Presupuestos de Vigotsky y la Formación de conceptos (página 2)
Proceso de
formación del concepto.
Internalización:
El
conocimiento no es un objeto que se pasa de uno a otro, sino
que es algo que se construye por medio de operaciones y
habilidades cognoscitivas que se inducen en la interacción social. Vigotsky
señala que el desarrollo
intelectual del individuo no
puede entenderse como independiente del medio social en el que
está inmersa la persona. Para
Vigotsky, el desarrollo de las funciones
psicológicas superiores se da primero en el plano social y
después en el nivel individual. La transmisión y
adquisición de conocimientos y patrones culturales es
posible cuando de la interacción – plano
interpsicológico – se llega a la
internalización – plano
intrapsicológico – .
Vigotsky concebía a la internalización
como un proceso donde
ciertos aspectos de la estructura de
la actividad que se ha realizado en un plano externo pasan a
ejecutarse en un plano interno.
El plano interno, esto es, el plano que contiene los
resultados de la internalización, no es un espacio
vacío donde se puede poner cualquier cosa, al contrario,
el plano interno tiene una naturaleza
constructiva. Las nuevas acciones se
ejecutan únicamente sobre la base de un plano ya
desarrollado al cual se unen las nuevas acciones. Durante este
proceso, el plano previamente desarrollado se modifica. El
pensamiento de
cada sujeto es individual, pero la internalización tiene
un carácter social.
Vigotsky vio la internalización como un mecanismo
de transformación dinámica, donde la interacción
social se convierte en interiorización
individual.
El proceso de internalización se produce a
través de la acción
mediada en la interacción social. Un presupuesto
fundamental de la escuela
Histórico Cultural es la idea de que la acción
humana, tanto en el plano individual como en el social,
está mediada por herramientas y
signos.
La acción mediada:
Una aproximación cultural a la mente comienza con
el supuesto de que la acción está mediada, y que no
puede ser separada del medio en el que se lleva a
cabo.
Vigotsky consideró que en el caso de los niños
el uso de las herramientas y la actividad simbólica dieron
lugar a una compleja unidad psicológica. Una vez que el
niño asume que todo tiene un nombre, cada nuevo objeto le
presenta al niño una situación problémica,
que resuelve nombrando al objeto; cuando no encuentra por
sí mismo la palabra adecuada al nuevo objeto, la obtiene
de los adultos. Esta temprana relación palabra –
significado así adquirida es el embrión de la
formación de conceptos.
Vigotsky, aporta otro supuesto no menos importante: los
mediadores verbales deberían ser usados tan amplia y
frecuentemente como sea posible.
Vigotsky, Bajtín y muchos de sus colegas hicieron
una contribución importante al estudio de la mente: la
acción mediada es una unidad de análisis irreducible y la/s persona/s que
actúa/n con instrumentos mediadores son los agentes
irreductibles.
La mediación ocurre a través del uso de
herramientas y signos de una cultura.
Lenguaje y
simbolismo son usados inicialmente para mediar, primero, en el
contacto con el medio social y después dentro de nosotros
mismos; cuando los artefactos culturales son internalizados, la
persona adquiere la capacidad de pensar a un nivel
superior.
Vigotsky, encaró el lenguaje y
otros sistemas de
signos como parte y como mediadores de la acción humana
(de allí su asociación con el término
"acción mediada") y consideró de manera
especial cómo se relacionan diferentes formas de lenguaje
con diferentes formas de pensamiento. Al respecto está su
conocida frase: "Una palabra sin pensamiento es cosa muerta,
un pensamiento sin palabras permanece en la
sombra"
Vigotsky entendió toda función
mental superior como producto de la
actividad mediada. El rol de mediador es ejecutado por
instrumentos y signos, el signo el lo consideró como una
herramienta psicológica, entendiendo por signo. "palabras,
gráficos, símbolos algebraicos, etc.". Estos
mediadores, los cuales son ellos mismos producto de contextos
socio históricos, no simplemente facilitan la actividad;
ellos definen y dan forma a procesos
internos. Así Vigotsky vio la acción mediada por
signos como el mecanismo fundamental que relaciona el mundo
social externo con los procesos mentales humanos internos, y
argumentó que es comprendiendo los procesos mediados
semióticamente en la inatracción social que se
forma la conciencia
humana. (Wertsch and Stone, 1985: 166). Berger M.
(2005)
En Matemática, el mismo signo
matemático media dos procesos: el desarrollo del concepto
matemático en el individuo y la interacción del
individuo con el ya codificado y socialmente establecido mundo
matemático (Radford, 2000). De esta forma, el conocimiento
matemático individual es cognoscitiva y socialmente
constituido. Berger M. (2005)
Es importante también tener en cuenta los
trabajos de Vigotsky y sus seguidores, donde se plantea que en la
medida en que los símbolos son una creación humana,
es obvio que tienen una historia que no se puede
pasar por alto, y que juegan un papel fundamental, en la constitución de los procesos
psicológicos. Y casi como corolario de lo anterior, si la
actividad se constituye a partir del uso de símbolos con
historia, es indispensable estudiar los procesos
psicológicos a partir de las formas históricamente
específicas de actividades prácticas en las que
están implicadas las personas.
