Espacios afines y variedades

Partes: 1, 2, 3, 4

PRESENTACIÓN

La inquietud que me lleva a investigar este tema es
debido a mi interés en
los espacios vectoriales y espacios afines, así como sus
respectivas aplicaciones en los diferentes campos del saber
humano, para poder
contribuir en el avance de las Matemáticas y de esta manera sirva como
referencia para posteriores investigaciones.

Lo que se hace en el presente trabajo es
presentar algunos conceptos de la geometría pero desde el punto de vista del
álgebra, motivo por el cuál se
verá que no es necesario graficar para poder ver las
propiedades geométricas, en otras palabras se presenta las
propiedades de la geometría
en forma axiomática.

El presente trabajo consta de tres capítulos, en
el primer capítulo se enuncia definiciones básicas
para trabajar con conceptos ya conocidos, así como
resultados de teoremas y proposiciones que serán de gran
utilidad en
los capítulos posteriores. El segundo capítulo
trata sobre los espacios afines y las variedades así como
sus respectivas propiedades. El tercer capítulo
estará referido a las afinidades, desarrollo de
algunos ejemplos de afinidades y las propiedades que este
conserva sobre las variedades lineales.

Es mi propósito alcanzar el presente trabajo con
el esmero posible, no sin antes agradecer a mis padres quienes
con su buen ejemplo y su apoyo constante hicieron de mi una
profesional.

INTRODUCCIÓN:

En el plano euclideo , dado un punto cualquiera P y un vector libre
arbitrario , existe
en el mismo plano un punto Q y sólo uno talque .

Se designará por E el conjunto de todos los
puntos del plano y el conjunto de todos los vectores
libres en el mismo plano por V, entonces para cada punto P se
establece una aplicación biyectiva talque sí y sólo si . Además se tiene que .

El espacio afín está representado por la
terna donde
es una función
biyectiva , la cual
no puede ser arbitraria sino debe cumplir ciertas condiciones que
relacionen los elementos de la terna.

Con la notación se representa indistintamente un vector fijo y el
vector libre correspondiente, lo cual permite escribir en lugar de .

Los sub espacios más sencillos de un espacio
afín son las variedades lineales, el calificativo de
lineal proviene del hecho de que un sub conjunto de un espacio
afín es una variedad lineal sí y sólo si
contiene la recta que une dos puntos cualesquiera del
mismo.

Las afinidades son aplicaciones entre espacios afines
bajo ciertas condiciones puesto que no toda aplicación
entre espacios afines es una afinidad.

RESEÑA
HISTÓRICA

Pierre de Fermat (1601-1665) y René Descartes
(1596-1650), obsesionados por la necesidad de métodos
cuantitativos en geometría e impresionados por el poder
del álgebra, iniciaron la aplicabilidad de ésta al
estudio de la geometría, creando los sistemas de
coordenadas al asociar ecuaciones
algebraicas a curvas y superficies. Esta idea ha sido una de las
más fructíferas en el desarrollo de las
matemáticas.

Tanto Fermat como Descartes estaban motivados por las
necesidades de la ciencia y
por un interés en la metodología. Especialmente Descartes hizo
de la metodología el objeto principal de toda su
obra.

Las primeras nociones nebulosas de un hiperespacio de
dimensión mayor de 3 se pierden en la oscuridad del pasado
y se mezclan con consideraciones metafísicas. El primer
artículo científico que trata explícitamente
el tema se debe a Arthur Cayley (1821 – 1895) y se remota a 1843.
Le siguen una serie de trabajos del mismo autor, de James Joseph
Silvestre (1814 – 1897) y de William Kingdin Clifford (1845 –
1879) en Inglaterra y
Hermann Günther Grassmann (1809 – 1877) y Ludwig
Schläfli (1814 -. 1895). La introducción de coordenadas se lleva acabo
durante la segunda mitad del siglo XIX a través de los
estudios de los espacios aritméticos.

En 1818, August Ferdinand Möbius (1790 – 1868) ya
había tenido la idea de un análisis geométrico en los espacios
de dimensión 2 y 3, que desarrolló a partir de 1823
bajo el nombre de "Cálculo
Baricéntrico", inspirado en la teoría
de centros de gravedad. Eso es lo que hoy llamamos un sistema de
coordenadas baricéntricas. No es sin embargo, hasta
finales del siglo que Schläfli y Camilla Jordan (1838 –
1922) desarrollan explícitamente las nociones de la
geometría afín y de la euclidiana de
dimensión n.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

En el caso de los sub espacios afines ¿los sub
espacios afines conservan su estructura
afín?, las variedades lineales son sub conjuntos de
los espacios afines ¿ son sub espacios afines o no?. Por
otro lado las afinidades transforman espacios afines, ¿que
pasa con la imagen directa e
imagen inversa de ellas luego de ser transformadas?, es
lógico pensar que conservan sus estructuras
afines pero para ello la afinidad tiene que cumplir ciertas
condiciones, ya que cualquier aplicación entre espacios
afines no siempre es una afinidad.

Y desde luego el resultado de las operaciones entre
las variedades tales como la unión, la
intersección, la suma, etc. debe ser también una
variedad y así al ser transformadas mediante una afinidad
estas variedades conserven su estructura.

HIPÓTESIS

Las variedades lineales conservan su estructura
afín y la transformación de ellas mediante una
afinidad también conserva su estructura
afín.

JUSTIFICACIÓN:

Cuando hablamos de grupo y de
espacios vectoriales tanto los sub grupos y los sub
espacios vectoriales conservan su estructura mediante
homomorfismos y transformaciones, entonces es lógico
proyectar que en los espacios afines ocurrirá lo
mismo.

Por otro lado cuando determinadas estructuras son
relacionadas mediante ciertas condiciones estas conservan su
estructura inicial, esto no ocurre con cualquier
transformación ya que no toda transformación
preserva las estructuras iniciales; motivo por el cual se
desarrollara el presente trabajo para establecer las condiciones
que debe cumplir una aplicación para poder ser una
afinidad y así poder ver si hace conservar la estructura
afín.

OBJETIVOS GENERALES

Fomentar el interés por las
matemáticas, en particular por los temas referidos a
estructuras afines y las relaciones entre
éstas

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Demostrar que las variedades lineales conservan su
estructura afín.
Demostrar que las afinidades conservan la
razón simple
Demostrar que el paralelismo de variedades es
invariante bajo las afinidades.
Demostrar que el único punto fijo de una
afinidad homotecia es su centro.

MÉTODO

En la exposición
del presente trabajo se ha utilizado el método
analítico explicativo, con un fin demostrativo, utilizando
la teoría de espacios afines.