1.
Introducción
2.
Historia
4. ¿Que es la Lógica
Difusa?
5. Conjuntos Difusos: Lógica
Difusa.
6. Operaciones entre Conjuntos
Difusos.
1.
Introducción
La lógica
borrosa es una rama de la inteligencia
artificial que se funda en el concepto "Todo es
cuestión de grado" , lo cual permite manejar información vaga o de difícil
especificación si quisiéramos hacer cambiar con
esta información el funcionamiento o el estado de
un sistema
especifico. Es entonces posible con la lógica
borrosa gobernar un sistema por medio
de reglas de 'sentido común' las cuales se refieren
a cantidades indefinidas.
Las reglas involucradas en un sistema borroso, pueden ser
aprendidas con sistemas
adaptativos que aprenden al ' observar ' como operan las personas
los dispositivos reales, o estas reglas pueden también ser
formuladas por un experto humano.
En general la lógica borrosa se aplica tanto a sistemas de
control como para modelar cualquier sistema continuo de
ingeniería, física, biología o economía
La lógica borrosa es entonces definida como un sistema
matemático que modela funciones no
lineales, que convierte unas entradas en salidas acordes con los
planteamientos lógicos que usan el razonamiento
aproximado.
Se fundamenta en los denominados conjuntos
borrosos y un sistema de inferencia borroso basado en reglas de
la forma
" SI……. ENTONCES…… ", donde los valores
lingüísticos de la premisa y el consecuente
están definidos por conjuntos
borrosos, es así como las reglas siempre convierten un
conjunto borroso en otro.
2. Historia
Los
conjuntos difusos fueron introducidos por primera vez en 1965; la
creciente disciplina de
la lógica difusa provee por sí misma un medio para
acoplar estas tareas. En cierto nivel, la lógica difusa
puede ser vista como un lenguaje que
permite trasladar sentencias sofisticadas en lenguaje
natural a un lenguaje matemático formal. Mientras la
motivación original fue ayudar a manejar aspectos
imprecisos del mundo real, la práctica temprana de la
lógica difusa permitió el desarrollo de
aplicaciones prácticas. Aparecieron numerosas
publicaciones que presentaban los fundamentos básicos con
aplicaciones potenciales. Esta frase marcó una fuerte
necesidad de distinguir la lógica difusa de la teoría
de probabilidad. Tal
como la entendemos ahora, la teoría
de conjuntos difusos y la teoría de probabilidad
tienen diferentes tipos de incertidumbre.
En 1994, la teoría de la lógica difusa se
encontraba en la cumbre, pero esta idea no es nueva, para muchos,
estuvo bajo el nombre de lógica difusa durante 25
años, pero sus orígenes se remontan hasta 2,500
años. Aún Aristóteles consideraba que existían
ciertos grados de veracidad y falsedad. Platón
había considerado ya grados de pertenencia.
En el siglo XVIII el filósofo y obispo anglicano
Irlandés, George Berkeley y David Hume describieron que el
núcleo de un concepto atrae
conceptos similares. Hume en particular, creía en la
lógica del sentido común, el razonamiento basado en
el
conocimiento que la gente adquiere en forma ordinaria
mediante vivencias en el mundo. En Alemania,
Immanuel Kant, consideraba
que solo los matemáticos podían proveer
definiciones claras, y muchos principios
contradictorios no tenían solución. Por ejemplo la
materia
podía ser dividida infinitamente y al mismo tiempo no
podía ser dividida infinitamente. Particularmente la
escuela americana
de la filosofía llamada pragmatismo
fundada a principios de
siglo por Charles Sanders Peirce, cuyas ideas se fundamentaron en
estos conceptos, fue el primero en considerar ''vaguedades'',
más que falso o verdadero, como forma de acercamiento al
mundo y a la forma en que la gente funciona.
La idea de que la lógica produce contradicciones
fue popularizada por el filósofo y matemático
británico Bertrand Russell, a principios del siglo XX.
Estudio las vaguedades del lenguaje, concluyendo con
precisión que la vaguedad es un grado. El filosofo
austríaco Ludwing Wittgenstein estudió las formas
en las que una palabra puede ser empleada para muchas cosas que
tienen algo en común. La primera lógica de
vaguedades fue desarrollada en 1920 por el filósofo Jan
Lukasiewicz, visualizó los conjuntos con un posible grado
de pertenencia con valores de 0 y
1, después los extendió a un número infinito
de valores entre
0 y 1. En los años sesentas, Lofti Zadeh inventó la
lógica difusa, que combina los conceptos de la
lógica y de los conjuntos de Lukasiewicz mediante la
definición de grados de pertenencia.
