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Estudio de funciones




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    1. Hallar
    el Dominio

    2. Recta Tangente
    3. Metodo de substitucion o cambio de
    variables

    4. Metodo de integración por
    partes

    5. Cíclicas
    6. Calculo de areas
    7. Tabla De
    Derivadas

    8. Regla de la
    cadena

    1. Hallar el
    Dominio

    Dominio

    Lineal

    DOM= REALES

     

    Cuadrática

    Polinómica

    Exponencial

    Raiz impar

    Homográfica: y= f(x) g(x)¹ 0

    g(x)

    Logaritmo:

    y= lnf(x) f(x)>0

    Raiz PAR:

    y= Ö
    f(x) f(x)³
    0

    Calcular los Puntos Criticos

    1. Se halla f´(x)
    2. Se iguala f´(x)=0

      Crecimiento Y Decrecimiento
      (Bolzano)

    3. Se despeja x = PC
    4. Se toma el Dominio de
      f´(x)
    5. Se corta con los PC
    6. Se le asigna un valor a
      cada intervalo que se reemplaza en f´(x)

    Extremos (máximos y
    mínimos)

    Criterio de f´(x)
    Si en Bolzano:
    crece/decrece= P Máximo
    decrece/crece= P Mínimo

    2. Recta
    Tangente

    f´(x)= pendiente de la recta tg
    y= f´(x0 ) (x- x0 ) + f(x0 ) ó y= mx+b

    Integral Inmediata

    a)ò
    [f(x)+g(x)-z(x)] dx =

    b)ò
    f(x)dx + ò g(x) dx – ò z(x) dx

    a)Integro (+C)

    3. Metodo de substitucion
    o
    cambio de
    variables

    Si en tu ejercicio hay: (LEPRD)

    a) Un Logaritmo u= al logaritmo

    1. Una Exponencial u= al exponente
    2. Una Potencia u=
      a la base
    3. Una Raiz u= a lo de adentro
    4. Una División u= al denominador

    Ejemplo:

    ò 3×2 –
    1
    Ö x3 –
    x

    1. U= x3 –x

    2. Identifico U (LEPRD)

      Du= 3×2 –1 dx

    3. Calculo el DU (derivo u) por dx

      du = dx
      3×2 –1

    4. Igualo a 0

      ò 3×2
      – 1 du = ò 1 du
      Ö u 3×2 – 1
      Ö u

    5. Sustituyo en la fórmula original:

      ò 1 du =
      (tabla) 2Ö
      u +C
      Ö u

    6. Integro
    7. Sustituyo


    u +C = 2 Ö x3 –x + C

    4. Metodo de integración por partes

    ò u.dv = uv
    – ò
    v.du

    (ejercicio) (solución)

    El problema es saber a qué llamar u y dv en el
    ejercicio (ALPET)

    Arcos

    Logaritmo

    Potencia

    Exponencial

    Trigonometrica

    PARA U

    Si tenés 2 potencias, u a la que tenga exponente
    entero +

    Ejemplo:

    ò x2 ex
    dx

    1. Defino U(en este caso, la potencia)
    2. U= x2
      (derivo)
      Du= 2x dx

    3. Y dv

    Dv= ex dx
    (integro)
    V= ex

    uv – ò v du

    x2 ex -ò ex 2x dx

    (por propiedad, k
    sale de la integral) x2 ex -2 ò ex x dx

    No esta en tablas, vuelvo a integrar por
    partes

    1. Identifico u y dv

    u= x (derivo) dv= ex dx (integro)

    du= dx v= ex

    x ex -ò ex dx

    (en el resultado anterior)

    x2 ex -2 [ x ex -ò ex dx] (integro)

    x2 ex -2 [ x ex – ex ] + C

    El numero de la potencia me indica cuantas veces debo
    integrar por partes!!

