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Geometría axiomática y no euclidea

Enviado por jualpa




1. Introducción
2. Los cinco postulados de euclides
3. Geometría no euclideanas
4. Compatibilidad
5. Bibliografía

1. Introducción

Trabajo presentado como una contribución para mejorar la calidad de la Enseñanza de la Matemática, problema fundamental en la Educación Venezolana. La Geometría se toma como ejemplo para muchas ramas de la Matemática, que este trabajo indique el camino a seguir, en la preparación de las futuras generaciones de estudiantes que quieran profundizar en el estudio de la Geometría. Se contempla un resumen de los postulados de Euclides, proposiciones equivalentes al V postulado de Euclides, así como los aspectos mas importantes de los creadores universales antes y después de Euclides.

Finalmente se presenta la bibliografía para aquellos estudiantes que quieran enriquecer con mas conocimientos con los tópicos que han significado el avance de la matemática cuando se creía que el hombre nunca superaría culturas de otras civilizaciones.

2. Los cinco postulados de euclides

Se puede trazar una línea recta que pase por dos puntos.
Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita.
Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado.
Todos los ángulos rectos son iguales.
Si una línea recta que corta a otras dos rectas forma de un mismo lado con ellas ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos últimas rectas prolongada indefinidamente se cortan del lado en que la suma de los ángulos es menor que dos rectos. 

Cinco Proposiciones Equivalentes Al Quinto Postulado De Euclides

Autor

Postulado

Legendre

Existe un Triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos rectos.

Laplace

Saccheri

Existen dos Triángulos no congruentes, con los ángulos de uno respectivamente iguales a los ángulos de otro.

Gauss

Si k un entero cualquiera, existe siempre un Triángulo cuya área es mayor que k.

Bolyai

Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia.

Proclo

Dos rectas paralelas entre si están a distancia finita.

3. Geometría no euclideanas

(Aspectos Generales)

Representante: GAUSS, K. F. (1777 – 1855)

Nació en Alemania, Gotinga. Formuló una Geometría que llamó NO EUCLIDEANA. Se dio cuenta de la naturaleza intrínseca de las dificultades de demostrar el quinto postulado. La hipótesis que formuló es que "La suma de los ángulos (de un Triángulo) es menor que 180° conduce a una Geometría muy curiosa". Esta Geometría es completamente consistente. En su época consideró en una carta a un amigo (Taurinus, F. A.) que los teoremas eran paradójicos y, para los no iniciados, absurdo, aunque con un poco de reflexión no tienen nada de imposible.

Representante: BOLYAI, W.

Nació en Hungría, compañero de Gauss en la Universidad de Gotinga. Realizó una demostración del quinto postulado de Euclides que luego, Gauss invalidara al darse cuenta de un error en dicha demostración. Publicó dos volúmenes de un tratado de Geometría en 1832 – 1833, pero su mayor contribución fue su hijo JOHANN BOLYAI.

Representante: Johann Bolyai

Hijo del Geómetra Húngaro Wolfgang Bolyai, estudió las consecuencias que se derivan de negar el Postulado quinto, suponiendo que no existe ninguna Paralela. Utilizó la formulación de PLAYFAIR del quinto Postulado, es decir, que existen mas de una. Usó la Hipótesis del Ángulo Agudo de SACCHERI, aunque diferían en sus planteamientos, ya que, BOLYAI sabía que estaba desarrollando una nueva Geometría. Este joven Matemático escribió un Apéndice de 26 páginas al tratado de su padre, donde plasmaba las investigaciones de 10 años. Destaco que GAUSS al recibir este Apéndice abandonó sus investigaciones de escribir sus propios resultados producto de 30 años, cuestión que decepcionó al joven, sin embargo, en una carta escrita por GAUSS a su amigo G. I. GERLING, dice: "Considero al joven Geómetra BOLYAI un genio de primera fila", porque todos estos resultados coinciden con los que obtuve hace mucho tiempo.