Los seres humanos no están limitados a su
herencia
biológica, como lo están otras especies, pues nacen
en un medio determinado por las actividades de generaciones
anteriores. En este medio, los símbolos llevan el pasado
al presente y dominando el uso de estos símbolos, los
seres humanos asimilan la experiencia de la humanidad. Los seres
humanos tienen la capacidad de continuar y desarrollar la
inteligencia
heredada. Este desarrollo ocurre mediado por el uso de
herramientas y símbolos de una cultura. Cuando los
símbolos culturales son internalizados, las personas
adquieren un pensamiento de mayor profundidad.
En un primer estadio, el símbolo sólo
representó el objeto, y no sus nexos y relaciones
internas; no obstante lo elemental de esta primera
relación símbolo objeto, ella fue la premisa
imprescindible para el desarrollo del lenguaje, premisa a su vez
del desarrollo histórico social del hombre.
En su desarrollo histórico cultural el hombre
pasó del estudio contemplativo de los objetos y
fenómenos de la realidad, a interesarse por los aspectos
internos de las cosas que le rodeaban, y los símbolos
expresaron también los componentes internos, de estos
objetos y fenómenos, y en el curso de este desarrollo, son
los símbolos el medio de que dispone el hombre para
materializar las relaciones entre objetos y fenómenos,
así como sus nexos internos y esenciales. Del
análisis realizado sobre la importancia del símbolo
en el desarrollo intelectual del hombre, se concluye aquí
la necesidad del estudio de la relación símbolo
objeto, si se aspira a perfeccionar el proceso enseñanza aprendizaje.
El signo como
mediador (La mediación semiótica):
Un elemento central en la teoría
de Vigotsky consiste en notar que no habitamos un mundo
simplemente concreto y
material, sino un mundo lleno de significados y que estos
significados pertenecen al mundo de los signos. El
escribió: "junto con los fenómenos naturales, junto
con los equipos tecnológicos y con los artículos de
consumo existe
un mundo especial, el mundo de los signos."
El signo siempre está enmarcado en la actividad
práctica del individuo, por lo que el signo se concibe
como un objeto semiótico funcionando en un medio donde las
características específicas de la actividad tienen
que ser tomadas en cuenta.
En la perspectivas de Vigotsky el proceso mediante el
cual se construyen los conceptos requiere de la construcción de un lenguaje especial, un
lenguaje semiótico.
Dado que es un hecho que los objetos matemáticos, no son objetos los cuales
puedan ser directamente percibidos u observados de forma directa
o mediante instrumentos, empezando con los números, cuyo
acceso está restringido al uso de sistemas de
representación que permiten su designación. Se
llega a la conclusión de que el aprendizaje de
los objetos matemáticos no puede ser más que un
aprendizaje conceptual y, por tanto sólo por medio de
representaciones semióticas es posible una actividad sobre
los objetos matemáticos.
Aunque el párrafo
anterior plantea la siguiente paradoja epistemológica: De
una parte el aprendizaje de los objetos matemáticos no
puede ser sino un aprendizaje conceptual y, de otra parte, es
solo mediante representaciones semióticas que es posible
una actividad sobre los objetos matemáticos. O como
plantea Radford "El problema epistemológico puede
resumirse en la siguiente pregunta: ¿cómo llegamos
a conocer los objetos generales, dado que no tenemos acceso a
éstos sino a través de representaciones que
nosotros mismos nos hacemos. (Radford L. 2001).
Esta paradoja puede constituir un verdadero
círculo vicioso para el aprendizaje. ¿Cómo
quienes en esta fase de aprendizaje podrían no confundir
los objetos matemáticos con sus representaciones
semióticas siendo que ellos no pueden tener
relación mas que con las representaciones
semióticas?
Efectivamente esta paradoja crea uno de los problemas
clásicos en el proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática, dado que es usual que el estudiante no
sólo confunda el objeto con su representación sino
que la representación muchas veces sustituye al objeto y
el estudiante trabaja solamente a nivel de símbolo y es la
causa de respuestas aparentemente absurdas en la solución
de problemas, como es el caso cuando el estudiante está
calculando un área y acepta como posible respuesta un
número negativo o cuando es la respuesta es un
número de vacas y el estudiante acepta como posible
respuesta un número fraccionario, en estos casos no es que
el estudiante sea tan poco lúcido como para no darse
cuenta de lo absurdo de su respuesta. El problema está en
que desarrolla su trabajo
sólo a nivel de símbolo por lo cual cualquier
símbolo puede ser una respuesta.
El problema anterior se agudiza en la formación
de los conceptos, ya que el estudiante usa la
representación semiótica del concepto, sin que esta
representación contenga para el todos los rasgos
esenciales que caracterizan el concepto, o que teniéndolos
en un momento los pierda a causa de que en los problemas que se
le plantean al estudiante nunca es necesario usar un determinado
rasgo esencial del concepto, por ejemplo, cuado algunos maestros
sólo plantean tareas a los estudiantes con funciones
trigonométricas en el intervalo de 0 a
2п, estos estudiantes asumen que dicho
intervalo es el dominio de las
funciones trigonomйtricas. Razón por la
cual cuando se requiere identificar o aplicar el concepto basado
en el rasgo esencial desconectado de su representación
semiótica, el estudiante es incapaz de identificar o
aplicar dicho concepto adecuadamente.
