Los conceptos de controlabilidad y
observabilidad presentados primero por Kalman juegan un
papel importante en los aspectos teórico y
práctico, del control moderno.
Las condiciones sobre controlabilidad y observabilidad gobiernan
la existencia de una solución de un problema de control
óptimo.
CONTROLABILIDAD
DE SISTEMAS
LINEALES
Consideremos al sistema en
tiempo
continuo:
….(2)
en donde
x = vector de estado (vector de orden n)
u =
vector de control (de orden r)
A = matriz de orden n x n
B = matriz de orden n x r
Se dice que el sistema dado por la ecuación anterior es
de estado controlable en t = t0 si es posible construir r
señales de control sin restricción alguna que
transfieran un estado inicial a cualquier otro estado finito en
un intervalo de tiempo finito
Si
todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de
estado completamente controlable.
El concepto de contabilidad se puede enunciar con referencia
al diagrama de bloques de la fig. Se dice que el proceso es
completamente controlable si cada variable de estado del
proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un
tiempo finito, a través de algún control no
restringido u(t).
Como un ejemplo sencillo de un sistema no contable, el
diagrama ilustra el estado de un sistema lineal con dos variables
de estado. Debido a que el control u(t) afecta solamente al
estado x1(t) el estado x2(t) es no
controlable. En otras palabras, sería imposible llevar a
x2(t) de un estado inicial
x2(t0) a un estado deseado
x2(tf) en un intervalo de tiempo finito
tf – to mediante el control u(t). Por
tanto, se dice que el sistema no es completamente
controlable.
Teorema 1
Para que el sistema descrito por la ecuación de estado
de la ecuación (2) sea de estado completamente
controlable, es necesario y suficiente que la siguiente
matriz de controlabilidad de n x nr tenga rango n:
Ec.(3)
S = [B AB A2B …
An-1B]
Ya que las matrices A y B están involucradas, algunas
veces se dice que el par [A,B] es controlable, lo que implica que
S es de rango n.
OBSERVABILIDAD DE
SISTEMAS LINEALES
Esencialmente, un sistema es completamente observable si cada
variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas. En
otras palabras, con frecuencia es deseable obtener
información sobre las variables de estado de las
mediciones de las salidas y las entradas. Si cualquiera de los
estados no se puede observar a partir de las mediciones de las
salidas, se dice que el estado es no observable, y el sistema no
es completamente observable, o simplemente no observable.
La muestra el diagrama de estado de un sistema lineal en donde
el estado x2 no está conectado en alguna forma
a la salida y(t). Una vez que se ha medido y(t), se puede
observar el estado x1(t), ya que x1(t) =
y(t). Sin embargo, el estado x2 no puede ser observado
de la información en y(t). Por lo que el sistema es no
observable.
Teorema 2
Para que el sistema descrito por las ecuaciones (2) sea
completamente observable, es necesario y suficiente que la
siguiente matriz de observabilidad de n x np tenga un rango
n:
Ec.(3)
La condición también se conoce como que el par
[A,C] es observable. En particular, si el sistema tiene
sólo una salida, C es una matriz reglón de 1
x n; V es una matriz cuadrada en n x n. Entonces el sistema es
completamente observable si V es no singular.
Ejemplo 1:
Considerar al sistema siguiente
¿Es el sistema controlable y observable?
%%%%%%%EJEMPLO DE CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% x=AX+Bu
% y=Cx+Du
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% [X1 [0 1 -2
[x1 [0
% X2 = 0 -16 21 x2
+ 2 u
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