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Matemática




Enviado por totocho_83




    1.
    Introducción

    2. Funciones
    3. Aplicaciones de las funciones
    reales

    4. Consecuencias de la
    definición de logaritmo

    5. Funciones
    Trigonométricas

    6. Conclusiones
    7.
    Bibliografía

    1.
    Introducción

    En el presente trabajo, se detallarán las
    características de las diferentes funciones
    matemáticas y sus aplicaciones sobre las
    distintas ciencias y la
    vida cotidiana.

    Las funciones a las
    que nos dedicaremos son las siguientes:
    Función
    Trigonométrica
    Función
    Cuadrática
    Función Afín (Lineal)
    Función Logarítmica
    Función Exponencial
    Función Polinómica

    El principal objetivo de
    esta monografía
    es poder entender
    el uso de las funciones y así poder
    utilizarlas frente a los problemas
    diarios. El método de
    investigación es la consulta
    bibliográfica y el análisis de la misma.

    2.
    Funciones

    Una función, en matemáticas, es el término usado
    para indicar la relación o correspondencia entre dos o
    más cantidades. El término función fue usado
    por primera vez en 1637 por el matemático francés
    René Descartes para
    designar una potencia xn de la
    variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried
    Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a
    varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta
    recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido
    en 1829 por el matemático alemán, J.P.G.
    Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una
    variable es un símbolo que representa un número
    dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y
    Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X
    entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna
    automáticamente un valor a Y, se
    dice que Y es una función (unívoca) de X.  La
    variable X, a la que se asignan libremente valores, se
    llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos
    valores
    dependen de la X, se llama variables
    dependientes.  Los valores
    permitidos de X constituyen el dominio de
    definición de la función y los
    valores  que toma Y constituye su recorrido".

    Una función f de A en B es una relación
    que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un
    elemento y E B, llamado imagen de x por
    f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A
    à B
    Es decir que para que una relación de un conjunto A en
    otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a
    saber:
    Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
    La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir,
    ningún elemento del dominio puede
    tener más de una imagen.
    El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen
    de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen
    o recorrido de f.

    Observaciones:
    En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo
    una imagen y E B.
    Un elemento y E B puede:
    No ser imagen de ningún elemento x E A
    Ser imagen de un elemento x E A
    Ser imagen de varios elementos x E A.
    La relación inversa f-1 de una función f
    puede no ser una función.

    Formas de expresión de una función
    Mediante el uso de tablas:

    X

    Y

    -1

    0

    ½

    1

    2

    1

    0

    ¼

    1

    4

    Gráficamente: cabe aclarar que llamamos
    gráfica de una función real de variable real al
    conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes
    cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E
    A

    3. Aplicaciones de las
    funciones reales

    Generalmente  se hace uso de las funciones reales,
    (aún cuando el ser humano no se  da
    cuenta), en el manejo de cifras numéricas en
    correspondencia con otra, debido a que se está usando
    subconjuntos de los números reales.  Las funciones
    son de mucho valor y utilidad para
    resolver problemas de
    la vida diaria, problemas de finanzas, de
    economía,
    de estadística, de ingeniería, de medicina, de
    química y
    física, de
    astronomía, de geología,
    y de cualquier área social donde haya que relacionar
    variables.
    Cuando se va al mercado o a
    cualquier centro comercial, siempre se relaciona  un
    conjunto de determinados objetos o productos
    alimenticios, con el costo en pesos
    para así saber cuánto podemos comprar; si lo
    llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una
    ecuación de función "x" como el precio y la
    cantidad de producto como
    "y".

    Función Afín
    Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía  (uso
    de la oferta y la
    demanda
    los ecónomos se basan en la linealidad de esta
    función y  las leyes de la
    oferta y la
    demanda son
    dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por 
    ejemplo,  si un consumidor desea
    adquirir  cualquier producto,
    este  depende del precio en que
    el artículo esté disponible.  Una
    relación que especifique la cantidad de un artículo
    determinado que los consumidores estén dispuestos a
    comprar, a varios niveles de precios, se
    denomina ley de
    demanda.  La ley más
    simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el
    precio por unidad del artículo y m y b son
    constantes.

    Muchas son las aplicaciones de la función lineal
    en el caso de la medicina. 
    Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones
    lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un
    ejemplo es el resultado del experimento psicológico de
    Stenberg, sobre recuperación de información.
    Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números
    reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente.
    Su gráfica es una recta.

