En Psicología esta tendencia se conoce como
Conductismo.
Si por el contrario, consideramos que el
conocimiento matemático no es algo totalmente acabado
sino en plena creación, que más que conceptos que
se aprenden existen estructuras conceptuales que se
amplían y enriquecen a lo largo de toda la vida, entonces
ya no bastará con la exposición. Habrá que hacer
partícipes a los alumnos del propio aprendizaje. Y
sólo hay una forma de hacer partícipes a los
alumnos: dar significado a todo lo que se
enseña.
Para desarrollar los hábitos de pensar sólo hay
un camino, pensar uno mismo. Permitir que los alumnos participen
en la construcción del conocimiento
es tan importante o más que exponerlo. Hay que
convencer a los estudiantes que la matemática
es interesante y no sólo un juego para los
más aventajados. Por lo tanto, los problemas y la
teoría
deben mostrarse a los estudiantes como relevantes y llenos de
significado.
Si nos enmarcamos en un enfoque, la primera pregunta que nos
viene a la cabeza es qué estamos enseñando. Una
pregunta relacionada: ¿qué aprenden los
alumnos?
O proponemos la pregunta de otra forma: ¿Cómo
enseñamos? ¿Cómo aprenden los
alumnos?
Si queremos que nuestros alumnos aprendan a resolver
problemas, hemos de diseñar y desarrollar nuestra
enseñanza.
Por ello, un profesor de
matemáticas tiene una gran oportunidad. Si
dedica su tiempo a
ejercitar a los alumnos en operaciones
rutinarias, matará en ellos el interés,
impedirá su desarrollo
intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero
si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos
planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y
les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes,
podrá despertarles el gusto por el pensamiento
independiente y proporcionarles ciertos recursos para
ello.
Responde a las preguntas:
De acuerdo a la lectura haz
un comentario. Luego dialoga con tus compañeros en
grupo.
¿Cómo aprendes?
¿Cómo te gustaría enseñar?
¿QUÉ
ENTENDEMOS POR DIDÁCTICA? Y ¿QUÉ ENTENDEMOS
POR DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA?
Definiciones Clásicas de Didáctica
El empleo
más común de la palabra "Didáctica" es su uso como adjetivo y
él nos remite según el Diccionario
Larousse (1999) a "lo que está relacionado con la
enseñanza, lo que se quiere enseñar
y más ampliamente, propio, adecuado para enseñar o
instruir".
Comenius (1657), la introduce como sustantivo entre los
años 1632-1640, para designar "el arte de
enseñar", lo que significaría: el conjunto de
medios y de
procedimientos
que tienden a hacer conocer, a saber algo, generalmente una
ciencia, una
lengua, un
arte. Este sentido original es el más difundido,
inclusive, es el que se encuentra en la mayoría de los
diccionarios.
Este término "Didáctica" es, por lo tanto,
utilizado según sus necesidades por la mayoría de
las instituciones
con el sentido primitivo común, y de él surgen tres
definiciones, denominadas para este trabajo como
"clásicas". Ellas son:
- "Didáctica" como una palabra "culta" para
designar la enseñanza. - "Didáctica" como la preparación de lo que
sirve para enseñar. - "Didáctica" como el conocimiento del arte de
enseñar
Analiza la orientación de las tres definiciones y
expresa una idea personal de lo
que consideras es la DIDÁCTICA.
Algunas Aseveraciones de Didáctica de la
Matemática
Sin querer entrar en la discusión acerca del carácter de la didáctica y de la
existencia o no de las didácticas específicas,
queremos explicitar algunos supuestos.
Para ello proponemos utilizar el "triángulo
didáctico", en tanto herramienta de análisis. Constituido por 3
vértices: el saber, el docente y el alumno, el lugar que
cada uno de ellos ha ocupado en la enseñanza define 3
tipos generales de concepciones didácticas que han dado
lugar a diversos métodos de
enseñanza.
Aplicando esta idea a la didáctica específica
que nos preocupa, Guy Brousseau realiza la siguiente
caracterización:
"a) la didáctica como técnica: en
tanto conjunto de técnicas y
métodos que sirven para lograr mejores resultados;
b) la didáctica
empírico-científica: en tanto estudio de la
enseñanza como disciplina
científica que planifica situaciones y las analiza junto a
sus resultados en forma estadística y
c) la didáctica sistémica: en
tanto ciencia que teoriza la producción y la
comunicación del saber matemático en su
autonomía de otras ciencias"
(Villella, J. 1996)."
Vamos a partir de esta tercera concepción de la
didáctica de la matemática como ciencia
autónoma, originada en Francia con la
denominada "escuela francesa
de la didáctica de la matemática" del IREM, en los
años "70, cuyos precursores son: Guy Brousseau, Yves
Vergnaud y D. Chevallard entre otros.
La definen como ciencia autónoma desde 2
postulados:
- La identificación e interpretación del objeto de
interés supone el desarrollo de un cuerpo teórico
y - Este cuerpo debe ser específico del saber
matemático y no provenir de la aplicación de
teorías desarrolladas en otros dominios
(como ser la psicología, la
pedagogía u otras).
En la concepción matemática o
fundamental, la didáctica se presenta como "una
ciencia que se interesa por la producción y comunicación de los conocimientos, en los
que esta producción y esta comunicación tienen de
específicos de los mismos" (Brousseau, 1989).
Sus objetos de estudio particulares son:
- Las operaciones esenciales de la difusión de los
conocimientos, las condiciones de esta difusión y las
transformaciones que produce, tanto sobre los conocimientos
como sobre sus utilizadores. - Las instituciones y las actividades que tienen por objeto
facilitar estas operaciones.
