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Física Eléctrica para tecnología de las energías. Tecnología de control (página 3)



Partes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Fig. 2.2.  Un
anillo uniformemente cargado de radio a, cuyo plano es perpendicular al eje x. 
Todos los segmentos del anillo están a la misma distancia del punto axial P.

 Considere que el
punto P está a una distancia x del centro del anillo, como en la figura
2.2.  El elemento de carga dq (diferencial de carga eléctrica) está a una
distancia  del
punto P.  Por lo tanto, se puede expresar V como

 

En este caso, cada
elemento dq (diferencial de carga eléctrica) está a la misma distancia del punto
P. Por lo que el término  puede
sacarse de la integral y V se reduce a

En esta expresión V
sólo varía con x.  Esto no es de extrañarse, ya que nuestro cálculo sólo
es valido para puntos sobre el eje x, donde "y"  y 
"z" son cero.  De la simetría de la situación, se ve que a lo
largo del eje x, E sólo puede tener componente en x.  Por lo tanto,
podemos utilizar la expresión Ex=-Vd./d.C.

Este resultado es
igual al obtenido por integración directa.  Note que Ex=0 (el centro del
anillo).

Apéndice

 

A.1

Tabla 1  Permitividad relativas de
materiales

 

 

Material

Permitividad relativa         ()

Vacío

1

Aire seco

1.0059

Agua 20ºC

80.1

Alcohol

15
a 30

Aceite mineral

1.7

Papel

3.7

Poliestireno

2.5

Porcelana

5
a 7

Mica

7

Vidrio

5.4 a 10

Madera

2 a 8

Teflón

2.1

Nylon

3.5

Silicio

12

Germanio

16

 

Material

Permitividad  Relativa

            

Rigidez
Dieléctrica

    EMáx(x106 )

Óxido de
ferroso

14.2 (a
298 K)

6

Vidrio

3.8 – 9.5
(a 298 K)

9.8 – 13.8

Vidrio
Pyrex

4.7

13

Mica
(K,H)Al3(SiO4)3

5.4 (a 299
K)

11.8

Teflón

2.1

60

Neopreno

6.6 ( a
298 K)

12

Polietileno

2.3 (a 293
K)

18

Poliestireno

2.6 (a 298
K)

24

Porcelana

6.5

4

Cuarzo
(SiO2)

4.3

 

Cuarzo
fundido

3.75 – 4.1

470 – 670

Cloruro de
sodio

5.9 (a 298
K)

5.45 a (4.2 K)

150

Madera

2.5 – 8.0

14

Papel

3.7

12

Alcohol
etílico

28.4 (a
273 K)

 

Aceite de
transformador

2.24

110.7

Agua
(destilada)

80.100 (a
293.2 K)

65 – 70

Triclorometano
(Cloroformo) (CHCl3))

4.8069 (a
293.2 K)

 

Estireno
(C8H8)

2.4737 (a
293.2 K)

 

Aire
(seco, libre de CO2, 1 atm)

1.0005364

3.0

Aire (100
atm)

1.0548

 

Argón (Ar)

1.0005772

0.56

Hidrógeno
(H2)

1.0002538

1.55

Helio (He)

1.0000650

0.46

Nitrógeno
(N2)

1.0005480

3.09

Neón (Ne)

1.00013

0.49

Oxígeno (O2)

1.0004947

0.46

Ozono (O3)

1.0017

 

Monóxido
de carbono (CO)

1.00065

3.16

Bióxido de
carbono (CO2)

1.000922

2.60

Tabla I.
Constante dieléctrica y Rigidez eléctrica de algunos materiales.[3]

A.2 Magnitud. Tipos de magnitudes.         

Magnitud

La
noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se
denominan magnitudes a ciertas
propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser
expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades
o atributos medibles.

La
longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de
sustancia son ejemplos de magnitudes físicas. La belleza, sin embargo, no es
una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una escala y
mucho menos un aparato que permita determinar cuántas veces una persona o un
objeto es más bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se
trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad.

Cantidad

En
el lenguaje de la física la noción de cantidad
se refiere al valor, el número que toma una magnitud dada en un cuerpo o
sistema concreto frente a la comparación realizada, la longitud de este hilo,
la masa de aquel trozo de madera , el volumen de esa pileta, son ejemplos de
cantidades.

