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Operaciones lógicas (página 2)



Partes: 1, 2

EJERCICIOS
RESUELTOS

Indicar mediante un visto bueno (√) o una aspa (x)
según las expresiones siguientes sean o no
proposiciones:

  1. Quito es la capital de
    Loreto. F
  2. Quisiera que me regalen un libro No
    es una proposición.
  3. La suma de dos números impares es un
    número par V
  4. ¡Señoras y señores! En el
    escenario, el fútbol femenino No es una
    proposición.
  5. Existe vida en el planeta Mercurio F
  6. Un cubo tiene seis caras. V
  7. El planeta Venus, el lucero del
    amanecer. V
  8. 17 es divisible por 3 F
  9. El Papa Juan Pablo II visitó el Perú en
    1985. V

OPERACIONES
LÓGICAS

Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones
compuestas mediante operaciones
lógicas.

Las principales operaciones lógicas son:
conjunción, disyunción, negación,
condicional y Bicondicional.

A cada una de estas operaciones lógicas le
corresponde una tabla de verdad.

  1. p q

    p Ù
    q

    V V

    V F

    F V

    F F

    V

    F

    F

    F

  2. Conjunción. Dos proposiciones simples p y
    q relacionadas por el conectivo lógico "y" conforman
    la proposición compuesta llamada conjunción, la
    cual se simboliza así: p Ù q.

    p q

    p Ú
    q

    V V

    V F

    F V

    F F

    V

    V

    V

    F

  3. Disyunción. Dos proposiciones simples p y
    q relacionadas por el conectivo lógico "O" conforman
    la proposición compuesta llamada disyunción, la
    cual se simboliza así: p Ú q.

    ~ p se lee: no
    p

    o también: no es cierto que p

    p

    ~ p

    V

    F

    F

    V

  4. Negación. Dada una proposición
    simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra
    proposición llamada negación de p, la cual se
    simboliza así:

    p q

    p Þ
    q

    V V

    V F

    F V

    F F

    V

    F

    V

    V

  5. Condicional o Implicativa. Dos proposiciones
    simples p y q relacionadas por el conectivo lógico
    "entonces" conforman la proposición compuesta llamada
    condicional o implicativa, la cual se simboliza así: p
    Þ q:
  6. Bicondicional. Dos proposiciones simples p y q
    relacionadas por el conectivo lógico "si y sólo
    si" conforman la proposición compuesta llamada
    conjunción, la cual se simboliza así: p
    « q.

p q

p Û q

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

FÓRMULA
LÓGICA

Una fórmula lógica
es la representación simbólica de una
proposición compuesta, las cuales están conformadas
por proposiciones simples, conectivos lógicos y signos de
agrupación.

Al evaluar una fórmula se confecciona su tabla de
verdad. Ejemplo:

Se tiene las siguientes proposiciones:

p: Abigail Alcalde Flores gana la partida de
damas.

q: Abigail Alcalde Flores recibe el premio.

Una proposición compuesta empleando p y q
será:

"Si Abigail Alcalde Flores gana la partida entonces
recibe el premio", la cual se representa simbólicamente
así: p Þ q.

Expresiones como: ~ p
Þ ~
q

(p Ú q) Þ ~ q

~ (p Ù q) Û
(~ p Ú q)

reciben el nombre de fórmulas
lógicas.

Al evaluar una Fórmula se confecciona su Tabla de
Verdad.

  • Si en esta tabla todos los valores
    de verdad son V, tal fórmula es una
    TAUTOLOGÍA.
  • Si en esta tabla todos los valores de
    verdad son F, tal fórmula es una
    CONTRADICCIÓN.
  • Si en esta tabla, algunos de los valores de verdad
    son V y otros son F, tal fórmula es una
    CONTINGENCIA.

Al evaluar una fórmula debemos tener en cuenta un
orden en las operaciones lógicas a realizarse. Empezamos
con las operaciones encerradas por los paréntesis
interiores, siguen todas las negaciones y luego se avanza de
izquierda a derecha.

Es recomendable identificar el conectivo principal de la
fórmula que representa la operación final a
realizarse. Si en el interior de un paréntesis alguna
proposición simple esta precedida por una negación,
primero se opera ésta.