"El verdadero objetivo de la
didáctica es la construcción de una teoría
de los procesos
didácticos que nos proporcione dominio
práctico sobre los fenómenos de la clase"
(Chevallard, 1980; p. 152).
Con las aseveraciones dadas expresa una idea de lo que
consideras es la DIDACTICA DE LA MATEMÁTICA.
DEFINIENDO LA
DIDÁCTICA Y DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA
DIDÁCTICA
- La didáctica es la disciplina pedagógica de
carácter práctico y normativo que tiene por
objeto específico la técnica de la
enseñanza, esto es, la manera coherente y sustentada de
dirigir, orientar, acompañar eficazmente a los
alumnos en su aprendizaje, respetando sus
características, intereses y saberes. - Es el conjunto sistemático de principios,
normas,
recursos y procedimientos específicos que todo docente
debe conocer y saber aplicar para orientar con seguridad a
sus alumnos en el aprendizaje
de las materias y o en la adquisición de habilidades y
destrezas, teniendo a la vista las capacidades a desarrollar en
ellos.
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
La concebimos como una disciplina en tanto conjunto de saberes
organizados, cuyo objeto de estudio es la relación entre
los saberes y su enseñanza.
En un breve recorrido histórico podemos ver distintas
motivaciones para la enseñanza: Villella (1996) recuerda
que en Egipto y
Mesopotamia se
enseñaba con un fin meramente utilitario: dividir
cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su
carácter era formativo, cultivador del razonamiento,
complementándose con el fin instrumental en tanto
desarrollo de la inteligencia y
camino de búsqueda de la verdad.
Hoy podemos hablar de 3 fines: formativo,
instrumental y social. Teniendo en cuenta algunos contextos:
de producción, de apropiación, de
utilización del saber matemático.
ESTILOS DE ENSEÑANZA
La matemática como actividad posee una
característica fundamental: La
matematización.
Matematizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema,
identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir
regularidades, relaciones y estructuras.
Treffer en su tesis (1978)
distingue dos formas de matematización, la
matematización horizontal y la
matematización vertical.
La MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL, nos lleva
del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar
matemáticamente un conjunto de problemas.
En esta actividad son característicos los siguientes
procesos:
- IDENTIFICAR las matemáticas en contextos
generales - ESQUEMATIZAR
- FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras
- DESCUBRIR relaciones y regularidades
- RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas
- TRANSFERIR un problema real a uno matemático
- TRANSFERIR un problema real a un modelo
matemático conocido.
La MATEMATIZACIÓN VERTICAL consiste en el
tratamiento específicamente matemático de las
situaciones, y en tal actividad son característicos los
siguientes procesos:
- REPRESENTAR una relación mediante una
fórmula - UTILIZAR diferentes modelos
- REFINAR y AJUSTAR modelos
- COMBINAR e INTEGRAR modelos
- PROBAR regularidades
- FORMULAR un concepto
matemático nuevo - GENERALIZAR
Estos dos componentes de la matematización pueden
ayudarnos a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la
enseñanza de la matemática.
Estructuralismo
Para el estructuralismo, la matemática es una
ciencia lógico deductiva y ese carácter es el que
debe informar la enseñanza de la misma.
El estilo estructuralista hunde sus
raíces históricas en la enseñanza de la
geometría euclideana y en la concepción de la
matemática como logro cognitivo caracterizado por ser un
sistema
deductivo cerrado y fuertemente organizado. Es por lo que,
a los ojos de los estructuralistas, a los alumnos se les debe
enseñar la matemática como un sistema bien
estructurado, siendo además la estructura
del sistema la guía del proceso de
aprendizaje.
Ese fue, y sigue siendo, el principio fundamental de la reforma
conocida con el nombre de Matemática Moderna y cuyas
consecuencias llegan hasta nuestros días. El estilo
estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva,
de forma abundante, el componente vertical.
Mecanicismo
El estilo mecanicista se caracteriza por la
consideración de la matemática como un
conjunto de reglas. A los alumnos se les enseñan las
reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los
ejemplos previos. Raramente se parte de problemas reales o
cercanos al alumno, más aún, se presta poca
atención a las aplicaciones como
génesis de los conceptos y procedimientos, y mucha a la
memorización y automatización de algoritmos
de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por
una carencia casi absoluta de los dos tipos de
matematización.
El ataque más demoledor a este planteamiento de
enseñanza proviene de H. Freudenthal (1991): "De
acuerdo con la filosofía mecanicista el hombre es
como una computadora,
de tal forma que su actuación puede ser programada por
medio de la práctica. En el nivel más bajo, es la
práctica en las operaciones aritméticas y
algebraicas (incluso geométricas) y la solución
de problemas que se distinguen por pautas fácilmente
reconocibles y procesables. Es en este, el más bajo
nivel dentro de la jerarquía de los más potentes
ordenadores, donde se sitúa al hombre".
Freudenthal termina su alegato con la siguiente pregunta
dirigida a sus propagadores: ¿Por qué
enseñar a los alumnos a ejecutar tareas, al nivel en el
que los ordenadores son mucho más rápidos,
económicos y seguros?
Empirismo
Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno,
lo concreto. La enseñanza es
básicamente utilitaria, los alumnos adquieren
experiencias y contenidos útiles, pero carece de
profundización y sistematización en el
aprendizaje. El empirismo
está enraizado profundamente en la
educación utilitaria inglesa.
Realista
El estilo realista parte asimismo de la
realidad, requiere de matematización horizontal,
pero al contrario que en la empirista se profundiza y se
sistematiza en los aprendizajes, poniendo la
atención en el desarrollo de modelos,
esquemas, símbolos, etc. El principio didáctico
es la reconstrucción o invención de la
matemática por el alumno, así, las construcciones
de los alumnos son fundamentales. Es una enseñanza
orientada básicamente a los procesos. Este estilo
surgió en los Países Bajos partiendo de las ideas
de Freudenthal y ha sido desarrollado por los actuales miembros
del Freudenthal Institut de la Universidad
de Utrecht (www.fi.uu.nl
).
