Apuntes sobre estimación de recursos y reservas (página 2)

Los principales sistemas de
clasificación que se emplean hoy en el mundo se
fundamentan en la confianza geológica y en la viabilidad
económica. Todos los esquemas de clasificación
hacen uso del grado de confiabilidad o certidumbre como factor
discriminante entre las distintas clases, entre tanto ninguno de
esos sistemas   muestran claramente como calcular el
error asociado con cada estimación. Un elemento que
complica aun más el proceso de
categorización es la imposibilidad de cuantificar el error
cometido en la creación del modelo
geológico del yacimiento. Producto de
las dificultades encontradas en cuantificar el error de
estimación, los sistemas de clasificación se apoyan
más en aspectos cualitativos que en medidas  reales
de la dispersión de los valores
obtenidos.  Dado este elemento de subjetividad es que se
introduce en la mayoría de los sistemas de
clasificación el concepto de
persona
competente (ver código
JORC).

Los principales métodos a
través de los cuales los recursos minerales 
pueden ser categorizados se dividen en 2 grupos: (1)
Criterios tradicionales o clásicos,  (2) Criterios
geoestadísticos.

1.1 Métodos tradicionales de
categorización

Los métodos tradicionales de categorización
hacen uso de los siguientes criterios.

Continuidad geológica– La clasificación
de recursos y reservas minerales depende en primer lugar de la
comprensión de la génesis del yacimiento y de la
valoración de la continuidad geológica del volumen
mineralizado. Aquí es muy importante establecer la
continuidad física o geometría
de la mineralización o de las estructuras
controladoras.  La continuidad física o
geométrica no es fácilmente cuantificable. Para
establecer este tipo de continuidad es necesario interpretar los
datos
disponibles y establecer el modelo geológico del
yacimiento sobre la base del conocimiento
existente y la experiencia previa obtenida en depósitos
similares.

Densidad de la red de exploración
(grado de estudio) -Para las distintas categorías se
recomienda un  determinado espaciamiento  de la red de
exploración  lo cual está en función
del tipo de yacimiento.  Las redes para cada
categoría  se argumentan sobre la base de la
experiencia (principio de analogía) en otros yacimientos
similares (tabla #1.1)

Tabla # 1.1 Ejemplo

de clasificación en función de la densidad de la
red de exploración.

Interpolación contra extrapolación – Los
bloques cuyos valores han
sido estimados por interpolación o sea están
localizados  dentro de la red de muestreo son
clasificados en categorías más confiables que los
localizados más allá de la última
línea de pozos (extrapolados). La mayoría de los
sistemas de clasificación exige no incluir bloques
extrapolados en la clase de
recursos medidos.

Consideraciones tecnológicas – incluye
determinados aspectos que pueden ser utilizados para discriminar
o rechazar un recurso en una categoría dada. Como ejemplo
se pude citar la presencia de elementos perjudiciales que impiden
la buena recuperación o hacen extremadamente cara la
extracción del componente útil durante el proceso
de beneficio.

Calidad de los datos– La recuperación del
testigo, el volumen de las muestras, la forma en que fueron
tomadas y el método de
perforación influyen directamente sobre la calidad de los
datos. Los sectores donde existen problemas de
representatividad o confiabilidad de los análisis deben ser excluidos de la
categoría de recurso medido.

1.2 Criterios geoestadísticos de
categorización

Yamamotto, 1991 considera que los esquemas de
clasificación de reservas basados en medidas reales de la
dispersión son más confiables  pues reflejan,
sobre todo, la cantidad y la calidad de la información empleada para evaluar las
reservas. Estos esquemas fueron denominados genéricamente
clasificaciones geoestadísticas  pues se basan en la
varianza Kriging.

En este sentido, se recomienda la Geoestadística 
como procedimiento
válido y confiable en la mayoría de los sistemas de
clasificación, convirtiéndose en un estándar
en la estimación de recursos minerales.

El código propuesto por la ONU, por ejemplo,
propone el uso de la Geoestadística para clasificar los
recursos pues permite de forma rápida y sin
ambigüedad identificar las categorías de recursos y
reservas minerales (UN-ECE,1996). Algunos de los principales
criterios geoestadísticos que han sido empleados o
propuestos para la clasificación  de recursos se
explican a continuación.

1.2.1 Alcance del
variograma

El variograma permite cuantificar la continuidad o nivel de
correlación entre las muestras que se localizan en una
zona mineralizada dada. El grado de esa correlación ha
sido frecuentemente utilizado para clasificar los recursos y
reservas. Froidevaux  (1982) propuso 3 clases de
clasificación:

Bloques en el área muestreada  ubicados dentro
del  radio de
influencia definido por el alcance del variograma.

Bloques en el área muestreada  ubicados más
allá del  radio de influencia definido por el alcance
del variograma

Bloques dentro del yacimiento, ubicados a una distancia grande
de los pozos (incluyendo los bloques extrapolados)

 Típicamente se han empleado 2 enfoques para
clasificar  los recursos  usando el variograma

El primero se basa en la subdivisión arbitraria del
alcance observado. Ejemplo, todos los bloques estimados con un
número mínimo de muestras  y ubicados dentro
de un determinado  radio de influencia podrían ser
clasificados como recursos medidos mientras que todos los bloques
estimados con cierto número mínimo de muestras y
localizados más allá del radio de influencia
serían clasificados como indicados.

