3. Algún Q es R
(I)
4. Algún Q no es R (O)
donde "Q" y "R" representan al término sujeto y al
término predicado, respectivamente, de cada una de las
proposiciones y sirven para designar dos clases. Estas cuatro
formas típicas reciben las designaciones de proposiciones
(1.) universal afirmativa, (2.) universal negativa,
(3.) particular afirmativa y (4.) particular
negativa, respectivamente. Las razones de estas designaciones se
harán evidentes a continuación al presentar algunos
ejemplos ilustrativos.
Todos los hombres son valientes.
En este ejemplo Q es la clase de los
hombres y R es la clase de los seres valientes y posee la forma
típica 1, por lo cual su representación es como
sigue
La parte rayada del dibujo indica
una zona vacía (o sea donde no hay elemento alguno).
Rc designa al complemento de R, o sea todo aquello que
no es R.
Obsérvese que esta proposición está
afirmando que hay una relación de inclusión
completa de Q en R (pero no a la inversa), que también se
denomina inclusión universal.
Ningún niño es marinero.
En este ejemplo Q es la clase de todos los niños y
R es la clase de todos los marineros. Evidentemente, esta
proposición posee la forma típica 2. y su
representación gráfica es
O designa al conjunto vacío, o sea a aquel dónde
no hay elemento alguno.
Ahora se niega que cualquier miembro de la clase R esté
inserto (o incluido) en la clase Q y así la primera clase
está totalmente excluida de la otra.
Algunas mujeres son bonitas.
Aquí Q es la clase constituida por todas las mujeres y
R es la clase de las mujeres que poseen la característica
de ser bonitas. La representación gráfica es como
sigue
Figura 7. Representación
gráfica de la proposición categórica I.
En esta proposición hay una relación de
inclusión parcial, ya que sólo algunas
(¿cuántas?) están comprendidas en la segunda
clase. Basta con que sólo una mujer sea bonita
para que esta proposición sea válida. En efecto, lo
que se está afirmando es que "al menos" una de las
mujeres es bonita. Esto se pone en evidencia en el gráfico
insertando el símbolo x en la zona común a Q y
R.
Algunos perros no son
negros.
En este ejemplo la clase Q corresponde a la de los perros y la
clase R es la clase de los perros negros. La forma de representar
a este tipo de proposiciones se muestra en la
Figura 8.
Figura 8. Representación gráfica de
la proposición categórica O.
Hemos presentado a las proposiciones categóricas en su
forma más simplificada, ya que los atributos de las clases
pueden ser más complejos, tales como lo ejemplifica el
siguiente caso
Algunos hombres de gran temple y serena confianza fueron a la
aventura.
La clase Q es la de los hombres de gran temple y serena
confianza, y aquí la designación de la clase
respectiva está denotada por una expresión
más complicada que las anteriores.
Definición 5.3. La calidad de una
proposición puede ser afirmativa o negativa,
según que la inclusión de clases sea afirmada o
negada, respectivamente, en la proposición.
Entonces, las proposiciones del tipo universal afirmativa y
particular afirmativa son afirmativas respecto de sus calidades,
en tanto que las universales negativa y particulares negativas
son ambas negativas en relación a sus calidades. Las
cuatro formas típicas de proposiciones categóricas
que antes indicamos provisoriamente con 1., 2., 3. y 4., se
designan usualmente con las letras ´A´,
´E´, ´I ´ y
´O´, respectivamente. O sea que
´A´ º universal
afirmativa
´E´ º universal
negativa
´I´ º particular
afirmativa
´O´ º particular
negativa
Definición 5.4. La cantidad de una
proposición es universal ó particular
según que
la
proposición se refiera a todos ó sólo a
algunos de los
miembros
componentes de la clase designada por el término
sujeto.
Según la definición anterior, las proposiciones
A y E son universales y las proposiciones I
y O son particulares respecto de la cantidad.
Obsérvese que las designaciones de las proposiciones
categóricas describen inequívocamente las cuatro
formas típicas, destacando primero su cantidad y luego su
calidad.
Las formas típicas de las proposiciones categóricas
contienen a los términos ´todos´,
´ningún´ y ´algunos´, las cuales
indican la cantidad de cada una de ellas y se conocen con el
nombre de ´cuantificadores´. Por otra parte,
entre los términos sujeto y predicado de estas
proposiciones se encuentra alguna forma del verbo
´ser´, que los conecta. Se denomina
´cópula´ a esta parte de la
proposición. Cuando aparece la palabra ´no´
que acompaña a alguna forma del verbo ´ser´,
se la considera como parte constitutiva de la cópula.