Los estilos empirista y realista
desarrollan bastante el componente horizontal pero sólo el
último presta atención al componente vertical, que
es casi inexistente en el primero.
Extrae tus propias
conclusiones.
Los alumnos suelen
retener:
- El 10% de lo que leen,
- El 20% de lo que escuchan
- El 30% de lo que ven,
- El 50% de lo que ven y escuchan,
- El 70% de lo que discuten
- El 90% de lo que hacen
MEDIANTE
EJEMPLOS ANALIZAMOS CÓMO ENSEÑAMOS Y CÓMO
DEBERÍAMOS ENSEÑAR TENIENDO EN CUENTA LA
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Ejemplo 1
Sistema de
numeración
Un sistema de numeración es aquel formado por
símbolos y reglas que permiten combinar esos
símbolos. A lo largo de la historia, el hombre ha
empleado distintos sistemas de
numeración, por ejemplo el Romano, el Egipcio, el
Babilonio. etc.
El sistema de numeración que empleamos es el
DECIMAL, pues está formado por 10 símbolos. (0; 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y las reglas que los vinculan: cada
unidad está formada por diez unidades del orden inferior,
es decir 1 decena está formada por 10 unidades simples; 1
centena por 10 decenas; 1 unidad de mil por 10 centenas;
etc.
La característica principal del Sistema de
Numeración Decimal, es la de ser posicional, es decir cada
cifra ocupa un lugar determinado.
Ejemplo: en el número 4876, el 6 ocupa el
lugar de las unidades simples, el 7 el de las decenas, el 8 el de
las centenas y el 4 el de las unidades de mil. Si cambiamos el
orden de las cifras cambia el valor del
número. Así 6487 será distinto que
4876.
Esto no sucede de la misma forma en un sistema no
posicional, por ejemplo el romano, el número XV representa
al 15 y si permutamos los símbolos VX, no obtenemos
ningún nuevo número. Estos sistemas son
denominados ADITIVOS. El romano, CCCXXIV y el decimal,
324.
Podemos observar que, un sistema del tipo aditivo es
sencillo de interpretar, sólo se necesitan sumar los valores de
los símbolos utilizados. Pero requieren de gran cantidad
de símbolos para representar números
mayores.
El posicional, es más económico, con
sólo diez símbolos podemos continuar la serie
numérica indefinidamente, pero, es menos transparente. El
número 324 está formado por 300+ 20+ 4.
¿Cuáles son los conocimientos previos
que poseen los niños?
Sabemos que los niños tienen ideas previas,
adquiridas por el intercambio con el medio natural y
social.
Podemos enseñar a partir de ellas. No siempre
hacemos uso de esas ideas.
Si queremos trabajar con los niños, por ejemplo,
numeración, indagamos sobre los conocimientos que poseen y
luego nos dedicamos a "enseñar" los cinco primeros
números. ¿Para qué indagamos las ideas
previas que poseen? Si deseamos comenzar a trabajar el espacio
geométrico y después de ver a los niños
jugando con bloques, comenzamos mostrando figuras planas,
¿qué sentido tiene el haber observado el juego?
¿O tal vez no se lo ha hecho?
Es cierto que la enseñanza inicial de la
matemática básica no ha sabido capitalizar
demasiado a menudo la riqueza del conocimiento informal y esto ha
hecho que se la enseñe desconectada de la realidad y en
forma mecanicista y repetitiva.
Leamos una experiencia realizada con niños de 4
años. Después de jugar con la computadora
a uno de esos juegos que
otorgan puntos por realizar correctamente determinadas
tareas.
Se le preguntó a Andrés,
¿quién ganó?
Andrés: Luis, hizo más
puntos.
Maestra: -¿Cómo lo
sabes?
Andrés:- Porque el número de
él era más largo.
En ese "más largo" estaba implícito, que
era el número que tenía más
cifras.
Debemos, entonces, ¿enseñar números
de tres, cuatro o más cifras? No, pero la respuesta nos da
indicios de ir reconociendo ciertas características de los
números.
Secuenciar la enseñanza
Debemos tener en cuenta.
Primero: buscar una situación
problemática que necesite del contenido a
tratar.
Por ejemplo: veamos una actividad para nivel inicial.
Colocar 3 muñecos sobre una mesa alejada del armario y,
luego de preguntarles ¿cuántos hay?, pedir que vaya
al armario y busquen tantos gorros como muñecos
hay.
Podrán resolver la situación de distintas
formas. Traer de uno en uno. Recordar la cantidad y traer todos
juntos, etc.
Segundo: tener en cuenta los
números que intervienen. Si el problema es resuelto. La
próxima vez colocaremos 9 muñecos, aumentar la
cantidad implica hacerla más compleja.
Si los niños traen de a uno los gorros y no
memorizan la cantidad, poner la condición de hacerlo con
el menor número de viajes.
Esto permite graduar las actividades e ir
apropiándose de nuevas estrategias para
solucionar los distintos problemas.
Tercero: llevar un registro de las
distintas actividades y las respuestas de los niños,
será de importancia para saber en que momento es necesario
cambiar la dificultad de las actividades.
¿Qué hacen los niños al
respecto, cómo se apropian del sistema de
numeración?
En primer lugar reconocen que un número es mayor
que otro porque tiene más cifras. Ejemplo: 456 es mayor
que 34 pues el primero tiene 3 cifras y el segundo 2.
