Enfoque sistémico del cálculo integral para la enseñanza
en carreras de ingeniería
1.
Introducción
2.
Desarrollo
3. Aplicación del invariante a la
variante de las integrales de línea y de
superficie.
4. Consideraciones dialécticas
sobre la aplicación del enfoque estructural – funcional de
la Teoría de integración.
5. Conclusiones
6.
Bibliografía
Se aplica la concepción sistémico
dialéctica a la teoría
de integración completando el enfoque
estructural – funcional de dicha Teoría,
comenzado por la Dra. H. Hernández Fernández con el
tratamiento del concepto de
integral, el cual deviene en una de las componentes del sistema por
nosotros propuesto para el desarrollo de
toda la teoría del Cálculo
Integral, siendo las restantes componentes la Fórmula de
Newton
Leibnitz y el Teorema del Cambio de
Variable, los que deben ser presentados por el docente en el caso
unidimensional, siendo inducido y generalizado con posterioridad
por los estudiantes en actividades grupales con la ayuda del
profesor en rol de facilitador. Por último, y para rebasar
las posiciones filosóficas del positivismo
lógico, se busca la contradicción dialéctica
de dicha teoría (fuente motriz del desarrollo de
la misma) que es la que se establece entre los conceptos de
derivación y de integración indefinida, aplicándola
a la estructuración del contenido y a la
formalización de éste y del enfoque estructural
– funcional anteriormente referido; y por último se
aplica dicha contradicción para desentrañar la
esencia del objeto de estudio (Teoría de
Integración), o lo que es lo mismo, la célula
de éste, que no es más que la integral definida. Se
muestra
también como la aplicación simultánea y
dialéctica de los tres enfoques referidos (estructural
– funcional, contradicción dialéctica y
genético), logra un efecto superior a la aplicación
aislada de cada uno de ellos.
Abstract:
The systematical view of the theory of integration as
well as its components: The concept of integral, the Newton –
Leibnitz theorem, and the theorem of the variable change in the
integral, are shown in the present work. This system is presented
by the teacher while studying the definite integral and is also
generalized by the students together with their teacher when
analyzing the multiple integrals and the linear and surface
integrals. The dialectical contradiction in the theory of
integration (between the process of derivation and indefinite
integral) is shown in this work. Finally the cellule of this
theory (definite integral), wischt is the essence of the theory,
is found.
El enfoque estructural – funcional fue introducido por
primera vez en el ámbito pedagógico por Z. A.
Reshetova (ver [8]). En el mismo se describe al objeto de estudio
en su totalidad y de forma parcialmente acabada como un sistema,
destacándose su composición y estructura
(sus componentes y la interrelación tanto estática
como dinámica que entre ellas se establece). Las
características estructurales funcionales
en cada nivel de sistematicidad se denominan INVARIANTES DEL
SISTEMA. En este tipo de enfoque por lo general el profesor
presenta a los estudiantes el invariante del sistema en
conferencias, y el resto del tiempo
transcurre, no sólo mediante el desarrollo de la necesaria
sistematización de los conocimientos y habilidades
tratados, sino
también mediante la aplicación de dicho invariante
por parte de los estudiantes con la mínima ayuda
indispensable del profesor, en la derivación de la
teoría que de éste se desprende, así como en
el desarrollo de las aplicaciones y en la resolución de
problemas
productivos y creativos apoyados en los mismos.
Los enfoques sistémicos constituyen una necesidad
de la ciencia y
la pedagogía actual, pues permiten integrar en
una concepción compacta y monolítica, diferentes
teorías, bajo un mismo núcleo
teórico, con lo cual puede ser resuelto el problema que
entraña el crecimiento exponencial de las teorías
científicas. Por otra parte, el presentar el
conocimiento con una estructura
concreta contribuye al logro de una mayor solidez de los
conocimientos a asimilar (ver [4]), además, como se
localiza y restringe la esencial información que el docente debe transmitir
al estudiantado, se abren espacios al desarrollo de la creatividad y
el pensamiento de
éste, fundamentalmente cuando tienen que realizar la
derivación de la teoría y sus aplicaciones y se les
pone ante la tarea de resolver problemas
productivos y creativos.
