- Breve introducción a
las ecuaciones diferenciales
Planteamiento general del problema de
contorno
Ideas generales de los métodos numéricos para los
problemas de contorno
Generalidades del Método en Diferencias Finitas
(MDF)
Bibliografía
Introducción
Las nuevas
Tecnologías de la Informática y las Comunicaciones
marcan los avances científicos más relevantes de
los siglos XX y comienzos del XXI, lo que obliga a los
profesionales del siglo XXI a una superación constante y
sistemática que les permita contar con herramientas y
métodos
efectivos para explotar las tecnologías existentes y
enfrentar con éxitos las misiones en sus esferas de
actuación.
El rápido ritmo de cambio en el
entorno actual caracterizado por la relación creciente
entre la Informática, la Matemática
y las restantes ciencias,
presenta la utilización de las teorías
y métodos matemáticos en las investigaciones
en todas las esferas del conocimiento
como una necesidad para la solución de los más
variados problemas de
la producción y los servicios.
Dentro de estas teorías y métodos de la
Matemática se encuentran las ecuaciones
diferenciales, las cuales unidas a las restricciones del
problema (condiciones iniciales y/o de contorno) hace de estas un
lenguaje
más exacto y claro que sirve de modelo (modelo
diferencial) para expresar y estudiar la dinámica de fenómenos y procesos de
diversas áreas del conocimiento humano.
Una vez que el modelo ha sido formulado, el problema
más importante que se presenta es hallar su
solución. En general determinar la solución de las
ecuaciones
diferenciales es un problema complejo, pues la clase de ellas
que pueden ser resueltas en cuadratura (la obtención de la
solución en forma analítica) es realmente muy
pequeña. Si consideramos que las ecuaciones diferenciales
a las que hacemos referencia son obtenidas como resultado de un
proceso de
idealización (modelación) y los coeficientes que
intervienen se obtienen de mediciones experimentales, podemos
formularnos la interrogante: ¿De ser posible obtener la
solución en términos de una función,
que garantía tendremos de que la misma sea capaz de
describir las regularidades fundamentales del fenómeno
objeto de estudio?. La respuesta a la pregunta anterior es
sin duda compleja.
Lo anterior unido a las posibilidades que nos brindan
los recursos
computacionales, define algunos de los elementos que hacen a los
métodos
numéricos una opción nada despreciable para la
solución de los modelos
diferenciales.
Dentro de los modelos diferenciales se encuentran
aquellos en que están presentes las condiciones de
contorno (frontera).
Sobre el tema existe una variada bibliografía que en general
está caracterizada por no ser una lectura
fácil, sobre todo para aquellos que por primera vez se
enfrentan al tema y no poseen la suficiente preparación
Matemática.
Nosotros vamos a tratar que nuestro trabajo sirva
de ayuda a aquellos que comienzan ha introducirse en este
complicado pero fascinante mundo de los Métodos
Numéricos para los Problemas de Contorno, así como
en la utilización del Asistente Matemático
MatLab.
DESARROLLO:
Breve
introducción a las ecuaciones diferenciales
Muchos modelos matemáticos empleados para el
estudio de diversos fenómenos aparecen caracterizados por
la relación entre las derivadas o
diferenciales de las funciones
incógnitas (las funciones que expresan el comportamiento
del fenómeno) respecto a una o varias variables
independientes, son las conocidas Ecuaciones Diferenciales (ED).
Las mismas aparecen en problemas de mecánica, dinámica de fluidos,
resistencia de
materiales,
electricidad,
propagación del calor,
oferta–demanda,
propagación de epidemia, estudio de poblaciones, estudio
de ecosistemas,
entre otros campos de estudio e investigación.
De acuerdo al número de variables independientes
presentes en la ecuación diferencial estas se clasifican
en: EDO (Ecuaciones Diferenciales Ordinarias), si está
presente una variable independiente y EDP (Ecuaciones en
Derivadas Parciales) si esta presente más de una variable
independiente.
Ejemplos 1:
(1)
(2)
(3)
(4)
Por L definimos al operador diferencial. Las
ecuaciones (1) y (3) son ejemplos de EDO, al estar presente la
derivada ordinaria de la función incógnita respecto
a la variable independiente, (2) y (4) EDP, están
presentes las derivadas parciales de la función
incógnita respecto a las variables independientes. Las
ecuaciones diferenciales también se clasifican de acuerdo
al mayor orden de las derivadas o el diferencial presente en las
mismas. Las ecuaciones (1) y (2) representan ecuaciones
diferenciales (ordinaria y en derivadas parciales) de primer
orden, (3) y (4) de segundo orden. De forma análoga se
definen las ecuaciones diferenciales de orden mayor que dos
(ecuaciones diferenciales de orden superior).
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