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Geometria plana




Enviado por rsuarez



Partes: 1, 2


    1.
    Objetivos


    3.
    Operaciones con segmentos

    4. Problemas de auto
    evaluación

    5.
    Proporcionalidad

    6.
    Indicaciones

    7.
    Angulos

    8.
    Teoremas

    9.
    Solucionario

    10. Problemas de
    autoevaluación

    1.
    Objetivos

    cognitivo:

    1.- Comprender los axiomas, postulados, teoremas y
    corolarios que rigen a la geometría
    axiomática.

    2.- Conocer y desarrollar capacidades de
    deducción y lograr demostraciones, mediante un conjunto de
    razonamientos.

    Procedimental:

    1.- Manifestar habilidades para deducir, demostrar
    teoremas y problemas de
    aplicación.

    2.- Correlacionar, y organizar los diferentes subtemas
    de estudio y su verdadera utilización.

    Actitudinales:

    1.- Desarrollar, confianza en sus habilidades matemáticas y lógicas puestas al
    servicio de
    las distintas demostraciones.

    2.- Alcanzar actitudes de
    orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel
    del conocimiento
    de la geometría
    plana.

    2. Geometría
    plana

    Introducción

    Conceptos Fundamentales E Importancia Del Estudio De La
    Geometria

    Proposicion

    Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno
    y solo uno de los términos verdadero o falso.

    Las proposiciones más comunes que se utilizan
    son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.

    Axiomas

    Es una verdad que no requiere demostración y se
    la cumple en todas las ciencias del
    conocimiento.

    Postulados

    Es una proposición aceptada como verdadera. A
    diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en
    geometría, los mismos que no se han constituido al azar,
    sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la
    geometría

    Teorema

    Es la proposición cuya verdad necesita ser
    demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede
    utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con
    axiomas y postulados.

    Un teorema consta de: hipótesis y tesis:

    Hipótesis: son las
    condiciones o datos del
    problema

    Tesis: es la propiedad a
    demostrarse.

    Corolario

    Es la consecuencia de un teorema demostrado.

    Razonamiento Logico

    Cuando una persona se
    empeña en una "reflexión clara" o en una
    reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del
    razonamiento lógico.

    Demostraciones

    Es un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad
    de la proposición junto con axiomas y
    postulados.

    Una demostración bien elaborada solo puede
    basarse en proposiciones antes demostradas, la
    demostración también es necesaria para fundamentar
    la generalidad de la proposición que se
    demuestra.

    Por medio de las proposiciones, las verdades
    geométricas se reducen a un sistema armonioso
    de conocimientos científicos.

    Metodos De Demostraciones

    Metodo Inductivo

    Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades
    particulares para obtener mediante ellos una verdad
    general.

    Metodo Deductivo

    Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades
    generales para obtener mediante ellos una verdad
    particular.

    La mayoría de los problemas
    geométricos se demuestran usando el método
    deductivo.

    Procedimiento De Una Demostracion

    La demostración formal de un teorema consiste en
    cinco partes

    1. El enunciado del teorema.
    2. Hacer un gráfico que ilustre el
      teorema.
    3. Una afirmación de lo que es el dato (s) en
      términos del gráfico ( hipótesis ).
    4. Una afirmación de lo que debe probarse ( tesis
      ).
    5. Demostración: Es una serie de razonamientos
      lógicos establecidos mediante definición, axiomas
      y postulados aceptados y teoremas probados en anterioridad.
      Toda demostración debe constar de afirmaciones y
      razones.

    Importancia

    ¿Por qué estudiar geometría? El
    alumno que empieza a estudiar geometría, puede preguntar
    con toda razón : ¿Que es la geometría?
    ¿Que gano con estudiarla?.

    Uno de los beneficios de la geometría es que el
    estudiante adquiere un criterio al escuchar leer y pensar. Cuando
    estudia geometría, deja de aceptar a ciegas proposiciones
    e ideas y se le enseñe a pensar en forma clara y critica,
    antes de hacer conclusiones.

    Otro es el adiestramiento en
    el uso exacto de idioma y en la habilidad para analizar un
    problema nuevo, para diferenciar diferenciar sus partes cruciales
    y aplicar la perseverancia, originalidad y razonamiento
    lógico para resolver el problema.

    Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias
    matemáticas y los matemáticos han
    aportado a nuestra cultura y
    civilización.

