Derivada de Funciones

Partes: 1, 2

Resumen

Una de las ideas básicas en Cálculo
Matemático es el concepto de
Derivada. Para introducir dicho concepto se recurre generalmente
a dos problemas: uno
Físico, para calcular la velocidad
instantánea de un móvil, y otro
Geométrico, para determinar la pendiente de la
recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. Los
dos problemas conducen al mismo cálculo: el límite
de un cociente de incrementos cuando el denominador tiende a
cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la
determinación de la recta tangente a la
gráfica de una función en un punto
específico, a continuación se introduce el concepto
analítico de la pendiente de recta tangente a una
función en un punto y luego el concepto de derivada de una
función, derivadas
laterales, teoremas sobre derivadas, derivación
implícita, derivadas de orden superior, etc.

Pendiente de una Recta
Tangente

Sea f una función que es continua en
Para definir la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de f en el punto
consideremos un
intervalo abierto I que contiene a
Sea
otro punto sobre la
gráfica de f tal que esté
contenido en I. La recta que pase por los puntos
P y Q se denomina recta secante.

Observe que es el cambio del
valor x
de a llamado incremento de
x, y es el cambio del valor de
de a llamado incremento de
y.

La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y
Q de la curva de la figura 3.1, está determinada
por:

Como la pendiente puede
escribirse así:

Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el
punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P.
Esto es igual a decir que tiende a
cero. Si esto sucede la recta secante gira sobre el punto
P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el
punto P, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente
en dicho punto puede ser calculada mediante la siguiente
ecuación: