Estructuras semánticas de los problemas de multiplicación y división (página 2)

§    simbólicos, que se
caracterizan por la brevedad y en ellos prevalecen el empleo de signos y notaciones matemáticas y

§   con texto: son los que describen
relaciones cuantitativas que existen entre objetos en un lenguaje no simbólico,
común.

Ahora bien, estos últimos se sub-dividen en:

-         
matemático si el texto que emplea es del
lenguaje propio de esta asignatura y

-          no
matemático o común si su texto es el
empleado en la vida, en la práctica y no en el lenguaje propio de la
Matemática.

Ahora bien ¿qué es una estructura semántica?

De acuerdo a la Enciclopedia Electrónica: Encarta 2001 se
tiene que el término semántica se define como la
"parte de la lingüística que
estudia la significación de las palabras". Tiene otra
acepción como adjetivo: "relativo a la
significación: valor semántico de una
palabra"[1].

La comunicación descansa sobre
el supuesto que los hablantes comprendan las palabras del mismo
modo. Pero toda palabra es significativa, aparece en determinado
contexto y situación espacio-temporal que incluye al
hablante y al oyente. El contexto y la situación sirven para
determinar el significado del mensaje.

Con respecto a la expresión "estructura semántica",
en la literatura
lingüística consultada solo hemos encontrado referencia
explícita sobre la misma en el texto de J. Lyons (1973) que
apunta: "el vocabulario de una lengua contiene una cantidad
de sistemas léxicos  cuya estructura
semántica puede describirse a base de relaciones de
sentido paradigmáticas y
sintagmáticas"[2].

Este mismo autor  precisa: "por sentido de una
palabra entendemos el lugar que ésta ocupa en un sistema de relaciones que ella
misma contrae con otras palabras del
vocabulario"[3]. 

Las relaciones sintagmáticas (horizontal) son las
que se establecen con el resto de las palabras en la cadena
hablada en una sucesión temporal que están presentes.
No siempre se admite variaciones en el orden de las palabras sin
que pierdan sentido. Por el contrario, las relaciones
paradigmáticas (vertical) son las que se establecen
entre una palabra y todas aquellas que podrían ocupar la
misma posición en la cadena hablada que están
ausentes.

¿Qué se entiende por "estructura semántica de
los problemas simples con
texto?"

La mayoría de los trabajos consultados relacionados con
este tipo de estructura, no se propusieron conceptualizar sobre
la misma. En el artículo de Lozada de M. de Oca, A. (1994)
se tiene la aserción: "La estructura semántica de
una expresión o frase se refiere al contenido semántico
de la misma, esto es el significado de cada una de las palabras
que ensamblado resulta el significado de las oraciones y de la
expresión completa"[4].

Se puede apreciar que esta definición es tautológica
al contener un círculo, o sea, que el concepto es definido mediante el
definidor y viceversa. Tampoco particulariza en el concepto
concreto que nos interesa
caracterizar.

Otros afirman: "Una categoría semántica está
constituida por la conceptualización del sentido de un
conjunto de situaciones, reducibles a procedimientos similares de
abstracción"[5].  Con
anterioridad habían hecho referencia a que las
categorías semánticas se refieren a las estructuras semánticas
aditivas o multiplicativas. De lo anterior se infiere que el
concepto de categoría semántica está subordinado
al de estructura que es más particular; además la
definición dada es demasiado general para ajustarse
estrictamente al concepto que pretende definir.  

En este trabajo se asumirá que la
estructura semántica de los problemas aritméticos
simples con texto es cada uno de los diferentes modelos
lingüísticos, con énfasis en el significado, que
pueden adoptar estos problemas para darles salida a los
significados prácticos de las cuatro operaciones básicas con
números naturales. 

También hay que tener en cuenta lo que se denomina
campo semántico, considerando que: "…engloba
palabras cuyo significado tienen relación entre sí, ya
sea una actividad, un arte, una ciencia, etc. Ejemplo: campo
semántico de asiento: sillón, sofá, taburete,
silla."[6].

Estructuras semánticas de los problemas
de multiplicación o división:

"Las estructuras semánticas de multiplicación en
el dominio de los problemas
orales de un solo paso pueden ser divididos en cuatro clases:
Estas clases coinciden con las clases de las estructuras
semánticas de la
división"[7]].

En una nota aclaratoria ellos asumieron por problemas
orales a los "… referidos a un contenido no
matemático"[8].

Todo el estudio que se realiza en el referido documento
está destinado a las estructuras multiplicativas, aclarando
que por cada estructura multiplicativa se pueden distinguir dos
versiones para la división, siempre que los factores de la
multiplicación  jueguen diferentes roles.