    3. Operaciones con
    segmentos

    Punto

    Elemento geométrico que tiene posición
    pero no dimensión, sin embargo las palabras
    posición y dimensión no se definen, por lo tanto la
    palabra punto no se define.

    Representacion Grafica

    Se lo hace por medio de una marca ( . o x
    )

    Denominacion

    Por medio de una letra mayúscula.

    ejemplo: .A B(x ,y) C(x, y, z)

    Recta

    Es una figura geométrica, en la cual un punto que
    se encuentra entre otros dos tiene la misma distancia a estos; se
    prolonga indefinidamente en ambas direcciones.

    Representacion Grafica

    Denominacion

    Por medio de dos letras mayúsculas que
    representan a dos puntos cualquiera en la recta.

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    o por medio de una letra mayúscula cerca de la
    recta.

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    Puntos Colineales

    Son los puntos, elementos de una misma recta.

    Plano

    Un plano esta determinado por:

    1. Tres puntos no colineales.
    2. Una recta y un punto externo.
    3. Dos rectas que se intersecan.
    4. Dos rectas paralelas.

    Representacion Grafica

    Denominacion

    Por medio de letras mayúsculas en los
    vértices de una representación
    gráfica.

    Segmento

    La parte de la recta AB entre A y B, incluido los puntos
    A Y B se llama segmento.

    Representacion Grafica

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    Denominacion

    Por los extremos del segmento : AB

    El numero que expresa a que distancia se encuentra A de
    B se llama medida o longitud de AB . usaremos el
    símbolo mAB para denotar la longitud de AB.

    Operaciones Con Segmentos

    Consiste en encontrar un segmento de longitud igual a la
    suma de las longitudes de los segmentos dados.

     (Para ver el gráfico faltante haga click en
    el menú superior "Bajar Trabajo")

    m PQ = mPA + mAB + mBQ
    m AP = mPB – mAP
    mAB = mPQ – mPA – mBQ

    Solucionario

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    H) AM = MB
    PA + BP
    PM = PA – AM T) PM =

    PM = PB + BM 2
    2PM = PA + PM

    PA + PB
    PM = 2

    2)AP M B
    H) AM = MB
    PM = BP – MB PB – PA

    PM = -PA + MA T) PM =
    2PM = BP – PA

    BP – PA
    PM =

    3) Sobre un recta se toman los puntos A, B, C, D, E, F,
    consecutivamente, de modo que BE = 5/8 AF. Calcular AF sabiendo
    que : AC + BD + CE + DF = 39u.

    H ) BE = 5/8AF
    AC + BD + CE + DF = 39u
    AC + BD + CE + DE + EF = 39u

    T ) AF =
    AF + BD + DE = 39u
    AF + BE = 39u
    AF + 5/8AF = 39u
    13/8AF = 39u
    AF = 2

    4) (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    H) AB = BC
    BE = AD – AB + DE
    DE = EF

    BE = FC + BC – EF
    AD + C
    2BE = AD + FC
    T) BE =

    5)(Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    H) AB = BC
    CD = 2AC
    AM = BC + CD – AC
    +AM – MD AM = MD
    AM = AB + 2AC – AC +AM-MD T) AM = AB + AC
    AM = AB + A

    6)(Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    AC + CD
    H) AB =
    BD2 – 2BD + 1 = 0
    (BD – 1)(BD – 1)= 0
    BD2 – 2BD + 1 = 0 BD = 1
    AD = ?
    AB = AD – BD
    AB = AD/2
    2AB = AD
    2(AD – BD) = AD
    2AD – 2 = AD
    -2 = – AD
    2 = AD

     7)(Para ver el gráfico faltante haga click
    en el menú superior "Bajar Trabajo")

    H) BC = CD
    T) AC2 = AB . AD + BD2
    AC = AB + BC
    AC = AD – CD
    2AC = AB + AD
    2AC = AB + AB + BD
    (2AC)2 = (2AB + BD)2
    4AC 2 =
    4AB2 + 4AB.BD + BD2
    AC2 =
    4AB2/4+ 4AB.BD/4 + BD2/4
    AC2 = AB2 + AB.BD + BD2/4
    AC2 = AB2 + AB(AD – AB) +
    BD2/4
    AC2 = AB2 + AB.AD – AB2 +
    BD2/4
    AC2 = AB.AD + BD2/4