3. Conceptos
básicos de Lógica Difusa
Conjuntos
difusos.
La mayoría de los fenómenos que encontramos cada
día son imprecisos, es decir, tienen implícito un
cierto grado de difusidad en la descripción de su naturaleza. Esta
imprecisión puede estar asociada con su forma,
posición, momento, color, textura, o
incluso en la semántica que describe lo que son. En muchos
casos el mismo concepto puede tener diferentes grados de
imprecisión en diferentes contextos o tiempo. Un
día cálido en invierno no es exactamente lo mismo
que un día cálido en primavera. La
definición exacta de cuando la temperatura va
de templada a caliente es imprecisa -no podemos identificar un
punto simple de templado, así que emigramos a un simple
grado, la temperatura es
ahora considerada caliente. Este tipo de imprecisión o
difusidad asociado continuamente a los fenómenos es
común en todos los campos de estudio: sociología, física, biología, finanzas,
ingeniería, oceanografía, psicología,
etc.
Conceptos imprecisos.
Aceptamos la imprecisión como una consecuencia natural de
''la forma de las cosas en el mundo''. La dicotomía entre
el rigor y la precisión del modelado matemático en
todo los campos y la intrínseca incertidumbre de ''el
mundo real'' no es generalmente aceptada por los
científicos, filósofos y analistas de negocios.
Nosotros simplemente aproximamos estos eventos a
funciones
numéricas y escogemos un resultado en lugar de hacer un
análisis del conocimiento
empírico. Sin embargo procesamos y entendemos de manera
implícita la imprecisión de la información
fácilmente. Estamos capacitados para formular planes,
tomar decisiones y reconocer conceptos compatibles con altos
niveles de vaguedad y ambigüedad. considere las siguientes
sentencias:
- La temperatura está caliente
- La inflación actual aumenta
rápidamente - Los grandes proyectos
generalmente tardan mucho - Nuestros precios
están por abajo de los precios de
la competencia - IBM es una compañía grande y
agresiva - Alejandro es alto pero Ana no es bajita
Estas proposiciones forman el núcleo de nuestras
relaciones con ''la forma de las cosas en el mundo''. Sin
embargo, son incompatibles con el modelado tradicional y el
diseño
de sistemas de
información. Si podemos incorporar estos conceptos
logramos que los sistemas sean
potentes y se aproximen más a la realidad.
Pero, es la imprecisión un concepto artificial utilizado
para aumentar o disminuir en uno o más las propiedades de
los fenómenos? o es una parte intrínseca del
fenómeno en sí mismo?.
Esta es una pregunta importante ya que es la parte fundamental de
las medidas de la teoría difusa. Como veremos la
fusificación es independiente de cualquier capacidad para
medir, ya que un conjunto difuso es un conjunto que no tiene
límites
bien definidos.
Un conjunto difuso tiene muchas propiedades
intrínsecas que afectan la forma del conjunto, su uso y
como participa en un modelo. Las
propiedades más importantes de un conjunto difuso son las
concernientes a las dimensiones verticales del conjunto difuso
(altura y normalización) y las dimensiones
horizontales (conjunto soporte y cortes "alpha").
La altura de un conjunto difuso es como máximo un
grado de pertenencia y es una cota cercana al concepto de
normalización. La superficie de la
región de un conjunto difuso es el universo de
valores. Todos estos conceptos se tratarán más
adelante.
Es decir un conjunto difuso A se considera como un conjunto de
pares ordenados, en los que el primer componente es un
número en el rango [0,1] que denota el grado de
pertenencia de un elemento u de U en A, y el segundo componente
especifica precisamente quién es ése elemento de u.
En general los grados de pertenencia son subjetivos en el sentido
de que su especificación es una cuestión objetiva.
Se debe aclarar que aunque puede interpretarse como el grado de
verdad de que la expresión ''u A'' sea cierta, es más natural considerarlo
simplemente como un grado de pertenencia.
