera sobre un K espacio
vectorial

Se tiene un caso particular en el que G = K* y K =
E

K* K K

Sea k1, k2 K* y x K se cumple
que:

(k1k2)x =
k1(k2x)

sea x K y sea e elemento neutro de K* se cumple
que:

ex = x

• G opera sobre G por la
izquierda

Sea g1, g2 G y x G se cumple
que:

(g1g2)x =
g1(g2x)

Sea x G y e elemento neutro de G entonces:

2.- Órbita: (o trayectoria)

Sea E un conjunto y G el grupo que opera sobre el
conjunto E; x es llamado órbita o
trayectoria del elemento x E bajo la acción
del grupo G es decir:

para x fijo en E; x = {gx; g
G}

Ejemplo l:

Sea el plano euclidiano E y G el grupo de rotaciones del
ángulo y centro A.

Sea BE:

k = 2 ,
2 = rot(A, )

k = h ,
h = rot(A, )

k = n 2, n = 1E

Se tiene que: G E E

(k, B) n(B)

Si se consideran todas las rotaciones en la
órbita A se tiene todo el circulo, es decir:
x = {A} = {h(A) / k = 1, 2,
……, n}, entonces:

B = {k(B) / k = 1,
2, ……, n

– Relación de equivalencia:

Sea G un grupo que actúa sobre el conjunto E. Se
define la relación de equivalencia R que actúa
sobre E para todo x X se tiene:

xRy si y sólo y = gx, para algún g
G, y
G;
donde R es:

Sea gG se cumple que ex = x entonces se tiene
xRx
Reflexiva: xRx
Simétrica: xRy

yRx

Si xRy entonces y = gx

por definición se tiene yRx

por lo tanto si xRy entonces yRx.

3. Transitiva: xRy y yRz xRz

xRy y = g1x

yRz z = g2y =
g2(g1x) =
(g2g1)x

como g1g2 G se cumple que
xRz.

• La clase de
equivalencia respecto a R se llama órbita, es
decir:

Sea x X entonces x = {y X / y = gx, para
algún g G}

El conjunto E es la unión de todas las
órbitas ya que las órbitas
constituyen

una partición en E, es decir:

E =

Pues las orbitas constituyen una partición de
E.

Si x e y E se tiene las órbitas
x y y, se dice que estas
órbitas coinciden si x =
y y se dice que son disjuntas si
x

y = 

Ejemplo: (caso particular)

Si H es un sub grupo de G, H opera sobre G por la
derecha

se cumple que:

g G; h(h’g) = (hh’)g
g

G; eg = g

Si g G g = gH = {gh; h H}; donde gH es
llamado clase lateral izquierda de H en G.

e = eH = {eh; h H}

La aplicación H

g es inyectiva:

Teorema de
Lagrange:

card(H) divide al card(G)
Prueba:
Una clase lateral derecha esta definida
por:
Ha = {ha / h H}; con H sub grupo de G.
Además: dos clases laterales derecha tienen
el mismo número de elementos.
Se puede ver que H = He es él mismo, una
clase de lateral derecha.
Cualquier clase lateral derecha de H en G tiene o(H)
elementos.
Como G es finito, sea k el número cualquiera
de clases laterales derechas distintas de H en G, no tienen
ningún elemento en comúny cada una de ellas
tiene o(H) elementos.
Como cualquier g G está en una clase lateral
derecha Ha, las clases laterales derechas llenan G. Luego
como K representa el número de distintas clases
laterales derechas de H en G, debemos tener que:
ko(H) = o(G) k =
Por lo tanto o(H) es divisor de o(G).
– Definición:
Si G es un grupo y sea g G, el orden de g es
el menor entero positivo k talque gk = e, es
decir:
Si g G entonces el orden de G ó o(G), es el orden
del sub grupo
g = {x G/ x = gn; n } g =
{e, g, g2, ……,
gn-1}
que es el menor sub grupo de G que contiene el
elemento g, g es el sub grupo cíclico
de G generado por g.
Si g es finito se cumple
que:
Para dos enteros tales que n  m se tiene
que:
gn = gm entonces
gn-m = e; n-m  0
Sea k el menor entero positivo talque
gk = e
escribiendo todo entero de una sola forma n = qk + r
talque 0 r  k tenemos:
gn = g qk + r =
(gk)qgr =
eqgr = gr
Por lo tanto cada gn es igual a uno de
los elementos
g0 = e, g1 = g, …….,
gk-1
Es decir que:
g = { e, g, g2,
……, gk-1} y el orden de este grupo
es o(g) = k
Por lo tanto el orden de un elemento g de un grupo G
es el menor entero positivo k talque gk =
e.
Si g es infinito entonces,
k
 0, gk e y se llama elemento de orden
infinito.
-Definición:
Si g es un elemento de un grupo finito, entonces el
teorema de Lagrange implica que o(g) = o(G) y de ello se
deduce que gO(G) = e
Es decir:
El orden de un elemento de un grupo finito es
divisor del orden del grupo.
Sea card(G) = n: G; gn = e
En efecto:
Card(g) = card (g) = o(g) =
r
sea n = rq; por el teorema de Lagrange
gn = (gr)q =
eq = e
Ejemplo :
1. Sea G un grupo y sea E = P(G), G opera sobre E
  por automorfismos
Sea: GE E
(g,x) gx = g-1xg
además:
σg : G