Un aspecto a perfeccionar, es el relacionado a las
definiciones o caracterizaciones de cada una de estas
estructuras, pues los autores se limitan a plantear un ejemplo y
después enumerar algunos de sus aspectos distintivos.

La primera de las clases es la más amplia y abarca otras
cinco subclases: "Todo problema de esta clase…tiene en común lo
siguiente: Un factor, el multiplicando, es una medida
g1, o especialmente un número cardinal finito. El
segundo factor, el multiplicador, es un operador O que 
forma el enésimo múltiplo de g1. O aparece
como un número "puro", una cantidad sin dimensión. El
producto g2 es una
medida de la misma clase que el primer factor. Esto es llamado el
g1 – O – g2 modelo de multiplicación
y división"[9].  Después
se refieren a dos de esos elementos son conocidos y el tercero
desconocido; en dependencia de cual es la incógnita se
tendrá una de multiplicación o división.

La primera de estas sub-clases es denominada "estructura de
parte-todo" y es descrita por dichos autores así:
"…O significa un número cardinal… y la misma medida
g1  que está presente simultáneamente.
g2 es representada por la unión de g1.
g1 y g2 pueden ser cardinales o cantidades
de magnitud"[10].

Conviene establecer otra denominación más
práctica para esta estructura, definida en un lenguaje
más sencillo en correspondencia con los significados de las
operaciones de la multiplicación antes precisados y que
sirven de fundamento a las mismas. De hecho, estos autores no
hacen referencia a este tipo de significados. Esta 
estructura se pudiera llamar, como lo hizo Greer (1987): de
"grupos iguales" y 
quedaría así:

 Los PROBLEMAS DE GRUPOS IGUALES (GI) se
caracterizan por establecer relaciones entre un todo, la cantidad
de partes iguales en que se ha dividido el mismo y el contenido
de cada una de las partes. Se tendrían tres clases en
dependencia  que lo desconocido sea uno de los aspectos
mencionados en la definición:

GI 1: (Total desconocido):

         Amelia tiene
8 cajas de lápices con 10 lápices  en cada una.
¿Cuántos lápices tiene en
total?                       
8 . 10 = ?

GI 2: (Contenido desconocido):

         Amelia tiene
80 lápices y quiere repartirlos por igual en 8 cajas.
¿Cuántos lápices   tendrán cada
caja?         80 : 8 =
?

GI 3: (Partes iguales desconocida):

         Amelia tiene
80 lápices y quiere colocarlos en cajas de 10 lápices
cada una. ¿Cuántas cajas necesitará para
envasarlos?     80 : 10 = ?

Se coincide con estos autores que en esta estructura
usualmente no aparecen las palabra "tiempo" o 
"vez"; pero se emplea con frecuencia el vocablo
"cada".

La segunda de las sub-categorías la llaman "estructura
de repetición" que es caracterizada así: "…O
significa el número cardinal de repetición de una
acción. Con cada
repetición un representante adicional de g1
ocurre. Un representante de g2 es sucesivamente
descompuesto separando los representantes de
g1"[11].  

En este caso se mantiene la denominación, pero
expresándolo en un lenguaje más asequible:

Los PROBLEMAS DE REPETICIÓN ® son aquellos
que en su interpretación inicial
nos conduce al planteamiento de operaciones sucesivas de
adición (de iguales sumandos) o de sustracción (de
iguales sustraendos). Se tendrían tres sub-categorías
en dependencia de si la operación sucesiva es de
adición o de sustracción (una para cuando la cantidad.
de veces es desconocida y la otra si el sustraendo es
desconocido):

Suma de sumandos iguales:

R 1: Cada vez que Antonio visita a sus abuelos le lleva 6
caramelos. ¿Cuántos caramelos  habrá llevado
cuando vaya 20 veces?

Restas sucesivas de iguales
sustraendos:

a)            
Cantidad de veces desconocida:

R 2: Antonio tiene 120 caramelos. Si cada vez que él
visita a sus abuelos le lleva
6        caramelos.
¿Cuántas visitas deberá hacer para entregar esa
cantidad de caramelos?      120 – 6 – 6
– … = 0    o sea 120 : 6 = ?

b)           
Sustraendo desconocido:

R 3: Antonio tiene 120 caramelos. Si cada vez que él
visita a sus abuelos le lleva la misma cantidad y él va 20
veces al mes. ¿ Cuántos caramelos le lleva en cada
viaje?   