Puede notarse además que:
a) Mientras más próximo está (u) a el
valor 1, se
dice que u pertenece más a A (de modo que 0 y 1 denotan la
no pertenencia y la pertenencia completa,
respectivamente).
b) Un conjunto en el sentido usual es también
difuso pues su función
característica u es también una
función u [0,1]; o sea que los conjuntos difusos son una
generalización de los conjuntos usuales.
Ejemplo: Sea U =11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, entonces los
conjuntos definidos a continuación son difusos:
- POCOS = (.4/1, .8/2, 1/3, .4/4)
- VARIOS = (.5/3, .8/4, 1/5, 1/6, .8/7,
.5,8) - MUCHOS =(.4/6, .6/7, .8/8, .9/9,1/10)
Note que el elemento 4 pertenece en grado .4 al conjunto
POCOS, en grado .8 al conjunto VARIOS y en grado .0 a MUCHOS.
Zadeh ha hecho algunas extensiones a los conceptos de conjuntos
difusos ordinarios que se han explicado; por ejemplo los
conjuntos difusos de nivel-m y los conjuntos difusos tipo-n. Para
un conjunto difuso de nivel-m se considera como su universo de
discusión al conjunto de conjuntos difusos de nivel-(m-1),
sobreentendiendo que los conjuntos difusos de nivel-1 son
conjuntos difusos ordinarios. Para los conjuntos difusos tipo-n,
los valores de
las funciones de pertenencia son conjuntos difusos de tipo-(n-1)
del intervalo [0,1] (en lugar de ser puntos de [0,1]).
También los conjuntos difusos tipo-1 son equivalentes a
los conjuntos difusos ordinarios.
Operaciones.
En la lógica Booleana tradicional, los conjuntos son
considerados como sistemas bivalentes con sus estados alternando
entre inclusión y exclusión. La característica de la función
discriminante refleja este espacio bivaluado
Esto indica que la función de pertenencia para el
conjunto A es cero si x no es un elemento en A y la
función de pertenencia es si x es un elemento en A. Dado
que existen solamente dos estados, la transición entre
estos dos estados es siempre inmediata. La pertenencia de estos
conjuntos está siempre totalmente categorizada y no existe
ambigüedad o dicotomía acerca de la pertenencia.
Existen 4 operaciones
básicas de conjuntos en esta lógica: unión,
intersección, complemento y unión
exclusiva.
Al igual que en los conjuntos convencionales, existen
definiciones específicas para combinar y especificar
nuevos conjuntos difusos. Este conjunto de funciones
teóricas provee las herramientas
fundamentales de la lógica.
En el caso usual, con las operaciones
comunes de intersección, unión y complemento, el
conjunto de conjuntos de U forman un álgebra
booleana, es decir se cumplen las condiciones de asociatividad,
conmutatividad, elementos neutros, ídem potencia,
absorción, distributividad, complemento y las leyes de
Morgan.
Las tres operaciones mencionadas se pueden extender de
varias formas a conjuntos difusos, de modo que al restringirlas a
los conjuntos usuales, coincidan con las comunes. Estas
extensiones resultantes satisfacen en forma general sólo a
algunas de las condiciones listadas anteriormente, y para
mantener la vigencia de alguna, será obligatorio
sacrificar a otras. En el sistema se optó por extender las
operaciones en el sentido clásico, es decir, dados dos
conjuntos difusos A y B, se definen las operaciones extendidas de
la siguiente forma
Dado que los conjuntos difusos no se particionan en el
mismo sentido que los conjuntos Booleanos, estas operaciones son
aplicadas al nivel de pertenencia, como una consecuencia de los
conjuntos difusos. Decidir si un valor es o no
es miembro de cualquier conjunto difuso en particular, requiere
algunas nociones de cómo esta construido el conjunto, del
universo y de
los límites de éste.
Las etiquetas lingüísticas y operadores.
El centro de las técnicas
de modelado difuso es la idea de variable
lingüística. Desde su raíz, una variable
lingüística es el nombre de un conjunto difuso. Si
tenemos un conjunto difuso llamado ''largo'' éste es una
simple variable lingüística y puede ser empleada como
una regla-base en un sistema basado en la longitud de un proyecto en
particular
Si duración-proyecto es largo
entonces la-terminación-de-tareas es DECRECIENTE; Una
variable lingüística encapsula las propiedades de
aproximación o conceptos de imprecisión en un
sistema y da una forma de computar adecuada. Esto reduce la
aparente complejidad de describir un sistema que debe concordar
con su semántica. Una variable lingüística
siempre representa un espacio difuso.
