Proyección axonometría (página 2)

• Usando la escala de los ejes y midiendo sobre rectas
  paralelas a ellos.

• Usando el rebatimiento del plano horizontal en el plano
  axonométrico y replanteando la proyección
  horizontal del punto. De acuerdo con los ejes XR e YR ;
  determinamos las coordenadas correspondientes a este punto en
  X e Y, y trazamos las líneas paralelas en estos puntos
  hasta que se corten en Ah.

• También puede determinarse Ah por la homologia
  siendo:

• a) El eje muerto: traza horizontal del plano
  axonométrico.

• b) Los rayos de homologia: dirección del eje
  Z.

• c) La pareja conjugada es 0—0R.

La perspectiva del punto debe estar sobre la línea de
referencia a una altura que se mide a partir de Ah.

Características de la proyección
axonométrica

La proyección axonométrica es una
proyección cilíndrica, ortogonal donde se
conserva:

Propiedades:

• a) El paralelismo y la proporcionalidad, así
  como los diámetros conjugados de una
  cónica.

• b) El plano axonométrico se proyeccta en su
  verdadero tamaño.

• c) La recta perpendicular a una recta paralela al
  plano axonométrico se proyecta bajo un Angulo recto en
  ella.

• d) Una esfera se proyecta como una
  circunferencia.

Uso:

La proyección axonométrica se usa ventajosamente
para representar esquemas de instalaciones, piezas
mecánicas, edificios, etc. Da una ilusión
más parecida al objeto que la proyección oblicua ya
que se acerca más a la manera de mirar (pero a veces es
más laborioso efectuarla.

Representación y visibilidad:

Se acostumbra repasar únicamente la proyección
(perspectiva) aunque la proyección horizontal es
igualmente indispensable.

Métodos de
construcción en proyección
axonométrica

• Indirecto: rebatiendo la proyección
  horizontal del objeto y después fijando los puntos de
  acuerdo con las alturas respectivas.

• a) Para determinar la proyección horizontal
  axonométrica, se determina primero la
  proyección ortogonal (en el sistema de los ejes XR, YR
  ).

• b) Se busca por homologia la proyección
  horizontal axonométrica, siendo: X Y el eje de
  homologia; los rayos de homologia perpendiculares al eje de
  homologia XY; una pareja conjugada: O – OR.

• c) Se determina la proyección
  axonométrica de acuerdo con las alturas de los puntos.
  Estas alturas corresponden a la escala del eje Z.

OM= Altura de la casa.

ON= Altura de la cresta.

• Directo: construyendo el objeto de acuerdo con
  aquellas líneas que son paralelas a los ejes de
  proyección y de acuerdo con la escala de estos.

• a) Tetraedro: regular con base horizontal y
  una arista paralela al eje Y. la altura del tetraedro se
  determino aparte.

• b) Cubo con caras paralelas a los planos de
  proyección, o sea, aristas paralelas a los ejes.

• c) Cubo con sección principal paralela
  al plano de proyección XZ e YZ, o sea, diagonales de
  una cara son paralelos a los ejes X e Y.

• d) Octaedro regular: con diagonales paralelas
  a los ejes de coordenadas.

• e) Octaedro regular: con sección
  principal paralela al plano XZ, o sea, aristas paralelas a
  los ejes X e Y, y una diagonal paralela al eje Z.

• Proyectivo: semejante a la proyección
  oblicua, solo que los ejes se proyectan de otra forma.

Perpendicularidad

La proyección axonométrica de la perpendicular
p, formara un Angulo recto con la intersección
PQ entre el plano axonométrico y el plano dado. La
proyección horizontal axonométrica ph
estará en el espacio, perpendicular a la traza horizontal
XY del plano a; Será también
perpendicular al plano vertical β que contiene la
traza XY y por eso perpendicular a la intersección
PR entre los planos β y el
axonométrico.

Rebatimiento en
proyección axonométrica

Para efectuar el rebatimiento de un plano a en la
proyección axonométrica, es necesario girar este
plano a hasta que coincida con el plano
axonométrico, siendo el eje de giro la intersección
entre el plano a y el plano axonométrico.

Asumiendo que XYZ es el plano axonométrico, y
que el plano a esta dado por sus trazas = ABC, se
observa que la recta H-V es intersección entre el
plano a y el plano axonométrico. Esta recta es
además el eje de rebatimiento y el eje de homologia.

Rayos de rebatimiento (de homologia): los puntos se
mueven en planos perpendiculares al eje de rebatimiento, que se
proyectan como rectas perpendiculares al eje H-V (por
tratarse de proyección ortogonal).

Circunferencia en
proyección axonométrica

• Circunferencia situada en un plano horizontal: Es
  una elipse con el eje mayor paralelo a la traza horizontal
  del plano axonométrico y de longitud igual al
  diámetro de la circunferencia.