En este tipo de categorías se emplea con frecuencia los
términos "veces", "cada vez", "todas las
veces", entre otros de su mismo campo semántico.

Se considera que las distintas estructuras semánticas
establecidas o por puntualizar, son diferentes categorías o
tipos y no constituyen una clasificación o división en
clases, pues las clases no son disjuntas. Sin embargo, como se
verá en estas dos últimas estructuras no siempre es
posible determinar con precisión cuando un problema dado
pertenece a una categoría o a otra (de hecho esto no tiene
repercusiones negativas para el proceso de enseñanza-aprendizaje, todo lo contrario
permite desarrollar diversos puntos de vistas y defenderlos). Se
Ilustrará estos planteamientos con el siguiente ejemplo:

·          
Un jardinero siembra en un cantero 12 filas de lechugas. Si en
cada uno de ellos planta 10 de ellos. ¿Cuántas lechugas
él ha sembrado en total?

Si se hace énfasis solamente en el resultado de la
actividad (que en este caso es sembrar) el problema sería de
grupos iguales, pero si además nos interesa el
desarrollo o el proceso de la actividad entonces lo
consideraríamos de repetición.

Esta ambigüedad podría salvarse si
estableciéramos que en los casos que lo requieran se
considerará tanto el resultado como el desarrollo de la
actividad.

La  tercera clase que introducen es "la estructura de
cambio multiplicativo" que
se explica de la siguiente forma: "O significa un proceso que
transforma un representante de g1 en un representante
g2"[12]. Estos problemas,
por lo general, se caracterizan por establecerse en ellos
relaciones de divisibilidad, que estaría representada por lo
que ellos denominan operador O. Aquí se denominará
simplemente de divisibilidad:

  Los PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD (Dv) se
caracterizan por establecer relaciones entre una cantidad y su
múltiplo o divisor.

A diferencia de los autores de referencia, donde de manera
implícita, solamente determinan tres sub-categorías, en
nuestro caso se tendrían seis, en dependencia de que lo
desconocido sea: un múltiplo (divisor), el número
conocido   un múltiplo (divisor) de él o
qué múltiplo (divisor) es un número de otro:

Los autores de referencia solo consideran los problemas
dinámicos como los que siguen:

b) dinámicos:

Dv 1: Una granja agropecuaria inició la producción con 1 000
cerdos. Durante su primer año se triplicó esa cantidad.
¿Cuál fue la producción de la granja al final de
ese año?

Dv 2: Una fábrica en su primer año de trabajo tuvo $
3000 de gastos. Al finalizar el segundo
año redujo los mismos a la tercera parte respecto al
primero. ¿A cuánto ascendieron los gastos en ese
segundo año de labor?

Dv 3: Al finalizar el primer año de trabajo la
producción de una granja agropecuaria fue de  3 000
cerdos. Esa cantidad representa el triplo de lo que tenía al
comienzo del año. ¿Con cuántos cerdos inició
su reproducción?

Dv 4: Al finalizar el segundo año de trabajo de una
fábrica tuvo $ 1 000 de gastos. Esa cantidad representa la
tercera parte de lo que gastó durante su primer año de
labor.  ¿Cuánto gastó en su primer año
de trabajo?

Dv 5: Una granja agropecuaria inició la producción
con 1 000 cerdos. Durante su primer año ya tenían 3 000
cerdos. ¿Cuántas veces es la producción al
finalizar el primer año de trabajo al compararla con lo que
poseía al principio?

Dv 6: Una fábrica en su primer año de trabajo tuvo $
3 000 de gastos, mientras que en el segundo solo gastó $ 1
000. ¿Qué parte representa lo gastado durante el
segundo año al compararlo con lo que gastó en el
primero?

Sin embargo, también pueden ser estáticos como se
ejemplifican a continuación:

a) estáticos: 

¡Dv 1: (Hallar el múltiplo de un
número):

          
Pedro tiene 4 años de edad y su hermana Carmen tiene el
triplo de su edad. ¿Qué edad tiene
Carmen?              
3 . 4 = ?

¡Dv 2: (Hallar el divisor de un número):

          
Carmen tiene 12 años de edad y su hermano Pedro tiene la
tercera parte de su edad. ¿Qué edad tiene
Pedro?         12 : 3 =
?

¡Dv 3: (Hallar el número conocido un
múltiplo de él):

          
Carmen tiene 12 años de edad. Su edad representa el triplo
de la de su hermano Pedro. ¿Qué edad tiene
Pedro?         12 : 3 =
?