Unidad

Una
magnitud arbitraria de una dimensión 
elegida como  referencia para
propósitos de medición o cálculo se denomina unidad. El sistema físico que encarna la cantidad considerada como
una unidad se denomina patrón. Por
esta razón cuando medimos, la cantidad resultante lleva un nombre que es
el  la unidad patrón.

 

Tipos de magnitudes

Entre
las distintas propiedades medibles puede establecerse una clasificación básica
de magnitudes. Un grupo importante de ellas quedan perfectamente determinadas
cuando se expresa su cantidad mediante un número seguido de la unidad
correspondiente, es decir se puede establecer una correspondencia biunívoca
entre el conjunto de números reales y dichas magnitudes. Este tipo de
magnitudes reciben el nombre de magnitudes
escalares
. La longitud, el volumen, la masa, la temperatura, la energía,
son sólo algunos ejemplos. Sin embargo, existen otras que por su propia
naturaleza, precisan para su total definición que se especifique, además de los
elementos anteriores, una dirección o una recta de acción , un sentido y un
punto de aplicación : son las llamadas magnitudes
vectoriales o dirigidas
. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud
vectorial, pues sus efectos al actuar sobre un cuerpo dependerán no sólo de su
cantidad, sino también de la línea a lo largo de la cual se ejerza su acción.

Las
magnitudes vectoriales requieren del
empleo de otros elementos matemáticos diferentes de los números reales, con
mayor capacidad de descripción. Estos elementos matemáticos que pueden
representar intensidad, dirección y sentido se denominan vectores.

Toda
magnitud vectorial puede ponerse en correspondencia biunívoca y continua con el
conjunto de vectores.

 Las magnitudes que se manejan en la vida
diaria son, por lo general, escalares, longitudes, masas, precios, volúmenes,
etc., y por ello es suficiente saber operar correctamente con números reales.
Sin embargo, el técnico, el ingeniero, y en la medida correspondiente el
estudiante de escuelas técnicas, al tener que manejar magnitudes vectoriales,
ha de operar, además, con vectores.

A.3 Vectores.                                             

Un vector
puede concebirse como un segmento orientado.

Un vector
admite una representación gráfica, que hace en entendimiento más intuitivo.
Esta representación esta dada por un segmento orientado en forma de flecha, con
una letra mayúscula (minúscula) en negrita A
o una letra mayúscula con una flecha  o guión sobre ella , del cual su longitud denota el módulo o intensidad del
vector, la recta que lo incluye indica la dirección, llamada recta o línea de
acción, la punta de la flecha indica el sentido y el punto del cual parte
determina el punto de aplicación.

Ejemplos   A, B,
H, R, T 
 o     o 

En la
figura siguiente se muestra un vector de módulo A, recta de acción tiene un
ángulo con la horizontal y punto de aplicación O.

                               

A.3-1 Sistemas de referencia

En la mayoría de los problemas
físicos y/o mecánicos se hace necesario posicionar cuerpos u objetos en el
espacio. Para ello la matemática nos definen sistemas de referencia o
coordenadas. Estos poseen un punto de referencia fijo, llamado origen (O), un
conjunto de ejes o direcciones con una escala apropiada (en general son tres
ejes) e instrucciones para la identificación de un punto en dicho sistema.

El sistema de referencia mas
frecuentemente usado es el conocido como sistema
ortonormal o
cartesiano en el
cual se usan tres ejes perpendiculares entre sí.

En la figura siguiente se muestra
dicho sistema ortonormal  en el que se
toma sentido positivo de los ejes cuando salen del punto de referencia O. Un
punto P del espacio tridimensional (3D) esta determinado por tres coordenadas
(x, y, z) sobre cada eje con valores positivos como muestra la figura.

                                           
P(x, y, z)

Para nuestro trabajo en
electromagnetismo nos alcanza con representar puntos en el plano, esto es dos
dimensiones, por lo que  la
representación en el sistema cartesiano resulta

                                       P(x, y)

Otro sistema de coordenadas
utilizado es sistema de coordenadas
polares.
En donde un punto queda
representado por la distancia del punto al origen, generalmente llamado radio y
el ángulo entre el eje horizontal y el radio (   ), considerado
positivo en sentido antihorario.

