Indice
1.
Resumen
2. Introducción y
objetivos
3. Ecuaciones de
movimiento
4. Obtención del error del
instrumento de medición (sensor y P.C.)
5. Gráficas y aproximaciones las
ecuaciones teóricas
6. Bibliografía
El objetivo del
practico es analizar el movimiento de
un carro de masa (m) el cual oscila sujeto a un resorte de
constante elástica (k) en un plano inclinado.En el estudio
del fenómeno físico sé a llegado a la
obtención de algunas constantes como:
Constante de elasticidad del
resorte(K)
K=3,037(+ -)0,006N/m.
Frecuencia de oscilación(J )
J =0,3921Hz.
Coeficiente de roce dinámico(m )
m =0,05(+ -)0,01
También sé a aproximado una curva teórica
X(t) a la obtenida experimentalmente.
2. Introducción y objetivos
Se debe analizar el movimiento
oscilatorio de un carro el cual esta sujeto a un resorte en un
plano inclinado(ver figura) y comprobar que el decaimiento de las
amplitudes es de forma lineal si se desprecia la insignificante
fuerza de roce
viscosa que proporciona el aire.
Método:
Primeramente se elige un ángulo, luego se aleja el carro
de su posición de equilibrio
estableciendo una amplitud y se deja libre, al mismo tiempo que
comienza a oscilar se activa el sensor el cual dispara ondas de sonido con una
frecuencia de 20Hz, recogiendo los datos a estudiar
y enviándolos a una P.C. en la cual podemos, por ejemplo,
realizar gráficos de su posición respecto del
tiempo y
estudiar diversos datos.
También sé a tomado el periodo de oscilación
con un cronometro para comparar las mediciones de la P.C. con el
mismo.
Materiales:
- Cronometro, sensor Doppler de posición
(PASCO) y P.C. - Plano de aluminio,
soportes y resortes. - Comparador.
3. Ecuaciones de
movimiento
Primeramente veremos que el peso no es una fuerza que
amortigua la oscilación.
m.g.sen(q
) = -KD
l
m.dx/dt.dt = -KD
l’+ m.g.sen(q ) + Fr =
= -K(D
l’+D
l) + Fr ya que m.g.sen(q ) = -KD l
pero si tomamos la posición de equilibrio
Xo’ como nuestro 0 la ecuación queda:
m.dx/dt.dt = -KD
l’+ Fr
De aquí podemos concluir que:
- Las ecuaciones
de movimiento se pueden escribir en forma independiente del
peso. - El peso no es una fuerza que amortigua el
movimiento. - El peso desplaza la posición de equilibrio
Xo.
Ecuaciones
Amortiguadas:
Ecuación de posición
X(t) = A(t). Cos(w
.t) donde A(t) es la función
del decaimiento de las amplitudes respecto de t.
Frecuencia angular
1/2
w = (K /
m) donde (K) es la constante elástica del resorte y (m) la
masa
Amplitud
A’ = A-2.Fr/K esta ecuación es lo que decae la
amplitud con respecto a la del ciclo anterior, donde (Fr) es la
fuerza de roce del sistema.
Periodo(T)
T = 2.p
/w
Frecuencia de oscilación(J )
J = 1/T
Sin fuerza de roce
X(t) = A. Sen(w
.t + j )
donde (A) es contante.
Amplitud(A)
A= cte.
Condición inicial(j )
j = arcsen(Xo/A)
Frecuencia angular(w )
1/2
w =
(K/m)
Por lo visto podemos concluir que los parámetros
que definen al sistema son:
K, m, Fr, desde luego, despreciando la fuerza de roce del
aire.
Mediciones del periodo de oscilación del sistema (con
cronometro)
La mínima apreciación del cronometro es 0,036s
Medición n° 1
Tiempo de 6 oscilaciones = 15,264s Þ que T = 2,54s(+ -)0,04s
Medición n° 2
Tiempo de 6 oscilaciones =15,408s Þ que T = 2,57s(+ -)0,04s
Medición n° 3
Tiempo de 6 oscilaciones =15,336s Þ que T = 2,56s(+ -)0,04s
Medición n° 4
Tiempo de 6 oscilaciones =15,408s Þ que T = 2,57s(+ -)0,04s
Promedio = (2,54s + 2,57s + 2,56s + 2,57s) / 4 = 2,56s(+
-)0,04s
Mediciones hechas con sensor y P.C. (gráficos de la posición respecto de
t para 3 ángulos diferentes)
4. Obtención del
error del instrumento de medición (sensor y
P.C.)