En el segundo enfoque las categorías de recursos
están basadas en los valores de la meseta. Por ejemplo,
los bloques comprendidos dentro de un alcance del variograma
correspondiente a 2/3 del valor de la
meseta pueden ser clasificados como medidos, el resto son
indicados.

1.2.2 Varianza Kriging

El kriging permite obtener, además de la
estimación del valor de un bloque, una indicación
de la precisión local a través de la varianza
kriging (Vk). Desde el inicio del desarrollo del
Kriging la Vk ha sido empleada para determinar los intervalos de
confianza de las estimaciones. Para esto es necesario asumir que
esta se ajusta a un modelo normal o lognormal. Sin embargo, en la
práctica es raro que los errores de estimación se
subordinen a estos modelos de
distribución.

Como para el cálculo de
la varianza kriging se emplea solamente la configuración
de las muestras en el espacio y no sus valores locales, esta no
debe ser interpretada como una medida de la variabilidad local.
Por otra parte como Vk es calculado a partir del variograma medio
del yacimiento no es solo un índice de la
disposición espacial de las muestras sino también
caracteriza las varianzas medias globales permitiendo la discriminación entre las clases o
categorías de recursos.

Este enfoque no es reciente y ha sido utilizado a lo largo de
muchas décadas, como se puede constatar en la tabla # 1.2
que resume las categorías de la clasificación
sugerida por Diehl  y David (1982) y Wellmer (1983), basadas
en la cuantificación del error utilizando la
desviación estándar kriging.

Tabla # 1.2 Clasificación de recursos/reservas basada
en la cuantificación del error a partir de la
desviación estándar kriging

El método propuesto por Diehl y David (1982) se basa en
definir niveles de confianza y de  precisión (error):
la precisión se expresa en función de la
desviación estándar kriging y el valor estimado
kriging

Precisión =
(skx100xZ1-a) /
tki

Donde  sk es la desviación
estándar  kriging

           
 tki   Valor  del
bloque estimado por kriging

            
Z1-a   Valor de la
variable estandarizada distribuida normalmente con un
nivel          
de confianza (1- a)

Si se fija la precisión en 10 % (reservas probadas)
entonces se puede determinar la razón sk/
tki que divide las reservas  probadas de las
probables

10==(skx100xZ80)/ tki

sk/ tki=10/(100×1.282)=0.078

Es bueno señalar que no existe consenso internacional
sobre los niveles de confianza y precisión que deben tener
las distintas categorías de reservas. 

El segundo método para categorizar los recursos se basa
en la construcción de la función de
densidad de probabilidades o el histograma de las varianzas
kriging (Annels, 1991). El histograma se examina para detectar
evidencias de
poblaciones complejas que pueden representar 3 poblaciones
superpuestas (probable, posible e inferida). Esta
situación se refleja en la figura. 1.1

Figura 1.1  Histograma de las varianzas kriging (Vk)
segmentado en 3 poblaciones: 1)0-0.0075 -Reservas probables, 2)
0.0075-0.0135 -Reservas posibles 3)>0.0135 -Reservas inferidas
(Annels, 1991)

Método del Error porcentual de la estimación de
la media

Según Valente (1982), el error porcentual de la
estimación de la media, para un conjunto
de n
 bloques estimados para un 95 % de probabilidad,
se puede calcular por la  expresión:

Donde tki y s2ki 
son los valores estimados por kriging y la varianza 
kriging  de cada uno de los bloques.

La utilización de este error para la
clasificación de recursos y reservas fue recomendado por
la ONU a las instituciones
financieras internacionales (Valente, 1982). La tabla # 1.3
representa las 3 categorías de reservas clasificadas
según el error kriging de la media para un nivel de
probabilidad del 95 %.

Tabla # 1.3 Clasificación de reservas a partir de la
utilización del error kriging de la media.

También existen otros criterios y métodos que no
serán abordados en este material como son la simulación
condicional para construir modelos de incertidumbre, la medida de
eficiencia de
los bloques (Krige, 1986) y la desviación estándar
de la interpolación (Yamamoto, 1989) entre
otros. 

1.3 Desarrollo histórico de un
sistema
internacional de clasificación de recursos y reservas

Desde el inicio de la década de los 90 se ha
desarrollado un esfuerzo sistemático por crear patrones
internacionales para la estimación, reporte de la
información de exploración y la
clasificación de recursos y reservas.

El código de Australasia para informar sobre recursos
minerales y  reservas (código JORC) fue publicado en
Junio de 1988 e incorporado a las normas de la
bolsa de Australia. En 1990 fue  publicada una guía
para el código JORC. Después de este hecho la SME
(US Society for Minig, Metallurgy, and Exploration)
publicó una guía para informar sobre datos de
exploración, recursos minerales y reservas.  En 1991
en el Reino Unido el IMM (Institute of Mining and Metallurgy)
revisó sus patrones para informar sobre recursos y
reservas basándose principalmente  en el
código JORC de 1988.

En septiembre de 1994 en el 15 Congreso del
CMMI (Council
of Mining and Metallurgical Institutions) celebrado en
Sudáfrica, se organizó una reunión con el
objetivo
específico de discutir los estándar
internacionales, esto resultó ser el primer encuentro de
lo que posteriormente fue llamado el Grupo CMMI
(International Resource/reserve definitions group).

El Grupo CMMI, compuesto por representantes de
Australia (AusIMM), África del
Sur (SAIMM), Estados Unidos (
SME), Reino Unido (IMM) y Canadá (CIM), tenía como
objetivo desarrollar  un conjunto de definiciones
internacionales relacionadas con los recursos minerales y las
reservas de mena.

