"La teoría ajedrecística matemática, no existe ni puede ser
creada".
Jules-Henri Poincaré
(1854-1912)
PALABRAS CLAVES: Posibilidad, Teoría de
Probabilidades, Análisis Combinatorio, Intratabilidad,
Matemáticas, Inteligencia
Artificial, Ajedrez,
Teoría Ajedrecística, Algoritmos,
Computabilidad, Teoría de Complejidad
Computacional
Desde los inicios de lo que hoy entendemos como
civilización, los hombres hemos sentido fascinación
por la búsqueda de los límites de
nuestras capacidades intelectuales,
o en otras palabras, la posibilidad o la imposibilidad de
resolver ciertos problemas que
se nos plantean en el plano puramente teórico. Pero
más que fascinación, podríamos decir
deslumbramiento, siente el hombre
moderno ante el análisis de problemas que implican, no un
reto a sus posibilidades propias, sino a las de los engendros de
su cerebro, como son
las ultrarrápidas computadoras
electrónicas, monumentos imperecederos que celebran los
recursos de su
ingenio.
Existen problemas en el campo de la Teoría
Ajedrecística que matemáticamente poseen una
solución, sin embargo, esos mismos problemas no
podrían resolverse con las más poderosas
computadoras electrónicas existentes o imaginables en un
cercano o lejano futuro. Hablando con más propiedad,
aunque a estos problemas se les pueda construir un modelo de
computación, es imposible su procesamiento
a través de computadoras por el tiempo y la
cantidad de datos necesarios
para su resolución. ¿Cómo nos atrevemos a
hacer tales afirmaciones, cuando en trabajos publicados
anteriormente (1) fuimos capaces de plantear que las
posibilidades de las computadoras electrónicas son
infinitas y lo que es más, cuando planteamos que el
límite de las posibilidades de las computadoras no se
halla en las computadoras mismas, sino en las limitaciones de los
hombres que las crean?
Si el lector observa con sumo cuidado, verá que
la supuesta contradicción planteada en la pregunta del
párrafo
anterior, gira en torno a una
palabra posible y su antítesis, la
posibilidad. Pero ¿qué es la posibilidad?
Filosóficamente la posibilidad encierra la tendencia
objetiva del desarrollo
contenida en los fenómenos existentes esto es, la
presencia de condiciones para que surja la cosa o
fenómeno, o por lo menos, la ausencia de circunstancias
que excluyan su aparición; siempre ésta va unida a
otra categoría, la realidad, la cual muestra la
existencia de un estado o cosa,
como el resultado de la realización de una determinada
posibilidad, esto es, a la realidad la antecede la
posibilidad.
Existen dos tipos de posibilidades, la abstracta y la
real. La abstracta (o formal) establece que en realidad no
existen las condiciones que excluyan el surgimiento de cierto
fenómeno, pero no presupone que se den condiciones de las
que el fenómeno surja inevitablemente; también
expresa la tendencia aún no desarrollada hacia algo y
suele presentarse junto al desconocimiento de las circunstancias
que se analizan, pudiendo estar encubierta tras ella la
imposibilidad. La real presupone la presencia de todas las
condiciones necesarias para que la posibilidad se realice
inevitablemente. No existe una demarcación definida entre
una y otra, y bajo ciertas circunstancias puede convertirse la
posibilidad abstracta en real viceversa.
La relación cuantitativa entre la posibilidad
abstracta y la real podemos expresarla en base a la Teoría
de las Probabilidades, que junto al Análisis Combinatorio,
la Cibernética (2) y la Informática(3), nos proporcionarán,
luego de este preámbulo profundamente filosófico,
las herramientas
teóricas que utilizaremos en este trabajo para
demostrar que existen soluciones
matemáticas a problemas del Ajedrez que envuelven
números conceptualmente manejables, pero que se tornan
irreales cuando se consideran todas las dimensiones involucradas
en su procesamiento; esto es, soluciones que la práctica
se encarga de catalogar como de imposible realización, por
lo menos, con los actuales conceptos de manejo de la información (su almacenamiento y
procesamiento mediante computadoras
electrónicas).
El primer problema de vinculación de las
matemáticas con el Ajedrez, tal vez un poco fantasioso, se
planteó al querer un rey recompensar el inventor de este
juego por su
meritorio trabajo y pedir éste un grano de trigo para la
primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera,
ocho para la cuarta, y así sucesivamente, siempre doblando
la cantidad de la anterior; leyenda que reza más o menos
así en el libro de G.
Gamow titulado El Uno, Dos y Tres Infinitesimales y en
muchos libros
más. Un historiador del Ajedrez ha dicho que Sissa Ben
Dari le pidió a Iadava, rey y dueño de la provincia
Taligana en La India, granos
de arroz y no de trigo; como es sumamente difícil
esclarecer este asunto, no se le da gran importancia ya que ello
no altera el cálculo ni
el sabio ejemplo que la historia nos ha legado.