     8)(Para ver el gráfico faltante haga click
    en el menú superior "Bajar Trabajo")

    H) MB = MC
    AB = AM – BM
    T) AB2 + AC2 = 2(AM2 +
    BM2)
    AC = AM + MC
    AB2 = ( AM – BM )2
    AC2
    = ( AM + MC )2
    AB2 = AM 2 – 2AM.BM +
    BM2
    AC2 = AM2 + 2AM.MC +
    MC2
    AB2 + AC2 =
    2AM2 + 2BM2
    AB2 +
    AC2 = 2(AM2 + BM2)

    9)(Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    H) BC = DC
    AB = a
    AC = AB + BC AC = m
    AC = AD – CD AD = b
    2AC = AB + AD T) m =  ab + (b –
    a)2/4
    2AC = AB + AB + BD
    2AC2 = ( 2AB + BD )2
    4AC2 =
    4AB2 + 4AB.BD + BD2
    AC2 =
    AB2 + AB.BD +BD2/4
    AC2 = AB2 + AB (AD – AB) +
    BD2/4
    AC2 = AB2 + AB.AD –AB2
    +BD2/4
    AC2 = AB.AD + BD2/4
    m =  ab + (b – a)2/4

    10) (Para ver el gráfico faltante haga click en
    el menú superior "Bajar Trabajo")

    H1) AB.CD = 2AD.BC
    T) 2/AB + 1/AD = 3/AC
    1)AB.BC = 2AD.BC H2) AB.CD = 7BC.AD
    AB(AD – AC) = 2AD(AC – AB) T) 1/AD + 7/AB = 8/AC
    AB.AD – AB.AC = 2AD.AC – 2AD.AB
    AB.AD + 2AD.AB – AB.AC = 2AD.AC
    3AB.AD = AB.AC + AD.AC
    3AB.AD = AC(AB + AD)
    3/AC = 2AD/AB.AD + AB/AB.AD
    3/AC = 2/AB + 1/AD

    2)AB.CD = 7BC.AD
    AB(AD – AC) = 7(AC – AB)ADÇ
    AB.AD – AB.AC = (7AC – 7AB)AD
    AB.AD – AB.AC = 7AC.AD.7AB.AD
    8AB.AD = 7AC.AD + AB.AC
    8AB.AD = AC(7AD + AB)
    8/AC = 7AD/AB.AD + AB/AB.AD
    8/AC = 7/AB + A/AD

    11) (Para ver el gráfico faltante haga click en
    el menú superior "Bajar Trabajo")

    AC + BD + CE = 44u H) AC + BD + CE = 44u
    AE – CE + AE – AB – DE + CE = 44u AE = 25u
    2AE – AB –2AB = 44u DE = 2AB
    2(25u) – 3AB = 44u T) AB = ?
    50u – 3AB = 44u
    – 3AB = 44u –50u
    AB = -6 / 3
    AB = 2

    4. Problemas de auto
    evaluación

    Indicaciones:

    1 ) Estudie el capitulo y luego conteste cada
    numeral.

    2 ) La evaluación
    de la prueba es de 4 puntos c/u. Total 20 / 20

    3 ) Si algún literal no puede resolver, vuelva a
    ensayar, luego de haber estudiado nuevamente el
    capitulo.

    Cuestionario

    1.- Sea una recta en la se tima los puntos A, B, C, y D,
    de tal manera que: a AB + BC = 28 m. Calcular la longitud del
    segmento MC, si m es el punto medio de AB

    2.- En una recta sean los puntos consecutivos A, B, C, D
    y E; tal que F sea el punto medio de AB y G punto medio de DE.
    además AB =BC y CD = DE. También AB + DE = 10.
    Calcular FG.

    3.- En una recta, se toman los puntos consecutivos A, B,
    C, D, de tal manera que AC = 28 y BD = 36. Calcular la longitud
    del segmento MN, siendo M y N Puntos medio de AB y CD,
    respectivamente.

    4.- En una recta se toman los puntos consecutivos A, B,
    C y D, de tal manera que :1/ AB + 1/AD = 2/AC donde AB = 2, CD =
    3. Calcular la longitud BC.

    5.- en una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C
    y D. Hallar AD, sabiendo que AC + BD = 16m, y BC =
    4m

    5.
    Proporcionalidad

    Razon

    Es una comparación de una cantidad respecto a
    otra cantidad semejante, el resultado es un numero abstracto, es
    decir no tiene unidades.