    Dada la ecuación y=mx+b:
    Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función
    constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que
    pasa por el punto (0,b).
    Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por
    gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas
    (0,0).

    Función Cuadrática
    El estudio de las funciones cuadráticas resulta de
    interés
    no sólo en matemática
    sino también en física y en otras
    áreas del conocimiento
    como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al
    aire, la
    trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de
    una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la
    cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen,
    con respecto al tiempo
    transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una
    velocidad
    inicial.

    Puede ser aplicada en la ingeniería
    civil,  para resolver problemas específicos
    tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado,
    en la construcción de puentes colgantes que se
    encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos 
    torres.
    Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas
    para estudiar los efectos nutricionales de los
    organismos. 
    Existen fenómenos físicos que el  hombre a
    través de la historia ha tratado de
    explicarse.  Muchos hombres de ciencias han
    utilizado como herramienta principal para realizar sus
    cálculos  la ecuación cuadrática. 
    Como  ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de
    una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el
    suelo
    está dada por S= V0t – ½ gt2, donde S es la altura,
    V0 es la velocidad
    inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t
    es el tiempo.
    La función cuadrática responde a la formula: y= a
    x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una
    curva llamada parábola cuyas características son:
    Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si
    a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.
    Vértice: Puntos de la curva donde la función
    alcanza el máximo o el mínimo.
    Eje de simetría: x = xv.
    intersección
    con el eje y.
    Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la
    ecuación de segundo grado.

    Función Logarítmica
    La geología
    como ciencia
    requiere del planteamiento de ecuaciones
    logarítmicas para el cálculo de
    la intensidad de un evento, tal como es el caso de un
    sismo.  La magnitud R de un terremoto está definida
    como R= Log (A/A0) en la escala de
    Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la
    amplitud de un sismógrafo estándar, que está
    a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

    Los astrónomos para determinar una magnitud
    estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos
    cálculos de carácter
    logarítmico. La ecuación logarítmica les
    permite determinar la brillantez y la magnitud.
    En la física la función logarítmica tiene
    muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el
    cálculo
    del volumen "L" en
    decibeles de un sólido,  para el cual se emplea la
    siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la
    intensidad del sonido (la
    energía cayendo en una unidad de área por
    segundo),  I0 es la intensidad de sonido más
    baja que el oído
    humano puede oír (llamado umbral auditivo).  Una
    conversación en voz alta tiene un ruido de fondo
    de 65 decibeles.
    El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la
    base b elevada a N da como resultado a.
    Logb a = N si bN = a
    Notación logarítmica
    Notación exponencial


    4. Consecuencias de la
    definición de logaritmo

    1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 =
    0, ya que b0 = 1
    2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a
    = 1, ya que b1 = a
    3. El logaritmo de una potencia cuya
    base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la
    potencia: logb am = m, ya que bm = am
    4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número
    negativo o cero.
    5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que
    1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si la base b del
    logaritmo es b>1.
    6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que
    1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si la base b del
    logaritmo es b<1.
    7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base
    es b>1.
    8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base
    es b<1.

    Propiedades de los logaritmo
    Logaritmo de un producto
    El logaritmo de un producto de dos números es igual a la
    suma de los logaritmos de cada uno de ellos.
    logb(X · Y)= logb X + logb Y

    Logaritmo de un cociente
    El logaritmo de un cociente de dos números es igual al
    logaritmo del numerador menos el logaritmo del
    denominador.

    Logaritmo de una potencia
    El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado
    por el logaritmo de la base de la potencia.
    loga Xn = n loga X

    Logaritmo de una raíz
    El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del
    radicando dividido entre el índice de la
    raíz.

    Función Exponencial
    Se aplica a la química y 
    física. En algunos elementos radioactivos son de tal
    naturaleza que
    su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley
    exponencial  y se dice que el elemento decrece o decae.
    En la química, el PH de una
    sustancia se define como : H = -Log H+,
    donde  H+ es la concentración de
    iones de una sustancia expresada en moles por litro.  El
    PH del
    agua destilada
    es 7.  Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es
    ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice 
    que es base.  Los ambientalistas miden constantemente el PH
    del agua de lluvia
    debido al efecto dañino de la "lluvia
    ácida" que se origina por las emisiones de
    dióxido de azufre de las fábricas y plantas
    eléctricas que trabajan con carbón.