    5.
    Cíclicas

    Se forma con una exponencial o logarítmica y una
    trigonométrica

    Ej: ò
    e2x cos 3x dx

    Se resuelve por sustitución

    U= e2x (regla de la cadena) dv= cos 3x dx

    du= 2 e2x v= sen 3x

    sustituyo dos veces

    ò e2x cos 3x
    dx= 3/13 1 e2x [sen 3x + 2/3 cos 3x] + C

    Integrales de funciones
    compuestas con raices

    Ejemplo:

    ò cos
    Ö 2x+3
    dx

    1. Z= Ö 2x+3 dx

    2. Sustituyo

      Z2 –3= x2

    3. Despejo x
    4. Derivo

    Z dz = dx

    d) Resultado: ò cos z. z dz
    (Partes)

    u= Z dv= cosz dz
    du= dz v= sen z
    uv-ò v
    du
    z sen z -ò
    senz dz
    (Integro
    z sen z+ cos z +C
    Ö 2x+3 sen Ö 2x+3 + cos Ö 2x+3 + C

    Integral definida. Regla De Barrow

    ò a f (x) dx
    = ½ F(b
    x) ½ a =
    f (b) – F(a) Û b>a
    b b
    ò
    a f(x) dx = – ò a f (x) dx
    b b
    Ejemplo ò
    1 ex dx
    0 5+7 ex
    (Substitución) u= 5+7 ex du= ex dx du = dx
    7 ex
    ò
    1 ex du Þ
    1 ò
    1 1 dx Þ
    1 ln u = ½ 1 ln (5+7 ex)½ 1Þ 1 ln (5+7 ex) –1 ln
    12½ 1
    0 5+7 ex 7 0 u ex 7 7 0 7 7 0

    6. Calculo de
    areas

    Area = ò a techo-piso Þ ò a f(x) – g(x)
    b b

    Si en algún lugar cambian el techo o el piso
    divido el area, resuelvo por separado y luego sumo Area total= A1
    + A2

    • Areas trigonométricas, por cada
      Õ cuento 1
      area!!
    • Si no se cual es el techo y cual el
      piso,

    a) Igualo f(x)=g(x) b) Límites
    por integración

    Tips

    Una funcion es
    derivable si:

    a) es continua b) es suave (don de hay picos no hay una
    única tangente)

    En los puntos de inflexión la
    F´(x):

    a) f´(x)= o b) NO TIENE max. ni min.

    c) Puntos Críticos: NO existe la derivada pero si
    la funcion (no F´(x)pero si F(x))

    Mínimos/Máximos:

    a) Absolutos b) Relativos

    • Si el dominio de la
      derivada >0, en Bolzano usaré dichos valores.
    • Si la derivada es positivaÞ recta tg

      pendiente+= se grafica creciente
    • Si me falta el dato "y", resuelvo la
      f(x).
    • Si se puede simplificar, entonces se podia hacer
      factor común
    • Ln 0 no existe la exponencial es siempre
      +
    • Derivada segunda para saber
      máximos
    • Exponenciales: Nunca vale ceroÞ Es siempre
      crecienteÞ
      Nunca se anula. Su asíntota siempre está
      en x=o
    • Uso el método de sustitución cuando hay
      composición (una adentro de la otra)
    • Barrow= primitiva a – primitiva b
    • El gráfico de una raiz x es ½
      parábola acostada
    • Cuando busco el techo y el piso (cual es mayor),
      los límites de integración no importan los extremos
      (los infinitos), hago bolzano solo en los
      valores que de.
    • Con problemas
      de velocidad:

    Los gráficos de la pendiente negativa no tienen
    sentido fisicamente

    Si piden la aceleracion en el instante en que la
    velocidad se
    anula es F´(0) y reemplazo en la F´´(x) (va a
    ser el valor +, el
    – no tiene sentido)

    El máximo es la segunda derivada

    Que la velocidad=0 no significa que no haya
    aceleracion

    7. Tabla De
    Derivadas

    1)Suma de funciones:
    y=f(x)+g(x)-z(x)Þ y’=
    f’(x)+g’(x)-z’(x)