La Dra. H. Hernández desarrolló el enfoque
estructural – funcional del concepto de
integral para el tratamiento de la integral definida,
múltiple, de línea y de superficie (ver [4]), en el
que este concepto se presenta como un sistema cuyas componentes
son: 1.- Partición del dominio de
integración; 2.- Selección
de un punto arbitrario en cada elemento de la partición;
3.- Formación de las sumas integrales;
4.- Paso al límite cuando la norma de la partición
tiende a cero. En los trabajos referidos de esta autora se revela
como aplicar dicho invariante a las distintas variantes (integral
definida, doble, triple, de línea y de
superficie).
En el presente trabajo extenderemos el enfoque
estructural funcional, no sólo al concepto de integral,
sino a toda la teoría del Cálculo Integral (en una
y varias variables),
siendo el referido concepto de integral, una componente del
sistema por nosotros propuesto (un subsistema).
Emplearemos la concepción sistémico
dialéctica de la estructuración del contenido, que
de forma general puede ser vista en [5], lo cual nos conduce no
sólo a la aplicación del enfoque estructural
funcional, sino también a la determinación de la
célula y
de la contradicción dialéctica del objeto de
estudio.
Por último, queremos criticar una nociva
tendencia del empleo del
enfoque estructural funcional, en el cual se da por parte del
docente el invariante del sistema en su forma generalizada,
transcurriendo el resto del proceso de
modo deductivo a través de la aplicación de dicho
invariante al tratamiento de las restantes variantes, las cuales
serían casos particulares del general, modelo
presentado a título de invariante. Aquí se
está absolutizando la deducción en detrimento de la
inducción, por lo cual se está
deformando el natural proceso de
enseñanza – aprendizaje en el
que ambos procedimientos
contrarios dialécticos (inducción – deducción) juegan un
papel
esencial, no sólo en el desarrollo de la teoría,
sino también en el desarrollo del pensamiento de
los estudiantes; y ello originaría la insuficiente
formación del método
inductivo en el alumnado en el caso del empleo
sistemático de este tipo de enfoques. Por otra parte, el
enfoque estructural – funcional de la citada tendencia, lleva al
docente a adoptar una postura en su ciencia,
bastante cercana a la del positivismo,
lo cual puede atentar contra la formación de la adecuada
concepción científica del mundo por parte del
estudiante, que constituye uno de los fundamentales objetivos
educativos a los que debe contribuir cualquier ciencia.
Enfoque estructural- funcional de la Teoría de
Integración.
En nuestra propuesta de enfoque estructural funcional
del tratamiento del Cálculo Integral, éste
será tratado en primera instancia en el desarrollo de la
teoría de la Integral Definida, y con posterioridad se
irá generalizando dicho enfoque de invariante por el
propio estudiantado y se aplicará al desarrollo de las
restantes variantes (integral
doble. triple, de línea, y de superficie). A
continuación describiremos nuestro invariante y la
lógica
de su aplicación a las distintas variantes
descritas.
Componentes relativas al enfoque estructural-funcional
de la teoria de integracion:
1.- Definición de integral.
2.- Teorema de Newton – Leibnitz.
3.- Teorema sobre el cambio de
variable en la integral.
Después de tratada la teoría de la
integral definida, se va generalizando y aplicando el anterior
sistema aquí obtenido, a las restantes
variantes.
Este proceso no lo mostraremos en la primera componente
del sistema (definición de integral), pues las ideas que
permiten dicho proceso de generalización descansan en el
enfoque estructural – funcional del concepto general de integral
desarrollado por la Dra. H. Hernández (ver [4]), al que ya
hicimos referencia en la introducción, presentando sus respectivas
componentes.
Aplicación del invariante a la variante de las
Integrales
Múltiples.
