Estadística (página 2)

Ej. Las calificaciones obtenidas por los alumnos
indicados, son las siguientes:

José Aldunate 5,6 ; María Jonquera 3,8 ;
Roberto Melo 2,4 ; Mario Suazo 6,5, ……..

Según estos datos la
tabulación sería:

Obs. Si los resultados, como datos agrupados, fuesen los
siguientes: 15 alumnos aprobaron el curso

de Estadística; la reprobaron 2 y se retiraron
3, entonces una tabulación sería:

Los GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
son representaciones gráficas de la tabulación. Existen
gráficos de distintos tipos, como barras,
circulares, de puntos, líneas, de dispersión,
etc..

Gráfico de barras. Gráfico circular o de
torta.

Ej. En la consulta ¿Cuántos estudiantes
del Primer Nivel de la Carrera X del Santo Tomás en
Talca

aprobaron la asignatura de Estadística en el
año 2007? se tiene que:

Población = Estudiantes del Primer
Nivel de la Carrera X del Santo Tomás de 2007.

Muestra = Si la población considerada es "Estudiantes del
Santo Tomás en Talca", la población

anterior sería una muestra.

Variable = aprobar asignatura de
Estadística.

Dato individual = María Jorquera,
José Aldunate, ……, etc.

Número total de datos = 20
alumnos.

Ejercicios.

1. Supongamos que P es una población de 50
personas. La tabla siguiente es un resumen de las

alturas de las personas medidas en
centímetros.

1. Determine:
2. 1. La persona de mayor altura

   1.1.2 La persona de menor altura

   1.1.3 El valor de
   la altura que más aparece

   1. cuantas personas miden menos de 160
      cms.
   2. cuantas personas miden entre 145 cms. y 178
      cms.
   3. cuantas personas miden mas de 190
      cms.
3. Determine:

3. Hallar el número de personas que tienen una
   altura:
4. 1. entre 120 cms. y 135 cms. (inclusive los
      extremos)
   2. mayor de 156 cms y menor de 185
      cms.
   3. mayor de 106 cms. y menor de 155
      cms
   4. mayor de 126 cms. y menor de 195
      cms.
5. Determine el porcentaje que es cada intervalo de
   item 1.3 del total de personas de la
   población.
6. Aplique distintos tipos de gráficos para los
   item 1.2; 1.3 y 1.4.

Encuestas

Una ENCUESTA es la formulación
ordenada de preguntas que se hacen en una población,
ó muestra estadística, para conseguir los datos
necesarios para un estudio especifico. Estas preguntas
dependerán, en cuanto a la cantidad, de la o las variables que
se deseen analizar.

Ej. En el análisis anterior puede haber una sola
pregunta:

¿aprobó la asignatura de
Estadística? Si ƒ No
ƒ

Ej. También se pudo haber construido la siguiente
encuesta:

¿ aprobó la asignatura de
Estadística ? Si ƒ No
ƒ

¿ reprobó otra asignatura ? Si ƒ No ƒ

¿ reprobó otra asignatura, además
de la asignatura de Estadística ? Si ƒ No ƒ

¿ se retiró antes de finalizar el semestre
académico? Si ƒ No
ƒ

¿ el retiro se debió : a) condición
económica Si ƒ No
ƒ

b) resultado académico Si ƒ No ƒ

Escalas

Los gráficos utilizan diferentes tipos de
escalas. Una ESCALA es la
razón con la que se refleja en un gráfico la
realidad de los datos conseguidos. Generalmente al construir un
mapa geográfico se utiliza una escala, es así, que
al ver en un mapa la expresión 1:100 debemos interpretar
esta notación como por cada 1 cm2 de
área de la superficie del mapa existen 100 cm2
en el terreno real.

También se utiliza las escalas o proporciones en
el ámbito de la salud, es el caso de tener
un resultado referente a que de cada 100 mujeres 80 sufren
problemas de
osteoporosis.

Ej. Si los datos son: hombres casados 100.000; mujeres
casadas 150.000; divorciados 55.000 entonces la escala que se
puede utilizar es: por cada espacio del gráfico
corresponden 50.000 hombres o mujeres casados, es decir, es una
escala de 1: 50000. Así el gráfico
quedaría:

III. Medidas
estadísticas

Las medidas estadísticas tienen la importancia de dar a
conocer algunos aspectos de la población, en cuanto a la
cantidad y calidad de
los valores de
los elementos de ella.