Adaptamos un comparador al plano de aluminio con
un soporte, luego se procedió a mover el carro de a medio
milímetro, los cuales mediamos con el comparador, al mismo
tiempo que la P.C. procesaba los datos del sensor.
Finalmente maximisamos la gráfica y observamos que la
misma tenia un ruido generado
por causas externas en el orden de 0,4mm.
Conclusiones:
El error del instrumento (D d = 0,4mm).
5. Gráficas y aproximaciones las ecuaciones
teóricas
Aproximación de A(t)
Forma exponencial:
Se pude suponer que la oscilación es en un medio
viscoso(aire) esto implicaría que los decaimientos de las
amplitudes respecto del tiempo es de forma exponencial (A(t) =
Ao.e^-a
t).
Gráfico de A(t) con aproximación
exponencial
Parámetros Valor Error
a -0.0092 (+ -)2.1369E-4
Forma lineal:
También podemos suponer que el roce con el medio
viscoso(aire) es despreciable, de este modo los decaimientos de
amplitudes serian de forma lineal(A = D-b t). Esta será la
aproximación que usaremos para la determinación de
algunas constantes por la simplificación que esto provoca
a nuestros problemas, y
ya que entre la aproximación lineal y la exponencial
existe una mínima diferencia a causa de que la constante
de roce viscoso a
es muy pequeña.
Gráfico de A(t) con aproximación
lineal.
Ecuación:
A = D + b t
Parámetros Valor Error
D 0.56379 (+ -)0.00535
b -0.00981 (+ -)4.22202E-4
Nota: Las aproximaciones por mínimos cuadrados se
realizaron con Origin 5.0
Por lo visto usaremos la ecuación de movimiento X(t)
producto de la
forma lineal A(t) con Cos(w t).
X(t)=A(t)Cos(w
t)+D l
donde, D
l=m.g.sen(q
)/-K, es el desplazamiento de Xo que produce el peso del
carro. Pero para mayor comodidad tomaremos Xo=0, entonces la
ecuación queda: X(t)=A(t)Cos(w t).
X(t)=(Ao-b t)Cos(w t) donde Ao = D – Xo = 0,203m
Gráfico de la ecuación teórica
X(t)
Decaimiento lineal:
X(t)= -(0.203-0.008.t)Cos(2.464.t)
Nota N°1: A la función se
la multiplico por –1 solo para una mejor comparación
con las experimentales.
Nota N°2: los gráficos fueron realizados con Maple
V.
Determinación de algunas constantes
Coeficiente elástico del resorte(K):
K= w ^2.m
siendo w
=2,46399423 y m=500g (+-)1g
K=6,0712676/S2(500g(+-)1g)
K=3035,6338 g/S² (+-) 6,07120g/S²
K=3,037Kg/S² (+-) 0,006Kg/S²
Frecuencia de oscilación(J ):
J = w /2p
= 2,46399423/2p
= 0,39Hz
Coeficiente de roce dinámico(m d):
Si se parte de la ecuación A’=Ao-2Fr/K donde Fr
= m
d.mgCos(q
) y A’ es la máxima amplitud subsiguiente a
Ao, podemos llegar a:
m d=A.K/2mgCos(q ) donde A=Ao-A’
D d =0.0004m este es el error o
ruido de la
P.C. al mostrar la posición determinado
anteriormente.
D
A = D d
+ D d
=0,0008m
D K
= 0,006N/m
D
m = 0,001Kg
D
q =
1°
D g =
0,05 (determinado en el practico de caída
libre)
g = 9.82 (determinado en el practico de caída
libre)
m d =
[0,177m.3.037N/m]/2.0.5Kg.9.82m/s2.Cos(12°)=0,0535
Determinación del error D m
d:
m
=m
(A,k,m,q
)
D m =[(¶ m
/¶
A)D
A+(¶
m /¶ K)D K+(¶ m
/¶
m)D
m+(¶
m /¶ q )D
q +(¶ m /¶ g)D g]
D m
=(0,0002+0,0001+0,0002+0,01+0.0001)=0,01
m
=0,05(+ -)0,01
Apuntes tomados en la cátedra de física 1.
Resnick.
Sears Mecánica.
Apuntes de estadística y error.
Autor:
Juan José Noldin