Se debe llevar a los estudiantes a generalizar el
TEOREMA DE NEWTON-LEIBNITZ que en esencia refiere
que:
Siendo F(x) una primitiva de f(x) (la derivada de F(x)
es f(x) )
Para ello se referirá que al pasar a la
teoría bidimensional se produce un cambio cuantitativo que
origina un cambio cualitativo, se produce una negación
dialéctica, se vuelve sobre el mismo punto, pero sobre un
nivel cualitativamente superior. Se aprovechará entonces
la analogía con la derivación, en la cual la
expresión 
se determina calculando la derivada parcial respecto a y
considerando a x constante, y derivando con posterioridad
respecto a x la expresión así obtenida. Lo anterior
conduce de forma natural al concepto de integral iterada de
segundo orden (se integra primero respecto a una variable
considerando la otra constante y después respecto a la
restante), quedando sólo por precisar los límites de
integración en que se debe evaluar dicha integral iterada.
Tomando una región de integración regular respecto
a y:
y teniendo en cuenta que los puntos a y b en que se
evalúa la primitiva en el Teorema de Newton – Leibnitz,
son los extremos de la región de integración o lo
que es lo mismo, estos puntos constituyen la frontera de dicha
región, resultaría natural evaluar la integral
iterada en la frontera de la región de integración.
Basado en la heurística anterior, que debe ser
desarrollada a través del trabajo grupal estudiantil, en
la que el docente jugaría el rol de facilitador, se
obtiene el Metodo de calculo de la integral doble para regiones
regulares respecto a la variable y:
De forma análoga se obtiene la expresión
equivalente para regiones regulares con respecto a x. El
cálculo de integrales sobre regiones que no sean regulares
respecto a ninguna de las variables se
lleva a cabo tomando una partición de dicho región
en subregiones regulares respecto a x o respecto a y,
aplicándose con posterioridad la propiedad de
aditividad de la integral con respecto a la región de
integración. Los métodos de
cálculo de la integral triple son análogos a los
descritos para la integral doble.
El teorema del cambio de variable (tercera componente
del enfoque estructural funcional de la teoría de
integración) debe ser generalizado aquí
también, de la integral definida a la integración
múltiple. El señalado teorema en el caso de la
integral
definida en esencia refiere que:
Si pretendemos en la integral doble introducir el cambio
de variable 
e
inducir en este caso su expresión, debemos hallar la forma
del elemento matemático que generalice a 
, siendo natural en este
caso considerar como tal al módulo del siguiente jacobiano
(determinante de la matriz
jacobiana):
(Este tipo de generalización fue vista ya por el
estudiante cuando se estudió el proceso de
extensión de la derivada de una función
definida de forma implícita por una ecuación, a la
derivada parcial de una función definida de forma
implícita por un sistema de ecuaciones, en
la cual, las derivadas
ordinarias son sustituidas por los respectivos jacobianos). En
consecuencia, el teorema sobre la transformacion de coordenadas
en la integral doble, en esencia nos aportaría la
siguiente expresión:
con la cual, con posterioridad el estudiantado
podrá deducir la expresión de la integral al
realizar cambio de coordenadas a polares, las que deben ser
introducidas apoyados en preceptos geométricos. El
tratamiento del cambio de variables en la integral triple es
análogo al de la integral doble, y aquí, de forma
similar, los alumnos podrán inferir, con la ayuda
mínima indispensable del profesor, la expresión de
la integral triple al realizar los respectivos cambios de
coordenadas a cilíndricas y esféricas,
también introducidas por vías
geométricas.
3. Aplicación del
invariante a la variante de las integrales de línea y de
superficie.