¡Dv 4: (Hallar el número conocido un divisor de
él):

          
Pedro tiene 4 años de edad. Su edad representa la tercera
parte de la de su hermana Carmen. ¿Qué edad tiene
Carmen?      4 . 3 = ?

¡Dv 5: (Hallar que múltiplo es un número de
otro):

          
Carmen tiene 12 años y su hermano Pedro tiene 4.
¿Cuántas veces es la edad de Carmen respecto a la de su
hermano?    12 : 4 = ?

¡Dv 6: (Hallar qué divisor es un número de
otro):

          
Carmen tiene 12 años y su hermano Pedro tiene 4.
¿Qué parte representa la edad de Pedro respecto a la de
su hermana?     12 : 4 = ?

Con frecuencia se emplean los términos "doble" "triplo",
"mitad", "tercera parte", entre otros de esta misma naturaleza.

Estos últimos ejemplos justifican la NO denominación
de cambio multiplicativo, como una extrapolación de
la estructura aditiva de cambio, por ser esta última
dinámica, pero la
multiplicativa NO necesariamente lo es.

La cuarta subclase que indican es "la estructura de
comparación multiplicativa" donde se afirma  "O
significa una relación estática entre g1
y g2. En la mayoría de los casos los
representantes de g1 y g2 son
disjuntos"[13]. 

Se mantendría la denominación pero se definiría
así:

Los PROBLEMAS DE COMPARACIÓN MULTIPLICATIVA (CM)
son aquellos donde además de establecer una relación de
divisibilidad entre las cantidades o conjuntos que intervienen en
el mismo, se introduce una semejanza o diferencia cuantitativa
entre dos cantidades que intervienen en el mismo.  

Aquí ellos solamente incluyen tres sub-clases porque
emplean como expresión comparativa "tantas veces como",
que  aunque en nuestro idioma no es muy usado, tiene sentido
y lo mantendremos. Existen tres  sub-categorías en
dependencia que la incógnita sea: el conjunto comparado, el
conjunto referente o el conjunto factor (resultado de la
comparación multiplicativa).

Conjunto comparado desconocido:

CM 1: Ana tiene 9 caramelos y  Beatriz tiene cuatro veces
tantos como Ana. ¿Cuántos  caramelos tiene
Beatriz?         
9.4 = ?

Conjunto referente desconocido:

CM 2: Ana tiene 36 caramelos. Ella tiene cuatro veces tantos
como Beatriz. ¿Cuántos caramelos tiene
Beatriz?       36 : 4 = ?

Conjunto factor desconocido:

CM 3: Ana tiene 9 caramelos mientras que Beatriz tiene 36.
¿Cuántas veces tiene Beatriz tantos  caramelos
como Ana?        36 : 4 =
?

Aunque ellos afirman que se establece una relación
estática, el siguiente ejemplo justifica que
también puede ser dinámica:

·          
Un ciclista recorrió ayer 5 km., mientras que lo
que ha transitado hoy es tres veces tanto como lo que hizo
ayer. ¿Cuántos km. ha viajado hoy?

Se ha incluido una variante de esta categoría que es muy
usada en el lenguaje cotidiano. La misma se obtiene cuando
combinamos los adverbios de cantidad más o
menos con un adjetivo, como se ilustra seguidamente:

¡CM 1" : Un peatón camina en una hora 5 km. Un
ciclista es 4 veces más rápido que el peatón.
¿Cuántos km. recorre el ciclista en una hora?  4.5
= ?

¡CM 1": Un ciclista recorre 20 km. en una hora. Un
peatón es 4 veces más lento (menos  rápido)
que el ciclista. ¿Cuántos km. camina el peatón en
una hora?  20:4 = ?

¡CM 2": Un ciclista recorre 20 km. en una hora. él
es 4 veces más rápido que un peatón.
¿Cuántos km. camina el peatón en una hora? 
20:4 = ?

¡CM 2": Un peatón camina en una hora 5 km. él
es 4 veces más lento que un ciclista. ¿Cuántos km.
recorre el ciclista en una hora? 4.5 = ?

¡CM 3": Un peatón camina en una hora 5 km. mientras
que un ciclista recorre 20 km. en ese mismo tiempo. ¿Cuántas
veces es más rápido el ciclista que el peatón?
20:5 = ?

¡CM 3": Un peatón camina en una hora 5 km. mientras
que un ciclista recorre 20 en ese mismo tiempo.
¿Cuántas veces es más lento el peatón que el
ciclista?  20:5 = ?