Poco a poco reconocen que si los números tienen
igual cantidad de cifras es mayor el que comienza con la cifra
mayor. Ejemplo: 45 y 28; 45 es mayor que 28, pues 4 es mayor que
2.
Sus producciones escritas responden a lo que "escuchan",
así 238 (doscientos treinta y ocho) será escrito:
200308
A pesar de su corta edad los niños son capaces de
establecer relaciones, reflexionar sobre posibles respuestas a
situaciones. Observar regularidades, propias de los contenidos
matemáticos, que le permitirán generalizar
conceptos.
No se debe caer en el error de suponer que los
niños "conocen" el sistema de numeración, que
reconocen cantidad al hablar de 29 o 12, o que conocen los
números porque los recitan correctamente
Pero, también, será un error no indagar
sus conocimientos, no permitirles explorar en las creencias y no
ponerlos en situaciones que exijan buscar soluciones.
Conociendo los números
Cardinalidad y ordinalidad: dos aspectos ligados al
número.
Cardinalidad, hace referencia a la cantidad de
elementos de un conjunto o colección.
Ordinalidad, hace referencia al lugar que ocupa
el número dentro de una serie ordenada.
Contextos.
Recordemos que la Matemática es una ciencia en
sí totalmente abstracta, de allí que sea necesario,
para su estudio y sobre todo desde una edad temprana, que
esté contextuada.
Contexto cardinal: es aquel en el que el
número natural describe la cantidad de elementos de un
conjunto de objetos discretos (aislados). Ejemplo:
¿Cuántos lápices hay sobre la
mesa?.
Contexto ordinal, es aquel que describe la
posición relativa de un elemento de un conjunto discreto y
totalmente ordenado en el que se ha tomado uno de los elementos
como inicial. Ejemplo: Señala el tercer libro de los
que están ubicados en el estante.
Contextos de secuencias: los números se
emplean sin estar asociados a un objeto u objetos en
particular.
Ejemplo: "Decir" los números, al jugar a las
Escondidas.
Contexto de código: Los números se
usan como "etiquetas" que dan información. Se usan para
distinguir clases de elementos. Ejemplo: los números que
identifican a una línea de colectivos, a un número
de teléfono, etc.
Contexto de medida: Los números describen
la cantidad de unidades de alguna magnitud continua, como
longitud, capacidad, superficie, tiempo, etc. Ejemplo: 2 litros,
10 horas.
¿Cómo construyen la serie
numérica los niños?
Baroody, indica que la determinación para saber
si un conjunto, que tiene 8 elementos, es más que uno que
tiene 7 elementos, implica una comparación entre
magnitudes numéricas que requieren de cuatro
técnicas.
- La técnica más básica es generar
sistemáticamente los nombres de los
números. - Las palabras (etiquetas) de la secuencia
numérica deben aplicarse una por una a cada objeto de un
conjunto. Esta acción se denomina
enumeración. - Se necesita una manera conveniente de representar los
elementos que contiene cada conjunto. - La última etiqueta numérica expresada
durante el proceso de enumeración representa el
número total de elementos en el conjunto.
La secuencia oral
En un primer momento, aproximadamente a partir de
los 2 años, los niños comienzan a "contar" o
más bien realizan un recitado de números sin
sentido. Éste puede ser del tipo 1, 2, 3, 5, 8, 10, 20; en
general aprendido de memoria.
En un segundo momento los niños son
capaces de recitar en forma ordenada y completa la serie
numérica.
Ejemplo de actividades que el docente puede poner en
práctica.
Salas de 4 y 5 años.
- Decir los números a partir de un número
dado. - Pedir a algún niño que diga un
número, y a partir de ese continuar el
recitado.Esto hará, que el niño tenga que
memorizar el número ante el cual debe detenerse y
luego recomenzar la serie. - Detenerse ante un número dado.
Jugar una carrera, cuando los niños
están listos en la línea de partida, contar 3,
2, 1 y parten. - Recitar los números en ambos
sentidos. - Detectar errores u omisiones en el recitado de otro
compañero y de la docente. . Por ejemplo: ante el
recitado 1,2,3,5. La docente preguntará,
¿qué número falta, cuál es el
anterior a ese y el que le sigue?.
Funciones de los números que los alumnos de
nivel inicial pueden reconocer
El número como memoria de la
cantidad.
Poder recordar una cantidad determinada sin que
ésta esté presente.
Ejemplo de actividades:
Los niños están sentados en grupos de 5
(cinco) niños. Un compañero deberá repartir
las hojas de trabajo. Podrá hacerlo llevando las hojas una
a una. (Método
propio de los niños más pequeños, para
asegurarse de dar una a cada niño). Le pedimos que lo haga
empleando el menor número de viajes. (Podrá llevar
un montón). Se le pedirá que no tenga la necesidad
de volver a guardar las que sobraron. De esta forma
comprenderá la ventaja de recordar la cantidad.
Registro de la información
Registrar la información de alguna forma para no
olvidarla o poder
comunicarla a otro.
Ejemplo de actividades:
Permitir a los niños buscar la forma de registrar
la información de los puntos obtenidos en algún
juego. Conversar con ellos sobre distintas formas de hacerlo.
Será importante que los niños observen que hay una
forma de registrar la información.
Para representar al número cinco, podemos colocar
cinco palitos, cinco redondeles o bien el numeral 5. Registrar la
información de las distintas posiciones obtenidas en
algún juego. Empleando tablas.
El número como memoria de la
posición.
Los niños deberán comprender la utilidad de
recordar una posición y no la lista completa. Ejemplo de
actividades: ¿Quien llegó primero a la meta?. (En
algún juego.) Colocar los útiles en la tercera
caja, etc.
Enfoques en la enseñanza del
número.