    Una razón es una fracción, por lo tanto,
    todas las propiedades que tiene una fracción se aplica a
    las razones.

    Proporcion

    Es la igualdad de
    dos razones.

    Representacion

    Si las razones a/b y c/d son iguales, la
    proporción puede representarse como:

    a/b = c/d.

    Denominacion

    Se lee " a es a b como c es a
    d " o también " a y c son
    proposicionales a b y d.

    Terminos De Una Proporcion

    Son elementos que forman la proporción: Si a/b =
    c/d

    Extremos a y d

    Medios b y c

    Antecedentes a y c

    Consecuentes b y d

    Propiedades De Las Proporciones

    a) En una proporción pueden invertirse las
    razones

    Si a/b = c/d, entonces b/a = d/c. Por ejemplo

    2/3 = 8/12 3/12 = 12/8

    b) El producto de
    los extremos es igual al producto de
    los medios.

    Si a/b = c/d, entonces ad = bc. Por ejemplo

    Si 5/7 = 10/14  70 = 70

    c) En una proporción a cada antecedente se puede
    sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente sumar su
    respectivo antecedente.

    Si a/b = c/d, entonces (a+b) / b = (c+d) / b o a/ (a+b)
    = c / (c+d)

    Ejemplo: Si 4/5 = 20/25  4+5/5 = 20+25/25 o
    4/4+5 = 20/25+20

    d) En una proporción a cada antecedente se puede
    restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente restar su
    respectivo antecedente.

    Si a/b = c/d,  a-b/b = c-d/d o a/b-a
    =c/d-c

    Ejemplo : Si 7/3 = 14/6  7-3/3 = 14-6/6 o 7/3-7
    = 14/6-14

    e) En una serie de razones iguales, la suma de los
    antecedentes, es a la suma de los consecuentes, como uno
    cualquiera de sus antecedentes es a su respectivo
    consecuente.

    Si a/b = c/d = e/f = …..  a+c+e+ … / b+d+f+
    … = a/b = c/d = e/f =…

    Ejemplo : 1/2 = 3/6 = 12/24  1+3+12/2+6+24 = 1/2
    = 3/6 = 12/24.

    Divicion Interna De Un Segmento

    Consiste en localizar un punto en el interior de un
    segmento, tal que forme dos segmentos que están en una
    razón dada, m/n

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    Solucion Grafica

    Primer caso. (m/n  1)

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    Datos : AB y m n

    Segundo Caso. (m/n  1)

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    Datos : AB y n m

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    Tercer caso. (m/n = 1)

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo"

    Solucion Analitica

    Datos : Coordenadas de A y B y relación
    m/n

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    AFIRMACIONES RAZONES

    AP/PB = m/n ………….Formando
    proporciones

     AP+PB/PB = m+n/n …………. Propiedad de
    las proporciones

    AB/PB = m+n/n …………. Suma de
    segmentos

    PB = n AB/m+n …………. Despejando AB

    x = x2 – PB ………….Según el
    gráfico

    Si m = n PB = AB/2

    Divicion Externa De Un Segmento

    Consiste en localizar un punto en la prolongación
    de un segmento, tal que formen dos segmento que estén en
    una relación dada m/n.

    Primer Caso. (m/n  1)

    Datos : AB y m n

    Solucion Grafica

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo"

    Solucion Analitica

    Datos : Coordenadas de los puntos A y B y la
    relación m/n  1

    Afirmaciones Razones

    AQ/BQ = m/n ……………. Formando
    Proporciones

     AQ-BQ/BQ = m-n/n ……………. Propiedad de
    las proporciones

    AB/BQ = m-n/n ……………. Suma de
    segmentos

    BQ = n AB/m-n ……………. Despejando BQ

    x = x2 + BQ ……………. Por
    gráfico

    Segundo caso. Si (m/n  1)

    Datos : AB y m

    Solucion Grafica

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    Solucion Analitica

    Afirmaciones Razones

    AQ/BQ= m/n …………….. Formando
    Proporciones

     AQ – BQ/BQ=
    m-n/n …………….. Propiedad de las Proporciones

    -AB/BQ= -(n-m)/n …………….. Operación de
    segmentos

    BQ= n AB/n-m …………….. Despejando BQ

    x= x2 – BQ

    Tercer Caso. Si m/n = 1

    Datos: AB y m =
    n

    Solucion Grafica

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    Solucion Analitica

    No existe localizado un punto en el exterior del
    segmento por que lar rectas trazadas son paralelas.