Entonces, las proposiciones categóricas están
constituidas de acuerdo a la fórmula
Cuantificador + (término sujeto) +
Cópula + (término predicado)
Una característica importante en las proposiciones
categóricas la constituye el concepto de
distribución. En primer lugar notemos que las
proposiciones se pueden referir a todos los miembros de una clase
o solamente a algunos de ellos. Así, por ejemplo, en la
proposición
Todos los jueces son corruptos.
se está haciendo referencia a la clase de los jueces
(i.e. todos los jueces) y parte de las personas corruptas
(pero no todas ellas), ya que pueden existir personas corruptas
que no son jueces, ¿no es así? Entonces podemos
pasar a la siguiente
Definición 5.5. Una proposición
distribuye un término si se refiere a todos los
miembros de
la clase designada por dicho término.
Así, en el último ejemplo el término
sujeto está distribuido en (o por) esta
proposición, en tanto que el término predicado no
está distribuido. De igual manera puede verificarse que en
una proposición E los términos sujeto y
predicado están distribuidos, en una proposición
I ni el sujeto ni el predicado están distribuidos y
que en una proposición O se distribuye el
término predicado pero no el término sujeto.
Todo lo anterior lo podemos sintetizar de la siguiente manera:
las proposiciones universales distribuyen sus términos
sujetos, mientras que las proposiciones particulares no
distribuyen sus términos sujetos. En consecuencia, la
cantidad de cualquier proposición categórica
de forma típica determina si su término sujeto
está o no distribuido. Además, las proposiciones
afirmativas no distribuyen sus términos predicados,
mientras que las proposiciones negativas distribuyen sus
términos predicados.
El siguiente cuadro resume lo anterior
Término sujeto distribuido
Término predicado | A: Todo Q es R | E: Ningún Q esR | Término predicado |
no distribuido | I: Algunos Q son R | O: Algunos Q no son R | distribuido |
Término sujeto no
distribuido
2. EL CUADRO DE OPOSICIÓN
Otros tres conceptos relevantes en el terreno de la Lógica
son los de las proposiciones contradictorias, las
proposiciones contrarias y las proposiciones subcontrarias,
las cuales se definen del siguiente modo:
Definición 5.6. Se dice que dos
proposiciones son contradictorias si una de ellas es
la negación de la otra, por lo cual ambas no puede
ser verdaderas o falsas a la vez.
Como ejemplos característicos baste mencionar que dos
proposiciones categóricas de forma típica que
poseen el mismo sujeto y el mismo predicado, y que difieren tanto
en calidad como en cantidad, son contradictorias (i.e.
A y O, E e I, en tanto ellas tengan
de a pares los mismos sujetos y los mismos predicados).
Consideremos las dos proposiciones siguientes:
Todas las plantas
están marchitas.
y
Algunas plantas no están marchitas.
En estos casos las proposiciones son del tipo A y
O, respectivamente. Ellas se oponen tanto en cantidad como
en calidad y al menos una de ellas es verdadera y la otra es
falsa. En forma similar, las dos siguientes proposiciones del
tipo E e I
Ningún pintor es catalán.
y
Algunos pintores son catalanes.
que tienen los mismos términos sujeto y predicado y se
oponen tanto en cantidad como en calidad, son claramente
contradictorias.
Definición 5.7. Se dice que dos
proposiciones con idénticos términos sujeto y
predicado son contrarias si no pueden ser ambas
verdaderas, aunque ambas pueden ser falsas.
Los casos de proposiciones contrarias son aquellas
proposiciones universales que tienen sus términos sujeto y
predicado iguales, pero difieren en calidad. O sea que las
proposiciones A y E son contrarias, tal como se
muestra en el siguiente ejemplo:
Todos los profesores son inteligentes.
y
Ningún profesor es
inteligente.
Es evidente que ambas proposiciones no pueden ser verdaderas,
aunque ambas bien pueden ser falsas.
Definición 5.8. Dos proposiciones con
iguales términos sujeto y predicado se dicen
subcontrarias si no pueden ser ambas falsas, aunque
ellas puedan ser verdaderas.