De ser así, se estaría negando que un
niño pueda conocer su edad, saber que tienen 2
hermanos o que, frente al ofrecimiento de caramelos, no sepa
si escoger 1 o 3. No saber que si tiene 4 fichas y
agrega 2 tiene 6 y muchos otros conocimientos que los alumnos
de 4, 5 6 años si poseen.- Se puede considerar al niño como sin
conocimientos sobre el número. Esto hace que se comience
a enseñar por el número 1, luego el 2, el 3 y
así continuar. - El enfoque de la Matemática Moderna y el
aplicacionismo de las teorías piagetianas hizo que los
docentes
indicaran que los alumnos debían, clasificar, seriar y
establecer correspondencias término a término,
como base a la adquisición del
número. - La didáctica de la matemática, de la
escuela francesa, recoge las ideas piagetianas según la
cual los conocimientos no se producen solo por la experiencia
que los sujetos tengan sobre los objetos, ni tampoco por una
programación innata preexistente en
él , sino por construcciones sucesivas que se dan en
interacción con el medio. Pero esto es
insuficiente sino se tiene en cuenta las condiciones en las
cuales los alumnos movilizan los saberes bajo la forma de
herramientas
que permitan la construcción de nuevos
conocimientos.
Lo que se pretende al hacer Matemática es que
el alumno sea el constructor, se sienta partícipe de
su aprendizaje. El docente debe evitar dar indicios en la
resolución de las actividades propuestas, pues, puede
suceder que respuestas correctas de los alumnos provengan de
casualidades, adivinaciones y no de haber puesto en juego sus
conocimientos. Esto traeré en el futuro decepciones, al
fracasar en planteos que evidencias
la ausencia del saber que se pensó estaba
adquirido.
"el alumno debe ser capaz no solo de repetir o
rehacer, sino también de resignificar en situaciones
nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para
resolver nuevos problemas." (Charnay 1994)
Ejemplo 02
Divisibilidad
En general el concepto de divisibilidad se
enseña, en la escuela primaria, para que los niños
puedan resolver adiciones y sustracciones con fracciones y
algunos problemas de los llamados "de encuentro". Ejemplo: Juan
visita a su abuela cada dos días y su hermana María
cada 3 días. Si ambos la visitaron el lunes pasado,
¿cuándo volverán a coincidir en la
visita?.
No se vincula con otros temas y no se le da la
importancia que el tema presenta. Incluso no se trabaja el
concepto de cuándo un número es divisible
por otro. El lector podrá pensar que si, pues se
enseñan las "reglas de divisibilidad". La pregunta
es. ¿se enseñan?, o ¿se informa a los
alumnos de las reglas?.
- Todo número que termina en cifra par es
múltiplo de 2.
- Todo número que termina en cero o en cinco es
múltiplo de 5.
- Si las dos últimas cifras de un número
son múltiplos de cuatro, el número es
múltiplo de 4.
Etc.
¿Por qué esto es así?. ¿Por
qué funciona de esta manera?.
Múltiplos y divisores.
¿Qué es un múltiplo y qué es
un divisor?
Múltiplo: aquel número que se
obtiene al multiplicar un número por otro. Es el producto de
una multiplicación.
Por ejemplo: 4 x 3 = 12, 12 es múltiplo de 4 y es
múltiplo de 3. 4 y 3 son llamados "factores" de
12.
Divisor: Si atendemos a la división
entera. D = d x c + r (dividendo = divisor x cociente +
resto).
El divisor es aquel número que divide a
otro. Por ejemplo: 2 divide a 7; 2 divide a 8, etc.
Qué diferencia hay entre ambas
situaciones:
2 divide a 8, "exactamente" es decir el resto es cero.
Esto se debe a que 2 es divisor factor de 8.
Significa que 2 x 4 = 8, 2 es divisor– factor de
8.
No sucede lo mismo con : 2 divide a 7. 2 no es divisor
factor de 7, pues no hay ningún número entero que
multiplicado por 2 de cómo resultado 7.
Significa: 7 = 2 x 3 +1 , el resto es distinto de cero,
2 no es divisor – factor de 7.
Como podemos observar la palabra DIVISOR,
presenta un sentido amplio, número que divide a otro. Un
sentido estricto divisor – factor, que divide a otro y cuyo resto
es cero.
Esto será importante en el momento de trabajar
con los alumnos. Si sólo decimos que un número es
divisor de otro cuando el resto es cero,
- Se contradice con el nombre de divisor en la
relación D = d x c + r y lo obligamos a hacer la cuenta
para saber si el resto es cero o no. - No le permitimos observar otros aspectos como el
siguiente;
Si presentamos el siguiente cálculo 16
x 23 = 368 y preguntamos ¿16 es divisor de
368?.
Es muy probable que los alumnos "hagan la cuenta de
dividir" , ya que no tienen otra estrategia para
responder a la pregunta.
El lector podrá argumentar que la
multiplicación y la división son operaciones
inversas y, que, por lo tanto es obvio.
No lo es para los alumnos. Se les ha enseñado el
concepto vinculado con la división y no a "leer" la
información dada en la expresión
simbólica.
P1: Piense Usted., sin hacer la cuenta,
¿46 es divisor de 368?.
Será necesario trabajar con los alumnos
actividades como las siguientes:
-Act 1- Sabiendo que 23 x 16 = 368,
¿cuáles son los divisores de 368?. Los primeros en
ser observados son 23 y 16, pero si descomponemos el
número 16 de esta forma: 23 x 4 x 4 = 368 podemos ver que
4 también es divisor de 368. 23 x 8 x 2 , luego 2 y 8
también lo son.
Estos divisores no aparecen al hacer la cuenta de
dividir, ésta no es necesaria.
