Deducción completa ecuaciones de la curva, flecha, tensión y longitud de un cable parabólico con apoyos al mismo nivel

• Resumen
• Desarrollo del tema

RESUMEN

Se lleva a cabo la deducción paso a paso (en el texto
consultado no se lleva a cabo así) del cálculo de
la curva, flecha, tensión y longitud de un cable
parabólico (el cual según se demuestra forma una
parábola con el eje vertical), que soporta una carga
uniformemente repartida sobre su proyección horizontal,
como es el caso del cable de un puente colgante, y cables muy
tirantes, con su flecha muy pequeña en comparación
con su luz, como, los de
las líneas eléctricas. Esta explicación es
útil en la impartición de materias tales como:
Estática, Diseño
Mecánico, Instalaciones Mecánicas y Líneas
de Transmisión, de la carrera de Ingeniero Mecánico
electricista.

DESARROLLO DEL TEMA

Consideremos un cable que está suspendido entre dos
puntos y soporta una carga que está uniformemente
repartida sobre la proyección horizontal de la curva
funicular (según se ve en la figura siguiente), este cable
adopta la forma de una parábola. Deduciremos las ecuaciones que
nos dan la curva, la flecha, la tensión en los puntos de
apoyo y la longitud del cable parabólico, considerando que
los puntos de los que está suspendido el mismo se, se
hallan en el mismo plano horizontal.

El cable de un puente colgante es un ejemplo de un cable que
soporta una carga que muy aproximadamente está
uniformemente repartida en la dirección horizontal, ya que el peso del
tablero está uniformemente repartido en esa
dirección, y los pesos del cable y tirantes son
pequeños en comparación con el de aquel; y por lo
tanto pueden despreciarse. Otro ejemplo es el de un cable muy
tirante (esto es un cable en el que la flecha es pequeña
en comparación con la, luz) que no soporta una carga mas
que la de su propio peso; como por ejemplo el cable de una
línea eléctrica de transmisión, un alambre
de telégrafo, etc.

En este caso la carga soportada por el cable (su peso)
está repartida uniformemente a lo largo de la curva
asumida por el cable, pero, puesto que la flecha (f) es
pequeña, la proyección horizontal de un arco de
curva es aproximadamente igual a la longitud del arco y, por
consiguiente la carga está con bastante
aproximación uniformemente repartida en la
dirección horizontal.

Para resolver los problemas en
que intervienen cables de esta naturaleza, se
utiliza la ecuación de la curva asumida por el cable (la
parábola) y las ecuaciones que expresan las relaciones
entre la luz (a), la flecha (f), la longitud del cable (l), la
tensión (T), etc. Con objeto de determinar la
ecuación de la parábola consideramos una parte AB
del cable como un cuerpo libre (figura b). Tomaremos como origen
de coordenadas el punto más bajo del cable A, y la
tensión en este punto la designaremos por H. La
tensión en un punto cualquiera B la designaremos por T.
Esto supuesto, la porción de cable AB está en
equilibrio
bajo la acción
de las tres fuerzas H, T y la carga vertical wx que
actúa en el punto medio D de la distancia entre A y C.
Puesto que esas tres fuerzas están en equilibrio tienen
que ser concurrentes y, por consiguiente, la línea de
acción de T pasa por D. Las ecuaciones de equilibrio
son:

∑FX = T cos α – H = 0,
……………… (1)

∑Fy = T sen α – wx
= 0… ……………(2)

Eliminando T en (1) y (2) tenemos:

De (1)  T= …..(3)

De (2)  T=…..(4)

Igualando
(3) y (4)

=

Tan α = …..(5)

Pero de la figura    Tan α
=

Tan
α =………(6)

Luego, igualando 5 y 6

=

y = …..(7)  
ECUACIÓN DE LA CURVA

La curva es, pues, una parábola con el vértice
en A y eje vertical.

Eliminando α de (1) y (2), tenemos

De  1) T Cos α =
H                                          
T2 Cos2α = H2
…..8)