    Division Amonica De Un Segmento

    Consiste en dividir un segmento interno y externamente
    de una misma razón.

    Si P y Q dividen armónicamente al segmento AB, se
    tiene:

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    En la división armónica debe verificarse
    la división interna y externa.

    Solucionario

    1) Si P y Q dividen armónicamente al AB, entonces
    la relación correcta es:

    a) AP/PB = AB/BQ b) PB/AP = BQ/AQ c) AB/PB =
    AQ/BQ

    e)NINGUNA

    Solución : b) PB/AP = BQ/AQ

    2) Dado un AB de coordenadas ( -159; 136 ) , encontrar
    las coordenadas de los puntos que dividen el segmento en cinco
    partes de igual medida.

    3) Dado un AB de coordenadas ( -369 ; 391 ) , encontrar
    la coordenada del punto P que divide internamente al AB en
    relación 7/13.

    H) m = 7, n = 13

    m/n  1

    AB= 760

    Afirmaciones Razones

    T) X = ?

    1.- AP/PB = m/n Formando proporciones

    2.- (AP + PB)/PB = (m + n)/n Aplicando ley de las
    proporciones

    3.- AB/PB = (m + n)/n Suma de segmentos

    4.- PB = AB.n/m + n Despejando PB

    5.- PB = (760 . 13)/7 + 13 Remplazando
    hipótesis

    6.- PB = 494 Operaciones

    7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final
    y PB

    8.- X = 391 – 494 Remplazando afirmación
    6, e hipótesis

    9.- X = -103 Operaciones

    4) Dado un AB de coordenadas (-113 ; 207 ) , encontrar
    la coordenada de un punto P que divide internamente al AB en
    relación 27/13.

    H) m = 27, n = 13

    m/n  1

    AB = 320

    Afirmaciones Razones

    T) X = ?

    1.- AP/PB = m/n Formando proporciones

    2.- (AP + PB)/PB = (m + n)/n Aplicando ley de las
    proporciones

    3.- AB/PB = (m +n/)n Suma de segmentos

    4.- PB= AB.n/m + n Despejando PB

    5.- PB = (320 . 13)/27 + 13 Remplazando
    hipótesis

    6.- PB = 104 Operaciones

    7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto
    final y PB

    8.- X = 207 – 104 Remplazando afirmación
    6, e hipótesis

    9.- X = 103 Operaciones

    5) Dado un AB de coordenadas ( -117; 63) , encontrar la
    coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en
    relación 37/19.

    H) m = 37, n = 19

    AB = 180

    T) X = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AQ/AB = m/n Formando proporciones

    2.- (AQ – QB)/QB = (m – n)/n Aplicando ley
    de las proporciones

    3.- AB/QB = (m – n)/n Suma de
    segmentos

    4.- QB = AB.n/m –n Despejando QB

    5.- QB = (180 . 19)/37 – 19 Remplazando
    hipótesis

    6.- QB = 190 Operaciones

    7.- X = X2 – QB Diferencia entre el punto final
    y QB

    8.- X = 63 – 190 Remplazando afirmación
    6 e hipótesis

    9.- X = – 127 Operaciones

    6) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 387 ) , encontrar
    la coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en
    relación 23/47

    H) m = 23, n = 47

    m/n  1

    AB = 456

    T) X = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AQ/QB = m/n Formando proporciones

    2.- (AQ – QB)/ QB = (m – n)/n Aplicando ley
    de las proporciones

    3.- -AB/QB = (m – n)/n Suma de
    segmentos

    4.- AB/QB = (n – m)/n Multiplicando por -1

    5.- QB = AB.n/n – m Despejando QB

    6.- QB = (47 . 456)/47 – 23 Remplazando
    hipótesis

    7.- QB = 893 Operaciones

    8.- X = X2 – QB Diferencia entre el punto final
    y QB

    9.- X = 387 – 893 Remplazando afirmación
    7 e hipótesis

    10.- X = – 506 Operaciones

    7) Dado un AB de coordenadas (-369; 387) encontrar las
    coordenadas de los puntos P y Q que dividen al AB en
    relación, 39/17, armónicamente.