                                  
P(r,)                                   

Recordando las relaciones
trigonométricas y el teorema de Pitágoras

 
                             

 

                                                    

Si el radio vale uno   , se cumple la igualdad

 

                                 

Se pueden deducir las relaciones
entre los dos tipos de coordenadas. Como sigue:

De cartesiana a polar     

                                      

De polar a cartesiana    

                                     

A.3-2 Operaciones básicas con vectores

Ø   Igualdad de vectores

Dos o más vectores son iguales si
sus sentidos y direcciones son iguales y tienen la misma magnitud
independientemente de su ubicación en el espacio

Vector de magnitud unitaria

El vector unitario de un vector  cualquiera se calcula como

                     Donde con  se representa el
módulo o magnitud del vector

 

Ø    Adición o suma de vectores

Los vectores se pueden sumar de
diversas formas como muestra la figura siguiente

Parte a método del polígono

Parte b método del paralelogramo

                 

A.3-3 Representación  vectores

Cartesiana

Cualquier vector puede
representarse en un sistema cartesiano como una combinación lineal de n (en
general tres) vectores unitarios (versores) perpendiculares entre si conocida
con el nombre de base del sistema.

En el sistema cartesiano la base
se escribe como  , más conocidos por los nombres ,

         

El símbolo representa  una
integral (sumatoria) cerrada sobre una línea o superficie según corresponda,
nosotros la usaremos sobre superficies.

Si en una región del
espacio existe un campo vectorial  , representado por sus
líneas de campo y se toma una superficie elemental representada por . Se muestra en la figura siguiente.

                                   

Se llama flujo
elemental del campo vectorial ( se lee diferencial de fi) al producto escalar

                                  

Resolviendo

                                  

 

                          

 

Puesto que la cantidad
de líneas de campo es proporcional al módulo del mismo, se puede decir entonces
que flujo elemental  representa el número
de líneas de campo que atraviesan un elemento de superficie perpendicular al
campo.

Por lo tanto la
sumatoria  de todos los  que componen una
superficie cerrada (encierra un volumen), esto es la integral de superficie , será el flujo total sobre dicha superficie y vale

 

                                         

Remplazando

 

                           

 

Con lo cual el flujo
de un campo vectorial sobre una superficie cerrada nos representa el número
total de líneas que atraviesan dicha superficie, se deberá contabilizar las que
salen con un signo arbitrario y las que ingresan con el signo opuesto.

Puesto que no existe
restricciones en cuanto a la forma y tipo de superficie esta puede ser
cualquiera, por lo cual seguramente se tomará para el cálculo del flujo la más
simple y sencilla.

Conociendo la
expresión del módulo del campo vectorial sobre la superficie, esto resulta
simple de evaluar. 

A.3.6 Fuerzas. Representación.Tipos de fuerzas

Es una magnitud
vectorial, representada entonces por un vector.

Las fuerzas pueden
agruparse en:

Fuerzas conservativas

Fuerzas no
conservativas y

Fuerzas centrales

A.3.6-1 Concepto de trabajo de una fuerza y energía cinética

Se
denomina trabajo de una fuerza, al
producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

                                      

 vector que representa
el desplazamiento.

Recordar
del punto A.3-4 que el producto escalar resulta:

                                       

Donde     es el ángulo entre la
dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento. 

Si se toma
un  desplazamiento genérico cualquiera
deberá  tomarse desplazamientos muy
pequeños (diferenciales de desplazamiento) para obtener diferenciales de
trabajo. Aplicando la definición

                            bucle1.gif (881 bytes)

 

                                         

                                  

 

Donde Ft
es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, dr es el módulo del vector.

El trabajo
total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos
los trabajos infinitesimales (integral)

                                      

 

Su
significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la
función que relaciona la componente 
de la fuerza Ft, y el desplazamiento

 dr

Concepto de energía cinética ().