He aquí algunos ejemplos resueltos:

  1. v v v v v v Desarrollamos (1)
    condicional

    v v f v f f Desarrollamos (2)
    conjunción

    v f v f v f Desarrollamos (3) Bicondicional del
    resultados de

    v f f f v f (1) y (2)

    f v v v v v

    f v f v f f

    f f v v f f

    f f f v f f

    (1) (3) (1)

  2. p q r ( p Þ q )
    Û ( q Ù r )

    v v f v v v Desarrollamos (1)
    conjunción

    v f v v v v (2) después de haber negado
    (1)

    f v v f v v Desarrollamos (3)
    disyunción

    f v v f f f Desarrollamos (4) condicional del
    resultado de

    (2) (1) (4) (3) (2) y (3)

    EJERCICIO POR
    RESOLVER

    Evaluar las siguientes fórmulas
    lógicas y establecer si se trata de Tautología,
    Contradicción o Contingencia.

  3. p q ~ ( p Ù q ) Þ
    ( p Ú q )
  4. ~ ( p Û q ) Û
    ( ~ p Û ~ q
    )
  5. ~ [ ~ p Ù q ]
    Þ q
  6. ( p Þ q )
    Ù ( ~ p Ú q
    )
  7. ~ ( p Ù q ) Þ
    [ ( p Ú r ) Þ
    q ]
  8. [ (~ p) Ù
    (~ r) ]
    Þ q
  9. [ ( p Ú q ) Þ
    ~ p ]
    Ù p
  10. ( p Ù q )
    Þ ( p Þ q )
  11. [ (p Ú q) Þ
    q] Û q
  12. ( ~ p Þ q ) Û
    ( q Ù r )
  13. ( p Û r )
    Ù ( p Þ q)

CUANTIFICADORES

Es convertir en un enunciado abierto en
proposición.

Enunciado abierto.-

  • Es aquel enunciado (frase u oración) que
    incluye una o varias variables, y
    de acuerdo a la que emplee podrá ser falso o
    verdadero.
  • Es aquella expresión que tiene al menos una
    variable la que al ser reemplazada por constantes transforma el
    enunciado abierto en una proposición.
  • Si empleamos x como variable, un enunciado abierto se
    representa así: p(x), lo que leemos como " p de x
    ".

Ejemplo:

Sea el enunciado abierto:

P(x) = "x +1 es un número múltiplo de 2
"

Ahora damos valores a x:

  • Si x = 3, P (3) = 3 + 1 = 4 "4 es múltiplo de
    2", proposición verdadera.
  • Si x = 4, P (4) = 4 + 1 = 5 "5 es múltiplo de
    2", proposición falsa.
  • Si x = 5, P (5) = 5 + 1 = 6 "6 es múltiplo de
    2", proposición verdadera.

Al enunciado abierto también se le llama
Función Proposicional.

Existen dos tipos de cuantificadores:

  • Cuantificador Universal

El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número
múltiplo de 2 "; si cuantificamos universalmente
escribimos:

  • " todo x + 1 es un número múltiplo de
    2 "
  • " para todo x + 1 es un número
    múltiplo de 2 "
  • " para cualquier x + 1 es un número
    múltiplo de 2 "

Esta ya es una proposición pero FALSA porque hay
números x + 1 que no necesariamente son múltiplos
de 2.

" significa
"para todo", "todo" o "para cualquier"

  • Cuantificador Existencial

El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número
múltiplo de 2 "; si cuantificamos existencialmente
escribimos:

  • " Existe por lo menos un número x + 1 es un
    múltiplo de 2 "

Esta ya es una proposición aunque ahora si
VERDADERA porque por lo menos existe un número que
reemplazado por x en x + 1 nos da un múltiplo de
2.

$ significa
"existe por lo menos" o "existe"

PROPOSICIONES LÓGICAS
EQUIVALENTES

Si dos proposiciones p y q tienen tablas de verdad
idénticas entonces podemos afirmar que tales proposiciones
son equivalentes:

Esto se simboliza p º
q

Ejemplo: La proposición compuesta p Þ q es equivalente a la proposición
compuesta.

( ~ p) Ú q

p Þ q
º (~
p) Ú q

Entonces en una fórmula lógica podemos
ahorrar tiempo y
espacio si reemplazamos:

p Þ q º ( ~ p)
Ú q o viceversa.