    H) m = 39, n = 17

    m/n  1

    T) X = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = m/n Formando proporciones

    2.- (AP + PB)/PB = (m – n)/n Aplicando ley de las
    proporciones

    3.- AB/PB = (m + n)/n Suma de segmentos

    4.- PB = AB.n/m+n Despejando PB

    5.- PB = (17 . 756)/ 39 + 17 Remplazando
    hipótesis

    6.- PB = 229,5 Operando

    7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final
    y PB

    8.- X = 387 – 229,5 Remplazando
    afirmación 6 e hipótesis

    9.- X = 157,5 Operando

    10.- AQ/QB = m/n Formando proporciones

    11.- (AQ – QB)/QB = (m – n)/n Aplicando ley
    de las proporciones

    12.- AB/QB = (m – n)/n Suma de
    segmentos

    13.- QB = AB.n/m-n Despejando QB

    14.- QB = (756 . 17)/39 – 17 Remplazando
    hipótesis

    15.- QB = 584,18 Operando

    16.- X´ = X2 + QB Suma entre el punto final y
    QB

    17.- X´ = 387 + 584,18 Remplazando
    afirmación 15 e hipótesis

    18.- X´ = 971.98 Operaciones

    8) Dado un AB de coordenadas (-759; 863), encontrar las
    coordenadas de los puntos P y Q que dividen armónicamente
    al AB en elacion 11/29

    H) m = 11, n = 29 Q A P B

    m/n  1

    T) X = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = m/n Formando Proporciones

    2.- (AP + PB)/BP = (m + n)/n Aplicando ley de las
    proporciones

    3.- AB/BP = (m + n)/n Suma de segmentos

    4.- PB = AB.n/m + n Despejando PB

    5.- PB = (1622 . 29)/11 + 24 Remplazando
    hipótesis

    6.- PB = 1175,95 Operando

    7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final
    y PB

    8.- X = 863 – 1175,96 Remplazando
    afirmación 6 e hipótesis

    9.- X = -312,95 Operando

    10 .- AQ/ BQ = m/n Formando proporciones

    11.- (AQ – QB)/QB= (m – n)/n Aplicando ley
    de las proporciones

    12.- -AB/QB = (m – n)/n Suma de
    segmentos

    13.- AB/QB = (n – m)/n Multiplicando por
    -1

    14.- QB = AB.n/n – m Despejando QB

    15.- QB = (1622 . 29)/29 – 11 Remplazando
    hipótesis

    16.- QB = 2613,22 Operaciones

    17.- X´ = X2 – QB Diferencia entre el
    punto final y QB

    18.- X´ = 863 – 2613,22 Remplazando
    afirmación 16 e hipótesis

    19.- X´ = -1777,22 Operando

     9) (Para ver el gráfico faltante haga click
    en el menú superior "Bajar Trabajo")

    H) PA = 10u

    PB = 30u

    AC/5 = BC/3

    T) PC = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AC/5 = BC/3 Por hipótesis

    2.- PC – PA/5 = PC – PB/3 Operaciones con
    segmentos

    3.- PC – 10u/5 = PC – 30u/3 Remplazando
    hipótesis

    4.- 5PC – 150 = 3PC –
    30 Transposición de términos

    5.- PC = 60 Despejando PC

    10) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 183 ) , encontrar
    la relación m/n, si PB = 49

    (P divide internamente al AB)

    H) PB = 49

    AB = 252

    T) m/n = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = m/n Formando proporciones

    2.- (AB – PB)/PB = m/n Suma de
    segmentos

    3.- (252 – 49)/49 = m/n Remplazando
    hipótesis

    4.- 303/49 = m/n Operando

    5.- 29/7 = m/n Simplificando

    11) Dado un AB de coordenadas ( -47 ; 78 ) , encontrar
    la relación m/n, si AP = 55

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    ( P divide internamente al AB)

    H) AP = 55

    AB = 125

    T) m/n = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = m/n Formando proporciones

    2.- AP/(AB – AP) = m/n Suma de
    segmentos

    3.- 55/(125-55) = m/n Remplazando
    hipótesis

    4.- 55/70 = m/n Operando

    5.- 11/14 = m/n

    12) Dado un AB de coordenadas ( -37 ; 75 ) , encontrar
    la relación m/n  1, si BQ =152 (Q divide
    externamente al AB).