De la misma forma en 1992 las Naciones Unidas
creó una comisión para desarrollar un sistema
internacional de clasificación de recursos y reservas, el
cual salió a la luz en 1996 bajo
el nombre de Marco Internacional de las Naciones Unidas para la
clasificación de reservas/recursos – Combustibles
sólidos y sustancias minerales  ("United Nations
International Framework Classification for reserve /
resource-Solid fuels and mineral Commodity ").

El primer gran avance ocurrió en octubre
de 1997 en el encuentro del grupo CMMI en Denver Colorado y la
aprobación del llamado acuerdo de Denver donde se
logró un consenso sobre un conjunto de definiciones de
recursos y reservas. En 1998 en Ginebra, Suiza se llevo a cabo un
encuentro entre el grupo CMMI y la comisión de Naciones
Unidas, donde las definiciones y patrones del CMMI fueron
incorporados, con pequeñas modificaciones, al sistema de
clasificación de las Naciones Unidas, dándole un
carácter verdaderamente internacional 
a las definiciones del CMMI.

Después de encuentro  Australia, África del
Sur  y Estados Unidos iniciaron la actualización de
sus sistemas nacionales de clasificación

En noviembre de 1999 hubo un nuevo encuentro entre el Grupo
CMMI y la comisión de Naciones Unidas para continuar el
proceso de desarrollo de normas  y definiciones
internacionales. Con pequeñas e insignificantes
diferencias entre los países los siguientes
términos han sido aceptados (fig. 1.2):

Recursos minerales es una
concentración u ocurrencia de material de interés
económico intrínseco en o sobre la corteza de
la Tierra en
forma y cantidad en que haya probabilidades razonables de
una eventual extracción económica. La
ubicación, cantidad, ley,
características geológicas y continuidad de un
Recurso Mineral son conocidas, estimadas o interpretadas a partir
de evidencias  y conocimientos geológicos
específicos. Los Recursos Minerales se subdividen, en
orden ascendente de la confianza geológica, en
categorías de Inferidos, Indicados y Medidos.

Figura 1.2 Relación general entre Resultados de
Exploración, Recursos y Reservas Minerales

Recurso Mineral Inferido es aquella parte de
un Recurso Mineral por la cual se puede estimar el tonelaje, ley
y contenido de mineral con un bajo nivel de confianza. Se infiere
a partir de evidencia geológica y se asume pero no se
certifica la continuidad geológica ni de la ley. Se basa
en información inferida mediante técnicas
apropiadas de localizaciones como pueden  ser afloramientos,
zanjas, rajos, laboreos y sondajes que pueden ser limitados o de
calidad y confiabilidad incierta.

 Recurso Mineral Indicado es aquella
parte de un Recurso Mineral para el cual puede estimarse con un
nivel razonable de confianza el tonelaje, densidad, forma,
características físicas, ley y contenido mineral.
Se basa en información sobre exploración, muestreo
y pruebas
reunidas mediante técnicas apropiadas en ubicaciones como
pueden  ser: afloramientos, zanjas, rajos, túneles,
laboreos y sondajes. Las ubicaciones están demasiado
espaciadas o su espaciamiento es inapropiado para confirmar la
continuidad geológica y/o de ley, pero está
espaciada con suficiente cercanía para que se pueda
suponer continuidad.

Recurso Mineral Medido es
aquella parte de un Recurso Mineral para el cual puede estimarse
con un alto nivel de confianza el tonelaje, su densidad, forma,
características físicas, ley y contenido de
mineral. Se basa en la exploración detallada e
información confiable  sobre muestreo y pruebas
obtenidas mediante técnicas apropiadas de lugares como
pueden ser afloramientos, zanjas, rajos, túneles, laboreos
y sondajes. Las ubicaciones están espaciadas con
suficiente cercanía para confirmar continuidad
geológica y/o de la  ley.

Reserva Minerales es la parte
económicamente explotable de un Recurso Mineral Medido o
Indicado. Incluye dilución de materiales y
tolerancias por pérdidas que se puedan producir cuando se
extraiga el material. Se han realizado las evaluaciones
apropiadas, que pueden incluir estudios de factibilidad e
incluyen la consideración de  modificaciones por
factores razonablemente asumidos de extracción,
metalúrgicos, económicos, de mercados,
legales, ambientales, sociales y gubernamentales. Estas
evaluaciones demuestran en la fecha en que se reporta que
podría justificarse razonablemente la extracción.
Las Reservas de Mena se subdividen en orden creciente de
confianza en Reservas Probables Minerales y Reservas Probadas
Minerales

Reserva Probable Minerales es la
parte económicamente explotable de un Recurso Mineral
Indicado y en algunas circunstancias Recurso Mineral Medido.
Incluye los materiales de dilución y tolerancias por
pérdidas que puedan producirse cuando se explota el
material. Se han realizado evaluaciones apropiadas, que pueden
incluir estudios de factibilidad, e incluyen la
consideración de factores modificadores razonablemente
asumidos de minería,
metalúrgicos, económicos, de mercadeo,
legales, medioambientales, sociales y gubernamentales. Estas
evaluaciones demuestran a la fecha en que se presenta el informe, que la
extracción podría justificarse
razonablemente

Reserva Probada Minerales es la
parte económicamente explotable de un Recurso Mineral
Medido. Incluye los materiales de dilución y tolerancias
por pérdidas que se pueden producir cuando se explota el
material. Se han realizado evaluaciones apropiadas que pueden
incluir estudios de factibilidad, e incluyen la
consideración de  modificaciones por factores
fehacientemente asumidos de minería, metalúrgicos,
económicos, de mercados, legales, ambientales, sociales y
gubernamentales. Estas evaluaciones demuestran, a la fecha en que
se publica el informe, que la extracción podría
justificarse razonablemente.