Lo importante del concepto de variable
lingüística es su estimación de variable de
alto orden más que una variable difusa. En el sentido de
que una variable lingüística toma variables
difusas como sus valores.
En el campo de la semántica difusa cuantitativa
al significado de un término "x" se le representa como un
conjunto difuso M(x) del universo de discusión. Desde este
punto de vista, uno de los problemas
básicos en semántica es que se desea calcular el
significado de un término compuesto x=x, x
,…,x
partiendo del conocimiento
del significado de sus componentes atómicos x.
La idea básica sugerida por Zadeh es que una
etiqueta lingüística tal como ''muy'', ''más o
menos'', ''ligeramente'', etc… puede considerarse como un
operador que actúa sobre un conjunto difuso asociado al
significado de su operando. Por ejemplo en el caso de un
término compuesto ''muy alto'', el operador ''muy''
actúa en el conjunto difuso asociado al significado del
operando ''alto''. Una representación aproximada para una
etiqueta lingüística se puede lograr en
términos de combinaciones o composiciones de las
operaciones básicas explicadas en la sección
anterior. Es importante aclarar que se hará mayor
énfasis en que estas representaciones se proponen
principalmente para ilustrar el enfoque, más que para
proporcionar una definición exacta de las etiquetas
lingüísticas. Zadeh también considera que las
etiquetas lingüísticas pueden clasificarse en dos
categorías que informalmente se definen como
sigue:
- Tipo I: las que pueden representarse como operadores
que actúan en un conjunto difuso: ''muy'', ''más
o menos'', ''mucho'', ''ligeramente'', ''altamente'',
''bastante'', etc. y, - Tipo II: las que requieren una descripción de
cómo actúan en los componentes del conjunto
difuso (operando): ''esencialmente'', ''técnicamente'',
''estrictamente'', ''prácticamente'', ''virtualmente'',
etc…
En otras palabras, las etiquetas
lingüísticas pueden ser caracterizadas cómo
operadores más que construcciones complicadas sobre las
operaciones primitivas de conjuntos difusos.
Ejemplos de etiquetas tipo I.
De acuerdo a éste punto de vista y sabiendo que el lenguaje
natural es muy rico y complejo, tomamos el operador ''muy'' que
podemos caracterizar con un significado de que aún cuando
no tenga validez universal sea sólo una
aproximación. Asumimos que si el significado de un
término x es un conjunto difuso A, entonces el significado
de muy X.
Más y menos
Se pueden definir etiquetas lingüísticas
artificiales, por ejemplo: más, menos, que son instancias
de lo que puede llamarse acentuador y desacentuador
respectivamente, cuya función es proporcionar ligeras
variantes de la concentración y la
dilatación.
Los exponentes se eligen de modo que se de la igualdad
aproximada: mas mas x = menos muy x, y que, además, se
pueden utilizar para definir etiquetas lingüísticas
cuyo significado difiere ligeramente de otras,
ejemplo:
Mas o menos
Otra etiqueta lingüística interesante es ''más
o menos'' que en sus usos más comunes como ''más o
menos inteligente'', ''más o menos rectangular'' etc,
juega el papel de
difusificador.
Ligeramente
Su efecto es dependiente de la definición de proximidad u
ordenamientos en el dominio del
operando. Existen casos, sin embargo, en los que su significado
puede definirse en términos de etiquetas
lingüísticas tipo I, bajo la suposición de que
el dominio del
operando es un conjunto ordenado linealmente.
Clase de
Es una etiqueta lingüística que tiene el efecto de
reducir el grado de pertenencia de los elementos que están
en el ''centro'' (grados de pertenencia grandes) de una clase x e
incrementa el de aquellos que están en su periferia
(grados de pertenencia pequeños).
Regular
Es una etiqueta que tiene el efecto de reducir el grado de
pertenencia de aquellos elementos que tienen tanto un alto grado
de pertenencia al conjunto como de aquellos que lo tienen
pequeño, y sólo aumenta el grado de pertenencia de
aquellos elementos que tienen un grado de pertenencia cercano al
.
Etiquetas tipo II.