    Otras de la aplicación  de las funciones
    exponencial  fue con el descubrimiento del Polonio (elemento
    radioactivo) descubierto por  Marie Curie en 1 898 decae
    exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t,
    donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de
    un tiempo  y t es el tiempo en días.

    El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población  en años, parece
    estar sobre una curva de característica exponencial que
    sugiere el modelo
    matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo
    transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el
    economista inglés
    Thomas Malthus observó que la relación N = N0
    ekt  era válida para determinar el crecimiento de la
    población mundial y estableció, además, que
    como la cantidad de alimentos
    crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver
    el problema del hambre.  Esta lúgubre
    predicción ha tenido un impacto tan importante en el
    pensamiento
    económico, que el modelo
    exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de
    modelo Malthusiano).
    En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el
    cuerpo humano,
    de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de
    disminución.

    En Matemática
    Financiera (Administración), para el cálculo de
    interés
    compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por
    ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de
    dinero P0 que
    se coloca a un interés
    anual del i%. Al final del primer año se tendrá el
    capital
    inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si
    este proceso se
    continúa por n años, la expresión que se
    obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el
    capital final
    si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0
    es el capital inicial, i es la tasa de
    interés (anual, mensual, diaria) y n es el
    período de tiempo (año, meses, días,
    etc.).
    Se llama función exponencial de base a, siendo a un
    número real positivo y distinto de 1, a la función
    f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de
    x».

    Propiedades de la función exponencial y = ax
    1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 =
    1
    2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 =
    a
    3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x
    )>0.

    Esto es debido a que la base de la potencia, a, es
    positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado
    un número positivo.
    4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la
    función es creciente.
    5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la
    función es decreciente.

    Ecuaciones Exponenciales
    Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como
    exponente son ecuaciones exponenciales.
    No hay ninguna fórmula general que indique cómo
    resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la
    práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino
    tomar.
    Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos
    resultados y propiedades:

    1. ax = ay  x = y

    Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar
    los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma
    base.

    5. Funciones
    Trigonométricas

    Las funciones
    trigonométricas son valores sin unidades que dependen
    de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo
    situado en un plano de coordenadas rectangulares está en
    su posición normal si su vértice coincide con el
    origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje
    x.
    En la figura 3, el punto P está situado en una
    línea recta que pasa por el origen y que forma un
    ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas
    x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante
    (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será
    cero si el punto P está en el eje y o y será cero
    si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el
    origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el
    teorema de Pitágoras.

    Las seis funciones
    trigonométricas más utilizadas se definen de la
    siguiente manera:

    Como la x y la y son iguales si se añaden 2p
    radianes al ángulo —es decir, si se añaden
    360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo
    ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas
    definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres,
    es decir,

    Si el punto P, de la definición de función
    trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero;
    por tanto, puesto que la división por cero no está
    definida en el conjunto de los números reales, la tangente
    y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y
    -270° no están definidas. Si el punto P está en
    el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante
    de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco
    está definida. Todos los ángulos tienen seno y
    coseno, pues r no puede ser igual a 0.
    Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del
    sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q
    son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y
    la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que
    -1.
    Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de
    las funciones trigonométricas no depende de la longitud de
    r, pues las proporciones son sólo función del
    ángulo.
    Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo
    rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones
    trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar
    a q como se explica a continuación. Si el vértice A
    estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de
    la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y
    si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q =
    y/r = a/c, y así sucesivamente:

    Los valores numéricos de las funciones
    trigonométricas de ciertos ángulos se pueden
    obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo
    rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y
    que b = a, y además se sabe, por el Teorema de
    Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que
    c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto

    Los valores numéricos de las funciones
    trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden
    hallar de forma aproximada
    dibujando el ángulo en su posición normal
    utilizando la regla, el compás y el transportador de
    ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las
    proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los
    valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos
    específicos, pues los valores de los demás
    ángulos y las demás funciones se calculan
    utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente
    apartado.
    Las razones trigonométricas se pueden utilizar,
    fundamentalmente, para resolver triángulos, así
    como para resolver diferentes situaciones problemáticas en
    otras ciencias.
    En Topografía se puede determinar la altura de
    un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la
    torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco
    consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez
    más de su vertical.  Originalmente tenía una
    altura de 54,6m, aproximadamente.  En 1990 un observador
    situado a 46 m del centro de la base de la torre,
    determinó un ángulo de elevación de 54º
    a la punta de la torre, el observador para determinar al
    desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy
    pequeño, comparado con la altura de la torre)
    aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de
    inclinación  y la ley del coseno para determinar el
    desplazamiento de la torre.