Tradicionalmente la teoría de las integrales de
línea y de superficie es tratada en los cursos de
matemática
para ingenieros en un mismo tema, lo cual está avalado por
el hecho de que en esencia la diferencia entre ambos tipos de
integrales es sólo cuantitativa, sin embargo, por lo
general dentro del desarrollo del tema, la referida teoría
es tratada sin explotar su identidad,
como si fuesen objetos totalmente diferentes que responden a
lógicas distintas. Por otra parte, el concepto de integral
de línea (de integral de superficie) es único,
aunque la misma pueda presentar varias formas de
expresión, como consecuencia de la dialéctica que
se da entre lo escalar y lo vectorial, pero en la literatura tradicional y en
los cursos de matemática
se presentan las distintas formas de la integral de línea
(de superficie) como si fuesen tipos diferentes de integrales; y
así se estudian por separado, como objetos diferentes, la
integral de línea (de superficie) de primera y de segunda
especie, empleando además en la misma, formas notacionales
diferentes para la integral de línea y para la integral de
superficie. No se muestra por otro
lado, como pasar de las integrales de primera especie a las de
segunda (su interrelación). Así por ejemplo, en las
integrales de superficie de II especie en forma vectorial, se
emplea por lo general la notación 
y no tanto su equivalente 
; pero queda
implícito, aunque no se especifica explícitamente,
que el paso a la integral de superficie de I especie 
se lleva a cabo a
través de la sustitución 
. Contrariamente, en la integral de
línea de II especie se usa sólo la notación
y no su
equivalente 
,
donde 
es el
vector unitario en la dirección de 
, por lo cual no queda implícito,
ni tampoco se muestra por lo general en la literatura comúnmente
empleada, ni en el desarrollo de las clases, el como realizar la
transformación de la integral de segunda especie a la de
primera especie, lo que evidentemente se lleva a cabo mediante la
sustitución 
.
Sin tener clara la descrita analogía entre la
integral de línea y de superficie, es imposible poder aplicar
el enfoque de invariante que tratamos en el presente trabajo, ni
tampoco lograr la adecuada sistematización de la
teoría de las integrales de línea y de
superficies.
El cálculo de integrales de línea y de
superficies se realiza a través de la interrelación
de las segunda y tercera componente del enfoque estructural –
funcional propuesto de la teoría de integración,
puesto que en primera instancia se realiza el correspondiente
cambio de variable en la integral, con el propósito de
transformar la curva o superficie alabeada que constituye la
región inicial de integración, en un segmento de
recta en uno de los ejes coordenados o en una superficie plana de
uno de los planos coordenados, y con ello, transformar la inicial
integral de línea o de superficie en una integral definida
o en una doble respectivamente. Una vez realizado la referida
transformación, se aplica la segunda componente del
sistema, esto es, el teorema de Newton – Leibnitz o su
correspondiente generalización a las integrales dobles,
para realizar el cálculo de la integral obtenida
después de realizado el cambio de variable.
Cuando abordamos el cálculo de integrales
múltiples (dobles y triples) lo realizamos a través
de un proceso que reducía tal tipo de integral a su
valor
(mediante la evaluación
de la integral iterada en la frontera de la región de
integración), pero usualmente en la matemática se
emplean métodos
recursivos, que en la integración pudiera traducirse a
reducir la integral n – dimensional a una integral (n-1) –
dimensional. Ello conllevaría a una nueva
generalización del Teorema de Newton – Leibnitz, que en el
caso de la integral definida reduce la integral unidimensional a
una integral cero – dimensional (lo mismo que la derivada cero –
dimensional de la función f es la propia función,
la integral cero – dimensional de la función f es la
propia f), pues 
.
Para llevar a cabo dicha generalización
proponemos realizar los siguientes desarrollos como ejercicio en
el contenido propio de las integrales de líneas y de
superficies:
donde 
y
C es la frontera de R. Y también:
donde S es la frontera de A, siendo A la
región:
donde
es la
proyección de A sobre el plano XY. Apoyándonos en
los resultados anteriores los estudiantes pueden generalizar el
Teorema de Newton – Leibnitz enunciándolo como sigue: " La
integral de << la derivada de una función >>
sobre una región n – dimensional es igual a la integral
(n-1) – dimensional de la función sobre la frontera de la
región inicial ". Sólo debe tenerse en cuenta que
el término de <<la derivada de una
función>> hay que entenderlo en un sentido amplio,
en la integral definida es la derivada ordinaria, en los dos
ejemplos vistos constituían derivadas
parciales con respecto a una variable, pero esta
generalización será aplicada a la inferencia de los
Teoremas de Stokes y de Gauss – Ostrogradski, y como veremos,
aquí dicha expresión tendrá otro
significado.