Las medidas estadísticas se clasifican
en:

• MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE
  POSICIÓN.

(ubicadas entre los valores
extremos de la variable analizada).

• MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE
  DISPERSIÓN.

(denominadas también de abarcamiento,
generalmente alrededor de la media aritmética
)

Fórmulas para las medidas estadísticas
de Posición ( D.N.C.).

Def. Sean x1 , x2 ,
x3 ,…………., xn-1 ,
xn, n valores obtenidos por una variable X en
una población P.

Se definen las medidas estadísticas de
posición como sigue:

1. Media Aritmética

2. Media Geométrica.

3. Media Armónica.

4. Mediana.

Es el valor de la variable que deja la mitad (50%) a la
derecha y la otra mitad (50%) a la izquierda.

Para calcular el valor de la mediana primeramente deben
ordenarse de menor a mayor, o viceversa, todos los n elementos de
la población. Una vez ordenados se aplica uno de los
siguientes criterios:

– si el número de datos de la población es
un número par, la Mediana es la media aritmética de
los términos centrales.

– si el número de datos de la población es
un número impar, la Mediana es el término
central.

5. Moda.

La Moda es el valor de los n datos de una
población que más veces aparece, comparativamente
con los otros datos.

Al número de veces que un elemento aparece en la
población le llamaremos frecuencia.
(fi)

En caso que ninguno de los n datos tenga mayor
frecuencia que los otros, se dice que no existe moda para la
población o que la población es
Amodal.

Si dos o más datos tienen mayor frecuencia que
otros, se dirá que la población es
Multimodal.

Ej. La población P = {2, 3, 6, 9, 8} no tiene
moda, es AMODAL.

Ej. La población P = {2, 3, 6, 9, 8, 2, 3, 1}
tiene dos modas, es BIMODAL.

6. Fractiles.

Estas medidas de posición, que son llamados los T
– iles o Fractiles, están basados en los diferentes
porcentajes ( % ) en que puede dividirse el número total
de datos de la población.

– Los CUARTILES representan la
división en cuartos de la población, luego cada una
de esas partes contiene al 25% del total de datos de la
población. Existen 3 cuartiles que se denotan
C1 , C2 , C3

– Los QUINTILES dividen a la
población en cinco partes iguales, cada una de ellas
contiene al 20% de los datos de la población. Existen 4
quintiles que se denotan por Q1, Q2,
Q3, Q4

– Los DECILES dividen a la
población en diez partes iguales, cada una de ellas
contiene al 10% de los datos de la población. Existen 9
deciles que se denotan por D1,
D2,……,D7, D8,
D9.

– Los PERCENTILES son 99 y contienen al 1%
de la población y se denominan P1,
P2,.., P98, P99.

Obs. Nótese que C1 = P25;
C2 = mediana = P50 = D5;
D3 = P30 Q1 = D2 =
P20

Ej. Sea P = { 2, 4, 6, 8, 3, 7} algunos fractiles
son:

Cuartil 1 = 2 (25% de 6) Quintil 4 = 6.5 (80% de
6)

Decil 7 = 6 (70% de 6 ) Percentil 95 = 7.5 ( 95% de 6
)

Ejercicios.

1. En la población P, se han obtenido los datos
   de la Variable : sueldo de empleados, medidos en miles
   de $,que están indicados en la tabla
   siguiente,

1. Hacer una tabulación.
2. Determinar la media aritmética,
   geométrica y armónica.
3. Determinar la mediana y la moda.
4. Determinar las medidas de posición
   C3 , Q2 , D8 ,
   P95

1. Considerando los datos del ejercicio 1, determine las
   frecuencias de los siguientes rangos

conteo frecuencia

3.

1. Construya un gráfico de barras de los
   resultados del ejercicio 2.
2. Calcule que % es la frecuencia de cada rango del
   total de las frecuencias y construya un gráfico de
   torta.

4. En una encuesta sobre la preferencia de 400 personas
por los candidatos X, Y, Z se obtuvo el

siguiente resultado: a) 198 personas por el candidato X
; b) 234 por el candidato y c) el resto por

el candidato Z.