Con esos términos  y definiciones
aceptadas, el grupo CMMI se dedicó a desarrollar las
normas internacionales. La responsabilidad por las estimaciones de recursos y
reservas debe ser atribuida a una persona
responsable/competente,  término este introducido
inicialmente en el código JORC.

Con el establecimiento y adopción
de los patrones internacionales de estimación y
clasificación de recursos y reservas  muchos autores
discuten la perspectiva inminente de transformar  esos
patrones en normas de certificación del sistema ISO 9001.
Según Vallee, 1999 de todos los sistemas en uso el
código JORC es el más compatible con la
certificación ISO.

2 Métodos
clásicos de estimación de
reservas 

Estos métodos sencillos, que se basan en criterios
meramente geométricos, han soportado el paso del tiempo. Sin
embargo están siendo paulatinamente sustituidos por
métodos más sofisticados de estimación que
se basan en la aplicación de los métodos de
estimación espacial.

2.1 Parámetros básicos de la
estimación de recursos

Los principales parámetros de estimación se
deducen del la ecuación básica que permite calcular
la cantidad de metal o componente útil  (P).

P = S*m*d*C  donde,

S- área de la proyección del cuerpo mineral en
un plano determinado.

m- potencia media
del cuerpo mineral en la dirección perpendicular al plano de
proyección

d- masa volumétrica

C- ley media del componente útil.

De esta ecuación básica se pueden derivar otras
fórmulas como:

V=S*m – volumen total ocupado por el yacimiento mineral
(m3)

Q=V*d – Tonelaje o cantidad de reservas de mineral útil
(t)

La fórmula anterior muestra  que
los   principales parámetros son:

A) área (m2)

B) espesor medio (m)

C) contenido medio de los componentes útiles  (%,
g/t, g/m3, kg/m3)

D) Masa volumétrica o densidad aparente  de la
materia prima
mineral (t/m3)

Antes de comenzar el cálculo es necesario determinar
los valores de esos parámetros a partir de los datos 
adquiridos en el transcurso de los trabajos de prospección
y exploración. Esta tarea es muy importante pues de su
correcta solución depende la precisión de los
resultados de la estimación

2.2 Determinación de los
parámetros básicos

2.2.1
Determinación del área del yacimiento

Después del levantamiento geológico y la
documentación de los trabajos de
exploración se puede representar el yacimiento
proyectándolo en un plano conveniente. Habitualmente los
yacimientos con un buzamiento mayor de   45º 
se proyectan en un plano vertical, los de buzamiento menor se
proyectan en un plano horizontal. En ambos casos el área
proyectada es menor que el área real. La relación
entre el área real (S) y el área proyectada 
(S´) en el plano vertical es:

S´=S*sen (β)

Para el plano horizontal:

S´=S*cos (β)

Donde β es el ángulo de buzamiento del
yacimiento.

Los yacimientos que tienen un rumbo y buzamiento constantes
pueden ser proyectados  en un plano paralelo a los mismos.
Si el depósito está constituido por  varios
cuerpos el área de cada uno se proyecta y determina
aparte.

La base para la proyección de los cuerpos y el
cálculo del área son los planos del departamento
del servicio
topográfico. En estos planos el geólogo debe
delimitar el área del cuerpo estudiado, demarcar los tipos
tecnológicos y las categorías según el grado
de estudio etc.

Para calcular el área es necesario inicialmente
determinar los contornos de los cuerpos y del yacimiento mineral.
Comúnmente se trazan dos contornos o límites:
el interno y el externo. El contorno interno es una línea
que une todos los pozos externos positivos. Ahora bien como el
cuerpo mineral continua mas allá del contorno interno y no
es posible conocer la posición exacta del contorno real se
hace necesario determinar un límite (contorno externo) que
sustituye el contorno real.

Pueden existir 2 posibilidades:

Detrás de los pozos extremos positivos se encuentra un
pozo estéril

Detrás de los pozos extremos positivos no existen pozos
de exploración

En el primer caso sabemos que el contorno real se encuentra en
alguna parte entre el contorno interno  y los pozos
negativos entonces  el contorno externo se determina por
extrapolación limitada.  En el segundo caso no
existen datos sobre la posición exacta del contorno real y
este se determina por extrapolación no limitada. Los
distintos métodos que existen para determinar el contorno
externo  se representan en la figura 2.1.

Figura 2.1  Principales criterios para
trazar el contorno externo

Una vez contorneado el yacimiento el área puede ser
calculada empleando una de los siguientes métodos:

Planímetro

Digitalizador

Descomposición en figuras geométricas
sencillas.

Papel milimetrado

Regla de Simpson

2.2.2 Determinación de la masa
volumétrica

La masa volumétrica de la mena (o mineral) no es
más que la masa de un metro cúbico de esta en
estado
natural, es decir incluyendo poros, cavidades etc.