G
x g-1xg
σg es un
homomorfismo, es decir:
σg(xy)
=
σg(x)σg(y)
y
σg(αx)
= α
σg(x)
En efecto:
σg(xy) =
g-1(xy)g = g-1(xey)g =
g-1x(gg-1)yg = (g-1xg)(
g-1yg) =
σg(x)
σg(y)
σg(αx)
= g-1(αx)g =
α g-1xg =
ασg(x)
Además:
σgσg-1
= σg
σg-1
= 1G entonces
(σg)-1
= σg-1
Conjugado:
Un elemento x de un grupo G es conjugado de y
G si
x = gxg-1; para algún g G.
Sea H un sub conjunto cualquiera de un grupo G, y
sea g un elemento cualquiera de G. El conjunto Hg
= {x G / gxg-1 H} se llama conjugado de H por g,
y se cumple que: (Hg)g’ =
Hgg’
He = H
Sub grupo normal:
Un sub grupo H de un grupo G es normal si H es igual
a cada uno de sus conjugados, es decir:
Hg = H; g G
Los sub grupos normales son llamados también
sub grupos invariantes o auto conjugados y son denotados
por:
HG para indicar que H es un sub grupo normal de
G.
Todo sub grupo de un grupo abeliano es normal, si H
es sub grupo de un grupo abeliano G, entonces; x Hg

g-1xg = g-1gx = x H
Por lo tanto Hg = H,
Definición:
Si G es finito y H sub grupo de G, entonces el orden
del sub grupo divide el orden del grupo es decir:
Si x e y pertenecen a la misma órbita entonces
son conjugados, es decir:
y = gxg-1, .
Si H es sub grupo del grupo G, entonces:
σg(H) es un
sub grupo.
En efecto:
Sea la órbita
σg(H)
entonces:
x, y σg(H)

g-1xg H falta
g-1yg

y como H es un sub grupo se cumple que:

(gxg-1)(gyg-1) =
gxyg-1H xy
σg(H)

de la misma forma

x σg(H)

gxg-1 H

de donde se deduce que:

(gxg-1)-1 =
gx-1g-1 H x-1σg(H)

por lo tanto
σg(H) es un sub
grupo.

Sea E =
{σg(H) sub grupo de
g}

G opera sobre E por automorfismos

G E E

(g,H) gHg-1

cardθH =
1

Si θH
= {H}; g G; gHg-1 = H

g G; Hg = gH

donde H es un sub grupo normal.

Si h H; hg gH pues HG, entonces h’H talque hg = gh’

Ejemplo de sub grupo normal:

a) Sea G un grupo y sea

ZG ={g G; x G; gx =xg}

es llamado centro de G.

ZG es un sub grupo de G:

En efecto:

Si x, y ZG, entonces gG se tiene
que:

(xy)g = xgy = g(xy)xy ZG

Si x ZG, entonces gG; xg-1 = g-1x lo
que implica que:

x-1g = (xg-1)-1 =
(g-1x)-1 = gx-1 x-1

ZG

Por lo tanto ZG es un sub grupo de
G.

ZG es un sub grupo normal de
G.

En efecto:

Para todo g G, tenemos x xg = gx gxg-1 = xgg-1 = x
ZG

entonces = ZG

por lo tanto ZG es un sub grupo
normal.

b) Si  : G G’ es un homomorfismo de
grupos, entonces el núcleo de  es el
conjunto:

ker = {x G/ (x) = e’} =
-1(e’)

con e’ que es el elemento identidad de
G’.