1. Determine que porcentaje de preferencia, del total
   de personas, obtienen los candidatos X, Y, Z.
2. Construya un gráfico de torta de los
   resultados del item 4.1. Considere 1% » 3,6º.

5. La tabla siguiente contiene la información de las unidades de
automóviles vendidos en los años

indicados.

5.1 Construya un gráfico lineal que represente
dichos datos.

5.2 Construya un gráfico de torta que represente
el % de vehículos vendidos por año con respecto
a

la venta total del
período 2004 – 2007

Obs. En el caso que los datos x1,
x2, x3, .. , xp de una
población P, tengan frecuencias f1,
f2, f3 ,… , fp ,
respectivamente, siendo n = S
fi = f1 + f2 + f3
+…..+ fp y p el número
de elementos distintos, las medidas estadísticas asumen la
siguiente forma:

1. Media Aritmética.

2. Media Geométrica.

3. Media Armónica.

4. Mediana.

Primeramente se deben ordenar todos los elementos,
incluso aquellos que aparecen mas de una vez, enseguida se aplica
uno de los criterios ya vistos.

5. Moda.

El dato (o los datos) xi que tenga(n) la
frecuencia fi de mayor valor numérico,
comparativamente

con otros datos, es la moda.

Obs. Las demás medidas estadísticas de
posición, se calculan utilizando las mismas
fórmulas ya

establecidas.

Ej. Sea la población P = {2, 4, 4, 6, 8, 6, 3, 7,
6 }. Su tabulación es

Sus medidas estadísticas de posición
son:

Media Aritmética = ( 2× 1 + 4 + 6
+ 8× 1 + 3× 1 + 7× 1
) / 9 = 46 / 9 = 5.11

Mediana = ( 6 + 6 ) / 2 = 6 orden: 2 – 3 – 4 – 4 –
§ 6 § – 6 – 6 – 7 – 8 ( el número es
impar)

Moda = 6 (aparece 3 veces )

Cuartil 3 = C3 = 6 (75% de 9)

Quintil 1 = Q1 = 3 (20% de 9)

Decil 4 = D4 = 4 (40% de 9)

Percentil 60 = P60 = 6 (60% de 9)

Obs. Una forma de obtener los valores de las diferentes
medidas estadísticas de posición es construir el
siguiente cuadro de cálculo:

Ejercicios.

1. Determine las medidas de posición de los
   valores dados en la tabla siguiente:

2. Construya un gráfico: a) lineal b) de barras
c) de torta, considerando los datos del

ejercicio 1.

3. La tabla contiene los sueldos, en miles de pesos, de
270 personas:

3.1 ¿cuántas personas ganan un sueldo
menor que el primer cuartil?

3.2 ¿cuántas personas ganan un sueldo
mayor al decil 4?.

3.3 ¿cuántas personas ganan un sueldo
entre el percentil 22 y el percentil 95?

3.4 ¿cuántas personas ganan un sueldo
entre los 125 mil y los 456?

3.5 ¿cuál es el % de personas que ganan un
sueldo entre los 186 mil y los 589?

3.6 ¿cuántas personas ganan un sueldo
entre el quintil 1 y el quintil 4?

IV.
Fórmulas de las medidas estadísticas de
Dispersión (D. N. C.)

Def. Sean x1 , x2 ,
x3 ,……., xn-1 , xn ,
los n valores obtenidos de una variable X en una población
P.

Se definen las medidas estadísticas de
dispersión como sigue:

Varianza

Desviación típica.

Desviación Absoluta

Momento de orden r

Momento de orden r con respecto a la media
aritmética.

Ej. Ej. Sea P = {2, 4, 6, 8, 3, 7}. Su media
Aritmética = 5

Obs. Si los valores xi tienen frecuencia
fi, respectivamente, entonces las expresiones que
calculan el

valor de las medidas de dispersión toman la forma
siguiente:

Ej. Ej. Sea P = {2, 4, 6, 8, 3, 7, 4, 6}. Su media
aritmética = 5

Varianza = [ (2 – 5)2 + 2× (4 – 5)2 + 2× (6 – 5)2 + (8 – 5)2
+ (3 – 5)2 + (7 – 5)2 ] / 8 =
3.62

Desviación Típica = = 1.9

m3 = [23 + 2× 43 + 2× 63 + 83 +
33 + 73 ]/ 8 = 181.25

= [ (2
– 5)4 + 2× (4 –
5)4 + 2× (6 –
5)4 + (8 – 5)4 + (3 – 5)4 + (7 –
5)4 ] / 8 = 24.75

Ejercicios.

