Lógica proposicional (página 2)

A los enunciados abiertos que contienen variables
algebraicas se les denomina función proposicional,
que tienen la propiedad de
convertirse en proposiciones, al sustituirse la variable por una
constante específica.

Ejemplo:

El enunciado abierto

x2 + 1 = 5

Es una función
proposicional, el cual se convierte en proposición
cuando:

• i. Para x = -3 (por ejemplo), se convierte en
  la proposición

(-3)2 + 1 =
5………………………
(F)

el cual tiene valor de
verdad Falsa

• ii. Para x = 2, entonces, será la
  proposición

(2)2 + 1 = 5
………………………
(V)

el cual tiene valor de verdad
Verdadera

• Notación

Usaremos las letras minúsculas p, q, r,…
para simbolizar las proposiciones. Las proposiciones se pueden
combinar para obtener proposiciones compuestas utilizando
conectivos lógicos que veremos a
continuación:

Actividades

• 1. Sean p, q y r las
  proposiciones siguientes:

p: "está lloviendo"

q: "el sol esta
brillando"

r: "hay nubes en el cielo"

Traduciremos las siguientes oraciones a notación
simbólica utilizando las letras asignadas y los conectivos
lógicos:

• 2. Sean p, q y r del ejercicio 1. Traducir las
  siguientes proposiciones simbólicas a oraciones en
  español:

• 3. Selecciona un artículo de
  periódico o de una revista: identifica, proposiciones
  simples, conjunciones, disyunciones e
  implicaciones.

• 4. Construye funciones
  proposicionales.

La proposición: "si está lloviendo,
entonces hay nubes en el cielo" se simboliza:

Ejercicio: Simbolice y redacte la recíproca,
inversa y contrarecíproca

• Negación de proposiciones

• a) Negación de una
  conjunción:

Ejemplo

La negación de

Está lloviendo y el sol está
brillando

es

No está lloviendo o el sol no está
brillando

Es decir, la negación de una conjunción
es la
disyunción

Observe que la última proposición es
diferente a la cual
corresponde, en nuestro ejemplo, a No está lloviendo y el
sol no está brillando. Que usualmente se dice: ni
está lloviendo ni el sol está brillando

• b) Negación de una
  disyunción.

Ejemplo: La negación de

Está lloviendo o el sol está
brillando

es

No está lloviendo y el sol no está
brillando

Es decir, la negación de una disyunción p
( q, es la conjunción

Observe que la última proposición es
diferente a

• c) Negación de una
  condicional

Ejemplo. La negación de

Si está lloviendo, entonces hay nubes en el
cielo

es

Está lloviendo y no hay nubes en el
cielo

IMPORTANTE

Lectura

"Caía una espesa lluvia. Juan se despertó y
lanzó un gemido ¡Aj,… aj,… el colegio!
Se levantó de la cama y se sentó en una silla.
Oyó la bocina de un auto o el silbato de un
policía. Entonces se estremeció. Por causa del
frío o del miedo. Estaban haciendo tanto ruido.
Repentinamente se le iluminó la cara. ¡Qué
bien! Se habían acordado de algo. Las clases no empiezan
hoy, sino mañana"

Actividades

1. Redacta una lista de las proposiciones simples de
la lectura
leída

p:
____________________________________________

q:
____________________________________________

r:
____________________________________________

s:
____________________________________________

t:
____________________________________________

2. En base a las proposiciones anteriores haz una lista
de proposiciones compuestas

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

AUTOEVALUACIÓN

• 1. De los siguientes enunciados cuales son de
  proposiciones y no proposiciones:

• a) Todos los planetas giran alrededor del
  sol

• b) Si un número es divisible por 4
  también lo es por 2

• c) a + b + 10 = 20

• d) a + b + 10 = 20; donde a = 4, b=
  7

• e) Batman es el hombre
  murciélago

• f)  ¡Socorro!

• g) Todo organismo viviente se adapta a su medio
  físico

• h) ¿Habrá juicio
  final?

• 2. Identifica las premisas y conclusiones en el
  siguientes texto

La luz que vemos
provenientes de las galaxias distantes salió de ellas hace
millones de años, y en el caso del objeto más
distante que hemos visto, la luz surgió desde hace ocho
millones de años. Así pues, cuando observamos
el universo,
lo estamos viendo como fue en el pasado.