La última subclase las denominan "estructura de
proporción" y la idea central expresada consiste en que
en este caso el operador O es sustituido por dos conjuntos de
medidas:

G = {g1, g2} y G´ = {e, g} y que
entre los elementos de ambos conjuntos se asume una relación
de proporcionalidad. Los problemas con esa estructura son
conocidos en nuestro país como problemas de
proporcionalidad.

Los PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD (P) son aquellos
donde intervienen cuatro cantidades que cumplen que dos de ellas
pertenecen a una misma magnitud y están expresadas en una
misma unidad de medida que al multiplicarlas o dividirlas por
otras dos correspondientes de otra magnitud que también
tienen una misma unidad de medida, el resultado es constante. De
ellas una siempre es igual a la unidad y  otra es
desconocida.

Los autores de referencia solamente consideran tres
sub-categorías, las relacionadas con la proporcionalidad
directa; sin embargo, se incluyen aquí  otras tres,
para la proporcionalidad inversa:

Cociente constante (Proporcionalidad
directa):

P 1: Si una persona camina como promedio 5
km. en 1 hora. ¿Qué distancia recorre en 3 
hrs.?  3.5 =?

P 2: Si una persona camina como promedio 5 km. en 1 hora.
¿En qué tiempo recorrerá 15 km.?   15 :
5 = ?

P 3: Si una persona camina 15 km. durante 3 hrs.
¿Cuál es el promedio de km. que recorre en  una
hora?   15:3 = ?

Producto constante ( Proporcionalidad
inversa):

¡P 4: Si un alumno necesita 12 días para limpiar un
campo de tomates. ¿Cuántos días necesitarán 4
alumnos para realizar la misma labor, al mismo ritmo de trabajo?
12:4 = ?

¡P 5: Si un alumno necesita 12 días para limpiar un
campo de tomates. ¿Cuántos alumnos se necesitarán
para realizar la misma labor en 3 días, al mismo ritmo de
trabajo?  12:3 = ?

¡P 6: Si 4 alumnos necesitan 3 días para limpiar un
campo de tomates. ¿Cuántos
días        
necesitará un alumno para realizar él solo esta labor,
al mismo ritmo de trabajo? 3.4 = ?

Entre los problemas de proporcionalidad y los de grupos
iguales existe una gran relación. A continuación se
enunciarán dos problemas con el mismo contexto, pero donde
un ligero cambio de alguna palabra cambia su estructura:

·          
Una persona camina a una velocidad promedio de 5 km.
por hora. ¿Cuánto recorre en 3 horas? ( grupos
iguales)

·          
Una persona camina 5 km. en una hora como promedio.
¿Cuántos km recorre en 3 horas?
(proporcionalidad)

La segunda clase que Schmidt y Weiser ofrecen en su
artículo, como ya se dijo denominan: "la estructura de
combinación" donde "los dos factores a y b son
cardinales de los conjuntos finitos A y B. El producto a aparece
como el número de elementos de A x
B"[14].  

Siguiendo el significado en el cual se basan los
denominaría de conteo, y se pudieran caracterizar de la
siguiente manera:

Los PROBLEMAS DE CONTEO © son aquellos donde se
aplica la igualdad card(AxB) =
card(a).card(B), (se refieren a las distintas formas de hacer
algo).

En esta ocasión se tienen dos sub-categorías en
dependencia de que lo desconocido sea card(AxB) o el cardinal de
otro de los dos conjuntos, ya que aquí los dos factores
juegan el mismo rol, para nuestros efectos.

C 1: (Cardinal del producto cartesiano
desconocido):

        Juana tiene 4
blusas y 3 sayas. ¿Cuántas combinaciones distintas
podrá ponerse con  ambas prendas de
vestir?      4.3 = ?

C 2: (Cardinal de uno de los conjunto desconocido):

        Juana tiene 4
blusas y cierta cantidad de sayas. ¿Cuántas sayas
tendrá si en total podrá ponerse 12 combinaciones
diferentes         
12 : 4 = ?

Los problemas de esta estructura con frecuencia emplean los
términos de; "posibles combinaciones", "las
combinaciones que pueden ser hechas" o "las distintas
formas de hacer algo",  u otras expresiones
lingüísticas parecidas.

La penúltima de las estructuras que proponen la denominan
"de composición de operadores"; al respecto
señalan: "En esta estructura los dos factores y el
producto son operadores del mismo dominio de medidas. La
multiplicación ocurre como la composición de dos
factores. La medida de los múltiplos, los cuales tienen que
ser formados, aparecen solo como variables"[15].