-Act. 2-Sabiendo que 8 x 15= 120,
¿cuáles son los divisores de 120?. Descomponemos: 4
x 2 x 5 x 3 = 120 . Los divisores son: 4; 2; 5; 3; 8; 15; 6; 12;
32; 40; 24; 60, 20.
P2: Piense Usted; ¿de dónde se han
obtenido los últimos números?
Veamos que, aplicando las propiedades conmutativa y
asociativa, podemos escribir:
5 x 24 = 120
10 x 12 = 120
20 x 6 = 120
40 x 3 = 120
Todos los productos son
equivalentes, luego los distintos factores son divisores de
120.
Por otra parte, para poder encontrar rápidamente
los distintos productos, puede observarse que si 10 x 12 = 120,
al multiplicar la mitad de 10 por el doble de 12, se obtiene
120.
El doble de 10 por la mitad de 12 es igual a 120,
etc.
Se podrá, entonces, trabajar con los alumnos
estas relaciones numéricas, ricas en cuanto al
reconocimiento de propiedades, numéricas.,
vinculación entre divisores y múltiplos y
propiedades de las magnitudes inversamente
proporcionales.
P3: Piense Usted ¿qué
asociación permite que aparezca el número
80?
De la misma trate de encontrar los divisores, a partir
de la información dada en 24 x 15 = 360.
P4: ¿Cuáles son los divisores de
216? Resuélvalo descomponiendo el número a partir
de la multiplicación.
Estas actividades permitirán a los alumnos
comenzar a leer la información que presentan los
números ayudándose con otras estrategias más
ricas para el reconocimiento de divisores y múltiplos. Y
más adelante reconocer la necesidad de encontrar otras
herramientas cuando la lectura no sea
tan sencilla. Por otra parte podrá notarse que no se ha
hecho mención alguna a regla, o criterios de
divisibilidad enseñados en forma mecánica y vacíos de
comprensión.
Veamos otras actividades que aparecen en los libros de
texto
actuales.
Act3: Sabiendo que 16 x 25 = 400
¿Cuál será el resultado de 8 x
25?.
Si observamos que 8 es la mitad de 16, el resultado
será la mitad de 400. No es necesario hacer la
multiplicación.
Creo que es obvio indicar que el objetivo de la
actividad anterior no es encontrar el resultado, sino trabajar
con las propiedades numéricas y la lectura.
P5: Teniendo en cuenta la relación
anterior ¿Cuánto será 160 x 25?.¿ y
16 x 5?. Y ¿16 x 50?.
Los números dan información, las
operaciones dan información. Hay que saber leerla y que
nuestros alumnos aprendan a hacerlo.
El contexto en el cual se ha trabajado en las
actividades anteriores es intramatemático, pero,
también se lo podrá trabajar en el contexto de las
organizaciones
rectangulares.
Act4; Sabiendo que 8 x 25 = 200
¿cuánto es 200 : 8?, Es 25 porque 25 x 8 =
200
¿cuánto es 200; 4?. Es 50 porque 4 es la
mitad de 8, entonces 4 x 50 = 200.
Act5: Sabiendo que 8 x 14 = 112
¿cuánto es 112 : 16?, Es 7 porque 16 es el doble de
8 y la mitad de 14 es 7.
P6: ¿cuánto es 112; 28?.¿Por
qué?. Y ¿112 : 56?..¿Por
qué?.
Podrá seguir observado la riqueza del trabajo
matemático, la puesta en juego de propiedades y la
relación de igualdad
entendida como equivalencia, la no necesidad de "hacer la cuenta
de dividir" y el propiciar el cálculo mental
Trabajando con la divisibilidad
Proponemos a los alumnos
Si el producto de 13 x 3 es múltiplo de 3, el
doble de dicho producto es múltiplo de 3?. La respuesta es
si, pues 39 es múltiplo de 3 pues 3 es uno de los
factores. Si al producto lo multiplicamos por 2, es decir
hallamos el doble, el producto seguirá siendo
múltiplo de 3.
13 x 3 x 2
P7; Piense Usted y justifique su respuesta. Si
multiplicamos a 15 x 3 por 8, el resultado seguirá siendo
múltiplo de 3?.
Encontrar un número múltiplo de 48 que sea
tres veces mayor que él.
Problemas para trabajar la
divisibilidad.
Ejemplo de actividades para 4to. grado – año Si
tengo una cierta cantidad de bombones y los coloco en cajas de a
6 no sobra ninguno. Si los coloco en cajas de a 8 tampoco sobra
ninguno, ¿cuántos bombones podré
tener?
Lo que se pretende es que el alumno, a partir del
problema busque un número que sea al mismo tiempo
múltiplo de 6 y de 8.
¿Cómo procederá para encontrarlos?
Escribiendo los distintos múltiplos hasta encontrar
aquellos que cumplan ambas condiciones. Ser múltiplo de 6
y de 8. La respuesta será que existen infinitos
múltiplos que cumplen esta condición. Los alumnos
deben advertir que existen problemas con muchas soluciones
posibles.
Podemos modificar el problema agregando:
- la cantidad de bombones es menor a 100
De esta manera las respuestas posibles serán 48 y
96 en el primer caso, observando que existen dos soluciones
posibles.
o* está comprendida entre 100 y 300. Esto
obligará a los alumnos a buscar alguna estrategia de
cálculo para obtener todas las soluciones posibles. Por
ejemplo, encontrar el menor múltiplo, el 48 y
luego:
48 x 3 = 144
48 x 4 = 192
48 x 5 = 240
48 x 6 = 288
48 x 7 = mayor a 300
Será importante que los alumnos puedan comenzar a
distinguir cuando los problemas tienen infinitas, algunos, una o
ninguna solución posible.