La masa volumétrica (d) de la mena se define como:

d= Q/(Vm+Vp)

donde: Q es la masa de la muestra de mena

           
Vm es el volumen de la mena

           
Vp es el volumen de los poros

La masa volumétrica se puede calcular en el laboratorio,
en el campo y por métodos geofísicos principalmente
en pozos y excavaciones mineras.  En el laboratorio se
determina mediante el pesaje de las muestras y la
determinación del volumen. La medición más exacta y
auténtica se logra en el campo para esto se extrae una
muestra  global (alrededor de 10 m3). El
volumen del espacio (V) se mide y la mena extraída se pesa
(Q).

d= Q/V (t/m3)

La masa volumétrica de la mena puede cambiar en
función de la composición química y
eventualmente de la textura, esto determina la necesidad  de
determinar la masa volumétrica para cada tipo natural de
mena presente en el yacimiento.  Habitualmente el peso
volumétrico se determina para cada tipo como un promedio
aritmético de 10 -20 muestras, en caso de yacimientos
complejos de 20- 30 muestras

La selección
de una  insuficiente cantidad de muestras y la no
representatividad de las mismas constituyen las fuentes
principales de errores en la determinación de la masa
volumétrica.

Muchas minas en operaciones
aplican una masa volumétrica constante
(t/m3), la cual se obtiene  a partir del
promedio aritmético de un número significativo de
muestras. Si embargo esto puede conducir a errores graves en la
determinación del tonelaje y la cantidad de metal,
especialmente en aquellos casos donde la ley, la litología
de la roca de caja, el grado de alteración o la
profundidad del intemperismo y la mineralogía del
componente útil varían constantemente.

Para superar este problema se emplea la regresión
lineal. Este método consiste en la
determinación de la masa volumétrica de un
número significativo de muestras mineralizadas
pertenecientes a un mismo tipo natural de mena.
Simultáneamente las muestras son analizadas para conocer
el contenido del componente útil. Con esta
información se construye el gráfico de
dispersión, se realiza el análisis de
correlación y se ajusta la ecuación de
regresión que permite predecir el valor de la masa
volumétrica de cada muestra en función de la ley
del componente útil.  Sobre la base de estos
resultados también se confeccionan los nomogramas que
permiten obtener directamente el valor de la masa
volumétrica a partir de la ley del componente útil
de la muestra o intersección.

2.2.3
Determinación del espesor medio de un
yacimiento

El espesor de un yacimiento se puede verificar por
métodos directos o con ayuda de  modos indirectos
(por ejemplo los métodos geofísicos en las
perforaciones)

El espesor o potencia se puede  medir  en los
afloramientos naturales y artificiales, en las excavaciones
mineras y en los pozos de perforación.

El espesor de los yacimientos hay que medirlo con una
precisión de cm. En casos de yacimientos con contactos
claros con las rocas vecinas el
espesor se mide directamente. Cuando los contornos  de la
mineral no son claros el espesor se determina sobre la base de
los resultados de los análisis químicos de 
las muestras y la precisión depende de la longitud de las
muestras tomadas. . 

En la estimación de recursos se puede emplear la
potencia real o normal, la componente vertical (potencia
vertical) y la componente horizontal (potencia horizontal). Todo
depende del plano en el cual se ha proyectado el cuerpo. La
dependencia entre el espesor real y los espesores horizontales y
verticales es la siguiente.

mn = mh* sen (β)

mn = mv * cos(β)

mh = mv * ctg (β)

Donde β es el ángulo de buzamiento de cuerpo,
mn-potencia real mh – potencia
horizontal, mv – potencia
vertical.

La componente vertical se emplea cuando el yacimiento se
proyecta en planos horizontales principalmente para los cuerpos
de buzamiento suave. Como se observa en la figura 2.2 trabajar
con la componente vertical y el área proyectada en el
plano horizontal es equivalente a emplear la potencia real y el
área real de cuerpo mineral.

Figura 2.2 Empleo de la
potencia vertical cuando se proyecta el cuerpo en el plano
horizontal. (Annels, 1991).

La componente horizontal se emplea cuando los cuerpos se
representan en proyecciones verticales longitudinales
principalmente en cuerpos de yacencia abrupta que se explotan con
minería subterránea.

La potencia aparente del cuerpo mineral es de poca importancia
y su valor depende del buzamiento y la inclinación del
pozo. Si se conoce el ángulo de intersección
(θ) entre el cuerpo mineral y el eje (traza del pozo) o
puede medirse en el testigo entonces es posible calcular la
potencia real empleando la siguiente fórmula.

mn = ma* sen (θ)

En caso de que el ángulo de intersección no
pueda ser medido, el espesor real se calcula a partir de la
inclinación del pozo (α) en el punto medio del
intervalo mineralizado y el buzamiento del cuerpo (β)
determinado a partir del perfil.

mn = ma* sen (α+ β)

En los casos en que el plano vertical que contiene el pozo no
es perpendicular al rumbo del cuerpo mineral entonces es
necesario introducir un factor de corrección (Rm) en la
fórmula anterior

mn = ma* sen (α+ β)*Rm

Rm= sen (α+ δ)*cos(β)/cos(δ)

Donde δ es el buzamiento aparente del cuerpo mineral en
el plano vertical que contiene el pozo.

También se puede emplear la fórmula

mn = ma* sen (α+
β)*cos(γ)

Siendo γ el ángulo entre el plano vertical que
contiene el pozo y un plano vertical perpendicular al rumbo del
cuerpo mineral.