Así, las proposiciones I y O son
subcontrarias. Veamos el siguiente ejemplo:
Algunos niños menores son estudiantes
sobresalientes.
y
Algunos niños menores no son estudiantes
sobresalientes.
El análisis de estas dos proposiciones revela
que ellas no pueden ser falsas a la vez, pero bien pueden ser
verdaderas.
Otra definición que será de utilidad para
establecer el cuadro de oposición es el de
subalternación, que se puede establecer de la
siguiente forma
Definición 5.9. Se entiende por
subalternación la oposición existente entre
una proposición universal y su particular
correspondiente (o sea aquella que tiene los mismos
términos sujeto y predicado así como la misma
calidad que la proposición universal).
La proposición universal es llamada la "subalternante"
y la particular la "subalter- na". En la subalternación,
la subalternante implica a la subalterna, tal como lo muestra el
siguiente ejemplo
Todos los libros son
interesantes.
y
Algunos libros son interesantes.
Las distintas vinculaciones establecidas por estas
definiciones se pueden condensar en el siguiente Cuadro de
Oposición
La información condensada en este cuadro
ofrece la base para establecer de inmediato un buen número
de inferencias directas, sin tener que proceder a efectuar
análisis alguno. Esto es así, no porque dicho
análisis no exista, sino porque ya está inserta
dicha información en el mismo cuadro, tal como hemos
venido analizando a lo largo de este apartado. Naturalmente, esto
es válido en tanto los términos sujeto y predicado
de tales proposiciones sean idénticos.
Las inferencias inmediatas deducibles del cuadro de
oposición son las siguientes:
Si A es V, entonces E es F, I es V y
O es F
Si E es V, entonces A es F, I es F y
O es V
Si I es V, entonces E es F, A y O
quedan indeterminadas
Si O es V, entonces A es F, E e I
quedan indeterminadas
Si A es F, entonces O es V, E e I
quedan indeterminadas
Si E es F, entonces I es V, A y O
quedan indeterminadas
Si I es F, entonces A es F, E es V y
O es V
Si O es F, entonces A esV, E es F e
I es V
donde V indica verdadero y F denota falso.
3. OTRAS INFERENCIAS INMEDIATAS
El cuadro de oposición visto en el apartado anterior nos
ofrece algunos casos de inferencias inmediatas. Ahora
consideraremos algunas otras que aumentará nuestro arsenal
de posibilidades para conocer la validez o la invalidez de
algunas formas elementales de razonamiento. Una forma bastante
sencilla de efectuar una transformación en esas
proposiciones y así generar algunas inferencias inmediatas
es el de intercambiar los términos sujeto y predicado en
ellas. Este procedimiento
recibe la denominación de "conversión" y es
válido para el caso de las proposiciones E e
I. Evidentemente
Algunos hombres son personas inteligentes.
es lógicamente equivalente a
Algunas personas inteligentes son hombres.
y
Ningún mago es boliviano.
es equivalente a
Ningún boliviano es mago.
Este procedimiento de generar nuevas proposiciones nos lleva a
establecer la siguiente
Definición 5.10. Se dice que una
proposición categórica de forma típica es la
"conversa" de otra cuando se la forma a partir de
ésta intercambiando los términos sujetos y
predicado. Las proposiciones originales se denominan
"convertientes".
Para las proposiciones A y O se verifica que las
conversas no son lógicamente equivalentes a las
proposiciones originales (o convertientes).
Todos los estudiantes son hombres y mujeres.
no es lógicamente equivalente a la conversa
Todos los hombres y mujeres son estudiantes.
y
Algunos elementos químicos no son
halógenos.
tampoco es equivalente a
Algunos halógenos no son elementos
químicos.
Para salvar estas dos últimas situaciones se puede definir
una "conversión por limitación" para el caso
A. Ello consiste en intercambiar el sujeto y el predicado y
además cambiar la cantidad de la proposición de
universal a particular, lo cual permite que el proceso de
conversión produzca una conversa lógicamente
equivalente. Así, por ejemplo, si a partir de la
proposición
Todos los estudiantes son hombre y
mujeres.
se genera la siguiente proposición por
conversión por limitación
Algunos hombres y mujeres son estudiantes.
entonces la conversa se deriva válidamente de la
convertiente.
