- Algunas Definiciones de la
Teoría de Conjuntos - Falsedad de la
Hipótesis del Continuo - Propiedad de
Dilatación o Contracción de los
Puntos
Algunas Definiciones
de la Teoría de Conjuntos
Una de las teorías
matemáticas más ricas en
aplicaciones es sin lugar a dudas la teoría
de conjuntos
debida al gran genio de
Georg Cantor (matemático ruso) y la cual
ha sido enriquecida a través de la historia por otros no menos
grandes matemáticos. Acá nos ocuparemos de
dar algunas definiciones de esta teoría las cuales se
necesitarán para la demostración de la falsedad de
la hipótesis del continuo; el cual es el
objetivo
primario de este capítulo.
1.1.1 Definiendo al Conjunto A
Un conjunto A finito o infinito, aún cuando
parece redundante, se denotará por
Esta forma de denotar a dicho conjunto es la más
adecuada para la demostración de los teoremas que
acá veremos (Se supone conocido por el lector todo lo
relativo a teoría de conjuntos).
1.1.2 El Cardinal del Conjunto A
El cardinal de un conjunto A es el número de
elementos que posee dicho conjunto y se denotará por #A.
En este trabajo todos
nuestros conjuntos serán no vacíos.
1.1.3 Conjuntos Iguales
P1) Conjuntos iguales implican cardinales
iguales
Si A = B, entonces, #A = #B.
P2) Cardinales diferentes implican conjuntos
diferentes
Si #A ( #B, entonces, A ( B.
1.1.4 Inclusión de Conjuntos. Subconjuntos
1.1.5 Subconjunto Propio
1.1.6 Función
entre dos Conjuntos
1.1.7 Función Inyectiva
1.1.8 Función Sobreyectiva
1.1.9 Función Biyectiva
Una función es biyectiva cuando es inyectiva y
también sobreyectiva. Cuando una tal función existe
entre dos conjuntos A y B, se dice que entre éstos existe
una relación biunívoca y que, por tanto, ambos
tienen la misma cantidad de elementos.
1.1.10 Potencia de un
Conjunto
Luego, se puede inferir que dos conjuntos son
equipotentes si tienen igual número de elementos.
De las definiciones de biyectividad y equipotencia de conjuntos,
conjuntamente con el axioma de elección de la
teoría de conjuntos, se infiere que dos conjuntos
son equipotentes si, y sólo si, existe entre ellos al
menos una biyección.
1.1.12 El conjunto f(A)
1.1.13 Propiedades Intrínsecas del Conjunto
f(A)
Falsedad de la
Hipótesis del Continuo
A continuación, se presenta una serie de teoremas
sencillos que nos demuestran que la conjetura de Cantor, conocida
como hipótesis del continuo, es falsa. En dicha
hipótesis se asegura que no existe un cardinal transfinito
x tal que # N < x < # R.
Esta hipótesis se dio sobre la base de la
igualdad de
los cardinales de N, Z y Q. Igualdad que se demostró
gracias a una supuesta biyección entre N y Z, y entre N y
Q. Sin embargo, acá se demostrará que dichas
biyecciones no pueden existir, a menos que la teoría de
conjuntos sea una falsedad, lo cual no es así.
La idea de este trabajo no es detallar lo que significa
la hipótesis del continuo; para quien desee detallar esto
existe abundante literatura en el
ámbito matemático. Acá sólo se
pretende demostrar, con los mismos elementos de la teoría
de conjuntos, que la cardinalidad de N, Z y Q son diferentes y
que dicha hipótesis del continuo no es más que la
camisa de fuerza que
mantiene atada a la matemática
a concepciones erróneas del infinito.
Nota: Las demostraciones acá se
harán sólo para conjuntos discretos, aún
cuando también valen para conjuntos continuos. Se
usarán subíndices naturales en los conjuntos
infinitos, acá tratados, bajo el
supuesto que dichos naturales nunca se terminan; también,
porque siempre se ha creído que todos los conjuntos
infinitos, a excepción de R, son numerables. Al final de
cada demostración se usará el símbolo ( el
cual nos indica que la demostración
concluyó.
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