    H) m/n  1

    AB = 112

    T) m/n = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AQ/BQ = m/n Formando Proporciones

    2.- AB + BQ/BQ = m/n Suma de segmentos

    3.- (112 + 152)/152 = m/n Remplazando
    hipótesis

    4.- 264/152 = m/n Operaciones

    5.- 33/19 = m/n Simplificando

    13) Dado un AB de coordenadas (-228; 563), encontrar la
    relación m/n  1, si AQ = 791 ( Q divide
    exteriormente al AB).

    H) m/n  1

    AB = 791

    T)m/n = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AQ/BQ = m/n Formando proporciones

    2.- AQ/(AQ + BQ) = m/n Suma de segmentos

    3.- 791/(791+791) = m/n Remplazando
    hipótesis

    4.- 791/1582 = m/n Operaciones

    5.-  = m/n Simplificando

    15) Si los puntos P y Q dividen armónicamente al
    AB en relación m/n  1, cuál es la
    relación m/n si: PB = 3420 y BQ = 16074

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    H) m/n  1

    PB = 3420, BQ = 16074

    T) m/n = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = AQ/QB = m/n Formando
    proporciones

    2.- X/3420 = 12654 – X/16074 Suma de seg. y
    remplazando hipótesis

    3.- 16074X = 43276680 – 3420X Aplicando ley de las
    proporciones

    4.- 19494X = 43276680 Transposición de
    términos y operaciones

    5.- X = 43276680/194994 Despejando X

    6.- X = 2220 Operando

    7.- 2220/3420 = m/n Remplazando X e igualando con
    m/n

    8.- 111/171 = m/n Simplificando

    16) Si los puntos P y Q dividen armónicamente al
    AB en relación m/n  1, cual es la relación
    m/n si : AB = 792 y PQ = 274.

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    H) AB = 792, PQ = 274

    m/n  1

    T) m/n = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB =AQ/BQ = m/n Formando proporciones

    2.- X/(792-X) = 274 – X/1066 –
    X Remplazando hipótesis y sumade segmentos

    3.- 1066 – X2 = 217008 – 274X +
    792 + X2 Ley de las proporciones.

    4.- X2 – 1066X + X2
    –274X – 792X + 217008 = 0 Igualando a 0 y
    multiplicando por -1

    5.- 2X – 2132X + 217008 = 0 Términos
    semejantes

    6.- X2 – 1066X + 108504 =
    0 Multiplicando por ½

    7.- X = 1066    10662
    – 4(108544) /2 Aplicando formula de ecuación
    de 2do grado

    8.- X = 114,02 Operando

    9.- X/(792 – X) = m/n Por afirmación
    1

    10.- 114,02/(792 – 114,02) = m/n Remplazando
    X

    11.- 114,02/677,98 = m/n Operando

    17)Si los puntos P y Q dividen armónicamente al
    AB en relación m/n  1, cual es la relación
    m/n si; AB = 5640 y PQ = 12654.

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    H) AB = 5640 PB = 12654

    T) m/n = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = AQ/BA = m/n Formando
    proporciones

    2.- X/5640 – X = 12654 – X/18294 –
    X Remplazando hipótesis y suma de segmentos

    3.- 18294X –X2 = 71368560 –5640X
    –12654X +X2 Aplicando ley de las
    proporciones

    4.- X2-18294X +X2+71368560
    -12654X+5640X =0 Multiplicando por -1 e igualando a 0

    5.- 2X2 – 36588X + 71368560 = 0
    Términos semejantes

    6.- X2 – 18294 + 35684280 =
    0 Multiplicando por ½

    7.- 18294    (18294)2
    – 4(35684280) /2 Aplicando formula de
    ecuación de 2do grado

    8.- X = 2220 Operaciones

    9.- X/ 5640 – X = m/n Por afirmación
    1

    10.- 2220/5640 – 2220 = m/n Remplazando
    X

    11.- 2220/3420 = m/n Operando

    18) Dados los puntos A y B de coordenadas (-27; 29),
    determinar BS tal que BS2 = AB.AS (S en un punto
    situado entre A y

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    B).