El punto P es un punto de la circunferencia: AP
es paralelo a Y y BP es paralelo a X, la
demostración se obtiene por el rebatimiento. Por el
procedimiento
de los tres puntos se determina el eje menor DE.

• Circunferencia en el plano frontal y lateral: es
  semejante a la circunferencia en el plano horizontal; el eje
  mayor de la elipse se proyecta perpendicular al eje X, Y o Z
  respectivamente (paralelo a la traza del plano
  axonométrico), con longitud igual al diámetro
  de la circunferencia.

• Casos particulares:

Isometría: la circunferencia horizontal, frontal
o lateral se proyecta como elipse equilátera.

Circunferencia en el plano axonométrico: se
proyecta en su verdadero tamaño.

Circunferencia en un plano cualquiera: la
circunferencia se proyecta como una elipse, con el eje mayor
igual al diámetro de la circunferencia y paralelo a la
traza del plano de la circunferencia en el plano
axonométrico.

Esfera en
proyección axonométrica

La proyección de una esfera es una circunferencia de
igual radio a ella. Su
proyección horizontal es una circunferencia situada en el
plano horizontal, de igual tamaño que el ecuador y se
proyecta como una elipse.

En la
ilustración se representa una esfera con:

• Ecuador: eje mayor AB, eje menor
  CD.

• Polos N y S: la distancia NS = diámetro de
  la esfera, medido con la escala correspondiente al eje Z.

• Meridianos: deben pasar por los polos. La
  intersección EF del plano del meridiano con el
  plano del ecuador y el eje NS de la esfera, forman
  diámetros conjugados.

• Meridiano principal: es paralelo a la
  intersección del plano axonométrico y el plano
  horizontal. Se proyecta con el eje mayor AB paralelo a
  la traza horizontal del plano axonométrico y el eje
  menor NS.

• Meridiano de cierta longitud: para poder medir la
  longitud ? de cierto meridiano, se rebate el Ecuador
  alrededor del eje que pasa por el centro de la esfera; el
  ecuador coincidirá con el contorno de la esfera y el
  Angulo ? se puede medir directamente. El meridiano se define
  por dos diámetros conjugados: uno, que se esta entre
  los polos y el otro en el plano del ecuador, homologo al
  Angulo ? rebatido.

• Paralelos: el lugar geométrico de los
  vértices de los ejes mayores de los paralelos es el
  meridiano principal. La relación del semieje mayor y
  el semieje menor de todos los paralelos de la esfera es igual
  a la misma relación en el ecuador.

• Paralelo de cierta latitud: para determinar el
  paralelo de cierta latitud, se efectúa una
  rotación de 90º del meridiano perpendicular al
  plano axonométrico; viéndose así el
  meridiano en verdadero tamaño, coincidiendo con el
  contorno de la esfera.

Iluminación y
sombra en proyección axonométrica

Para hallar las sombras en la proyección
axonométrica, se procede de forma muy similar como en la
proyección oblicua.

Casos particulares:

• Iluminación técnica en
  isometría: la proyección de los rayos tiene
  una dirección particular. Observe la
  ilustración al lado.

• Sombra de esfera (sombra propia): el eje mayor
  AB de la elipse corresponde a la sombra propia, es
  perpendicular a los rayos de luz.

Para obtener un punto adicional P de la circunferencia
límite de la sombra propia, se determina el punto de
tangencia entre el ecuador de la esfera y la tangente cuya
dirección corresponde a la
proyección horizontal del rayo de la luz
sh.

El eje menor CD se obtiene por el procedimiento de tres
puntos (de papelito).

La sombra arrojada de la esfera se halla buscando la sombra
arrojada de los diametres mayor AB y menor CD, que
son diámetros conjugados.

Conclusión

El sistema
axonométrico se desarrollo
para suplir las desventajas del sistema diédrico, es
decir, poder
visualizar un elemento mecánico de una forma rápida
y sin conocimientos previos.

Este sistema se subdivide en dos principales, el sistema
axonométrico ortogonal y el sistema
axonométrico oblicuo. La diferencia entre ambos es la
dirección de los rayos de proyección respecto del
plano en el que se proyectan, la cual será perpendicular o
con otro ángulo en cualquiera de ambos casos.

El sistema axonométrico tiene como base de referencia
un triedro trirrectángulo. Este triedro está
formado por tres planos que son perpendiculares entre sí.
Para representar un objeto en este sistema, se le ha de situar
dentro del espacio que comprende el triedro, con una
proyección cilíndrica sobre el plano de
representación. De esta manera obtendremos una imagen en
perspectiva del sólido, además de la
representación de las tres aristas o ejes del triedro.

Bibliografía

• Nicolas Larburu.(1984). Tecnicas del dibujo.
  Paraninfo. 3ª edicion.

• Harry Osers. Estudio de la Geometria Descriptiva.

Autor:

Ing. Escandry V. Subero S.