• 3. Un profesor dice a sus estudiantes lo
  siguiente: estoy pensando en dos números de los tres
  números 1, 2 y 3. Luego los alumnos formularon las
  siguientes proposiciones:

• a) Por los menos uno de los números es
  impar

• b) El promedio de sus dos números es
  mayor que 5/4

• c) Uno de sus números es tres

• d) La diferencia entre sus números es
  1

• e) El primero de los números en que
  está pensando es es mayor que el segundo

• f) La suma de los cuadrados de sus
  números es menor que 14

Unidad 02

Cálculo
proposicional

Objetivos

• Calcular el valor de verdad de proposiciones
  compuestas

• Construir razonamientos válidos en
  matemática

La definición de proposición nos dice que
debe ser una oración a la cual se le puede asignar un
valor de verdad de manera precisa, sin ambigüedades. Ahora
bien, ¿cómo le asignamos un valor de verdad a las
proposiciones compuestas?, es decir, a las proposiciones que
contienen alguno de los conectivos lógicos. Esto lo
haremos a través de tablas de
verdad.

• 1. Tabla de la
  negación

Observamos que si p es verdadera, entonces (p es falso;
si p es falso, entonces (p es verdadero. Es decir, el valor de la
negación de un enunciado es siempre opuesto al valor de
verdad del enunciado inicial. La negación de una
negación es siempre la proposición
original

Ejemplo.

p: Pedro es alto

(p: Pedro no es alto

(p: No es cierto que Pedro es alto

(p: Es falso que Pedro no es alto

• 2. Tabla de la disyunción (inclusiva
  o débil)

La disyunción inclusiva es verdadera, si al menos
una de las proposiciones componentes es verdadera, resultando
falso únicamente cuando las dos proposiciones son
falsas.

• 3. Tabla de la disyunción (exclusiva
  o fuerte)

La disyunción exclusiva es verdadera cuando
sólo una de las proposiciones que la compone es verdadera,
resultando falso en cualquier otro caso.

• 4. Tabla de la
  conjunción

La disyunción exclusiva es únicamente
verdadera cuando los valores de
las proposiciones que la compone son ambas verdaderas, resultando
falso en cualquier otro caso.

• p y q

• p con q

• p sin embargo q

• p incluso q

• p tanto como q

• p así mismo q

• p también q

• p al igual que q

• No sólo p también q

• p no obstante q

• 5. Tabla de la condicional

En los problemas
económicos, la siguiente proposición es una verdad:
"Si los precios de los
artículos suben, entonces, tienen menos demanda.
Aquí

p: Los precios de los artículos suben

q: Los artículos tiene menos demanda

y se simboliza:

y se lee: Si p, entonces q

A la proposición "p" se le llama antecedente o
hipótesis y a "q" consecuente o tesis.

Esta es su tabla de verdad:

¿Cómo se calcula su valor de
verdad?

Si analizamos la palabra "entonces", la podemos
entender como una deducción (que se puede realizar en base a
la experiencia o por simple razonamiento mental). En nuestro
ejemplo inicial: "si los precios de los artículos suben,
se deduce que tienen menos demanda." Ahora, para
realizar esta deducción (p(q) hemos nos valemos de
proposición "p".

Si trabajamos con funciones
proposicionales este sería algunos ejemplos:

Actividad

Justificaremos las líneas 3 y 4 de la tabla
condicional mediante ejemplos. (Los dos primeros quedaran como
ejercicios)

¿Es posible deducir una verdad, partiendo de
una falsedad?

Aunque esto contradiga nuestra intuición, si es
posible. Veamos el siguiente ejemplo:

Analizando el antecedente o hipótesis se
tiene:

• Si 2 = 3, podemos escribir como 3 = 2

• Sumando miembro a miembro las igualdades

• Entonces decimos que:

De la falsedad de (2 = 3) hemos deducido una verdad (5 =
5)

• i. ¿Es posible deducir una falsedad a
  partir de una falsedad?