Su caracterización envuelve una descripción de
forma que afectan a los componentes del operando, y por lo tanto
es más compleja que las del tipo I. En general, la
definición de una etiqueta de este tipo debe formularse
como un algoritmo
difuso que envuelve etiquetas tipo I. Su efecto puede describirse
aproximadamente como una modificación de los coeficientes
de ponderación de una combinación convexa. Como la
magnitud de las ponderaciones es una medida del atributo
asociado, intuitivamente una etiqueta de este tipo tiene el
efecto de aumentar las ponderaciones de los atributos importantes
y disminuir los que relativamente no lo son.
4. ¿Que es la
Lógica Difusa?
Un tipo de lógica que reconoce más que simples
valores verdaderos y falsos. Con lógica difusa, las
proposiciones pueden ser representadas con grados de veracidad o
falsedad. Por ejemplo, la sentencia "hoy es un día
soleado", puede ser 100% verdad si no hay nubes, 80% verdad si
hay pocas nubes, 50% verdad si existe neblina y 0% si llueve todo
el día.
La Lógica Difusa ha sido probada para ser
particularmente útil en sistemas
expertos y otras aplicaciones de inteligencia
artificial. Es también utilizada en algunos correctores de
voz para sugerir una lista de probables palabras a reemplazar en
una mal dicha.
La Lógica Difusa, que hoy en día se
encuentra en constante evolución, nació en los años
60 como la lógica del razonamiento aproximado, y en ese
sentido podía considerarse una extensión de la
Lógica Multivaluada. La Lógica Difusa actualmente
está relacionada y fundamentada en la teoría de los
Conjuntos Difusos.Según esta teoría, el grado de
pertenencia de un elemento a un conjunto va a venir determinado
por una función de pertenencia, que puede tomar todos los
valores reales comprendidos en el intervalo [0,1]. La
representación de la función de pertenencia de un
elemento a un Conjunto Difuso se representa según la
figura 1.
Ejemplo de una función de pertenencia a un
Conjunto Difuso.
La Lógica Difusa (llamada también Lógica
Borrosa por otros autores) o Fuzzy Logic es básicamente
una lógica con múltiples valores, que permite
definir valores en las áreas oscuras entre las
evaluaciones convencionales de la lógica precisa: Si
/ No, Cierto / Falso, Blanco / Negro, etc. Se considera un
súper conjunto de la Lógica Booleana. Con la
Lógica Difusa, las proposiciones pueden ser representadas
con grados de certeza o falsedad. La lógica
tradicional de las computadoras
opera con ecuaciones muy
precisas y dos respuestas: Si o no, uno o cero.
Ahora, para aplicaciones de computadores muy mal definidas o
sistemas vagos se emplea la Lógica
Difusa.
Por medio de la Lógica Difusa pueden formularse
matemáticamente nociones como un poco caliente o muy
frío, para que sean procesadas por computadoras y
cuantificar expresiones humanas vagas, tales como "Muy alto" o
"luz
brillante". De esa forma, es un intento de aplicar la
forma de pensar humana a la programación de los computadores.
Permite también cuantificar aquellas descripciones
imprecisas que se usan en el lenguaje y
las transiciones graduales en electrodomésticos como ir de
agua sucia a
agua limpia en
una lavadora, lo que permite ajustar los ciclos de lavado a
través de sensores.
La habilidad de la Lógica Difusa para procesar
valores parciales de verdad ha sido de gran ayuda para la
ingeniería. En general, se ha aplicado a:
Sistemas expertos. | |
Verificadores de ortografía, los cuales sugieren una | |
Control de sistemas de trenes |
Los operadores lógicos que se utilizarán
en Lógica Difusa (AND, OR, etc.) se definen también
usando tablas de verdad, pero mediante un "principio de
extensión" por el cual gran parte del aparato
matemático clásico existente puede ser adaptado a
la manipulación de los Conjuntos Difusos y, por tanto, a
la de las variables
lingüísticas.
La operación más importante para el
desarrollo y
creación de Reglas Lógicas es la
implicación, simbolizada por " ® " que representa el "Entonces" de las
reglas heurísticas: Si (…) Entonces ( ® ) (…).
Así, en la Lógica Difusa hay muchas
maneras de definir la implicación. Se puede elegir una
"función (matemática) de implicación" distinta
en cada caso para representar a la implicación.
La última característica de los sistemas
lógicos es el procedimiento de
razonamiento, que permite inferir resultados lógicos a
partir de una serie de antecedentes. Generalmente, el
razonamiento lógico se basa en silogismos, en los que los
antecedentes son por un lado las proposiciones condicionales
(nuestras reglas), y las observaciones presentes por otro
(serán las premisas de cada regla).