    H) BS2 = AB.BS

    AB = 56

    T) BS = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- BS2 = AB.AS Por
    hipótesis

    2.- BS2 = AB(AB – BS) Suma de
    segmentos

    3.- BS2 = AB2 –
    AB.BS Destrucción de segmentos

    4.- BS2 = 562 – 56BS Por
    hipótesis

    5.- BS2 +56BS – 3136 = 0 Operaciones e
    igualando a 0

    6.- BS = -56    562 +
    4(-3136) /2 Aplicando formula de ecuación de
    2do grado

    7.- BS = 34,61 Operaciones

    19) Si los puntos P y Q dividen armónicamente al
    AB ( m/n  1), calcular AB si: PB.BQ =28 y BQ –PB =
    7.

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    H) PB.BQ = 28

    BQ – PB = 7

    T) AB = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = AQ/BQ = m/n Formando
    proporciones

    2.- (AB – PB)/PB = (AB + BQ)/BQ Operaciones con
    segmentos

    3.- BQ.AB – BQ.PB = PB.AB + PB.BQ Aplicando ley de las
    propiedades

    4.- BQ.AB – PB.AB = 2BQ.PB Transposición
    de términos

    5.- AB(BQ – PB) = 2BQ.PB Factor
    común

    6.- AB(7) = 2(28) Por hipótesis

    7.- AB = 8 Operaciones

    20)(Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    H) P y Q dividen armónicamente al AB

    AM = MB

    T) MB2 = MP. MQ

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = AQ/QB = m/n Formando
    proporciones

    2.- (AM+MP)/(MB- MP) =(AM+MQ)/(MQ-MB) Operaciones con
    segmentos

    3.- (MB+MP)/(MB- MP) =(MB+MQ)/(MQ-MB) Remplazando
    hipótesis

    4.- MB.MQ – MB2 + MP.MQ – MP.MB = Aplicando
    ley de las proporciones

    MB2 + MB.MQ – MP.MB – MP.MQ

    5.- 2MB2 = 2MP.MQ Términos
    semejantes

    6.- MB2 = MP.MQ Operaciones

    21) Si P y Q dividen armónicamente al AB en
    relación m/n  1, demostrar que:

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    2/AB = 1/AP+ 1/AQ

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = AQ/BQ = m/n Formando
    proporciones

    2.- AP/AB – AP = AQ/AQ – AB Suma de
    segmentos

    3.- AQ.AP – AP.AB = AQ.AB – AP.AQ Aplicando
    ley de las proporciones

    4.- 2AQ.AP = AQ.AB + AP.AB Transposición de
    términos

    5.- 2/AB = 1/AQ + 1/ AP Transposición de
    términos ysimplificando

    22) Si p y Q dividen armónicamente al AB en
    relación m/n  1, demostrar que:

    (Para ver el gráfico faltante haga click en el
    menú superior "Bajar Trabajo")

    2/AB = 1/AP – 1/AQ

    Afirmaciones Razones

    1.- AP/PB = AQ/QB = m/n Formando
    proporciones

    2.- AP/AB – AP = AQ/AQ + AB Suma de
    segmentos

    3.- AP.AQ + AP.AB = AB.AQ – AQ.AP Aplicando ley de
    las proporciones

    4.- 2AP.AQ = AB.AQ – AP.AB Transposición
    de términos

    5.- 2AP.AQ = AB(AQ – AP) Factor
    común

    6.- 2/AB = 1/AP – 1/AQ Transposición de
    términos

    23) (Para ver el gráfico faltante haga click en
    el menú superior "Bajar Trabajo")

    H) A y C dividen armónicamente al BD

    AD = 5 AB, XA = 20, XC = 35

    T) XB = ? ; XD = ?

    Afirmaciones Razones

    1.- BC/CD = BA/AD Formando proporciones

    2.- (AC – AB)/(AD – AC) = AB/AD Suma de
    segmentos

    3.- (15 – AB)/(5AB – 15) =
    AB/5AB Remplazando hipótesis y simplifica

    4.- 75 – 5AB = 5AB – 15 Aplicando ley de
    proporciones

    5.- AB = 9 Despejando AB y términos
    semejantes

    6.- m/n = 1/5 Remplazando afirmación 5 e
    hipótesis

    7.- XB = 35 – 6 Restando BC de Xc

    8.- XB = 29 Operaciones

    9.- XD = 35 + 30 Sumando XD y CD

    10.- XD = 65 Operaciones 

    Partes: 1, 2

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