Los autores de referencia solamente indican la posibilidad del
múltiplo, pero también se deben incluir los divisores
como se puede apreciar en la siguiente definición.
Además, sería oportuno denominarlos:

Los  PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD REPETIDA
(DR) son aquellos donde se aplica la siguiente inferencia; si
b = k1.a  y c = k2.b entonces c =
k3.a con k3 = k.k2
donde a,b,c son números naturales y
k1,k2 k3 son números
racionales.                   

Aquí se tendrán seis subcategorías, en
dependencia que lo desconocido sea k1, k2 o
k3 y de que los mismos sean múltiplos o divisores
o sea si kiєN o kiєQ

Lo anterior se ilustra a continuación:

Múltiplo (divisor) compuesto desconocido:

DR 1: Durante su primer año de vida Otto triplicó su
peso al nacer; mientras que en el segundo año él
duplicó su peso respecto al primer año.
¿Cuántas veces es el peso al  finalizar su segundo
año de vida respecto a su peso al nacer?   3.2 =
?

¡DR 2: Una fábrica en su segundo año de trabajo
redujo los gastos a la mitad respecto al primer año;
mientras que en el tercero disminuyó la tercera parte
respecto al segundo año. ¿Qué parte representa los
gastos en el tercer año respecto al primero?  2.3 =
?

Primer múltiplo (divisor) desconocido:

DR 3: Durante su segundo año de vida Otto duplicó su
peso respecto al primero. Al finalizar su segundo año de
vida él sextuplicó su peso respecto al que tuvo al
nacer. ¿Cuántas veces es su peso al concluir su primer
año de vida con relación a su peso al
nacer?     6:2 = ?:

¡DR 4: Una fábrica durante su tercer año de
trabajo redujo los gastos a la tercera respecto al segundo
año. Al finalizar el tercer año disminuyó los
gastos la sexta parte con relación al primer año.
¿Qué parte representa los gastos en el segundo año
respecto al primero?  6:3 = ?

Segundo múltiplo (divisor) desconocido:

DR 5: Durante su primer año de vida Otto triplicó su
peso al nacer. Al finalizar su segundo año de vida él
sextuplicó su peso respecto al que tuvo al nacer.
¿Cuántas veces es su  peso al concluir su segundo
año de vida respecto al primer año?   6:3 =
?

¡DR 6: Una fábrica durante su segundo año de
trabajo redujo los gastos a la mitad respecto al primer año.
Al finalizar el tercer año disminuyó los gastos la
sexta parte con relación al primer año. ¿Qué
parte representa los gastos en el tercer año respecto al
segundo? 6:2 = ?

La última estructura que introducen los autores es la
llamada "multiplicación por fórmula" que es
aquella en que  dos factores aparecen como cantidad de
magnitud. El producto es una cantidad de magnitud 
también." [16]

Para comprender esta estructura es necesario poseer
conocimientos de diversas disciplinas  y que los alumnos
hayan dominado las estructuras anteriores. Es por ello que se
comparte el criterio que la misma debe introducirse en el
currículo escolar al
finalizar la enseñanza primaria. No obstante,  por la
incidencia que tiene en la geometría escolar se
considera  oportuno introducir la estructura siguiente como
un caso particular de la que se acabó de nombrar:

Los PROBLEMAS DE ARREGLOS RECTANGULARES (AR) son
aquellos donde intervienen el cálculo del "área" de
un "rectángulo", donde los "lados" pueden ser o no un
conjunto discreto.

Aquí se tendrían dos subcategorías para el caso
que los lados sean un conjunto discreto (subconjunto de los
números naturales) y dos también cuando los lados sea
un conjunto continuo (subconjunto de números reales). En
ambos casos la estructura multiplicativa corresponde al área
desconocida y la de la división cuando uno de los lados es
desconocido.

"Área" del "rectángulo"
desconocida:

¡AR 1:  Los niños de una escuela primaria participaron en
un desfile martiano formando un bloque rectangular de 235
niños a lo largo y por 25 niños a lo ancho. Calcula la
cantidad de niños que desfilaron en este bloque. 
234.25 = ?  

AR 1": Un terreno deportivo rectangular tiene 60 m de largo y
30 m de ancho. ¿Qué área tiene el terreno? 
60.30 = ?

"Longitud" de un "lado" desconocida:

¡AR 2: En un desfile martiano participaron 2 500
niños de una escuela primaria formando un bloque rectangular
de 100 niños a lo largo. ¿Cuántos niños
desfilaron a lo
ancho?               
2 500 : 100 = ?