También sucede que en la representación
semiótica del concepto el estudiante puede incorporar
rasgos no esenciales, como si lo fueran y cuando se enfrenta a un
representante del concepto que no tiene alguno o algunos de estos
rasgos no esenciales, evidentemente no lo identifica como
elemento de dicho concepto; este es el caso del concepto de
triángulo rectángulo el cual muchos maestros
representan en la escuela, siempre con uno de sus catetos en
posición horizontal, por lo que muchos estudiantes
terminan por incorporar la posición del gráfico
como una parte esencial en la representación
gráfica de un triángulo rectángulo y cuando
no lo ven en esta posición no lo identifican como
tal.
Por lo tanto en la formación del nexo
símbolo objeto se presentan tres problemas:
Cuando se manifiesta esta situación el
estudiante está muy limitado para resolver problemas,
pues es incapaz de aplicar el concepto, esta situación
además propicia las respuestas absurdas de los
estudiantes, aunque desafortunadamente es algo que pasa con
demasiada frecuencia.- El nexo formado no tiene suficiente solidez se debilita
al punto que el estudiante trabaja sólo a nivel de
símbolo sin considerar lo que el signo
representa.González F. (2005) considera este aspecto
como "información pertinente y no pertinente"
y plantea la necesidad de destacar los atributos esenciales
del concepto de los no esenciales. A estos efectos resulta
fundamental que atributos no esenciales del concepto no se
repitan en el trabajo
con el mismo, pues si en la formación de un concepto
siempre está presente un atributo no esencial es muy
difícil que el estudiante no lo incorpore como
atributo esencial del concepto. - El nexo formado incluye elementos no esenciales del
concepto, lo cual impide al estudiante identificar
representantes del concepto que no contienen los rasgos no
esenciales que el ha incorporado indebidamente. - El nexo formado incluye el contexto y el estudiante
no es capaz de usar el símbolo aprendido para
representar el mismo objeto cuando este se encuentra en otro
contexto.
Aquí resulta imprescindible lograr un equilibrio
entre la enseñanza contextualizada y no contextualizada,
ya que si por una parte la enseñanza contextualizada
motiva, también limita las posibilidades del estudiante
de transferir el conocimiento adquirido a nuevas situaciones.
Es conocido que para muchos estudiantes las integrales
en Matemática son objetos deferentes a las integrales en
Física.
Precisiones:
- El concepto matemático se materializa a
través del signo, (representación o registro
semiótico). Todo concepto matemático remite a
"no-objetos"; por lo que la conceptualización no es y no
se puede basar sobre significados que se apoyen en la realidad
concreta; en otras palabras en matemáticas no son posibles
reenvíos ostensivos. - La actividad de aprendizaje es una actividad mediada
por el uso del signo como representante semiótico de los
conceptos matemáticos. - El signo o símbolo, como representante
semiótico del concepto, debe se portador para el sujeto
de todos los rasgos esenciales del concepto que representa y al
propio tiempo, esta
representación semiótica no puede incluir
ningún rasgo no esencial del concepto. - El nexo símbolo objeto aunque se forma de
manera individual en cada sujeto, su formación se
produce en la interacción social, por lo tanto tiene un
carácter social. - La internalización se desarrolla en la actividad
mediada a través de la interacción social y
conduce al establecimiento del nexo símbolo objeto
entre el objeto conceptual y su representante
semiótico.A partir de las precisiones anteriores, al analizar
el proceso de formación de los conceptos se aprecia
que en dicho proceso, como componente del proceso
enseñanza aprendizaje, se cumplen los principios
fundamentales que rigen este último, los que fueron
determinados en primera instancia por la Escuela
Histórico Cultural, son estos:- Carácter activo del proceso
enseñanza aprendizaje. - Carácter histórico del proceso
enseñanza aprendizaje. - Carácter social del proceso
enseñanza aprendizaje. - Carácter mediado de la psiquis
humana.
Como sabemos gracias a las investigaciones sobre el proceso de
formación de los conceptos, un concepto es algo
más que la suma de ciertos vínculos asociativos
formados por la
memoria, es un auténtico y complejo acto de
pensamiento que no se puede enseñar sólo
mediante la ejercitación y al cual se puede llegar
cuando el desarrollo mental del niño ha alcanzado el
nivel requerido, el niño no puede arribar al concepto
de número entero, antes de haber llegado al de
número natural. El desarrollo de los conceptos, o
significados de las palabras, presupone el desarrollo de
muchas funciones intelectuales (atención, memoria
lógica, abstracción, capacidad
de comparación y diferenciación). Comprender el
concepto, será concebido como el acto de adquirir su
significado, tal acto será probablemente un acto de
generalización y síntesis de significados en
relación con elementos particulares de la 'estructura'
del concepto.La formación de los conceptos se inicia con
la actividad del estudiante sobre representantes
semióticos de los objetos conceptuales
matemáticos. Esta actividad tiene un carácter
social. En el proceso de formación del concepto el
estudiante tiene que llegar a representar el concepto a
través de diferentes registros
semióticos y ser capaz de pasar de un registro a otro,
lo cual posibilita que el estudiante no confunda el concepto
con su representación. Todo concepto matemático
se ve obligado a servirse de representaciones, dado que no se
dispone de "objetos" para exhibir en su lugar; por lo que la
conceptualización debe necesariamente pasar a
través de registros representativos que, por varios
motivos, sobre todo si son de carácter
lingüístico, no pueden ser
unívocos.La conexión entre registros establece la
arquitectura
cognoscitiva por la cual el estudiante puede reconocer el
mismo objeto a través de diferentes representaciones y