Los esquemas de razonamiento utilizados son "esquemas de
razonamiento aproximado", que intentan reproducir los esquemas
mentales del cerebro humano en
el proceso de
razonamiento. Estos esquemas consistirán en una
generalización de los esquemas básicos de
inferencia en Lógica Binaria (silogismo
clásico).
Tan importante será la selección
de un esquema de razonamiento como su representación
material, ya que el objetivo final
es poder
desarrollar un procedimiento
analítico concreto para
el diseño
de controladores difusos y la toma de
decisiones en general.
Una vez que dispongamos de representaciones
analíticas de cada uno de los elementos lógicos que
acabamos de enumerar, estaremos en disposición de
desarrollar formalmente un controlador "heurístico" que
nos permita inferir el control adecuado
de un determinado proceso en
función de un conjunto de reglas
"lingüísticas", definidas de antemano tras la
observación de la salida y normas de
funcionamiento de éste.
5. Conjuntos Difusos:
Lógica Difusa.
Predicados Vagos y Conjuntos Difusos.
Los conjuntos clásicos se definen mediante un predicado
que da lugar a una clara división del Universo de Discurso X en
los valores "Verdadero" y "Falso". Sin embargo, el razonamiento
humano utiliza frecuentemente predicados que no se pueden reducir
a este tipo de división: son los denominados predicados
vagos.
Por ejemplo, tomando el Universo de
Discurso
formado por todas las posibles temperaturas ambientales en la
ciudad de Huelva, se puede definir en dicho universo el conjunto
A como aquél formado por las temperaturas
"cálidas".
Por supuesto, es imposible dar a A una definición
clásica, ya que su correspondiente predicado no divide el
universo X en dos partes claramente diferenciadas. No podemos
afirmar con rotundidad que una temperatura es "cálida" o
no lo es. El problema podría resolverse en parte
considerando que una temperatura es "cálida" cuando su
valor supera cierto umbral fijado de antemano. Se dice que el
problema tan sólo se resuelve en parte, y de manera no muy
convincente, por dos motivos: de una parte el umbral mencionado
se establece de una manera arbitraria, y por otro lado
podría darse el caso de que dos temperaturas con valores
muy diferentes fuesen consideradas ambas como "cálidas".
Evidentemente, el concepto "calor"
así definido nos daría una información muy
pobre sobre la temperatura ambiental.
La manera más apropiada de dar solución a
este problema es considerar que la pertenencia o no pertenencia
de un elemento x al conjunto A no es absoluta sino gradual. En
definitiva, definiremos A como un Conjunto Difuso. Su
función de pertenencia ya no adoptará valores en el
conjunto discreto {0,1} (lógica booleana), sino en el
intervalo cerrado [0,1]. En conclusión podemos observar
que los Conjuntos Difusos son una generalización de los
conjuntos clásicos.
Mediante notación matemática
se define un Conjunto Difuso B como:
B = { ( x , m
B( x ) ) / x å X }
m B:
X®
[0,1]
La función de pertenencia se establece de una
manera arbitraria, lo cual es uno de los aspectos más
flexibles de los Conjuntos Difusos. Por ejemplo, se puede
convenir que el grado de pertenencia de una temperatura de
"45ºC" al conjunto A es 1, el de "25ºC" es 0.4 , el de
"6ºC" es 0, etc.: cuanto mayor es el valor de una
temperatura, mayor es su grado de pertenencia al conjunto
B.
Para operar en la práctica con los Conjuntos
Difusos se suelen emplear funciones de pertenencia del tipo
representado en la figura 2:
Tipos de funciones de pertenencia.
En la figura se pueden observar dos tipos de funciones de
pertenencia de todos los posibles: el tipo triangular, que puede
ser un caso concreto del
trapezoidal en el que los dos valores centrales son iguales, y el
de forma de campana gaussiana.
Tómese ahora el Universo de Discurso de la edad.
El Conjunto Difuso "Joven" representa el grado de pertenencia
respecto al parámetro juventud que
tendrían los individuos de cada edad. Es decir, el
conjunto expresa la posibilidad de que un individuo sea
considerado joven. Un Conjunto Difuso podría ser
considerado como una distribución de posibilidad, que es
diferente a una distribución de probabilidad.
