MÓDULO 1
INTEGRALES INDEFINIDAS
Usted está familiarizado con algunas
operaciones inversas. La adición y la
sustracción son operaciones inversas, la
multiplicación y la división son también
operaciones inversas, así como la potenciación y la
extracción de raíces. Ahora, conocerá la
operación inversa la de derivación o
diferenciación denominada
antiderivación o
antidiferenciación, la cual implica el
cálculo de una
antiderivada.
Antiderivada.
Una función F se
denomina antiderivada de una función f en un
intervalo I si 
para todo 
Ejemplo.
Si F es la función definida por 
entonces 
De modo que si 
entonces f es la
derivada de F, y F es la antiderivada de
f. Si G es la función definida por
entonces G
también es una antiderivada de f, porque 
En realidad, cualquier
función H definida por 
donde C es una constante, es una
antiderivada de f.
Teorema 1.
Si f y g son dos funciones definidas en el
intervalo I, tales que 
para todo 
entonces existe una constante K tal
que 
para todo
"La antiderivación o
antidiferenciación es el proceso mediante el cual se
determina el conjunto de todas las antiderivadas de una
función dada. El símbolo 
denota la operación de
antiderivación, y se escribe 
donde y 
En la igualdadx es la variable de integración, 
es el integrando y la
expresión 
recibe el nombre de antiderivada general
o integral indefinida de f. Si 
es el conjunto de todas las
funciones cuyas diferenciales sean 
también es el conjunto de todas las
funciones cuya derivada es 
Teorema 2.
Teorema 3.
donde
a es una constante.
Teorema 4.
Si las funciones f y g están
definidas en el mismo intervalo, entonces 
Teorema 5.
Si las funciones 
están definidas en el mismo intervalo,
entonces 
donde 
son
constantes.
Teorema 6.
Si n es un número racional, entonces
Ejemplos.
1) Evalúe 
Solución.
2) Calcule 
Solución.
3) Determine 
Solución.
Los teoremas para las integrales indefinidas de las
funciones trigonométricas
seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante
por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones
inmediatas de los teoremas correspondientes de
diferenciación. A continuación se presentan tales
teoremas.
Teorema 7.
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