Representante: N. I. Lobachevsky

Nació el 20 de Noviembre (1de Diciembre según el estilo nuevo) de 1792 en Rusia. Profesor en la Universidad de Kasán. Publicó sus resultados en el año de 1829 y junto a BOLYAI y GAUSS se encuentra la creación de la llamada GEOMETRÍA HIPERBÓLICA nombre dado por FELIX KLEIN.

Destaco que los representantes anteriores están presentes en una primera etapa en el desarrollo de la Geometría no Euclideana, exponiendo los aspectos mas importantes de cuatro grandes Geómetras de la humanidad como lo son: Los BOLYAI, GAUSS y LOBACHEVSKI, sin embargo en los siguientes representantes reflejo lo mas resaltante de las obras de tres Matemáticos que considero fundamentales en el desarrollo universal de la Geometría, uno de la época de BOLYAI, GAUSS y LOBACHEVSKI y los otros dos de la segunda parte en el desarrollo de la Geometría no Euclideana.

Representante: G. Saccheri

Nación en Italia, profesor de Matemáticas en la Universidad de Pavia. Fue quien dio un resultado mas elaborado en la demostración del Quinto Postulado y que ha tenido mayor alcance en sus consecuencias.

Su gran obra, un tratado de Geometría Euclideana que publicó en 1733, de la cual no hay indicio de que BOLYAI, GAUSS ni LOBACHEVSKI la hallan leído, ya que, tenía la formulación de tres Hipótesis dos de las cuales demostró y una que escudriñó para encontrar una contradicción que nunca llegó. Estas Hipótesis las señalas en su "demostración" del Quinto Postulado.

"Los Ángulos del Vértice son Ángulos Rectos", la cual es una consecuencia del Quinto Postulado.
"Son Ángulos Obtusos": que resultó ser contradictoria.
"Son Ángulos Agudos" nunca llegó a demostrarla a pesar de haber obtenido mucho resultados extraños.

Aunque no está muy claro una conclusión que se encuentra en su obra, ya que, su intento es claro y lógico por demostrar el Postulado V en encontrar una contradicción en la hipótesis de la Ángulo Agudo. Mas que todo su conclusión era en contra de la propia naturaleza de la Línea Recta, desarrollando, así lo que llama el autor en el capítulo "un nuevo mundo". Investigaciones que realizó sin darse cuenta. En otro orden de idease desempeñaba como Sacerdote Jesuita, pues en tiempo no se podía decir las cosas a la ligera, si los resultados eran contradictorios con los que tenían el poder, esto se pagaba con la vida.

Representante: Felix Klein (1849 – 1925)

Nació en Alemania, dio el nombre a las geometrías no euclideanas como se conocen en la actualidad. La geometría original de Saccheri, Gauss, Bolyai Y Lobachevski las llamó geometría hiperbólica; la geometría sin paralelas (hipótesis del ángulo obtuso) se llamó geometría elíptica. A la geometría euclidea, la llamó parabólica.

Representante: A. Cayley (1821 - 1895)

Nació en Inglaterra. Usó las mismas terminologías conjuntamente con KLEIN, en el tratamiento Proyectista en la Geometría no Euclideana motivado por el hecho de que el número de puntos del Infinito en una Recta es dos, uno o ninguno, es decir; sea la Hipótesis 1. ), 2. ) o 3. ) respectivamente.

4. Compatibilidad

Finalmente llamo la atención, el hecho de que EUCLIDES fue liberado de haber cometido errores en la creación de la Geometría que aún hoy la utilizamos como punto de referencia en la interpretación de manera aproximada de nuestra realidad, ¡Claro!, siempre y cuando se utilice con fines pedagógicos en la Enseñanza en la Educación de nuestros Alumnos.

En realidad hoy día contamos con trabajos realizados por eminentes Físicos como el alemán ALBERT EINSTEIN, con su trabajo de la Relatividad Especial presenta un tratado sobre los Invariantes del Grupo de LORENTZ por lo que se le puede catalogar una Geometría al estilo de FELIX KLEIN. El espacio donde se desarrolla esta Geometría es el Espacio – Tiempo de Cuatro Dimensiones, introducido por el científico alemán HERMANN MINKOWSKI en una conferencia que se efectuó el 21/07/1908 ante la asamblea de Naturalistas y Médicos alemanes en Colonia.