Para la estimación de reservas es necesario determinar
el espesor medio del yacimiento o de una parte de este. Si los
espesores particulares fueron medidos a distancias regulares, el
espesor medio se calcula según la fórmula de 
la media aritmética.

m = 
(m1+m2+m3+···
+mn)/n

Si las mediciones de los espesores de un yacimiento fueron
realizadas en distancias no regulares entonces el espesor medio
se calcula según la ecuación de la media ponderada,
empleando como factor de ponderación las distancias entre
las distintas mediciones (l) o el área de influencia de
cada una de ellas. 

m = 
(m1ll+m2l2+m3l3+
··
+mnln)/(l1+l2+l3+····+
ln)

  2.2.4 Determinación del contenido
medio del componente útil

Durante la exploración de un yacimiento se muestrean de
forma continua los distintos tipos de mena. Los análisis
de las muestras permiten conocer el contenido o ley del
componente útil en los lugares donde las muestras fueron
tomadas.

El contenido de un componente útil en la mena en la
mayor parte de los casos se expresa en % de peso (Ej. Fe, Mn, Cu,
Pb, Sb, Hg etc.), sin embargo los metales preciosos
(Au, Ag, Pt etc.) se indican en gramos por tonelada (g/t).
 Finalmente en los yacimientos de placeres la ley  de
los metales se expresa en g/m3 o
Kg/m3.

Durante la exploración, las concentraciones de los
componentes útiles se determinan a través de
muestras individuales es por esto que  la estimación
de los contenidos promedios para cada bloque se realiza en 2
etapas:

• Cálculo del contenido promedio del componente
  útil en cada pozo o intersección de
  exploración a lo largo de toda la potencia del cuerpo
  mineral.
• Extensión de los contenidos determinados en las
  intersecciones a los volúmenes adyacentes del
  subsuelo.

Antes de comenzar la primera etapa es necesario determinar en
cada pozo cual es el intervalo que puede ser explotado con cierto
beneficio económico. Para este fin se emplean las
condiciones industriales: potencia mínima industrial,
contenido mínimo industrial, contenido en los bordes
etc.

Para obtener la ley media de cada pozo siempre se emplea el
método de la media ponderada empleando como factor de peso
las longitudes de cada muestra individual. En caso de que la
longitud de las muestras sea constante entonces se utiliza la
media aritmética.

Ci- Ley de cada muestra individual

li – Longitud de cada muestra

C- Ley media de la intersección económica

La extensión de los contenidos medios
calculados para cada pozo o intersección  a los
volúmenes adyacentes del subsuelo se hace frecuentemente
por vía estadística. Con este fin en los
métodos clásicos de cálculo se emplea
tanto  la media aritmética como la media ponderada.
En el caso de los métodos asistido por computadoras
la extensión de los contenidos se realiza empleando
métodos de interpolación espacial como el kriging y
el inverso de la distancia, los cuales serán abordados en
próximos capítulos.

2.3 Consideraciones generales sobre la
estimación de recursos

Matemáticamente la estimación de recursos
 no es más que la integración numérica de una
función contenido o ley (expresada en unidades de masa por
unidad de volumen) dentro  del yacimiento de volumen V.

La figura 2.3a muestra el procedimiento de cálculo de
reservas a partir de la integración de la función
ley C (v) en el dominio V.

a)                                                                                       
b)

Figura 2.3 Yacimiento mineral hipotético cuya
función contenido C (v) es conocida y por tanto la reserva
de metal se calcula por su  integración
numérica en el dominio del yacimiento .b) yacimiento
subdividido en bloques de volúmenes conocidos  y las
leyes
determinadas  por un método de estimación.

Conocer la función C(v) implica saber en cada punto del
yacimiento cual es la ley del componente útil  o sea
la función que la describe matemáticamente. En la
práctica esto es imposible dada la densidad del muestreo
por un lado y por otra parte la incapacidad de encontrar una
función que se ajuste perfectamente a los datos.

Como no se puede resolver directamente la ecuación los
métodos existentes de estimación de reservas, tanto
los tradicionales como los asistidos por computadoras, solucionan
la ecuación empleando el caso discreto.

Donde Ci – ley del componente en el bloque i

           
Vi – volumen del bloque i

V- Volumen total del yacimiento

   La ecuación anterior se resuelve
fácilmente subdividiendo el yacimiento en n bloques de
volúmenes conocidos, cuyas leyes pueden ser determinadas
por los métodos de cálculo existentes como se
ilustra en la figura 2.3b.

La estimación de recursos es siempre hecha en bloques
cuya geometría se define por la
localización de los trabajos de exploración en el
caso de los métodos clásicos, o en bloques de
cálculo definidos por la malla o red en el caso de los
métodos computacionales.  Es justamente aquí
donde radica la diferencia fundamental entre los métodos
clásicos y los asistidos por computadoras  ya que los
primeros determinan las reservas en bloques de cálculos de
grandes dimensiones y los segundos en bloques de pequeñas
dimensiones compatibles con la densidad de
información.

2.4 Métodos clásicos de
estimación de reservas

Los métodos clásicos, desarrollados y empleados
desde los mismos comienzos de la minería, se basan
fundamentalmente  en los principios de
interpretación de las variables
entre dos puntos contiguos de muestreo, lo que determina la
construcción de los bloques geométricos a los que
se le asignan las leyes medias para la estimación de
recursos.

Los principios de interpretación de estos
métodos según  Popoff (1966) son los
siguientes:

Principio de los cambios graduales (función lineal)
entre dos puntos de muestreo

Principio de los vecinos más cercanos o zonas de
influencia

Principio de generalización (analogía) o
inferencia geológica.

El principio de los cambios graduales presupone que los
valores de una variable (espesor, ley, etc.) varían
gradual y continuamente a lo largo de la línea recta que
une 2 puntos de muestreo contiguos.