Ahora los estudiantes pueden aplicar la anterior
generalización del Teorema de Newton – Leibnitz al
cálculo de una integral triple ( de cierta
<<derivada de una función dada>> ) sobre una
región R, a través de la lógica
que a continuación se da. Dicha integral será
reducida al cálculo de una integral de superficie sobre la
frontera S de la región de integración de la
integral triple, esto es, a una integral del tipo: 
, o lo que es lo mismo:
. Por tal
razón, la referida derivada debe ser la correspondiente al
campo vectorial 
,
y debe dar como resultado un campo escalar, pues ella es la
función de integración de la integral triple. Por
tal razón es natural considerar que la buscada
<<derivada>> que cumpla con las condiciones
precisadas sea la divergencia del campo vectorial 
, obteniéndose
así el teorema de gauss-ostrogradski: que en esencia
refiere que:
Los estudiantes podrán también aplicar la
generalización señalada del Teorema de Newton –
Leibnitz al cálculo de una integral de superficie ( de
cierta <<derivada de una función dada>> sobre
una superficie alabeada S, siendo ésta reducida al
cálculo de una integral de línea sobre el contorno
C de la superficie S, esto es, una integral del
tipo:
. Por
tal razón, la referida derivada debe ser la
correspondiente a la del campo vectorial 
, y debe dar como resultado un campo
vectorial, pues ella es la función de integración
de la integral de superficie. Es natural considerar que la
buscada <<derivada>> que cumpla con las condiciones
precisadas sea el rotacional del campo vectorial 
, obteniéndose
así el teorema de stokes: que en esencia refiere
que:
En nuestro sistema proponemos tratar el Teorema de Green
como un corolario del Teorema de Stokes, el cual puede ser
deducido por los estudiantes, en el caso de que la superficie S
sea plana y perteneciente al plano coordenado XY, la tercera
componente del campo vectorial sea cero y las dos primeras
componentes de éste sólo dependan de la variable x
y de la variable y.
4. Consideraciones dialécticas sobre la
aplicación del enfoque estructural – funcional de la
Teoría de integración.
Nuestro invariante propuesto presenta un enlace
estructural – funcional, una vez obtenido el mismo y mostrado en
la integral definida, el proceso transcurre a través de la
aplicación de este tipo de enlace a las restantes
variantes del sistema (integrales múltiples e integrales
de linea y de superficie). Pero es necesario formalizar dicho
invariante, ello sólo podrá ser hecho a
través de un enlace de desarrollo, y por tanto, a
través de una célula
(ver [4], [7] y [9]) o de una contradicción
dialéctica (ver ([3] y [6]). Al aplicar el último
enfoque señalado, se debe revelar cual es la
contradicción dialéctica del objeto del
Cálculo Integral, que será precisamente la que se
establece entre la integración (integral indefinida) y la
derivación (derivada ordinaria), la lógica entre
estos procesos
matemáticos contrarios es la que desencadena el desarrollo
de toda la señalada teoría, ya que en todos los
teoremas de la teoría de integración está
presente la interacción de ambos conceptos, ellos son la
fuente motriz del desarrollo de dicha teoría, y puede
demostrarse también en que sentido ellos se excluyen y se
presuponen, todo lo cual son las condiciones que debe cumplir la
contradicción dialéctica.
Sin embargo, queremos destacar que la lógica
dialéctica que dimana del enfoque descrito, en muchas
ocasiones no queda del todo revelada en el desarrollo del proceso
docente – educativo del contenido relativo al Cálculo
Integral, lo cual atenta contra el cumplimiento de uno de los
principales objetivos
educativos, que es el referente a la formación de la
concepción científica del mundo, que es la que
aporta la filosofía materialista dialéctica.
Además, introducir la dialéctica en la
estructuración del proceso docente – educativo a
través del desarrollo de la contradicción, permite,
por un lado, realizar todo el análisis causal en mi objeto de estudio, y
por el otro, rebasar el enfoque positivista que por lo general
entraña la aplicación esquemática de
enfoques estructurales funcionales en el ámbito de la
pedagogía, puesto que apoyados en la
contradicción dialéctica de mi objeto de estudio
puedo profundizar en el mismo en toda su dinámica y movimiento
complejo.
Finalmente, la célula
de la Teoría de Integración lo constituye la
integral definida, ella me da la esencia de toda la teoría
de integración, pues en última instancia el
cálculo de cualquier tipo de integral (doble, triple, de
línea y de superficie) se reduce al cálculo de una
o varias integrales definidas, por lo que podemos imaginarnos la
teoría de integración como un tejido formado por
integrales definidas (sus células).