El Físico STEPHEN HAWKING del Reino Unido, con su teoría consiguió una síntesis genial de la Relatividad General de EINSTEIN y la Mecánica Cuántica que eran teorías irreconciliables. Dijo HAWKING: "La Mecánica Cuántica admite que una partícula escape de un Agujero Negro, algo que no admitía en cambio la Teoría General de la Relatividad de EINSTEIN". Como vemos explicaron "el origen de universo" al proponer las mismas Geometrías, que nos acercan mucho a que comprendamos la "propia realidad".

Sin embargo, a pesar de la s variedades y formas es posible demostrar que existe compatibilidad entre las diferentes Geometrías, así lo hace saber el Geómetra Italiano EUGENIO BELTRAMI en un artículo, donde señala: "que la Geometrías no Euclideanas. como Geometría sobre ciertas clases de superficies en el Espacio Euclideo Tridimensional. Por tanto, las propiedades paradójicas de la nueva Geometría se dan de hecho en esas superficies y, así una incompatibilidad en la nueva Geometría representa también una incompatibilidad en la Geometría Euclideana".

Platón, Kant, Mach Y Einstein

La Matemática considerada desde dos puntos de vista. Uno de ellos, que arranca de PLATÓN, estima que los resultados Matemáticos representan verdades eternas. El Filósofo alemán KANT usó de la doctrina de PLATÓN a modo de vara para fustigar a los materialistas contemporáneos suyos. KANT creyó que las verdades de la Geometría eran eternas y enteramente independientes de nuestros órganos sensitivos. Pero KANT escribía con anterioridad a que los Biólogos descubriesen que uno de los órganos sensitivos, que forma parte del conjunto llamado oído interno, es sensible a la atracción de la gravedad. Posteriormente a este descubrimiento, cuya significación reconoció plenamente, y primero que nadie, el físico alemán MACH, la Geometría del tiempo de KANT se derrumbó por obra de EINSTEIN. No reside ya en el firmamento, donde la relegó PLATÓN. Sabemos que los enunciados Geométricos son solamente verdades aproximadas cuando se aplican a la realidad de nuestro mundo. La Teoría de la Relatividad de EINSTEIN ha sido verdaderamente transformadora para los Matemáticos, y ahora de moda decir que los Matemáticas son sólo un pasatiempo. Por supuesto que esta afirmación, no afecta en nada a los Matemáticas, y únicamente nos informa de las limitaciones culturales de algunos Matemáticos...

Este fragmento fue tomado del Libro de L. HOGBEN titulado "La Matemática en la Vida del Hombre" y nos ayuda un poco a comprender la evolución de la Geometría entre el pasado y el futuro (Páginas 32 y 33), de igual forma señalo la importancia de la axiomática de la Geometría que sirve como ejemplo para las hoy consagradas ramas de la Matemática, como son EL ÁLGEBRA y ANÁLISIS, debido a los grades progresos después de EUCLIDES, en manos de BERTRAMI, SACCHERI, BOLYAI, GAUSS, LOBACHEVSKI, KLEIN, CAYLEY y otros que se me escapan de la memoria.

5. Bibliografía

Finalmente para profundizar en el tema remito a los siguientes libros:
Blumenthal, L. M. "Geometría Axiomática".
Hogben, L. "La Matemática en la Vida del Hombre".
Smogorzhevski, A. S. "Acerca de la Geometría de Lobachevski".
Smogorzhevski, A. S. "La Regla en Construcciones Geométricas".
Boltianski, V. G. "Figuras Equivalentes y Equicompuestas".
Kostovski, A. N. "Construcciones Geométricas Mediante un Compás".
Revistas: "N° 100 Muy Interesante y N° 134 Conocer".
H. Vázquez B. "Cinemática de la Relatividad Especial, Manual UTEHA N° 318. México 1895".
Stephen Hawking y su Historia del tiempo. El ser Humano, su Teoría y su Crítica. Comentarios del autor. Revista On / Off. Globus Comunicacion, S. A. 1993. Madrid. España.

  

 

 

Autor:


Julio Alberto Pacheco Gerdel


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