AR 2": Un terreno deportivo rectangular tiene un área de
1 800 m2. ¿Cuánto mide su ancho
si   tiene 60 m de largo?   1 800 : 60 =
?

En conclusión, el sistema de estructuras semánticas
descrito es completo, pues cada problema aritmético con
texto simple de multiplicación o división se le
puede asignar, al menos, a una de estas estructuras
semánticas y cada significado práctico de estas
operaciones está representado en las mismas.

Aunque las estructuras semánticas que se han definido se
refieren a los problemas simples, existe una estructura que se
emplea incorrectamente como una de comparación
multiplicativa cuando en realidad se establece una
comparación tanto aditiva como multiplicativa, luego es un
sencillo problema compuesto. Es por ello se incluirá
aquí. La misma se pudiera caracterizar así:

Los PROBLEMAS DE COMPARACIÓN ADITIVA MULTIPLICATIVA
(CAM) son aquellos donde se establece una relación de
semejanza cuantitativa y al mismo tiempo de divisibilidad entre
dos cantidades. En ellos intervienen: conjunto comparado,
referente y factor. Existen seis sub-clases en dependencia de
cual de los conjuntos anteriores es la incógnita y de si la
comparación es por exceso o por defecto.

Conjunto comparado desconocido:

¡CAM 1: Ana tiene 9 caramelos. La cantidad de caramelos
que tiene Beatriz es 4 veces mayor que la de Ana. (Beatriz tiene
4 veces más caramelos que Ana). ¿Cuántos caramelos
tiene Beatriz?

4 +
1 = ? (5) ;     9 . 5 = ?

¡CAM 2:  Ana tiene 45 caramelos. La cantidad de
caramelos que tiene Beatriz es 4 veces menor que la de Ana.
(Beatriz tiene 4 veces menos caramelos que Ana).
¿Cuántos caramelos tiene Beatriz?

   4 +
1 = ? (5) ;     45 : 5 = ?

                                       
Conjunto referente desconocido:

¡CAM 3: Ana tiene 45 caramelos. Esa cantidad de caramelos
es 4 veces mayor que los que tiene Beatriz. (Ana tiene 4 veces
más caramelos que Beatriz). ¿Cuántos caramelos
tiene Beatriz?

4 +
1 = ? (5) ;     45 : 5 = ?

¡CAM 4: Ana tiene 9 caramelos. Esa cantidad de caramelos
es 4 veces menor que los que tiene Beatriz. (Ana tiene 4 veces
menos caramelos que Beatriz). ¿Cuántos caramelos tiene
Beatriz?          

        4 +
1 = ? (5) ;     9 . 5 = ?

                                         
Conjunto factor desconocido:

¡CAM 5: Ana tiene 9 caramelos mientras que Beatriz tiene
45. ¿Cuántas veces mayor es la cantidad de caramelos
que tiene Beatriz respecto a los de Ana. (¿Cuántas
veces tiene Beatriz más caramelos que Ana?)

     45
: 9 = ? (5);     5 – 1 = ?

¡CAM 6: Ana tiene 9 caramelos mientras que Beatriz tiene
45. ¿Cuántas veces menor es la cantidad de caramelos
que tiene Ana respecto a los de Beatriz. (¿Cuántas
veces tiene Ana menos caramelos que Beatriz? )

45
: 9 = ? (5);     5 – 1 =
?                   

NOTA:- Las notaciones de las estructuras
acompañadas de un asterisco (*) indican que son adecuaciones
lingüísticas realizadas por el autor del presente
trabajo, mientras que las que se le antepone un signo de
admiración (¡) han sido creadas por el propio autor del
texto.

Para finalizar se va a presentar un cuadro comparativo del
sistema de estructuras de la multiplicación y división
que se han acabado de estudiar con las establecidas por otros
autores:

BIBLIOGRAFÍA:

1.         CAMPISTROUS
L. Y C. RIZO (1996): "Aprende a resolver problemas
aritméticos", Editorial Pueblo y Educación, C. Habana,

2.         CAPOTE, M.
(2003): "Una estructuración didáctica para la etapa
de orientación en la solución de problemas
aritméticos con texto en el primer ciclo de la escuela
primaria". Tesis en opción al grado
científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas,
Pinar del Río.

3.         CAPOTE, M.
(2005): "La etapa de orientación en la solución de
problemas aritméticos para la escuela primaria", Editorial
Pueblo y Educación, C. Habana. 