Supongamos
que F es la resultante
de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de
dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial
de la energía cinética de la partícula.

    pero         

 

Pero      remplazando   resulta

 

                                

El trabajo
de la resultante de todas las fuerzas sobre un cuerpo de masa m  es igual a la variación de la energía
cinética del cuerpo. Esto es

 

                                   

 

Fuerza
conservativa. Energía potencial

Una fuerza
es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza a lo largo de un a
trayectoria cerrada es nulo. Esto nos indica la existencia de una función, que
solo depende de las coordenadas del sistema de referencia. A dicha función se
le denomina energía potencial.

Por lo
cual el trabajo de la fuerza es igual a la diferencia entre los valores
iniciales y finales de la función energía potencial.

 

                                 

El trabajo
de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al
punto B.

El trabajo
de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

Ejemplo 1:
Fuerza peso

El peso es
una fuerza conservativa.

Calculemos
el trabajo de la fuerza peso 
representado como  cuando el cuerpo se
desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la
posición B cuya ordenada es yB.

bucle2.gif (1176 bytes)

La energía
potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso
tiene la forma funcional

Donde c
es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía
potencial.

Ejemplo 2:
fuerza de un resorte (muelle)

La fuerza
que ejerce un muelle es conservativa

Como vemos
en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la
partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.

Para x>0,
F=-kx

Para x<0,
F=kx

El trabajo
de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición xA
a la posición xB es

La función
energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa
F vale

El nivel
cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la
deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0,
de modo que la constante aditiva vale c=0.

A.3.6-2 
Principio de conservación de la energía

Fuerzas  conservativas

Si solamente una fuerza conservativa  actúa sobre una
partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor
inicial y final de la energía potencial

 

                                   

Como hemos
visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que
actúa sobre un cuerpo es igual a la diferencia entre el valor final e inicial
de la energía cinética.

 

                                   

Igualando
ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la
energía

                                      

 

                                         

La energía
mecánica del cuerpo (suma de la energía potencial más cinética) es constante en
todos los puntos de su trayectoria.

                   

Comprobación
del principio de conservación de la energía

Un
cuerpo de 2 kg
se deja caer desde una altura de 3
m. Calcular

La
velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo,
aplicando las fórmulas del movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado

La
energía cinética potencial y total en dichas posiciones

Tomar g=10
m/s2

Posición
inicial x=3 m, v=0.

Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60
J

Cuando x=1
m

Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60
J

Cuando x=0
m

Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60
J

 

La energía
total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía
cinética aumenta.

 

Fuerzas no
conservativas

Para
darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla
con la fuerza conservativa peso.

El peso es
una fuerza conservativa.

Calculemos
el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a
continuación cuando se traslada de B hacia A.

bucle4.gif (1490 bytes)

WAB=mg
x

WBA=-mg
x

El trabajo
total a lo largo el camino cerrado A-B-A, WABA es cero.

La fuerza
de rozamiento es una fuerza no conservativa

Cuando la
partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es
opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo
contrario al desplazamiento

bucle5.gif (1110 bytes)

WAB=-Fr x

WBA=-Fr x

El
trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es
distinto de cero

WABA=-2Fr
x

Balance de energía

En
general, sobre un cuerpo actúan fuerzas conservativas Fc y no
conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas
que actúan sobre el cuerpo  es igual a la
diferencia entre la energía ciDnética final menos la inicial.

                                

 

Pero    remplazando

 

                          

El trabajo
de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía
potencial inicial y la final

                             

 

Aplicando
la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que

 

                         

                      

 

Agrupando
se tiene

 

 

El trabajo
de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más
potencial) de la partícula.

Bibliografía

*FÍSICA
VOL 2. CAMPOS Y ONDAS.  MARCELO ALONZO-
EDWARD J. FIN.

*FÍSICA VOL 2. RESNICK HOLLADAY
AND KRANE.

* FÍSICA
VOL 2. F.SEARS-
M. ZEMAASKY- H. YOUNG.

 

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1.4 Ejercicios resueltos

1) Calcular
la fuerza que produce una carga de 10
C sobre otra de 20 C, cuando esta última se encuentra ubicada,
respecto de la primera, a:

a)
1 cm.

b)
2 cm.

c)
0,1 cm.