puede hacer objetiva su comprensión del
objeto.Presentación del objeto en diferentes
registros:En la consolidación del nexo símbolo
objeto juega un papel fundamental la codificación y decodificación de
diferentes representaciones semióticas de los objetos
matemáticos, lo que equivale a expresar el objeto en
diferentes registros semióticos, al respecto se debe
destacar que la comprensión integral de un contenido
conceptual está basada en la coordinación de al menos dos registros
de representación, y esta coordinación queda de
manifiesto por medio del uso rápido y la espontaneidad
de la conversión cognitiva. Los alumnos deben aprender
a realizar como una actividad necesaria, conversiones en
distintos registros. La coordinación entre ellos es de
vital importancia para el desarrollo del pensamiento. Este
cambio de
registros no se realiza en forma espontánea, pues el
pensamiento moviliza un solo registro de
representación. Bajo esta perspectiva, una de las
actividades fundamentales de los profesores es enfrentar los
alumnos, a problemas en los cuales, para poder
resolverlos, necesitan realizar conversiones entre distintos
registros.Los cambios de representación
semiótica son de dos tipos, los cambios que se
producen dentro de un mismo tipo de registro como es el caso
cuando modelamos un fenómeno por diferentes ecuaciones; o cuando cambiamos el tipo de
registro, que es el caso por ejemplo cuando se pasa de un
registro algebraico a uno geométrico, esto es la
representación de una recta en un sistema de
ejes cartesianos o mediante un registro analítico a
través de la ecuación que la
representa.La adquisición de un concepto
matemático radica en la actividad que se puede
realizar en las diferentes representaciones; implica
actividad en un registro (tratamiento metodológico),
posteriormente realizar una coordinación entre los
diferentes registros (pasaje o conversión), enfrentar
la no congruencia entre registros encaminado a construir la
estructura cognitiva, hasta lograr reconocer el objeto
matemático en sus diferentes representaciones. Por
ejemplo, es inconveniente acceder al concepto de un ente
matemático por medio de una definición, es
necesario tener actividad con sus diferentes
representaciones, algebraico, tablas, gráficos y el
lenguaje natural; tal actividad indica creación,
tratamiento, y pasaje o conversión entre registros de
representación. En el
estudio de las funciones, no es una actividad didáctica sencilla lograr que el
estudiante identifique la misma función en sus
diferentes representaciones, es usual que el estudiante vea
en cada una de estas representaciones un ente
matemático diferente.La codificación y decodificación es
importante, porque se debe tener en cuenta que el lenguaje
matemático tiene dos niveles, un nivel algebraico y un
nivel gráfico, y muchas veces el nivel gráfico
funciona como elemento de enlace entre el lenguaje
común, literal, y el lenguaje algebraico, en ocasiones
la representación gráfica del enunciado de un
problema permite al estudiante construir el modelo
analítico, a través del cual se encuentra la
solución pedida, como es el caso de las integrales
definidas en una variable. En otras ocasiones este nivel
gráfico resulta prácticamente imprescindible,
como es el caso cuando se trabaja con las integrales triples,
donde se requiere la representación gráfica de
la región de integración para poder plantear los
límites de la integral. En el caso de
las integrales dobles y triples, el leguaje gráfico
presenta subniveles, que son los diferentes sistemas de
coordenadas, donde una forma de garantizar que el alumno se
apropie de los mismos es que pueda representar el enunciado
del problema en diferentes sistemas de
coordenadas.Además por ser el lenguaje matemático
altamente especializado, está sujeto a una sintaxis
muy rigurosa, la cual depende estrictamente de los nexos
símbolo objeto, lo anterior ilustra por qué es
usual que en la resolución de un problema se pase de
un modelo gráfico a un modelo analítico, para
al fin llegar a la solución del mismo, por ejemplo el
cálculo de volúmenes de
sólidos mediante integrales triples, donde se requiere
de la representación gráfica del sólido
para poder identificar los límites de
integración, este cambio de una semiótica
gráfica a una analítica está supeditado
a los nexos símbolo objeto que posea el estudiante, si
falta un nexo, falla la solución del
problema.Influencia
del carácter histórico del proceso
enseñanza aprendizaje en la formación de
conceptos.Como planteamos antes, el historicismo uno de los
ejes del enfoque histórico cultural, fundamenta la
interrelación de cada muevo conocimiento, con el que
le antecede y con el que le sucede, pues, por cuanto, el
desarrollo orgánico se realiza en un medio cultural se
convierte en un proceso biológico
históricamente condicionado, de donde se aprecia que
el carácter irrepetible de un individuo está
dado por la imposibilidad de crear idénticas
condiciones histórico sociales para su
desarrollo.Dada la importancia de esta premisa en el presente
trabajo, corroboraremos la misma con la opinión de
autores de diferentes tendencias.Al respecto tenemos la siguiente aseveración:
"La persona es producto de una trayectoria de vida, donde la
micro historicidad (irreductible a la historia de los
grupos) ha
condicionado las modalidades de integración y de
estructuración de los significados sociales. Y es en
función de esta micro historicidad que los
ingredientes socio-lingüísticos de origen
común se distribuyen, cada vez de forma diferente en
las personas. (Bronckart J. P. 1997)" aseveración esta
que prácticamente es una continuación del
primer párrafo.En este mismo sentido, en el constructivismo simple se expresa: "El
conocimiento es activamente construido por el sujeto que
aprende y no sólo se recibe del ambiente,
se admite que llegar a conocer es un proceso de
adaptación que organiza el mudo de las experiencias.