Los problemas no se resuelven solamente haciendo
cuentas y
preguntando si es correcta la respuesta o no,. Exigen
análisis de condiciones, estrategias cada vez más
económicas, planteo de situaciones.
Ejemplo de actividades para 5to. grado
Podrán presentarse problemas similares con tres
números en juego. La idea es que los alumnos, poco a poco,
vayan buscando estrategias de cálculo más
económicas para resolver los mismos problemas.
Ejemplo de actividades para 6to. grado
Tengo una cierta cantidad de figuritas, si las agrupo de
a dos no sobra ninguna, pero, si las agrupo de a cinco sobra 1.
¿cuántas figuritas tengo?.
Con los alumnos se deberá analizar la
situación presentada.
Los números a buscar tienen que ser pares, pero
no terminados en cero. Una posible respuesta será 6. Pues
6 = 5 + 1 , lo cual nos muestra que el
resto de la división por 5, es 1.
Luego, de manera similar: 16 = 15 +1 ; 46; 76; etc. Esto
nos lleva a pensar: ¿cómo podemos reconocer si un
número es múltiplo de otro?.
Primero: podemos apoyarnos en la relación D = d x
c + r (dividendo = divisor x cociente + resto). 49 = 16 x 3 +1 ,
y leemos la información de esta expresión , 49 no
es múltiplo de 3 pues podemos observar que el resto es
1.
89 = 8 x 10 + 9, 89 no es múltiplo de 10. 36 = 5
x 7 +1 , 36 no es múltiplo de 5. el resto es 1. 36,
¿es múltiplo de 7?. ¿Por
qué?.
¿Cuál es el resto de dividir 4 x 85 x 23
por 4?. Sin hacer la cuenta se puede advertir que al ser 4 uno de
los factores, el número si es múltiplo de 4, el
resto será cero.
P8: Piense Usted: ¿cuál es el resto
de dividir 15 x 17 x 36, por 5?. ¿Por
qué?.
¿cuál es el resto de dividir 35 x 4 + 1 ,
por 4?. ¿Por qué?.
¿cuál es el resto de dividir 8 x 17 + 2
por 4?. ¿Por qué?.
¿cuál es el resto de dividir 25 x 7 +4 ,
por 7?. ¿Por qué?.
Hablemos un poco más de la
división.
Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre
sus 4 amigos. ¿Cuántas figuritas dará a cada
uno?.
Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre
sus 4 amigos en forma equitativa. ¿Cuántas
figuritas dará a cada uno?.
Javier tiene 30 figuritas y le quiere dar 4 a cada uno
de sus amigos. ¿A cuántos amigos dará
figuritas ?.
Los enunciados anteriores presentan similitudes y
diferencias.
El primero admite varias soluciones posibles, por
ejemplo, dar 5 figuritas a un niño, 7 a otro, 8 a un
tercero y 10 al cuarto. O bien, 7 a cada uno de los tres primeros
y al cuarto 9 figuritas. El enunciado no aclara que el reparto
sea en partes iguales. Si no lo dice no se puede asumir que sea
así.
El segundo la respuesta será 5 a cada uno, pues
es un reparto equitativo.
El tercero no es un problema de reparto, es un problema
de partición. Estos problemas son las más
difíciles para que los niños los identifiquen como
problemas de división.
¿Y con los restos qué?
Luciana tiene 7 globos y los quiere repartir en partes
iguales entre dos compañeras, ¿cuántos
globos dará a cada una?
Luciana tiene 7 y los quiere repartir en partes iguales
y en su totalidad entre dos compañeras,
¿cuántos alfajores dará a cada
una?
75 alumnos y 3 maestras de la escuela van al planetario.
Si en cada ,micro pueden ir hasta 30 personas,
¿cuántos micros serán necesarios para
transportar a todos, con el menor costo
posible?
La solución al primer problema será 3
globos para cada uno y sobrará 1.
La solución al segundo problema será 3
alfajores y la mitad de otro.
La solución al tercer problema será 3
micros. Nadie puede quedar sin ir.
Como se puede observar cada problema presenta una
situación a pensar, decidir, argumentar. No todo es
cuestión de cuentas.
Problemas para los alumnos.
Tenemos que repartir, en partes iguales, 20 caramelos,
entre 5 niños. ¿Cuántos caramelos recibe
cada uno?.
¿Y si la cantidad de caramelos fuera 21; 22; 23;
24; 25?.
Se podrá confeccionar una tabla, teniendo en
cuenta los distintos restos obtenidos.
20–21–22–23–24–25
30–31–32–33–34–35
Permitirá a los niños observar que los
distintos restos son 0; 1; 2; 3; 4. ¿En qué casos
se han repartido todo y no sobra nada?. En todos estos
números se verifica que: 20 = 4 x 5 ; 30 = 6 x 5 ; 25 = 5
x 5 , etc. En el resto las distintas expresiones serán 21=
4 x 5 +1 ; 22= 4 x 5 + 2 , etc.
¿Cuál es el mayor resto que se puede
obtener?.
Actividades para 4to – 5to. grado
/año
Si cuento de 4 en
4, a partir del 3, ¿llego al número 96?.
Se organiza una reunión y no se sabe si
vendrán 4 ó 6 personas.¿En cuántas
partes habrá que cortar la torta para darle la misma
cantidad a cada uno y no sobre nada?.
Un ejemplo trabajado con los alumnos.
Un cartel tiene 4 luces de colores Amarillo,
Verde; Rojo; Blanco.
Se van encendiendo, por minuto. El primer minuto, la
luz amarilla,
el segundo minuto la verde, el tercer minuto la roja y el cuarto
minuto la blanca. El quinto minuto la amarilla, el sexto minuto
la verde y así continua.