Por otra parte, la integral definida posee todas las componentes
del sistema discutidas más arriba (definición,
Teorema de Newton Leibnitz, Cambio de variable), condición
la cual debe cumplir la célula.
Este enfoque genético es de gran importancia pues
revela la esencia de la teoría de
integración.
1.- El enfoque estructural- funcional propuesto para el
desarrollo de la teoría de integración, permite una
mayor sistematicidad del proceso, contribuyendo con ello a una
mayor formación de las habilidades declaradas en los
programas; por
otra parte, al localizar los aspectos esenciales que el docente
debe darle al estudiantado, conjugado con el hecho de que
éstos apliquen los mismos en el proceso de
derivación de la teoría y la conformación de
las aplicaciones, abre espacios a la formación de la
creatividad en
los mismos.
2.- El enfoque propuesto, al presentar la estructura del
conocimiento a
asimilar, contribuye a la formación de una mayor solidez
de los conocimientos y habilidades a formar.(ver al respecto
[5]).
3.- La interrelación del enfoque estructural –
funcional con la concepción dialéctica y genética
del tratamiento de la misma, permite un desarrollo más
armónico, integral y dialéctico del contenido,
así como rebasar las posiciones del positivismo
lógico en el ámbito de la matemática, y por
tanto, bien estructurado, puede contribuir a una mayor
formación de la concepción científica del
mundo por parte de los estudiantes.
4.- El enfoque sistémico dialéctico
propuesto establece una interrelación adecuada entre los
procesos
inductivos y deductivos, presentándose el invariante en el
caso unidimensional, extendiéndose dicho modelo a las
restantes variantes, por vía inductiva en una primera
instancia en cuanto a su generalización, y con
posterioridad por vía deductiva en cuanto a su
aplicación a las variantes concretas.
Alvarez, C. M. Fundamentos teóricos de la
dirección del proceso docente en la
Escuela
Superior Cubana. Ciudad de La Habana, Ministerio de Educación Superior,
1984.
Alvarez, C. M. La escuela en la
vida. Sucre – Bolivia,
Imprenta Universitaria, 1994.
Alvarez, C. M., M. Matute, R. García. La
contradicción dialéctica como invariante en la
estructuración del proceso docente – educativo. Santiago
de Cuba, Revista de la
Cátedra F. Gran, 1997.
Hernández, H. Perfeccionamiento de la enseñanza de
la Matemática en la Educación
Superior. Experiencia en el Algebra Lineal
(Tesis de
doctorado en Ciencias
Pedagógicas). Ciudad de La Habana, 1989.
García, R. Concepción sistémico –
dialéctica de la teoría de invariante._ p. 91-99. _
En Revista Cubana
de Educación
Superior. Vol. XVIII, No. 2, 1998.
García, R. La contradicción dialéctica del
objeto de estudio tomada como invariante en la
estructuración del proceso docente – educativo de la
Matemática (en el ejemplo de la Matemática I de la
Carrera de Metalurgia).
(Tesis de
doctorado en Ciencias
Pedagógicas), Santiago de Cuba, 1998.
(Inédita).
González, O. Aplicación del enfoque de la actividad
al perfil de la Educación
Superior. Ciudad de La Habana, Centro de Estudio para el
Perfeccionamiento de la Educación Superior, 1989.
Reshetova, Z. A. y otros. Análisis sistémico aplicado a la
Educación Superior (Selección de textos). Universidad
Central de Las Villas, 1988.
Salmina, N. G. La actividad cognoscitiva de los alumnos y el modo
de estructurar la asignatura. Ciudad de La Habana, CEPES,
1989.
Talízina, N. F. Conferencias sobre " Los Fundamentos de la
Enseñanza de la Educación Superior". Ciudad de La
Habana, Universidad de La
Habana Departamento de Estudios para el Perfeccionamiento de la
Educación Superior, 1985.
Autor:
Reinaldo García Blanco.
Prof. Oris R. Silva Diéguez
Dr. Lierlí O’connor Montero