(D’ Amore 2000).También Paul Ernest, principal representante
del constructivismo social plantea dos elementos
esenciales:- La construcción activa del conocimiento,
fundamentalmente la construcción de conceptos e
hipótesis, se hace sobre la base de
experiencias y conocimientos previos. - El papel que juega la experiencia y la
interacción con el mundo físico y el mundo
social. (Kraftchenko A. 2000).
(González, F. 2005) considera entre los
factores que afectan la apropiación de los conceptos
la experiencia y conocimientos previos del
estudiante.Los planteamientos anteriores, y otros tantos que
no es necesario enumerar ratifican el carácter
histórico social del sujeto.Precisamente este carácter histórico
social del estudiante, el cual no es posible negar, es el
fundamento, tanto desde el punto de vista
epistemológico como de enseñanza, de las
preconcepciones, las cuales son portadoras de
obstáculos didácticos, de donde se infiere que
obligatoriamente tenemos que tenerlas en cuenta, pues
queramos o no, estarán presentes en el proceso de
asimilación; la idea es entonces aprovechar su efecto
positivo y prevenir su efecto negativo.Por tales razones el error no es sólo efecto
de la ignorancia, la incertidumbre o el azar, puede ser
también el efecto del conocimiento anterior, que
incluso habiendo sido exitoso se presenta como falso o
inadaptado, o sea el error puede estar ligado a una forma de
conocer, una concepción, coherente sino correcta,
antigua y que ha tenido éxito en todo un dominio de acciones;
un conocimiento como obstáculo es fruto de una
interacción del alumno con el medio que hace que el
conocimiento funcione en cierto dominio.Un obstáculo epistemológico que
aparece en el concepto de convergencia de series es el propio
sentido común. El alumno emplea mal el
teorema:
converge
Según el sentido común si el
quiere decir que a
partir de un n e N los
an son prácticamente cero y no
sumarán nada, luego la serie S an debe ser convergente,
conclusión como sabemos incorrecta.Con frecuencia se considera que las preconcepciones
son sólo ideas incompletas sobre un concepto, lo cual
es denominado por muchos autores como pseudos conceptos, lo
que es ciertamente una fuente amplia de las mismas, pero
también son preconcepciones los conceptos que posee el
estudiante de diferentes objetos y fenómenos a
través de los cuales estudiará el nuevo objeto
o fenómeno, que en muchos casos se opone con mayor
fuerza a
la adquisición del nuevo conocimiento y resultan
más difíciles de combatir ya que el concepto
que las origina es correcto y no puede ser eliminado de la
experiencia del estudiante. Un ejemplo de este caso lo
tenemos cuando el estudiante se empeña en aplicar la
ley
distributiva del producto respecto a la suma, a la potencia.
Podemos preguntar: Qué profesor
de Matemática no ha tenido un alumno que haya cometido
el siguiente error: (a + b)n = an +
bn, este error el alumno lo comete porque primero
aprendió que n(a + b) = na + nb, como vemos en este
caso el estudiante posee un conocimiento acabado, que ha
usado con frecuencia, pero que ante la nueva situación
se convierte en un obstáculo epistemológico; de
igual forma lo aprendido en Aritmética interfiere el
aprendizaje del álgebra, pues el niño aprende
que
significa que debe dividir el 12 entre el 6, por lo tanto
cuando en álgebra tiene la operación:
tiende a dividir los
exponentes a causa del viejo reflejo creado en la
ejecución de la operación aritmética; en
muchos casos no basta un contra ejemplo para eliminar estos
obstáculos. Algo por el estilo sucede cuando los
niños comienzan a estudiar la notación decimal,
pues el valor
implícito de los dígitos, los cuales ya son
familiares para ellos, se convierte en un obstáculo
para apreciar el valor de los números en
notación decimal, por lo cual comparan incorrectamente
números como 2.099 y 2.11El estudiante siempre tiene la tendencia natural de
que los nuevos objetos se comporten como los antiguos,
así cuando aprende a derivar, asume que si f es
continua, también lo sea su derivada. Otra
situación análoga se manifiesta cuando el
estudiante trata de aplicar la linealidad de la integral
respecto a la suma del integrando al producto, esto es,
como:
el estudiante siente, según su experiencia
empírica, que
sea también igual a 
.No siempre los obstáculos o preconcepciones
tienen un carácter epistemológico, a veces son
resultados de la forma como se desarrolla el proceso,
específicamente en la formación del nexo
símbolo objeto, lo cual se manifiesta cuando en la
formación de este nexo el símbolo representa
para el estudiante elementos no esenciales del objeto, como
es el caso cuando se incorpora la posición del
triángulo rectángulo en el concepto; o cuando
elementos esenciales del concepto no se incorporan en el
símbolo que representa el concepto, como es el caso en
que el símbolo "parábola" solo representa para
el estudiante la ecuación y no incluye el lugar
geométrico. En ambos casos, estos nexos mal formados
funcionan como obstáculos del proceso enseñanza
aprendizaje y podemos decir que el estudiante se ha formado
un seudo concepto, el cual no se transformó en el
concepto científico.El proceso de formación de los
conceptos:Los postulados sobre los que se fundamenta le
proceso de la formación de los conceptos, según
la escuela Histórico cultural son los
siguientes:- Tránsito del concepto empírico al
teórico - El proceso de internalización.
- La acción mediada.