¿Cuál es el color de la luz
en el minuto 7?. ¿Y en el minuto 18?. ¿Y en el 35?.
¿y en el minuto 100?, ¿Y en el 412?. ¿Y en
el 2.000?
Para resolverlo algunos alumnos fueron escribiendo,
debajo de los colores, los distintos números hasta
encontrar la respuesta.
A–V–R–B
1–2–3–4
5–6–7–8
………..
17-18
En el minuto 7 la luz es de color rojo y en el 18 es de
color verde.
Al llegar al número 415 uno de los alumnos
argumenta:
A1-Yo pensé que 400 es 4 veces 100, entonces es
blanca. A partir de ahí conté 15 y llegué a
rojo.
Se propuso el número 815. A1-Es igual, rojo,
porque 800 va a ser blanca, y a partir de allí, se cuenta.
A2-Con el 2.000 también llegas a la luz blanca.
Se propuso el número 2.136 A3-Con 2.000 llegas a
la blanca. Habría que contar 136 y ver cuál es la
luz.
Se propone descomponer el número 2.136. 2136 =
2.100 + 36 Esto permite que se den cuenta que no necesitan contar
con un número tan "grande" como 136.
A partir de aquí los alumnos comienzan a darse
cuenta que, una estrategia económica es dividir por 4, el
número.
La pregunta es:¿cómo darse cuenta mirando,
si el número o no es múltiplo de 4 o cuál es
el resto que se obtiene.
Los alumnos proponen:
A1 tienen que terminar en 4. (Semejante al
reconocimiento de los múltiplos de 5).Se propone el
número 14.
A2. tienen que terminar en 0. (Han probado con 400. 800,
2.000). Se propone el número 70 . Algunos sugieren que
deben terminar en dos ceros. (observando los ejemplos
dados)
Se proponen los números 436; 1.348; 2.024.
Observan que también son múltiplos de 4
Se procede a decomponer los números: 436= 400+36
1.348= 1.300 + 48; 2.024= 2.000 +24
Se concluye que es necesario que las dos últimas
cifras sean múltiplos de 4.
Puede observarse que los alumnos han podido "descubrir"
cuando un número es múltiplo de 4 y elaborar ellos
la regla.
EVALUACIÓN
FORMATIVA
Del análisis de los ejemplos 1 y 2 extrae los
problemas que se presentan en la didáctica de la
matemática y fundaméntala.
REFORZAMIENTO
Para tener en cuenta los problemas que hemos detectado
hay que tener presente los principios del aprendizaje los cuales
son:
1ro. El refuerzo más efectivo en el
proceso del aprendizaje es aquel que sigue a la acción con
una mínima demora. La efectividad del esfuerzo disminuye
con el paso del tiempo y muy pronto no tiene casi ninguna
efectividad.
2do. La máxima motivación para el aprendizaje se logra
cuando la tarea no es demasiado fácil ni demasiado
difícil para el individuo pues
así se logra satisfacción.
3ro. El aprendizaje no es proceso simplemente
intelectual, sino que también emocional. El individuo
tiene metas en el proceso de aprender que deben ser claras y
precisas para que sean motivantes.
4to. Aprendemos a través de los sentidos.
Especialmente del sentido de la vista y del oido, no obstante
no debemos dejar de lado los demás (tacto, gusto, olfato)
por lo que se deben considerar como recursos para el desarrollo
de este proceso.
5to. Generalmente lo que aprendemos lo vinculamos
con lo que sabemos, es decir partimos de encuadres particulares
para darle valor a la enseñanza.
6to. Regularmente aprendemos una cosa a la vez.
Por ello se trata de delimitar lo más claramente posible
las distintas unidades de aprendizaje.
7mo. Cada persona aprende
en grados distintos o a velocidades diferentes, dependiendo de
sus conocimientos, habilidades y desde luego del nivel de
inteligencia que posea.
REALIMENTACIÓN
Ingresa. Lee el documento sobre Perspectivas de la
didáctica de las matemáticas como disciplina
científica de Juan D. Rodino.
EVALUACIÓN DE SALIDA
Presenta un resumen sobre dicho documento. (Paso 7)
esquematizando de la forma que creas conveniente.
TRANSFERENCIA
De acuerdo a nuestro módulo podemos
establecer:
El aprendizaje se realiza a través del
descubrimiento personal de las relaciones, conexiones, leyes, principios
y estructuras matemáticas. Cuando el alumno realiza una
tarea para descubrir algo, él es activo, tiene iniciativa
y participa en la formación de la idea matemática.
Consecuentemente, él cultiva una "filosofía" e
independencia.
La Didáctica de la matemática,
(constructivista) recoge las ideas piagetianas según la
cual los conocimientos no se producen solo por la experiencia que
los sujetos tengan sobre los objetos, ni tampoco por una
programación innata preexistente en él, sino por
construcciones sucesivas que se dan e interaccionan con el medio.
Pero esto es insuficiente si no se tiene en cuenta las
condiciones en las cuales los alumnos movilizan los saberes bajo
la forma de herramientas que permitan la construcción de
nuevos conocimientos.
Lo que se pretende al hacer matemática es que el
alumno sea el constructor, se sienta partícipe de su
aprendizaje.
BIBLIOGRAFÍA
- Elizabeth Rafael. Documentos de
didáctica. Huaraz 2008 - Juan Antonio García Cruz. La Didáctica
de las Matemáticas: Una visión
General. - Antonio Pérez Sanz :
Matemáticas - Juan D. Rodino. Perspectiva de la Didáctica de
las Matemáticas como disciplina
científica. - Hildebrando Luque Freire: Didáctica de las
Matemáticas
Autor:
Doris Melgarejo Herrera
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