El principio de vecinos más cercanos admite que el
valor de la variable de interés en un punto no muestreado
es igual al valor de la variable en el punto más
próximo.

El último de los principios permite la
extrapolación de los valores conocidos en los puntos de
muestreo a puntos o zonas alejadas sobre la base del conocimiento
geológico o por analogía con yacimientos
similares.

Todos estos principios de interpretación son utilizados
para la subdivisión del yacimiento mineral en bloques o
sectores, los cuales son evaluados individualmente y
posteriormente integrados para determinar los recursos totales
del yacimiento.

Los métodos clásicos o tradicionales  han
soportado el paso del tiempo pero están siendo superados
progresivamente por los métodos geoestadísticos.
Estos métodos son aun aplicables en muchas situaciones,
donde incluso pueden arrojar resultados superiores.  Siempre
es necesario realizar una valoración crítica
del empleo de la geoestadistica antes de desechar completamente
las técnicas tradicionales. El uso de las técnicas
kriging está supeditado a la existencia  de una red de
exploración que  permita la generación de los
modelos matemáticos que describen la continuidad
espacial de la mineralización del yacimiento que se
evalúa. Cuando no existe suficiente información de
exploración o la variabilidad es extrema se deben emplear
los métodos geométricos o tradicionales.

Según Lepin y Ariosa, 1986 los métodos
clásicos de estimación más conocidos
son:

Método del promedio aritmético o bloques
análogos

Método de los bloques geológicos

Método de los bloques de explotación

Método de los polígonos

Método de las isolíneas.

Método de los perfiles

2.4.1
Método de la media aritmética.

Es el método de cálculo más simple. En
este caso la forma compleja del cuerpo mineral se sustituye por
una placa o lámina de volumen equivalente cuyo espesor
corresponde con la potencia media  del cuerpo.

  Los contornos se trazan en los planos o proyecciones
verticales. El área delimitada se determina
planimétricamente o por otro método de
cálculo. El espesor medio se estima por la media
aritmética simple o ponderada. El contenido promedio y la
masa volumétrica se determina de la misma forma. La parte
del cuerpo comprendida entre el contorno interno y externo
generalmente se calcula de manera independiente porque los
recursos de esta zona se reportan en una categoría
inferior. A pesar de su sencillez se puede emplear exitosamente
en yacimientos de constitución geológica simple
Ej.  Yacimientos de materiales de la
construcción.

Secuencia General de trabajo.

-Delimitación del área del cuerpo mineral,
trazando el contorno interno y externo.

-Medición del área

-Cálculo de la potencia media del mineral útil
por promedio aritmético o media ponderada.

-Cálculo de la masa volumétrica  por
promedio aritmético o media ponderada.

-Cálculo de la ley media del mineral útil por
promedio aritmético o media ponderada.

-Cálculo del volumen, tonelaje (reservas de mena) y
reservas del componente útil. 

Ventaja

Su principal mérito radica en su simplicidad, brindando
una rápida idea sobre los recursos de un yacimiento. Se
utiliza en los estadios iniciales de los trabajos
geológicos de exploración para realizar
evaluaciones preliminares.

Desventaja 

Imposibilidad del cálculo selectivo de acuerdo con las
diferentes clases industriales de mena, condiciones de yacencia,
grado de estudio y condiciones de explotación.

2.4.2
Método de los bloques geológicos

El cuerpo mineral se divide en bloques homogéneos de
acuerdo  a consideraciones esencialmente geológicas.
De esta forma el cuerpo mineral de morfología
compleja se sustituye por un sistema de prismas
poliédricos de altura que corresponde con la potencia
media dentro de cada bloque (fig2.4). El contorneo se realiza en
cualquier proyección  del cuerpo, además es
necesario trazar los límites de los bloques
geológicos independientes.

 Figura 2.4 Estimación de reservas por el
método de bloques geológicos

 Generalmente se forman bloques tomando en
consideración la variación de los siguientes
parámetros:

Según las diferentes vetas, capas o cuerpos presentes
en el yacimiento

Según la existencia de intercalaciones
estériles

Según la potencia del cuerpo mineral

Según la profundidad o cota de nivel

Según los tipos tecnológicos, calidad o
contenido de componente útil (mena rica y mena pobre)

Según las condiciones hidrogeológica (por encima
y por debajo del nivel freático)

Según el coeficiente de destape o relación
estéril mineral.

Según la situación tectónica

Además de estos criterios geológicos se
consideran otros aspectos como:

Diferencias en el grado de conocimiento

Viabilidad económica.

Es importante señalar que si se toman en
consideración muchos parámetros el resultado
será la formación de muchos bloques. En caso
extremo cada pozo representa un bloque separado lo que reduce el
método de bloques geológico al método de los
polígonos. 

Este método se reduce al anteriormente descrito si se
delimita un solo bloque que abarque todo el yacimiento. La
metodología de cálculo dentro de
cada bloque es exactamente igual al método de media
aritmética. Las reservas totales del yacimiento se
obtienen de la sumatoria de las reservas de los bloques
individuales.

El método, que se caracteriza por su sencillez en el
contorneo y el cálculo, puede ser aplicado
prácticamente para cuerpos minerales de cualquier
morfología, explorados según una red regular o
irregular y cualquiera que sean las condiciones de
yacencia. 

El problema fundamental de esta técnica radica en que
durante el desarrollo y explotación  del yacimiento,
es necesario reajustar todos los bloques para que se acomoden al
método de explotación.