Estos tres postulados, a nuestro criterio, permiten
argumentar con gran precisión la formación de
los conceptos, la cual se desarrolla a través de la
interacción de estos tres postulados, pero es
necesario abstraer cada uno de ellos para comprender como se
produce la interacción entre los mismos, dando lugar a
la formación de los conceptos.Tránsito del concepto empírico
al teórico:El concepto empírico tiene su símil en
lo que otros autores denominan seudo concepto (Duval,
Brouseau) y concepto imagen (Tall
D.), el concepto empírico es efectivamente una imagen
del concepto científico, un concepto incompleto que
puede ser efectivamente identificado como un seudo concepto;
el concepto empírico es producto de la observación de los aspectos externos de
los objetos que lo conforman sin llegar a profundizar en sus
aspectos esenciales, es un concepto a priori con el cual se
trabaja hasta que el aprendiz se logra apropiar de todos los
rasgos esenciales que conforman el verdadero concepto o
concepto científico.Los conceptos empíricos son el resultado, en
primera instancia, de la propia formación del
lenguaje, pero incluso en los primeros grados el alumno
comienza trabajando con conceptos empíricos, ya que
través del procedimiento
epistemológico empírico, el objeto individual
es asido, aislándolo de sus relaciones espaciales y
temporales para que se lo pueda observar, comparar,
categorizar y recordar, como se puede ver es una primera fase
del aprendizaje. Las imágenes y el lenguaje son los medios
usados para este fin. En esta exposición empírica el objeto
individual funciona como realidad independiente, en esta
primera etapa no se aprecian las complejas interrelaciones
entre los objetos. El concepto empírico es el
resultado de las primeras abstracciones de aspectos o
propiedades que caracterizan los elementos que componen el
concepto (extensión del concepto), estas abstracciones
iniciales pueden no incluir todos los rasgos esenciales de
dichos elementos y pueden incluir también rasgos no
esenciales.Como ya planteamos antes, el concepto
científico en su forma acabada no puede ser puesto en
la mente del estudiante, la apropiación de los
conceptos es un proceso que se inicia o parte de la
observación de algunos de los aspectos del objeto, que
por alguna razón son en primera instancia de mayor
interés para el sujeto, pero como el
trabajo matemático se realiza sobre los
símbolos que representan el objeto, este es un proceso
mediado, el cual culmina con la internalización del
nexo símbolo objeto.La internalización a través de
la acción mediada.El proceso enseñanza aprendizaje funciona
sólo a través de la actividad del estudiante
sobre el objeto de aprendizaje y dado que los objetos
matemáticos son conceptuales, la acción no
puede ser ejercida directamente sobre los objetos, sino sobre
la representación semiótica de los mismos, por
lo cual se habla de la acción mediada y surge la
necesidad de establecer un nexo riguroso símbolo
objeto, esto es entre el objeto y su representación
semiótica; por esta razón, dado que el
estudiante tiene que realizar diferentes acciones con el
símbolo que representa el concepto, antes de llegar a
interiorizar el concepto, el símbolo, en muchos casos,
representa para el sujeto un proceso, esto es determinadas
acciones que él debe realizar, así el
símbolo
es para el estudiante en primera instancia un proceso
que el debe ejecutar y sólo posteriormente, y no
siempre, se convertirá en un objeto, o sea, en el
concepto de integral; lo mismo sucede con el concepto de
límite y con el concepto de derivada. Los estudiantes
que sólo llegan a la apropiación del concepto a
un nivel procedimental, siempre estarán en desventaja
para resolver problemas de aplicación, pues solo ven
en los símbolos que representa los conceptos, procedimientos a realizar y no objetos con
determinadas propiedades que pueden actuar, a su vez, sobre
otros objetos. Lo cual está relacionado con la
actitud de
los docentes,
cuando dicen que están enseñando conceptos, y
realmente no llegan a diferenciar entre tener el objetivo
de enseñar el concepto de algo y enseñar
cómo usar el término que designa ese
algo.Lo analizado en el párrafo anterior
contribuye a comprender el tránsito de los conceptos
del plano ínter psíquico al plano
intrasíquico, ya que la actividad procesal está
ligada a la interacción entre los sujetos, pero la
apropiación del concepto es una acción de
carácter individual. González F (2005) incluye
entre los factores que afectan la adquisición de
conceptos "la aplicación práctica de los
mismos"; la aplicación de este planteamiento al
proceso de internalización indica que en una primera
instancia la aplicación debe ser de tipo
procedimental, trabajo en el plano ínter
psíquico, y posteriormente del uso del concepto como
objeto en la solución de problemas, en la etapa en que
el concepto ha pasado al plano intrasíquico, para
asegurar la consolidación del nexo símbolo
objeto. No quiere decir esto, que sólo el concepto
como objeto es el que pasa al plano intrasíquico, el
proceso también debe ser internalizado.Cuando el concepto es internalizado por el sujeto se
puede decir que posee el concepto lo cual implica el
conocimiento de las aplicaciones posibles y no posibles que
pueden ser ejercidas sobre los objetos pertenecientes a dicho
concepto y las aplicaciones en las que el concepto puede
intervenir como objeto en sí mismo. Por ejemplo, si
una función tiene derivada positiva en un intervalo,
se puede asegurar que es creciente en dicho intervalo.