Para el caso de las proposiciones O se dice que no hay
conversa. Con estas aclaraciones se tiene el siguiente cuadro de
conversiones
CONVERSIONES
CONVERTIENTE | CONVERSA |
A: Todo Q es R | I: Algunos R son Q (por |
E: Ningún Q es R | E: Ningún R es Q |
I: Algunos Q son R | I: Algunos R son Q |
O: Algunos Q no son R | No existe la conversa |
Hemos visto que una clase es un conjunto de objetos que tienen
una propiedad que
los determina sin ambigüedad alguna. Esta propiedad se
denomina "característica definitoria de la clase".
Dicha característica es una o más propiedades que
determinan a todos los elementos componentes del conjunto. A toda
clase se le puede asociar su "complemento" que es el
conjunto de elementos que no pertenecen a la clase original.
Así, por ejemplo, el complemento del conjunto de flores
rojas son todas aquellas flores que no son de color rojo.
Una forma de designar a los miembros del complemento de una clase
designada por el término "P" es empleando el
término "no P" (que de ahora en más escribiremos
~P). Se debe diferenciar el concepto de complemento de contrario.
En efecto, el término inteligente posee como
término contrario a ignorante, pero no es cierto que toda
persona no
inteligente sea ignorante. Lo que sí es válido es
afirmar que toda persona es inteligente o no inteligente. Hechas
estas aclaraciones podemos pasar a la siguiente
Definición 5.11. Se dice que una
proposición se obvierte cuando se cambia la calidad
de la
misma y se reemplaza el término predicado por su
complemento.
Así, por ejemplo, a la proposición A
Todas las mujeres son escritoras.
le corresponde como proposición obversa a
Ninguna mujer es no-escritora.
Estas dos proposiciones son lógicamente equivalentes,
de modo tal que una cualquiera de ellas se infiere
válidamente de la otra. Además, el proceso de
obversión genera inferencias válidas cuando
se aplica a cualquier proposición categórica de
forma típica. Por ejemplo, la proposición
E
Ningún periodista es inteligente.
tiene como obversa a la siguiente proposición
A
Todos los periodistas son no-inteligentes.
la cual es lógicamente equivalente a la anterior.
Cuando se procede al método de
obversión para generar inferencias válidas, a las
premisas se las denomina "obvertiente" y a la
conclusión la "obversa". En el siguiente cuadro se
resume la información correspondiente a todas la
obversiones válidas
OBVERSIONES
OBVERTIENTE | OBVERSA |
A: Todo Q es R | E: Ningún Q es ~R |
E: Ningún Q es R | A: Todo Q es ~R |
I: Algunos Q son R | O: Algunos Q no son ~R |
O: Algunos Q no son R | I: Algunos Q son ~R |
Otra forma de generar inferencias inmediatas consiste en aplicar
el método de la contraposición, la cual de
define como
Definición 5.12. La contrapositiva
de una proposición se forma reemplazando el sujeto de
ella por el complemento del predicado y el predicado por el
complemento
del sujeto.
Por ejemplo, a la proposición A
Todos los estudiantes son inteligentes.
le corresponde la contrapositiva A
Todas las personas no-inteligentes son no-estudiantes.
y estas dos proposiciones son lógicamente equivalentes.
Lo mismo sucede con cualquier otra clase de proposición
categórica de forma típica. Cuando se analiza con
cuidado el proceso de contraposición se observa que
el mismo es equivalente al proceso de obversión, seguido
por la conversión y finalmente por una nueva
obversión, por lo que este modo de transformar
proposiciones se puede efectuar por los medios ya
conocidos:
Contraposición = Obversión + Conversión +
Obversión
El proceso de contraposición, a diferencia del proceso
de obversión, no genera en todos los casos proposiciones
lógicamente equivalentes. Como no vale la pena extenderse
en este tema, en el cuadro siguiente resumimos la
información pertinente que el lector puede verificar a
través de ejemplos sencillos.
CONTRAPOSICIÓN
PREMISA | CONTRAPOSITIVA |
A: Todo Q es R | A: Todo ~R es ~Q |
E: Ningún Q es R | O: Algún ~R es ~Q |
I: Algún Q es R | No es válida |
O: Algún Q no es R | O: Algún ~R no es ~Q |
Antes de finalizar este apartado y a modo de información
complementaria, debemos destacar que todo lo presentado hasta
aquí sigue una línea clásica de tratamiento
y que ella merece algunas objeciones centradas en el Cuadro de
Oposición Tradicional. En efecto, cuando se analizan los
distintos procedimientos
para generar proposiciones a partir de otras originales y
producir equivalencias lógicas, algunas de ellas no
resultan válidas si se procede a realizar una
discusión detallada del contenido existencial. Como la
introducción de este concepto y las
consecuencias derivables del mismo no modifican en lo substancial
el desarrollo
temático que hemos escogido para emplear la lógica
en los razonamientos ordinarios, no nos adentraremos más
en este tema.