1. Sean las poblaciones

P = {2, 4, 3, 6, 7, 8, 9}; R = { ½ , 3/4, 5/6,
4/3, 6/7, 2/5, 3/7, 9/11 };

Q = { 2,5; 4,3; 5,6; 8,3; 9,2; 10,5; 12,3; 4,7; 3,9;
5,8}; S = {1234; 3245; 4356; 2341; 9876; 5678}

1.1 encuentre las medidas de posición de las
poblaciones P y Q.

2. encuentre las medidas de dispersión de las
   poblaciones R y S.
3. determine si la media aritmética de la
   población PÈ Q es
   igual a la suma de la media aritmética de P con la
   media aritmética de Q.
4. compare la media aritmética,
   geométrica y armónica de las poblaciones P, Q,
   R y S.

1. El cuadro dado es el resultado de las edades
   años de los alumnos del III nivel de la carrera
   de

Asistente Judicial. ( M = mujer ; H =
hombre
)

2.1 ¿cuál es el promedio de edad de los
hombres?

2.2 ¿cuál es el promedio de edad de las
mujeres?

2.3 construya un gráfico que represente el % que
corresponde a las mujeres y a los hombres del

total de elementos de la población.

2.4 hallar el nº de alumnos que pertenecen al
intervalo (m. aritmética – s; m. aritmética +
s)

2.5 determine el % de alumnos que pertenecen al
intervalo (mediana -2s, mediana + 2s )

Clasificación de datos ( D.C.)

Sea P una población de n datos. En ocasiones los
datos de la población requieren ser clasificados en p –
clases ( grupos,
intervalos) de manera cualitativa o cuantitativa.

En las clasificaciones cuantitativas, cada clase tiene un
valor menor llamado LÍMITE INFERIOR (L.I.) y
un valor mayor llamado LÍMITE SUPERIOR
(L.S.).

La media aritmética de esos límites,
(LI + LS) / 2, es llamada MARCA de la clase y se
denota por xi.

El número total de datos de una variable X que
pertenecen a una clase es llamada FRECUENCIA de la
clase y se denota por fi
.

La diferencia entre el límite inferior y el
límite superior, | LI – LS |, de cada clase es el
TAMAÑO de la clase y se denota por
ti

Obs.

1. la clasificación de una población puede
ceñirse a un criterio personal o por
criterios de

importancias.

2. el número de clases de una distribución de frecuencias puede ser
sugerido por la expresión:

k = 1 + 3,3 × log n

donde n es el número de datos de la
población.

Una vez que se haya determinado el número de
clases k de una distribución, para conseguir que las
clases tengan el mismo tamaño, el rango total (diferencia
entre el menor valor y el mayor valor de los datos de la variable
de la población) se divide por k.

rango total = V. Menor – V. Mayor Þ . Tamaño clase = (V. Menor – V.
Mayor ) / k

Ej. Si n = 100 Þ K = 1
+ 3,3*log100 = 1 + 3,3*2 = 7,6 »
8. Luego, la expresión sugiere que la

distribución de las frecuencias tenga 8
clases.

Ej. Considerando la sugerencia anterior, 8 clases, y si
el mínimo valor de los datos de la población es 34
y el mayor es 234, entonces el rango de cada clase es (234 – 34 )
/ 8 = 25 y una clasificación sería:

Otra puede ser:

Obs. Lo importante al hacer una clasificación, es
asegurar que todos los datos de la población pertenezcan a
alguna de las clases.

Ej. Determine los números de clases sugeridas por
la fórmula para una población de a) 200; b)
300;

c) 500; d) 1000; e) 2000; f) 10000 datos.

Solución.