Además el hecho de que la función sea derivable
permite aplicarla en la modelación de cualquier
problema donde se requiera calcular variaciones
instantáneas.La acción mediada:
El ser humano no tiene la posibilidad de pensar si
no dispone del uso de los signos. El signo es una herramienta
psicológica, una prótesis de
la mente, se puede ver también como el lugar externo
donde la mente del individuo trabaja.Lo signos matemáticos son vistos
fundamentalmente como instrumentos para codificar y describir
el conocimiento matemático, de modo que hacen posible
comunicarlo, operar con el y desarrollarlo en forma de
generalización, en este sentido los signos
matemáticos son también herramientas culturales
(Vigotsky 1987) al ser usadas en la comunicación con otras personas con el
fin de desarrollar el conocimiento matemático. Se debe
tener en cuenta aquí que el nexo símbolo objeto
que se establece entre los objetos matemáticos y su
representación semiótica está a su vez
mediado por relaciones socio culturales, por lo que no son en
modo alguno arbitrarias.El signo desempeña una función
mediadora entre el individuo y su contexto, y permite,
además, ese pasaje entre lo ínter
psicológico y lo intrapsicológico que asegura
la reconstrucción interna de la acción, esto
es, de su internalización.Se puede apreciar que los símbolos son, desde
luego, inevitables e indispensables, para expresar el
conocimiento matemático, sin embargo el tipo y la
forma del signo, no se establece de manera unívoca,
Por ejemplo para expresar las relaciones algebraicas, no se
requiere de signos algebraicos típicos, ya que estos
signos no son en sí mismos el conocimiento algebraico,
aunque en procesos socio históricos de desarrollo del
conocimiento matemático, temporalmente largos, la
forma de los signos matemáticos que emergen de la
mediación entre el signo y el objeto de referencia se
hace más y más convencional, fija y
obligatoria.Al respecto, (Berger, M. 2005) se refiere a que la
sociedad
con las definiciones de las diferentes palabras ya
establecidas (tal como aparecen en libros y
diccionarios) determina el modo en el cual el
vocabulario del niño se tiene que desarrollar.
Análogamente el estudiante tiene que construir los
conceptos de modo que su uso y significado sea compatible con
el uso de la comunidad
matemática; para lograr esto el estudiante necesita
usar el signo matemático en comunicación con
otros, incluyendo en esta comunicación el uso de los
libros de texto lo
cuales materializan el conocimiento establecido. Luego, de
los argumentos anteriores se puede apreciar el
carácter socialmente regulado de la formación
de conceptos, a través de una actividad mediada por
los signos.Desde una perspectiva Vigotskyana, el proceso a
través del cual se construyen los conceptos,
necesariamente incluye el desarrollo de un lenguaje adecuado.
"La internalización de formas culturales de comportamiento envuelven la
reconstrucción de actividades psicológicas
basadas en operaciones con signos". (Vygotsky 1978: 57). Se
puede asegurar entonces que el signo es en si mismo una
especificación particular, pero puede a su vez y es
necesario interpretarlo en términos de lo general.
Este tránsito de lo particular a lo general es
realmente un proceso complejo donde intervienen habilidades
del pensamiento lógico como análisis,
síntesis, abstracción y generalización.
(Blanco, R 2007)El signo en sí mismo tiene un carácter
singular, pero a su vez tiene que representar para el sujeto
todos los componentes de la clase que
conforman el concepto, por ejemplo el concepto de
número "par" se representa por el símbolo: "2n"
pero siendo singular como símbolo, representa cada uno
de los infinitos números pares, por lo que si el
sujeto es capaz de identificar en un objeto los atributos
definitorios correspondientes a una clase ya conocida, no es
necesario un nuevo aprendizaje ya que todo cuanto haya sido
aprendido con respecto a dicha clase es aplicable a cualquier
objeto particular que pertenezca a ella. Pero esto
sólo puede ser efectivo, si en el nexo símbolo
objeto que se ha establecido, están vinculados al
símbolo cada uno de los atributos definitorios y
ningún atributo extraño al objeto.La
apropiación del concepto.En la literatura
especializada prácticamente existe consenso en lo que
respecta a que el concepto no puede ser impuesto en
forma acabada en la mente del estudiante, con lo cual
concordamos, pues la asimilación de los conceptos es
un proceso en el cual el sujeto interioriza:- Los atributos y rasgos comunes y esenciales que
cumplen los miembros de la clase que pertenecen al
concepto. - La definición del concepto, la cual
contiene rasgos comunes y esenciales que cumplen los
miembros de la clase que pertenecen al
concepto. - Las diferentes representaciones simbólicas
del concepto. - El nexo entre las diferentes representaciones
simbólicas, y la extensión y
definición del concepto.