Ker es un sub grupo de G.

Gse tiene que (x-1) =
(x)-1

entonces ((x))((x)-1) =
(xx-1) = (e) = e’

Si x ker (x-1) =
((x))-1 = e’-1 = e’
x-1 ker

Si x,y ker (xy) = (x)(y) =
e’e’ = e’ xy ker

Por lo tanto ker es un sub grupo de
G.

ker es un sub grupo normal de G.

Sea x (ker)g, el conjugado de ker
por g G.

Como x (ker)g gxg-1 ker de
modo que :

(gxg-1) =
(g)(x)(g-1) = e’

(x) = e’

entonces x ker, por lo tanto se tiene que:
(ker)g ker

Por otra parte , si x ker gxg-1

ker x ( ker)g, es decir:

ker (ker)g

Como se tiene que: (ker)g

ker y ker (ker)g entonces se
concluye

ker = (ker)g

Por lo tanto ker es un sub grupo normal de
G.

Interés de los sub grupos
normales:

Sea H un sub grupo normal de G; G/H = {xH, x
G} es un
grupo con el producto (xH)(yH) = (xy)H

En efecto:

Sea x (ab)H, a,b G

entonces x = abh = aebh (aH)(bH)

(ab)H (aH)(bH)

Si x (aH)(bH), a,b Gse tiene: x = ahbh’; h.h’
H

Como H es normal entonces Hb = H;
bG por
lo que tenemos

h = bh’’b-1; para
algún h’’ H, por lo tanto

x = ahbh’ =
a(bh’’b-1)bh’ =
ab(h’’h’) abH (aH)(bH) (ab)H

Por lo tanto se cumple que (xH)(yH) = (xy)H

(G/H,

) es un grupo?

eH = H eG/H

Como HG x-1H = H; x-1 G

{xHyH}zH = (xy)HzH = (xyz)H = xH(yHzH)

Por lo tanto G/H es un grupo el cual es llamado
grupo cociente de G por H.

Además xH = órbita de x cuando G
opera sobre H

G H H; x = {xH; x G}

La aplicación : G

G/H es homomorfismo.

x (x) = xH

(xy) = xyH = (xH)(yH) =
(x)(y)

(x) = xH =
(x)

 es homomorfismo.

La aplicación : G

G/H es suryectiva.

ker = {x G, (x) = H}

= {x G, xH = H} = elemento identidad =
1G/H

3.- Estabilizador:

Sea G un grupo que opera sobre el conjunto E;
x
E se
tiene:

θx = {gx; g
G}

Se llama estabilizador de x al conjunto

∑x = {g G; gx = x}, es llamado estabilizador
de x.

∑x es un sub grupo de G.

Sea g,g’ ∑x (gg’)x = g(g’x) = gx =
x
gg’ ∑x

g-1x = g-1(gx) = ex = x
x
∑x

ex = x e ∑x; entonces ∑x es un
sub grupo de G.

Sea la aplicación : G
x definida por (g) = gx; para todo g
G es,
es evidentemente suryectivo.
 es inyectivo; (g) =
(g’) g = g’; x

Se tiene que gx = g’x gg’-1x = x gg’-1 ∑x

Esto implica que existe una correspondencia bien
definida G/∑x Gx definido por g∑x

gx

Por lo tanto existe una biyección entre las
particiones de G de la forma g∑x con las
x.

Si G es finito, por la biyección de
G/∑x Gx definido por g∑x
gx se
deduce que Gx tiene el mismo número de elementos que
G/∑x, con cardx que divide
cardG, es decir:

cardx =

Si A

E; A = {representantes de órbitas}

Talque: si a, a’ A a = a’ a =
a’

E = , uniones disjuntas.

carda = ; con cardG =
n

si E es finito cardE =

Normalizador:

El normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el
conjunto

N(S) = {g G/ Sg = S}

Donde Sg representa el conjugado de S por
g.

4. Clases de conjugación:

La conjugación es una relación de
equivalencia y divide a G en clases de equivalencia
disjuntas.

El número de elementos de la clase de
conjugación de x (Cx) es el número de
elementos del normalizador de g en G.

x x; cardx = 1
x

ZG

En efecto:

g G; gx = x gxg-1 = x (el estabilizador de x es
G)

gx = xg

Ahora:

Supongamos que G es un grupo finito, entonces hay un
número finito de clases de conjugación.

x ZG Cx G – ZG

Sean x1, x2,
………, xm G elemento obtenidos
uno de cada clase de conjugación contenidos en G –
ZG.