    2)Producto y
    Cociente:
    y= f(x).g(x) Þ
    y’= f’(x) g(x) + g’(x)f(x)
    y= f(x)Þ
    u = u’v –uv’
    g(x) v v2

    3)Potencias y Raices:

    y=xn

    y’=nxn+1

     

    y=nÖ xm = xm/n

    y’=m/n xm/n-1

    y=Ö x

    y’= 1 2Ö x

    y=a xn

    y’= -a.n xn+1

    4)Exponenciales

    y= ex

    y’=ex

     

    y=eax

    y’=a eax

     

    y=a x

    y’= lnx

    y= – ex

    y’=-ex

    y=ef(x)

    y’= f(x) ef(x)

    y= af(x)

    y’= ln afxf’x

    5)Logaritmos

    y= ln f(x)

    y’= 1 f’(x) f(x)

     

    y= lnx

    y’=1 x

    6)Funciones Básicas

    y=x

    y’=1

    y=k

    y’=0

    y= k.f(x)

    y’=k.f’(x)

    7) Trigonométricas

    y= senx

    y’= cosx

     

    y=tgx

    y’=sec2x

     

    y=cosecx

    y’= -cosecx cotgx

    y= cosx

    y’=-senx

    y=secx

    y’= secx.cotgx

    y= cotgx

    y’= -cosec2x

    8) Inversas trigonométricas

    Derivadas mas usadas:

    y=arcsenx

    y’=1

    y=arcosx

    y’=0

    y= arctgx

    y’=k.f’(x)

    F(X)

    F´(X)

    K

    0

    X

    1

    X n

    X n-1

    1 x

    -1 x2

    senx

    Cosx

    cosx

    -senx

    tgx

    1 cos2 x

    ex

    ex

    ax

    axlna

    lnx

    1 x

    8. Regla de la
    cadena

    Cuando hay composicion:
    Derivo lo de afuera y lo multiplico por la derivada de lo de
    adentro

    [F(g(x))]´= (f(g(x)))´.
    g´(x)

    Integral O Primitiva

    Y= f(x)Þ Y’= F’(x)Þ ò F’(x ) dx =
    f(x)

    Ejemplo

    Y´=3 x2
    Y= x3 Y= x3
    Y´=3 x2 DY=3 x2 dx dy= f’(x) dx

    Tabla De Integración

    ò f(x) dx

    RESULTADO

    ò DX
    (solo)

    X + C

    ò k
    f(x) dx

    K ò f(x) dx

    ò xn
    dx

    Xn+1 + C n+1

    ò

    x m dx = ò x m/n dx

    Xm/n+1 + C m/n+1

    ò 1
    dx = ò
    x-n dx xn

    X-n+1 + C -n+1

    ò 1
    dx = x

    Lnx + C

    ò 1
    dx = x±
    a

    Ln(x± a) + C

    ò 1
    dx Ö
    x

    2Ö x +C

    ò 1
    dx = ò
    x-m/n dx Ö xm

    X-m/n+1 + C -m/n+1

    ò ex
    dx

    ex + C

    ò –
    ex dx

    -e-x + C

    ò eax
    dx

    eax + C a

    ò ax
    dx

    ax + C lna

    ò
    senx dx

    -cos x + C

    ò sen
    ax dx

    -cos ax + C a

    ò cos
    x dx

    sen x + C

    ò cos
    ax dx

    sen ax + C a

    ò
    cosec2 x dx

    tgx + C

    ò
    cosec2 ax dx

    tgax + C a

    ò
    cosec2x dx

    – cotg x + C

    ò
    cosec2ax dx

    cotg ax + C a

    +ò 1 dx Ö 1-x2

    arcsenx + C

    -ò 1 dx Ö 1-x2

    arcosx + C

    ò 1
    dx 1-x2

    arctgx + C

    ò
    [f(x)+g(x)-z(x)]

    ò
    f(x) + ò g(x) – ò z(x)

     

     

    Autor:

    Sonia Matarazzi

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