La utilidad de la aritmética modular en los sistemas criptográficos y en los grupos lineales modulares especiales
- Resumen
Identificación
Descripción del proyecto
Fundamentación teórica
Determinación del orden del grupo lineal modular
especial de rango m y con entrada en Zn
Utilidad de la aritmética modular en los cifrados y
descifrados de criptosistemas
Introducción histórica
Conclusiones y futuras líneas de
trabajo
Referencias bibliográficas
Resumen
En este trabajo se
desarrollan los conceptos Generativos y Significativos de algunos
Criptosistemas, con sus respectivos sistemas de
Cifrados y Descifrados; así como las definiciones de
algunos conceptos fundamentales empleados en la
terminología criptográfica. Define además,
algunos conceptos esenciales relacionados con la teoría
de Grupo;
seguidamente calcula el Orden del subgrupo SL (m, Zn), de
manera similar como se calcula el orden a los subgrupos lineales
clásicos del Grupo General Lineal sobre un cuerpo K
cualquiera. Para ello se utilizan técnicas
de reducción del problema al caso primo para
posteriormente emplear la descomposición prima de
n; para lo cual se aplican algunos resultados
básicos sobre isomorfismos de grupos y de
aritmética modular. Por último se analiza la
aplicación de la teoría de enteros modulares en el
estudio de algunos Sistemas Criptográficos tanto
Simétrico como de Clave Pública, que usan en sus
algoritmos
ecuaciones de
congruencia lineal y el álgebra
matricial modular.
Al final, en Futuras Líneas de Trabajo, se hacen
algunas propuestas a la facultad de Ciencias
Exactas y Naturales de la Universidad de
Cartagena-Especialidad en Matemática
Avanzada.
Palabras y frases clave: Matrices sobre Grupos
Especiales, Unidades, Grupos de Unidades, orden de un grupo,
tamaño de una matriz, rango
de una matriz.
ABSTRACT In this paper we develop
the generic concepts and meanings of some cryptosystems, with its
system of encryption and decryption, as well as the definitions
of some fundamental concepts used in cryptographic terminology.
It also defines some key concepts related to group theory, then
calculates the Order of the subgroup SL (m, Zn), similar as the
order is estimated to subgroups of the classical linear general
linear group over a field K either. This uses techniques to
reduce the problem to the case for later use prime decomposition
of n premium, for which they apply some basic results on
isomorphisms of groups and modular arithmetic. The paper analyzes
the application of the theory of modular integers in the study of
some cryptographic systems both Symmetric as Public Key
Infrastructure in their algorithms using linear congruential
equations and modular matrix-algebra. Finally, in future lines of work,
makes some proposals to the Faculty of Natural Sciences,
University of Cartagena-Specialty in Advanced
Mathematics.
Key words and phrases: Matrices of
Special Groups, Units, Groups of units, order of a group, size of
a matrix, rank of a matrix.
Introducción
El presente Trabajo se inscribe dentro de la
teoría de la Aritmética Modular y más
particularmente en la necesidad de conocer su utilidad en los
sistemas criptográficos que usan en sus algoritmos
ecuaciones de congruencia lineal y el algebra matricial modular.
Y además, en los grupos Lineales Modulares Especiales cuyo
orden incluya la posibilidad de emplearse en futuros sistemas
Criptográficos que usen algebra matricial
modular.
Este Trabajo se centra en los resultados
encontrados en el artículo Órdenes de Algunos
Grupos Lineales Modulare de ROY Quintero1 (1991), publicado en la
revista
Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No.2 (2006),
(Pp.107-120) Trujillo-Venezuela. El
cual se basa en el texto The
Orders Linear Groups de Emil Artin (1955) volumen 8
Edición
3, (Pp. 355-365), princenton,
EEUU.
En el marco
teórico se dan, solo con fines didácticos, las
definiciones de Sistemas Criptográficos; y con
propósitos metodológicos, las definiciones de
Matrices
Modulares, Matrices Regulares, Orden del Grupo General
Lineal, y de Grupo Lineal Especial, del mismo modo como
se definen cuando K es un cuerpo cualquiera.
Vale la
pena aclarar, que en este trabajo se reserva el concepto de
tamaño de una matriz para designar su número
de filas y de columnas, en lugar del orden o
dimensión con el que suelen algunos autores designar
al número de filas y de columnas de las mismas.
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