4.         DE TORO,
MIGUEL (1968): "Pequeño Larousse Ilustrado", Ediciones
Revolucionaria, La Habana.

5.         FISCHBEIN,
E,, M. DERI, M. S. NELLO Y M.S. MARINO (1985): "The Role of
Implicit Models in Solving Verbal Problems in Multiplication and
Division", Journal for Research in Mathematics Education, 16, pp.
3-17, EE.UU. 

6.         GREER, B.
(1992): "Multiplication and Division as models of Situation", EN
Handbook of research on Mathematics Teaching and Learning, New
York, D.A: Grouws, McMillan, p. 276-295.

7.         LOZADA DE
MONTES DE OCA, ANA. (1994): "Análisis de los problemas
aritméticos y procesos de solución
presentados en el programa instruccional y en
algunos textos de matemática a nivel de primer grado", 
Revista Enseñanza de la
Matemática, Vol, 3, No. 2, Venezuela.

8.         LYONS, JOHN
(1973): "Introducción a la
lingüística teórica",  Segunda edición corregida, 
Teide, Barcelona.

9.        
MARTÍNEZ, J., M. AGUILAR Y J.I. NAVARRO (2001): "Los
problemas matemáticos en la Educación Primaria", Servicios de Publicaciones
Universidad de Cádiz,
España, (libro electrónico).

10.      NAVARRO, JOAQUÍN [ET
AL] (2000): "Enciclopedia Autodidáctica Interactiva
Océano", Tomo I, Grupo Editorial S.A.,
Barcelona.

11.      SCHMIDT, S. Y W. WEISER
(1995): "Semantic structures of one-step word problems involving
multiplication or division", Educational Studies in Mathematics
28, Holanda.

12.      VERGNAUD, g. (1983):
"Multiplicative Structures", EN Lesh, R. y Landau, M. (Eds),
Acquisition of Mathematics Concepts and Processes, p. 127-174.
London, Academic Press.

13.       VEST, F. R. (1971): "A
catalog of models for multiplication and division of whole
numbers", EN Educational Studies in Mathematics, 3, pp.220-228,
Holanda.

Autor:

Dr. C. Manuel Capote Castillo

Breve biografía del autor:

Es Doctor en Ciencias Pedagógicas,  Profesor Titular y Consultante
de la Universidad Pedagógica "Rafael M. de Mendive" de la
provincia de Pinar del Río, Cuba. Es Licenciado en
Educación en la especialidad de Matemática. Tiene 40
años de experiencia en la docencia; de ellos 28 en la
educación superior. Ha
dirigido varios proyectos investigativos
relacionados con la enseñanza primaria.  Su tesis de
doctorado está relacionada con la etapa de orientación
en la solución de problemas aritméticos en la
enseñanza primaria. Los aspectos básicos de la misma
fueron publicados en forma de libro en el año 2005.

País, ciudad y fecha correspondientes al
trabajo realizado:

Cuba, Pinar del Río, abril
2002.

[1] DE TORO, MIGUEL (1968): "Pequeño
Larousse Ilustrado", Ediciones Revolucionaria, La Habana, p.
934.

[2] LYONS, JOHN (1973): "Introducción
a la lingüística teórica",  Segunda
edición corregida,  Teide, Barcelona, p. 455.

[3] IBIDEM; p. 440.

[4] LOZADA DE MONTES DE OCA, ANA. (1994):
"Análisis de los problemas aritméticos y procesos
de solución presentados en el programa instruccional y
en algunos textos de matemática a nivel de primer
grado",  Revista Enseñanza de la Matemática,
Vol, 3, No. 2, Venezuela, p. 65.

[5] MARTÍNEZ, J., M. AGUILAR Y J.I.
NAVARRO (2001): "Los problemas matemáticos en la
Educación Primaria", Servicios de Publicaciones
Universidad de Cádiz, España, (libro
electrónico), p. 66.

[6] NAVARRO, JOAQUÍN [ET AL] (2000):
"Enciclopedia Autodidáctica Interactiva Océano",
Tomo I, Grupo Editorial S.A., Barcelona, p. 268.

[7] SCHMIDT, S. Y W. WEISER (1995):
"Semantic structures of one-step word problems involving
multiplication or division", Educational Studies in
Mathematics 28, Holanda, p. 56,

[8] IBIDEM, p. 71.

[9] IBIDEM, p. 57.

[10] IBIDEM, p. 57.

[11] IBIDEM, p. 58.

[12] IBIDEM, p. 58.

[13] IBIDEM, p. 58

[14] IBIDEM, p. 59

[15] IBIDEM, p. 69

[16] IBIDEM, p. 61 (Esa magnitud es de un
orden mayor que las dadas originalmente. Nota del autor de
este libro).