    En Óptica,
    en las dispersiones en prisma  o cuando un rayo de luz atraviesa una
    placa de cierto material.
    En la  Aviación, si dos aviones parten de una base
    aérea a la misma velocidad formando un ángulo y
    siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la
    distancia que se encuentran  entre los mismos.
    El capitán de un barco puede determinar el rumbo
    equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando
    modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto
    destino correcto.

    Funciones Polinómicas
    Expresión matemática
    formada por una suma de productos de
    números reales (o más generalmente de
    números de cualquier anillo), por potencias enteras de una
    variable generalmente representada por la letra x; es decir, un
    polinomio es una expresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 +
    dx3 + ex4…, en la que la mayor potencia de la variable se la
    llama grado del polinomio.
    Un polinomio se puede también interpretar como una
    función real de variable real, en la que la x es una
    variable numérica de la función; así, por
    ej., P(x) = 3x + 2, sería la función que asigna al
    valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera (interpretando
    las x como variables numéricas) se pueden generalizar las
    operaciones
    definidas en los números reales a operaciones de
    polinomios, que quedan entonces definidas como:

    Suma de polinomios: Se suman todos los términos
    aplicando axn + bxn = (a + b)xn;
    así, por ej., (3×2 + 4x + 2) + (5x – 1) =
    3×2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3×2 + 9x +
    1.

    Producto de un número por un polinomio: Se
    multiplican todos los términos por el número.
    Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el
    segundo por –1 y se suman.
    Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los
    términos de un polinomio por todos los del otro [teniendo
    en cuenta que (axn) . (bxm) =
    abxn+m], y se suman los resultantes
    División de polinomios: generalmente es irrealizable (su
    resultado no es un polinomio).
    P. Booleano: expresión simbólica constituida por la
    aplicación repetida de algunas operaciones sobre un
    retículo distributivo complementado.
    P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el
    determinante de A – xl, donde / es la matriz
    identidad. Es
    de gran importancia dado que esta asociado a todas las matrices
    semejantes y es útil para reducirlas a su forma
    canónica.
    P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A
    en la que a partir de un cierto lugar todos los términos
    son nulos. Sus términos se numeran comenzando por el
    índice 0, existiendo por tanto un desfase de una unidad
    entre el índice que caracteriza un término y su
    orden.
    P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual
    grado respecto del conjunto de las variables, por lo que un
    polinomios de estas características constituye una
    función homogénea cuyo grado de homogeneidad
    coincide con el grado mencionado.
    P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel
    P del anillo k que no puede descomponerse en producto de
    polinomios de grado inferior pertenecientes a k.
    P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.
    P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre
    sí.

    6.
    Conclusiones

    Tras el estudio de las nombradas funciones
    matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes
    tanto para las matemáticas como para muchas otras
    ciencias, en especial la física y la química.
    El objetivo
    planteado en la introducción se cumplió, ya que se
    pudo observar a lo largo del desarrollo los
    diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber
    también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos
    queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta
    problemática.
    Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de
    investigación fue positivo, ya que se
    cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que
    también esta monografía
    nos será útil en la practica.

    7.
    Bibliografía

    Enciclopedia Microsoft
    Encarta 1999
    Internet:
    www.altavista.com; www.yahoo.com.ar
    Análisis matemático I, Notas de Teoría
    y práctica; 2da edición.
    Enciclopedia Clarín, Tomo 20

    Resumen
    Teniendo como consigna la investigación de las funciones
    matemáticas, comenzamos a interiorizarnos en el tema
    buscando la definición de la palabra función.
    Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas
    específicas, tales como la función
    trigonométrica, cuadrática, logarítmica,
    exponencial, afín y polinómica.
    Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones
    sobre otras ciencias y además aprendimos los modelos de
    ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver
    cualquier situación que se nos presente en la vida
    diaria.
    Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la
    monografía, debido a que incorporamos gran cantidad de
    nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva
    manera de enfrentar problemáticas en campos donde
    creíamos que la matemática era inútil.
    Desde el punto de vista personal, creemos
    que las funciones matemáticas han facilitado la labor en
    muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener
    resultados precisos para cada situación.

     

     

    Autor:

    Alejandro Carreiras

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