Otros estudiosos de la historia del Ajedrez hablan de una leyenda
donde se atribuye este juego al griego Palamedes, quien lo
inventó durante el sitio de Troya, para distraer a los
guerreros durante los días de inacción; mientras
que la generalidad sostiene que lo más probable es que
provenga de los persas o de los chinos, quienes lo dieron a
conocer a los árabes, y que posteriormente el Ajedrez se
introdujo en Europa,
después de Las Cruzadas.
Se dice que en la primera leyenda mencionada, el rey
consideró modesta esta petición, pero que cuando
quizo satisfacerla, se halló con que todos los graneros de
su imperio no hubieran bastado para contener la cantidad de trigo
pedida, ya que como el tablero de Ajedrez tiene 64 escaques o
casillas, el número de granos para cada casilla es
20, 21, 22, 23
… 263, siendo el total 264 – 1 = 18,
446, 744, 073, 709, 561, 615, lo cual equivale a un cubo de
más de un kilómetro de arista.
Otra versión de esta leyenda contada al califa de
Bagdad, Al-Motacen Billah, por Beremís Samir dice que el
rey llamó a los algebristas más hábiles de
la Corte y les ordenó que calculasen la porción de
trigo que Sissa pretendía, y que luego de horas de
profundos estudios, el más sabio de los geómetras,
le dijo: "Rey magnánimo, calculamos el número de
granos de trigo que constituirá la recompensa elegida por
Sissa, y obtuvimos un número cuya cantidad es inconcebible
para la imaginación humana (264 – 1). Hallamos
en seguida, y con la mayor exactitud, a cuántas Ceiras
(o cer, es la unidad de capacidad y de peso usada en La India,
cuyo valor
varía de una localidad a otra, R.M.F.)
corresponderá ese número total de granos,
llegando a la conclusión de que la cantidad de trigo que
debe entregarse a Sissa Ben Dari equivale a una montaña
que teniendo por base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces
más alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos
sus campos, y destruidas todas sus ciudades, no produciría
en un siglo la cantidad de trigo que, por vuestra promesa, debe
entregarse al joven Sissa".
Los resultados de este problema están
relacionados directamente a algo tangible (la cantidad de trigo
del imperio de un rey), no ocurriendo lo mismo con problemas,
como por ejemplo, ¿cuál es el máximo
número de partidas de Ajedrez distintas unas de otras?
Mediante el cálculo se han obtenido 10115 a
10120 partidas diferentes (4), fundamentándose
en las partidas de carácter práctico, esto es, en
aquellas que no se prolongan premeditadamente, duran unos 40
movimientos y ofrecen a cada bando la posibilidad de disponer de
50 jugadas y respuestas para elegir.
Para tener una idea de lo que representa este
número de partidas, citemos al matemático M.
Kraichick: "Si toda la población del mundo jugase al Ajedrez las
veinticuatro horas del día, a razón de una jugada
por segundo, para agotar todas las variantes de las partidas
ajedrecísticas se necesitarían no menos de
10100 siglos" ; pero no conforme con esto, N.
Petrovic ha sido el único en apurar por completo la
teoría ajedrecística, pues, basando su
cálculo en 5,899 movimientos de las blancas de la "partida
más larga" (5) ha hallado la sorprendente cantidad de
1018,900, partidas diferentes; publicando su resultado
en la revista
Sahovski Vjeanik en el año 1948.
El cálculo del máximo número de
movimientos que puede efectuar una pieza es un asunto de suma
importancia para la determinación del mayor número
de movimientos del bando (sea el de las piezas blancas o el de
las negras) al cual pertenece, lo que a su vez incide en la
determinación de la "partida más larga", y por lo
tanto, en el cálculo del máximo número de
partidas diferentes; éste se hace en base a las siguientes
fórmulas, designando por n la longitud del
lado del tablero (en el que normalmente jugamos es de 8
escaques), R al Rey, D a la dama, T a la torre, A al alfil, C al
Caballo y P al peón:
R = 4 (2n – 1) (n – 1)
D = (2/3) n (5n – 1) (n – 1) = T +
A
T = 2 n (n – 1)
A = (2/3) n (2n – 1) (n –
1)
C = 8 (n – 2) (n – 1)
P = (3n – 4) (n – 1), a partir de n
= 4.
Sería interesante que el lector se fije en las
cantidades citadas anteriormente (10115 a
10120 y 1018,900), esto es, nuestras mentes
conciben fácilmente números muchísimo
más grandes que 3 X 1074,que es el
número de átomos que se estima se encuentran
contenidos en el Universo;
aunque hablando con rigurosidad matemática, para esta
ciencia los
números se convierten en "intratables" cuando alcanzan
más allá de cierta magnitud, pues pierden su
significado real para el cálculo efectivo, ya que esta
considera el número como una entidad generada en un tiempo
real dado, siguiendo los pasos contenidos en una regla precisa de
producción. Y resulta que este problema y
otros que más adelante analizaremos, arrojan
números que poniéndonos de acuerdo con Kraichik, su
producción excedería no sólo el tiempo
entero de la humanidad en su conjunto, sino el del Universo desde
sus inicios hasta su final, en el supuesto de que lo tenga
(6).
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