2.4.3
Método de los bloques de explotación

Este método es también una variante del
método de la media aritmética y se
desarrolló  esencialmente para los yacimientos
filoneanos, los cuales son divididos en bloques por los laboreos
de preparación para la explotación.

 Según este método, específico de la
minería subterránea, las reservas del yacimiento se
calculan por la acumulación de las reservas parciales
obtenidas en bloques de explotación individuales. Los
bloques de cálculo son porciones del depósito
delimitadas por 2, 3 y 4  lados  por excavaciones
mineras de exploración y desarrollo (contrapozos, corta
vetas, galerías, trincheras etc.).

La forma real del cuerpo dentro del bloque se reemplaza con un
paralelepipedo cuya altura  es igual a la potencia media del
cuerpo mineral en el bloque.

El cálculo se realiza  en el plano o en la
proyección vertical longitudinal, sobre los cuales se
proyectan  las excavaciones mineras con los resultados de
los análisis y los espesores particulares. 

Para el cálculo de la potencia y el contenido medio
dentro de cada bloque, primeramente se determinan los valores
medios en cada excavación  y posteriormente se 
calcula el valor medio del bloque a través de la media
aritmética si la longitud de la excavaciones son
aproximadamente iguales, en caso contrario se pondera por la
longitud o área de influencia de cada laboreo.

La ventaja del método radica en la sencillez del
contorneo y la posibilidad de usar los resultados directamente en
la proyección y planificación de la extracción 
del mineral útil.  Su debilidad principal radica en
la división formal del cuerpo en bloques
heterogéneos por la potencia y calidad.

2.4.4
Método de los polígonos o regiones
próximas

El método se emplea para el cálculo de reservas
de capas horizontales o subhorizontales explorados por pozos
irregularmente distribuidos.

Si se calculan las reservas de un depósito según
este método la morfología compleja del yacimiento
se reemplaza por un sistema de prismas poliédricos, cuyas
bases lo constituyen  los polígonos o zonas de
influencia y su altura es  igual  al espesor del cuerpo
revelado por el pozo que se ubica en el centro del
polígono.

El método se reduce a la separación de las zonas
de influencia de cada pozo o laboreo que intercepta el cuerpo
mineral. Para la delimitación de las zonas de influencia
es necesario realizar las siguientes construcciones:

Se procede a unir mediante líneas rectas los pozos de
perforación contiguos  posteriormente se determina la
mediatriz de cada recta y  la intersección de las
mismas definen la zona de influencia. Este procedimiento, que se
conoce como división de Dirichlet o poligonos de Voronoi
(Thiesen), genera un  sistema único de prismas
poliédricos en el cual los polígonos contiguos
comparten una arista común (Fig. 2.5). El empleo de este
procedimiento permite obtener siempre el mismo mosaico de
polígonos.

 Figura 2.5 Estimación de reservas por el
método de los polígonos.  a) Parte de un plano
de cálculo indicando la forma en que se construyen los
polígonos a partir de un pozo 1)Pozo positivo 2)Pozo
negativo 3)limite de los polígonos de cálculo
4)Contorno interno 5)contorno externo (Kreiter, 1968)

El volumen del prisma se determina como el producto del
área del polígono por su altura. Otros
parámetros del cálculo se obtienen para cada prisma
directamente del pozo central.  El volumen total  del
yacimiento es la suma de los volúmenes de cada
 prismas.

Este método puede ser utilizado para estimaciones
preliminares  de recursos, pues los cálculos son tan
simples  que pueden ser hechos rápidamente incluso en
el campo, otra ventaja importante del método es su
reproducibilidad pues si se sigue el mismo procedimiento dos
especialistas pueden llegar al mismo resultado.

El método de los polígonos posee muchas
desventajas entre las que podemos mencionar:

Cuando la red de exploración es densificada, hay que
rehacer nuevamente la construcción de los
polígonos.

El sistema de los prismas no refleja correctamente  la
forma natural del yacimiento.

Los  resultados no son satisfactorios principalmente
cuando los valores observados son valores extremos lo cual 
provoca que los errores de extensión del pozo al
polígono sean muy groseros.  Este error de
estimación disminuye en la medida que aumenta la densidad
de la red de exploración

Independientemente de las desventajas obvias que posee el
método, las cuales están muy vinculadas con su
sencillez y simplicidad, esta técnica de estimación
ha soportado el paso del tiempo y aparece implementado en la
mayoría de los softwares modernos de modelación
geólogo minera.

2.4.5 Método de
las isolíneas

La estimación de recursos por el método  de
las isolíneas presupone que los valores  de la
variable de interés varían gradual y continuamente
entre las intersecciones de exploración 

   Durante la estimación de las reservas de
un yacimiento por este método, la forma de este se
sustituye por un cuerpo de volumen  igual al cuerpo natural,
pero delimitado en su base por un plano recto (fig2.6).  En
este método se comienza con el trazado de los mapas de
isolíneas de las variables de interés (espesor, ley
y masa volumétrica o reservas lineales). Las
isolíneas entre los laboreos de exploración se
construyen empleando el método de triangulación con
interpolación lineal. 

Figura 2.6 Esquema de estimación de recursos empleando
el método de las isolíneas. Plano de isopacas 
con malla superpuesta y algunos pozos de exploración 
a)Forma transformada del cuerpo mineral en un perfil
geológico b)Forma real del cuerpo; ΔS área
elemental de la celda con altura 2.9 m y volumen elemental
V=100*2.9=290 m3,Si-área dentro
de la isolínea, h – equidistancia ente isolíneas,
hx -altura o profundidad de las cúpulas