Para todo x G ó bien x ZG ó x es conjugado
con un xi. Contando los elementos de G, tenemos
que:

o(G) = o(ZG) +

Esto es llamado ecuación de las clases de
conjugación de G.

G opera sobre G por automorfismos internos definido
por:

G G G

(g,x) gx = gxg-1

La orbita de x = {elementos conjugados con x} = clase
de conjugación de x.
Estabilizador de x = {g G; gxg-1 = x

gx = xg} = centralizador de x (Cx:
elementos de G que conmutan con x).

Corolario:

Si G es un grupo de orden
Pα, donde P es un
número primo y α 1 el centro de G es no trivial y G es un P-grupo.
G =
clase de conjugación.

Prueba:

Sea G = (θa)
donde A que es el representante de órbitas.

Si A = G = ZG cardG = cardZG +

Si a A;
cardθa
> 1 y divide al cardG
cardθa =

Pα =
cardZG + P divide card ZG

card ZG =
Pβ; β
1

Por lo tanto el centro de G es no trivial.

Grupo simétrico:

Sea X un conjunto finito, la aplicación :
X X es
inyectiva y suryectiva.

Una permutación es una aplicación, el
conjunto Sn(X) de todas las permutaciones de X es
llamado grupo simétrico, con n que es el
número de elementos de X.

Si X tiene n elementos entonces Sn(X)consta
de n! elementos.

Sean Sn(E) y Sn(F) los conjuntos
de las permutaciones de E y F respectivamente donde cardE = cardF
entonces Sn(E) Sn(F)

En efecto:

Sea : Sn(E)
Sn(F)

 -1

E E

-1 

F F

 es homomorfismo?

,’
Sn(E); ()(’) = (-1)(
’-1)

= ’-1 =
(’)

Por lo tanto  es homomorfismo.

Sea : Sn(F) Sn(E) un
homomorfismo

α’
(α’) =
-1 α’

entonces:

()α =
(α-1) =
-1 α-1 
= α

: Sn(E)
Sn(F)

: Sn(F) Sn(E)

 =
1Sn(E);  = 1Sn(F) = -1

Por lo tanto se cumple que: Sn(E)

Sn(F)

G opera sobre G si y sólo si existe un
homomorfismo entre G y Sn(G)

Sea cardG = n, G opera sobre G por la
derecha.

g G, x G g.x = gx

Sea σ: (G,)

(Sn(G),) un homomorfismo.

En efecto: σ: (G,)

(Sn(G),)

g
σg

(σg
σg’)x
=
σg(σg’x)
= σg(g’x) =
gg’x =
σgg’(x)

kerσ = {g G;
σg = 1G}
kerσ = {e} σ
es inyectiva

– Transformaciones
lineales:

Dados los espacios vectoriales U y V sobre un campo F,
la aplicación T: U V es una transformación lineal u
homomorfismo de U en V, si se cumplen las condiciones:

a.- T(u1 + u2) = T(u1)
+ T(u2); para x u1,u2 U

b.- T(αu) = αT(u); para α
F y x U

El conjunto de todas las transformaciones lineales de U
en V es un espacio vectorial respecto a las operaciones de
adición y producto por un escalar definidas
por:

(T1 + T2) = T1(x)
+T2(x)
(αT)(x) = αT(x); para x
U y α

Ese espacio se designa por L(U,V). Las transformaciones
lineales inyectivas se llaman transformaciones regulares;
las biyectivas se llaman isomorfismos. Si existe un isomorfismo
de U sobre V se dice que dichos espacios son
isomorfos.

Las transformaciones lineales de un espacio U en si
mismo se llaman endomorfismo, y el espacio vectorial
de los endomorfismos se designa por ξ(U). Las transformaciones
lineales biyectivas de U sobre U se llama
automorfismo.

Las transformaciones lineales de U en F se llaman
funciones o
formas lineales, y el espacio de las funciones lineales definidas
en U se designa por L(U).

Autor:

Lic. Sandra Salazar Palomino

Br. Wilbert Colque Candia

wilb_coca[arroba]hotmail.com

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN ANTONIO

ABAD DEL CUSCO

FACULTAD DE CIENCIAS
QUÍMICAS, FÍSICAS Y MATEMÁTICAS