El proceso de interiorización de los puntos
señalados no tiene un carácter lineal, sino que
se pasa de un punto a otro en un proceso de
perfeccionamiento, en el que se transita del seudo concepto
al concepto científico. Por lo cual enfatizamos que el
aprendizaje conceptual es el resultado de acciones
internalizadas, a las cuales se llega mediante la
comunicación a través de los signos, la
formación de conceptos se hace posible porque el
objeto matemático puede ser expresado y comunicado
vía una palabra o signo entre el aprendiz, sus pares y
los expertos.Hay que señalar además la necesidad de
las habilidades del pensamiento lógico en la
formación de conceptos, pues mediante un proceso de
análisis y síntesis es que se puede llegar a
abstraer las propiedades esenciales que caracterizan los
componentes de un concepto (su extensión) y
posteriormente mediante un proceso de generalización,
identificar, en la semiótica utilizada para designar
al concepto, cada objeto que cumpla las propiedades que lo
categorizan como un elemento del concepto.No por evidente deja de ser necesario destacar, que
este proceso de apropiación del concepto sólo
existe, en la actividad del estudiante con los objetos
matemáticos materializados semióticamente, dado
que la apropiación de los conceptos es un proceso de
construcción de conocimiento. Aquí planteamos
que el estudiante construye su conocimiento en la
interacción social, por lo tanto la
internalización que se produce es la del conocimiento
socialmente validado.Conclusiones
Se puede apreciar que uno de los problemas
epistemológicos fundamentales en la enseñanza
de la Matemática es la existencia de los objetos
matemáticos únicamente a nivel conceptual, lo
cual implica la necesidad de la representación
semiótica de los mismos, lo que trae a su vez como
consecuencia la posibilidad de que el estudiante sustituya el
concepto por su representante y trabaje sólo a nivel
simbólico, perdiendo de vista el concepto, lo cual se
puede apreciar en el trabajo con fracciones, donde los
niños pueden incluso efectuar operaciones
aritméticas con fracciones sin tener una idea correcta
de lo que representa por ejemplo 2/5.Pero independientemente de que esta
característica de la Matemática determina una
estrecha relación símbolo – objeto
matemático, la actividad psíquica superior
está mediada por los símbolos, aunque dicha
mediación es efectiva si existe un correcto nexo
símbolo objeto por lo cual se puede afirmar que la
apropiación de los conceptos se produce a
través de:- Tránsito del concepto empírico al
teórico - El proceso de internalización.
- La acción mediada.
y mediante la intervención de las habilidades
del pensamiento lógico, análisis,
síntesis abstracción y
generalización.Bibliografía:
- Akkoç, H. and Tall, D. (2005), ‘A
mismatch between curriculum design and student learning: the
case of the function concept’, Proceedings of the
sixth British Congress of Mathematics Education held at
the University of Warwick, pp. 1-8. www.bsrlm.org.uk. - Berger, M. (2005). Vygotsky’s theory of
concept formation and Mathematics education. In Chick, H.
L. & Vincent, J. L. (Eds.). Proceedings of the 29th
Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education, Vol. 2, pp. 153-160. Melbourne:
PME. - Blanco, R. (1999). La abstracción y el
nexo símbolo objeto. Revista
reforma siglo XXI. Universidad autónoma de Nuevo
León. Monterrey México. No. 20 - Blanco, R. (2007). La
Generalización Teórica como proceso
Fundamental del Pensamiento. Newsletter #
327
http://www.monografias.com/trabajos47/generalizacion-teórica/generalizacion-teórica.shtml - D’Amore, B. (2000) Sobre la
preparación teórica de los maestros de
Matemática. Rev. RELIME Vol. 3, No.1 - González, F. (2005). Algunas cuestiones
básicas acerca de la enseñanza de conceptos
matemáticos. Fundamentos en Humanidades. Universidad
de San Luis. Año VI. No. I (pp. 37-80) - Guillen, G. (2000) Sobre el aprendizaje de
conceptos geométricos relativos a los
sólidos. Ideas erróneas. Rev.
Enseñanza de las Ciencias. Revista de Investigación y Experiencias
Didácticas. Vol. 18, No.1. - Kraftchenko, O.; Hernández, H. (2000)
Constructivismo en tres dimensiones. Vigotsky
¿constructivista? .Rev. Cubana de Educación Superior Vol. XX No.
3. - Malisani, E. A. (1999) Los obstáculos
epistemológicos en el desarrollo del pensamiento
algebraico. Visión histórica. Rev. IRICE
Instituto Rosario de Investigación en Ciencias de
la Educación. Rosario Argentina. No
13. - Radford, L. (2000). Signs and meanings in
students’ emergent algebraic thinking: A semiotic
analysis, Educational Studies in Mathematics 42:
237-268. - Radford, L. (2001). On the relevance of semiotics
in mathematics education. Paper presented to the Discussion
Group on Semiotics and Mathematics Education at the 25th
PME International Conference, The Netherlands, University
of Utrecht, July 12-17. - Radford, L. (2003). Gestures, Speech, and the
Sprouting of Signs: A Semiotic-Cultural Approach to
Students’ Types of Generalization. MATHEMATICAL
THINKING AND LEARNING, 5(1), 37–70, Lawrence
Erlbaum Associates, Inc.Perspective on Mathematical Interaction.
University of Dortmund, GERMANY - Steinbring, H. (2002) What Makes a Sign a
Mathematical Sign? An Epistemological - Vigotsky, L. S. (1987). Thinking and speech. The
collected works of L.S. Vygotsky. Vol.1. Problems of
General Psychology. R. W. Riebe and A. S. Carton. New York,
Plenum Press: 37-285. - Wertsch, J.V. & Stone, C.A. (1985). The
concept of internalisation in Vygotsky's account of the
genesis of higher mental functions. In Wertsch, J.V. (Ed.)
Culture, Communication and Cognition (pp. 162-179).
New York: Cambridge University Press.
Autor:
Dr. Ramón Blanco
SánchezProf. Titular Dpto. de Matemática
Universidad de Camagüey. Cuba
- Carácter activo del proceso
- La formación de los nexos símbolo
objeto tienen un carácter histórico.
quiere decir que a
tiende a dividir los
sea también igual a 
.
es para el estudiante en primera instancia un proceso Página anterior | Volver al principio del trabajo | Página siguiente  |