También es posible. Veamos el siguiente
ejemplo:

Analizando la hipótesis se tiene:

• i. Multiplicando ambos miembros por
  2

2 x 2 = 3 x 2

4 = 6

• ii. Hemos deducido que:

De la falsedad de (2 = 3), hemos deducido una la
falsedad (4 = 6)

• 2. Completa la tabla de la condicional, para la
  recíproca, contrario y
  contrarecíproca

• 6. Tabla de la bicondicional o doble
  implicación

Dadas las proposiciones simples "p" y "q", se llama
bicondicional a la proposición definida por la
conjunción de la proposición condicional con su
recíproca.

Nótese que la bicondicional p q significa una
deducción doble: de "p" se puede deducir "q" y de "q" se
puede deducir "p"

Veamos el caso de la segunda fila:

• ii. Valor de p: V

• iii. Valor de q: F

Por lo tanto (p q) es falso.

Queda como ejercicio mostrar las demás
filas

• 7. Cálculo de valores de verdad de
  proposiciones compuestas

Utilizando los conectivos lógicos, se pueden
combinar cualquier número finito de proposiciones simples,
para obtener otras proposiciones cuyos valores de
verdad pueden ser conocidos construyendo sus tablas de
verdad.

Para efectuar el número de combinaciones de los
valores de las proposiciones, recurrimos a la relación 2n,
donde n representa el número de proposiciones.

Ejemplo. Construir la tabla de verdad de la
proposición:

• 8. Proposiciones lógicamente
  equivalentes

Dos proposiciones son equivalentes cuando el resultado
de sus tablas de verdad son iguales.

Ejemplo. Las proposiciones son equivalente, ya que:

La equivalencia entre dos proposiciones p y q lo
escribimos como p ( q

Nota: La relación de equivalen es reflexiva,
simétrica y transitiva

• 9. Tautologías, contradicciones y
  contingencias

• Una expresión proposicional se llama
  tautología, si los valores de verdad de su operador
  principal son verdaderos.

• Se llama contradicción o
  antitautología, si los valores de verdad de su
  operador principal son todos falsos.

• Se llama contingencia, cuando los valores de verdad
  hay valores verdaderos y falsos

Resumen

Ejercicios
resueltos

• 1. Analizar las siguientes
  expresiones

• a) 7 + 5 = 20

• b) ¿Eres un estudiante de
  matemática?

• c) X + 5 = 8

• d) El día esta frío.

• e) ¡cierra la puerta!

Solución

• a) 7 + 5 = 20, es una expresión cuyo
  valor de verdad es falsa. Luego es una
  proposición.

• b) ¿Eres un estudiante de
  matemática?, es una pregunta que se hace, carece de
  valor de verdad, es decir, no se puede afirmar si es
  verdadero o falso, luego no es una
  proposición.

• c) X + 5 = 8, es un enunciado abierto o
  función proposicional por que tiene
  variable

• d) El día esta frío, es una
  proposición que puede ser verdadera o falsa

• e) ¡cierra la puerta!, es una orden.
  Luego no es una proposición.

• 2. Sean las proposiciones p, q, r, cuyos
  valores de verdad es V, F y F. hallar el valor de verdad de
  las siguiente proposiciones compuestas:

Bibliografía

Didáctica de la
matemática

* ALCALA, Manuel. La Construcción del Lenguaje
Matemático, Editorial GRAO, España
2002.

* ALSINA, Claudi. Enseñar Matemática, Editorial GRAO, España
1998.

* CABRERA, Mónica. Como aplicar Metodología Activa en la Clase de
Matemática, Editorial PUCP, Lima, 2002

* CISNEROS, Celia. JUEGOS
EDUCATIVOS, Editorial Maestro Innovador, Huancayo,
2004

* CORBALAN, Fernando. La Matemática Aplicada a la
Vida Cotidiana, Editorial GRAO,

* COTO, Alberto, Entrenamiento
Mental, Editorial EDAF, Chile, 2006

* DIENES, GOLDING. Lógica
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1970

* FERRERO, Luis. EL JUEGO Y LA
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* GASKINS, Irene. COMO ENSEÑAR ESTRATEGIAS
COGNITIVAS EN LA ESCUELA,
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1999.

* HERNÁNDEZ FERNÁNDEZ, Herminda.
Cuestiones de Didáctica de la Matemática,
Editorial Homo Sapiens, Argentina 1998.