4. REPRESENTACIONES GRÁ FICAS DE LAS
PROPOSICIONES
CATEGÓRICAS
Ya hemos puntualizado que nuestro objetivo
central es poder efectuar
razonamientos válidos en el lenguaje
ordinario, cosa bastante difícil de lograr corrientemente.
Para acercarnos a una situación satisfactoria, iremos
estudiando formas sencillas de razonamientos compuestas de
proposiciones categóricas. A fin de ganar precisión
en la determinación de la validez o de la invalidez de los
razonamientos, recurriremos a una técnica gráfica
bastante sencilla de aplicar, según podrá constatar
el lector en el desarrollo subsiguiente. Para lograr este
propósito deberemos ir presentando algunas definiciones
básicas y varias convenciones útiles. Comenzaremos
con el concepto de "clase nula".
Definición 5.13. Se denomina clase
nula a aquella que no posee miembros y se la
simboliza mediante el signo ´O´.
La clase nula también se llama clase vacía.
Si se quiere denotar que la clase ´S´ no posee
miembro alguno, entonces se emplea la relación algebraica
´S = O´. Si se quiere indicar que la clase
´S´ posee algún miembro, entonces se usa la
relación ´S ¹ O´. Las proposiciones
categóricas típicas siempre se refieren a
relaciones de inclusión entre dos clases y en este
formalismo hace falta usar ecuaciones que
las represente adecuadamente. Entonces, resulta conveniente
definir el producto de dos clases como
Definición 5.14. El producto de dos
clases A y B es otra clase, compuesta por todos los
miembros que pertenecen simultáneamente a la clase A y a
la clase B y se
representa como AB. El producto de
clases también se denomina como la
intersección de dichas clases.
Así, por ejemplo, si la A es la clase de alumnos
varones y B es la clase de las personas inteligentes, entonces AB
es la clase de alumnos varones inteligentes. Un caso particular
de la intersección de clases es el producto de los alumnos
varones y las alumnas mujeres, en cuyo caso, el producto
resultante es la clase vacía.
Estas convenciones y definiciones nos permiten simbolizar las
proposiciones E e I en forma de ecuaciones y
desigualdades. En efecto, la proposición E
establece que ´Ningún Q es R´, la cual
está afirmando que ningún miembro de la clase Q es
miembro de la clase R, o sea que no hay elementos de pertenezcan
simultáneamente a ambas clases. En consecuencia tenemos
que ´QR = O´ es una forma válida de
representar a las proposiciones del tipo E.
Análogamente, para las proposiciones del tipo I
se afirma que ´Algún Q es R´ lo cual
implica que por lo menos un elemento de Q también es
miembro de R. Entonces el producto de clases entre Q y R es no
vacío, por lo cual las proposiciones I se
simbolizan como ´QR ¹ O´.
Para simbolizar las proposiciones categóricas A
y O hace falta apelar a la noción de
"complemento", la cual ya fuera introducida previamente.
El complemento de una clase Q la representaremos como
´Qc´. La proposición A
Todo Q es R afirma que todos los miembros de Q son
también miembros de la clase R, o sea que no hay
ningún miembro de la clase Q que no sea miembro de la
clase R. Ahora bien, por obversión tenemos la
proposición categórica equivalente que establece
que Ningún Q es ~P. Pero esta
última proposición del tipo E se representa
por la relación ´QRc = O´, la cual
pasa a ser la representación de la proposición
original (i.e. ´Todo Q es R´).
Análogamente, de la proposición O
´Algún Q no es R´ se deriva por
obversión la proposición I
´Algún Q es ~P´ que es
lógicamente equivalente a la anterior y que se simboliza
mediante la relación ´QRc
¹ O´. Esta clase de formulación
de las proposiciones categóricas muestra con total
claridad que las proposiciones categóricas A y
O por un lado, y E e I, por el otro, con
iguales términos sujeto y predicado, son contradictorias,
tal como se representa en las siguientes relaciones
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