1. número de clases sugeridos = 1 + 3,3 log200 =
   1 + 3,3 × 2,301 = 1 + 7,59 =
   8,59 » 9
2. número de clases sugeridos = 1 + 3,3 log300 =
   1 + 3,3 × 2,477 = 1 + 8,17 =
   9,17 » 9
3. número de clases sugeridos = 1 + 3,3 log500 =
   1 + 3,3 × 2,699 = 1 + 8,9 =
   9,9 » 10
4. número de clases sugeridos = 1 + 3,3 log1000 =
   1 + 3,3 × 3 = 1 + 9,9 = 10,9
   » 11
5. número de clases sugeridos = 1 + 3,3 log2000 =
   1 + 3,3 × 3,301 = 1 + 10,89 =
   11,89 » 12
6. número de clases sugeridos = 1 + 3,3 log10000
   = 1 + 3,3 × 4 = 1 + 13,2 =
   14,2 » 15

Medidas de posición ( D.C.)

Media aritmética.

Media Geométrica.

Media Armónica.

Mediana.

Moda.

Fractiles.

Simbología

fi = frecuencia de la clase i –
ésima

xi = marca de la clase
i – ésima =

N = número total de elementos de la
distribución = S
fi

L Me = límite inferior de la clase
mediana. La clase mediana es aquella clase donde se
produce la

mitad del total de las frecuencias

L Mo = límite inferior de la clase
modal. La(s) clase(s) modal(es) es (son) aquella(s)
clase(s) que

tiene(n) la mayor de las frecuencias.

D 1 = exceso de
frecuencias de la clase modal con respecto a la clase
inmediatamente anterior.

D 2 = exceso de
frecuencias de la clase modal con respecto a la clase
inmediatamente posterior.

L q = límite inferior de la clase q –
tila. La clase q- tila es aquella clase donde se produce
la cantidad

de frecuencias correspondiente al q% de N.

fa/me = frecuencia acumulada desde la primera
clase hasta la clase mediana.

fa /q = frecuencia acumulada desde la primera
clase hasta la q – tila clase.

fme = frecuencia de la clase
mediana.

fq = frecuencia de la clase q –
tila.

t me = tamaño de la clase
mediana.

t mo = tamaño de la clase
modal.

t q = tamaño de la clase q –
tila.

Ej. Sea la población P cuyos datos están
dados en la siguiente tabla de datos clasificados. La

variable de las clases es sueldo en miles $. Los datos
correspondientes a 50 empleados de alguna

empresa E
están dados en la tabla siguiente:

Las medidas estadísticas de posición se
calculan aplicando las fórmulas correspondientes a datos
clasificados. Así se tiene que:

Media aritmética = 9619 / 50 =
$192.380

Mediana = 101 + 99 (25 – 12)/15 = $186.800
ª clase mediana: 101 –
200

Moda = 101 + 99 3/(3+2) = $160.400 ª clase modal: 101 – 200

Cuartil 1 C1 = T25 = 101 + 99
 (12.5 – 12)/15 = $104.300

Quintil 3 Q1 = T60 = 201 + 99
 (30 – 27)/13 = $223.846

Decil 4 D4 = T40 = 101 + 99
(20 – 12)/15 = $153.800

Percentil 82 = P82 = T82 = 301 +
99  (41 – 40)/13 = $308.615

Obs. Según las medidas obtenidas en el ejemplo
anterior se puede concluir que el 25% (C1 ) de
los

empleados de la empresa E gana
un sueldo menor que $104.300; mientras que el 82%
(P82)

gana un sueldo menor que $308.615.

Medidas estadísticas de dispersión (
D.C.)

Varianza.

Desviación típica o
estándar.

Desviación Absoluta.

Momento de orden r.

Momento de orden r con respecto a la media
aritmética.

Ej. Determinar las medidas de dispersión
varianza, desviación típica, momento de orden 2
y

momento de orden 3 con respecto a la media
aritmética, de la distribución en clases
siguiente:

varianza = v = 9,2736

desviación típica = s = 3,04

momento de orden 2 = m2 = 57,16

momento de orden 3 con respecto a la media
aritmética = m = -4,33.

Aplicaciones.

Las diversas medidas estadísticas, tanto de
posición como de dispersión, pueden ser
útiles en las siguientes instrumentos:

• Coeficiente de variación.

Def. Se define el COEFICIENTE de VARIACIÓN como
el valor dado por la expresión:

donde
= media aritmética y s = desviación típica
de la población.

Ej. Si de una población es 35 y s = 7 entonces: CV = 7/35 =
1/5 = 0,2.