Se puede observar que los Conjuntos Difusos de la figura
3 se superponen, por lo que un individuo xl
podría tener distintos grados de pertenencia en dos
conjuntos al mismo tiempo: "Joven" y "Maduro". Esto indica que
posee cualidades asociadas con ambos conjuntos. El grado de
pertenencia de x en A, como ya se ha señalado
anteriormente, se representa por A(x). El
Conjunto Difuso A es la unión de los grados de pertenencia
para todos los puntos en el Universo de Discurso X, que
también puede expresarse como:
Bajo la notación de los Conjuntos Difusos,
µA(x)/x es un elemento del conjunto A. La
operación x representa la unión
de los elementos difusos µA(x)/x. Los Universos
de Discurso con elementos discretos utilizan los símbolos
"+" y " " para representar la operación
unión.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo de Conjuntos Difusos en el universo de la edad.
Tómese un individuo x cuya edad sea de 20 años.
Como se puede observar en la figura, pertenece al Conjunto Difuso
"Joven" y al Conjunto Difuso "Maduro". Se puede observar que
posee un grado de pertenencia µA(x) de 0.6 para
el Conjunto Difuso "Joven" y un grado de 0.4 para el Conjunto
Difuso "Maduro"; también posee un grado de 0 para "Viejo".
De este ejemplo se puede deducir que un elemento puede pertenecer
a varios Conjuntos Difusos a la vez aunque con distinto grado.
Así, nuestro individuo x tiene un grado de pertenencia
mayor al conjunto "Joven " que al conjunto "Maduro"(0.6 >
0.4), pero no se puede decir, tratándose de Conjuntos
Difusos, que x es joven o que x es maduro de manera
rotunda.
6. Operaciones entre Conjuntos
Difusos.
Los Conjuntos Difusos se pueden operar entre sí del mismo
modo que los conjuntos clásicos. Puesto que los primeros
son una generalización de los segundos, es posible definir
las operaciones de intersección, unión y
complemento haciendo uso de las mismas funciones de
pertenencia:
µA B (x) =
minµA(x), µB(x) )
µA B (x) = max ( µA(x),
µB(x) )
µ A (x) = 1 –
µA(x)
En realidad, estas expresiones son bastante arbitrarias
y podrían haberse definido de muchas otras maneras. Esto
obliga a considerar otras definiciones más generales para
las operaciones entre los Conjuntos Difusos. En la actualidad se
considera correcto definir el operador intersección
mediante cualquier aplicación t-norma y el operador
unión mediante cualquier aplicación s-norma.
<
Variables Lingüísticas
La Teoría de Conjuntos Difusos puede utilizarse para
representar expresiones lingüísticas que se utilizan
para describir conjuntos o algoritmos.
Los Conjuntos Difusos son capaces de captar por sí mismos
la vaguedad lingüística de palabras y frases
comúnmente aceptadas, como "gato pardo" o "ligero cambio". La
habilidad humana de comunicarse mediante definiciones vagas o
inciertas es un atributo importante de la inteligencia.
Una Variable Lingüística es aquella variable
cuyos valores son palabras o sentencias que van a enmarcarse en
un lenguaje predeterminado. Para estas variables
lingüísticas se utilizará un nombre y un valor
lingüístico sobre un Universo de Discurso.
Además, podrán dar lugar a sentencias generadas por
reglas sintácticas, a las que se les podrá dar un
significado mediante distintas reglas
semánticas.
Los Conjuntos Difusos pueden utilizarse para representar
expresiones tales como:
- X es PEQUEÑO.
- La velocidad
es RÁPIDA. - El ganso es CLARO.
Las expresiones anteriores pueden dar lugar a
expresiones lingüísticas más complejas
como:
- X no es PEQUEÑO.
- La velocidad
es RÁPIDA pero no muy RÁPIDA. - El ganso es CLARO y muy ALEGRE.
Así, se pueden ir complicando las expresiones.
Por ejemplo, la expresión "x no es PEQUEÑO" puede
calcularse a partir de la original calculando el complemento de
la siguiente forma:
µ_no_PEQUEÑA (x) = 1-
µ_PEQUEÑO (x)
Tratando de esta forma los distintos modificadores
lingüísticos (muy, poco, rápido, lento…)
pueden ir calculándose todas las expresiones
anteriores.
Autor:
Yuliana Corzo