Las equivalencias lógicas más importantes
son:

  1. p Ú p º p
  2. p Ú V º V
  3. p Ú F º p
  4. p Ú q º q Ú
    p
  5. p Ú (~ p) º
    V
  6. ~ (~ p) º
    p
  7. ( p Ú q )
    Ú r º p Ú (
    q Ú r )
  8. p Ú ( q Ù r ) º
    ( p Ú q ) Ù ( p Ú r )
  9. p Ù p º p
  10. ( p Ù q )
    Ù r º p Ù (
    q Ù r )
  11. p Ù ( q Ú r ) º
    ( p Ù q ) Ú ( p Ù r )
  12. p Ù F º F
  13. p Ù V º p
  14. p Ù (~ p) º
    F
  15. p Ù q º q Ù
    p
  16. ~ ( p Ú q ) º
    (~ p) Ù (~
    q)
  17. ~ ( p Ù q ) º
    (~ p) Ú (~
    q)
  18. p Þ q º (~ p)
    Ú q
  19. p Þ q Þ ( ~ q)
    Þ ( ~ p)
  20. p Ù ( p Ú q ) º
    p
  21. p Ú ( p Ù q ) º
    p
  22. p Û q º ( p Þ q
    ) Ù ( q Þ p )
  23. p Û q º ( p Ù
    q ) Ú [ ( ~ p )
    Ù ( ~ q ) ]
  24. ~ V º F ; ~ F
    º V

PROBLEMAS
PROPUESTOS

    1. Los números pares son divisible por
      2.
    2. Los números impares son divisibles por
      2.
    3. La semana tiene 8 días.
    4. Cuan profundo es mi amor.
    5. Mario Vargas Llosa es español.
    6. ¡Tú puedes, no desistas!
    7. Lima, la tres veces coronada ciudad de los
      reyes.
    8. El cuadrado es un
      cuadrilátero.
    9. No todo número primo es impar.
    10. Alberto Fujimori, por qué has llegado
      tarde.
    11. ¡Has ganado una computadora!
    12. El año tiene 12 meses.
    13. Todas las semanas tiene 7
      días.
    14. Alan García Pérez viajo a Roma o
      Brasil.
    15. Si me caso, entonces no seré
      soltero.
    16. No es cierto que la ciudad de Lima está en
      la costa.
    17. El Sol es un astro o el día tiene 24
      horas.
    18. 2 + 3 = 7 ó 22 + 32
      = 52
    19. 6 es mayor que 7, ó 5 es menor que
      8.
    20. El triángulo tiene 3 lados o el cuadrado
      solo 3 lados.
  1. Indique cuál de las siguientes expresiones es
    una proposición, si fuera así cual de ellas son
    proposiciones simples y cuales son proposiciones compuestas.
    Señale además su valor de
    verdad correspondiente.

    [ ( ~ p Ú
    ~ q ) Þ ( ~ r
    Ú q ) ] Þ ( p
    Þ ~ r )

  2. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera
    (v), q es falsa (F) y r es falsa (F). Indique el valor de
    verdad de la proposición:
  3. De las siguientes proposiciones ¿Cuáles
    son tautologías?
  1. ( p Þ q )
    Þ [
    ( ~ p ) Ú q ]
  2. [ ~ ( p Ù q )
    Þ ( ~ q Ù q )
    ] Þ
    p
  3. [ ( p Ù q ) Ú ( ~ q )
    ] Þ
    ~ p
    1. ( p Û q )
      Þ ( r Ù s )
    2. ( p Ù q )
      Þ ( r Û s )
    3. ~ p Û ( r Ù q )
    4. ~ q Û ( p Ù s )
    5. ~ s Û ( p Ú q )
  1. Sabiendo que las proposiciones p y r son proposiciones
    verdaderas y las proposiciones q y s son proposiciones
    falsas; indicar cuantas de las siguientes proposiciones son
    falsas:

    • ( p Ú q
      )
    • ( p Þ q )
      Ù q
    • [ ( p Ú q ) Þ ( p Ù q ) ]
      Û ( p Þ ~ q
      )
    • ( ~ p ) Þ ( p Ú q )
    • ( ~ q ) Û ( p Ù ~ p
      )

     

     

     

    Autor:

    Eddy Rubem Alcalde Rumiche

  2. Si se sabe que la proposición p Ù q es verdadera, entonces cuantas de
    las proposiciones dadas son falsas:
Partes: 1, 2
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