* MALBA TAHAN. EL HOMBRE QUE
CALCULABA, Editorial San santiago, Lima, 2005

* MOLINA, Isabel, El Señor del Cero, Editorial
ALFAGUARA, Madrid, 2000

* PALACIOS PEÑA, Joaquín. Didáctica
de la Matemática, Editorial San Marcos, Lima
2003

* RICO, Luis. LA EDUCACION MATEMATICA EN
LA ENSEÑANZA SECUNDARIA, Editorial HORSORI, Barcelona,
2000

* SALET, María. MODELAGEN MATEMATICA NO ENSINO,
Editorial Contexto, Sao Paulo, 2000

* SANTOS, Luz. PRINCIPIOS Y
MÉTODOS DE LA RESOLUCION DE PROBLEMAS, Editorial
Iberoamericana, México,
1997

* SEBASTIANI, Felipe. Didáctica de la
Matemática, Editorial Escuela Nueva, Lima 1991.

* SOLIS, César. MATERIALES
DIDÁCTICOS, Editorial CKEF, Huancayo, 2001

Matemática

* CARRANZA, Cesar Matemática
Básica. Publicación de CONCYTEC, Lima,
1992.

* ESPINOZA RAMOS, Eduardo "Matemática
Básica". Edit. Servicios
Gráficos. 2002.

* FIGUEROA G. Ricardo "Matemática Básica".
Edit. América, Lima, 2002.

* LAZARO, Moisés "Matemática
Básica", Tomo I. Edit. Moshera S.R.L., Lima.
1998.

* LIPSCHUTZ, Seymour "Teoría
de Conjuntos y
Temas Afines", Edit. Mc Graw Hill, México,
1991.

* ROJO, Armando "Álgebra", Tomo I. Edit. El
Ateneo, Buenos Aires, 2002

* VENERO, Armando Matemática Básica. Edic.
Gemar, Lima-Perú, 1993.

Taller de
lógica proposicional

• A. INSTITUCIÓN
  EDUCATIVA:……………………………………………………………

• B. NOMBRES:……………………………………………………………………………….

• 1. Lógica es la ciencia que
  estudia:
  …………………………………………………………………………………………………

• 2. Al mínimo pensamiento se le conoce
  como:…………………………………………

• 3. Marque los enunciados con "J" si son
  juicios y con "C" si son conceptos.

Automóvil deportivo

Libro

El automóvil es Ferrari

El perro ladra al gato

Gato negro

Evo Morales usa corbata

Profesor

El profesor toma
examen

Director de la UGEL Tacna

• 4. Todo razonamiento consta de:

…………………………………………………………………………………………………………………………

• 5. Dado:

"Puesto que un hombre
prudente huye de los gorilas y pues ningún profesor es
imprudente. Se sigue que ningún profesor deja de huir de
los gorilas"

¿Es un razonamiento?……Si No

¿Cuál es su conclusión?

………………………………………………………………………………………………………………………………..

6. Toda oración es una proposición. V
F

Toda proposición es una oración: V
F

7. Dado el siguiente titular del diario correo
02/08/07:

"Mono ataca niño y escapa del parque"

¿Cuáles son conceptos?
……………………………………………………….

¿Cuales son juicios?

………………….
……………………………………………………………

• 8. De los siguientes enunciados,
  ¿Cuáles son proposiciones?

a) x + 3 = 11, si x = 2 ( )

b) x + 3 = 14 ( )

c) Romeo y Julieta
se amaron ( )

d) Machu Picchu es maravilla del mundo moderno (
)

e) Siéntese rápido ( )

f) ¿Qué estidias? ( )

9. Si Alfonso estudia aritmética, entonces
también estudia lógica o álgebra.
Alfonso no estudia aritmética. Alfonso estudia
aritmética, o lógica, o algebra. Luego, Alfonso
estudia algebra.

Considerando el texto
anterior, identifique lo siguiente:

Conceptos:

……………………………………………………………………………………

Juicios:

……………………………………………………………………………………

Razonamientos:

Premisas:…………………………………………………………………………

Conclusiones:………………………………………………………………………

Conectivos
lógicos:…………………………………………………………………

Efectuar la formalización
lógica:

Autor:

Rodolfo Huisa Sanizo