Resolución:

datos:
q1 = 10

C
= 1.10-5 C q2 = 20

C
= 2.10-5 C

xa
= 1 cm. =
10-2 m
xb = 2
cm. = 2.10-2 m xc = 0,1 cm. = 10-3 m

a)
Fa = k.q1.q2/xa2

Fa
= 9.109 (Nm2/C2).1.10-5 C.2.10-5
C/(10-2 m)2

 Fa = 18.10-1 (Nm2/C2).C2/10-4
m2

 Fa = 18.103 N

Fa
= 1,8.104 N

b)
Fb = k.q1.q2/xb2

Fb
= 9.109 (Nm2/C2).1.10-5 C.2.10-5
C/(2.10-2 m)2

 Fb = 18.10-1 (Nm2/C2).C2/4.10-4
m2

 Fb = 4,5.103 N

Fb = 4,5.103 N

 

c) Fc = k.q1.q2/xc2

Fc = 9.109 (Nm2/C2).1.10-5 C.2.10-5 C/ (10-3 m)2

 Fc = 18.10-1 (Nm2/C2).C2/10-6
m2

Fc = 18.105 N

Fc = 1,8.106 N

 

2) Una
bola de médula de sauce, A, tiene
una carga de 40  y está suspendida a 6 cm de otra bola, B, que ejerce una fuerza de 500 N sobre
la carga A, ¿cuál es la carga de la
bola B?.

Resolución:

datos:
qA = 40

C
= 4.10-5 C

r
= 6 cm = 6.10-2 m

F
= 500 N = 5.102 N

F
= k.qA.qB/r2

 qB = F.r2/ k.qA

qB
= 5.102 N.(6.10-2 m)2/9.109 (Nm2/C2).4.10-5
C

 qB = 5.10-2 N.36.10-4 m2/36
(Nm2/C2).C

qB = 5.10-6 C

 

3) Una
bola de médula de sauce, A, tiene
una masa de 0,102 g
y una carga de 0,1 C.
A está ubicada a 50 cm de otra bola, B, de 0,04 C.

a)
¿qué fuerza ejerce B sobre A?.

b)
¿cuál será la aceleración de A en el
instante en que se suelta? (no tener en cuenta la aceleración de la gravedad).

Resolución:

datos:
qA = 0,1

C
= 10-7 C

qB
= 0,04

C = 4.10-8 C

r = 50 cm = 5.10-1 m

mA = 0,102 g = 1,02.10-4 kg

a) F = k.qA.qB/r2

F = 9.109 (Nm2/C2).10-7
C.4.10-8 C/(5.10-1 m)2

 F = 36.10-6 (Nm2/C2).C2/25.10-2
m2

F = 1,44.10-4 N

b) F = m.a

 a = F/m

 a = 1,44.10-4 N/1,02.10-4
kg

a = 1,412 m/s2

 

4) Un
electróforo se puede descargar y cargar repetidas veces produciendo chispas.
¿De dónde se obtiene la energía que produce las chispas?.

Respuesta:

Por
el trabajo entregado para realizar la carga y descarga
.

 

5)
En los vértices de un cuadrado imaginario de 0,1 cm de
lado hay cargas de 30, -10, 40 y 0 C. Encuentre la fuerza resultante sobre el
vértice de -10 C.

ELECTROESTATICA

 

 

 

 

Resolución:

datos:
q1 = 30 C

q2
= -10 C

q3
= 40 C

q4
= 0 C

r
= 0,1 cm = 10-3 m

F32
= k.q3.q2/r2 y F32 = FR.sen
α

F12
= k.q1.q2/r2 y F12 = FR.cos
α

FR2
= F122 + F322 y α = arctg(F12/F32)

F32
= 9.109 (Nm2/C2).40 C.(-10 C)/(10-3
m)2  

 F32 = -9.109 (Nm2/C2).400 C2/10-6
m2    

F32 = -3,6.1018
N

F12 = 9.109 (Nm2/C2).30
C.(-10 C)/(10-3 m)2 

 F12 = -9.109 (Nm2/C2).300
C2/10-6 m2 

 
F12 = -2,7.1018 N

FR2 = (-3,6.1018
N)2 + (-2,7.1018 N)2

FR2 = 1,29637
N2 + 7,2936 N2 

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