Trabajo de matemática (página 2)

La familia de los
números ha acompañado a la humanidad desde los
tiempos más primitivos y sigue hoy al servicio de
nuestro progreso. A lo largo de cinco milenios, distintas clases
de números han ido surgiendo para resolver problemas cada
vez más creativos. Naturales, Enteros, Racionales, Reales
o Complejos, nuestra vida es hoy en día inconcebible sin
los números. El desarrollo
numérico ha permitido contar, ordenar, situar, comparar,
repartir, calcular, codificar… y disponer de un lenguaje que
hoy es esencial tanto para la vida cotidiana como para el
desarrollo de la ciencia y
de la tecnología.

Gracias a los números a pesar de que su
desarrollo en distintas eras no era el más preciso podemos
notar como fue de gran utilidad desde el
principio en que el hombre
comenzó a desarrollar algunos trabajos y por todos los
cambios notables que paso hoy en día es algo elemental en
nuestra vida cotidiana y fundamental para el
desarrollo.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
(N)

Un número natural es cualquiera de los
números que se usan para contar los elementos de un
conjunto (el cero es el número de elementos del conjunto
vacío). Reciben ese nombre porque fueron los primeros que
utilizó el ser humano para contar objetos.

Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría
de Números) prefieren no reconocer el cero (0) como un
número natural; otros, especialmente los de Teoría
de conjuntos,
Lógica
e Informática, sostienen la postura
opuesta.

El conjunto de los números naturales se
representa por N y corresponde al siguiente conjunto
numérico:

Los números naturales son un conjunto cerrado
para las operaciones de la
adición y la multiplicación, ya que al operar con
cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número
perteneciente a N.

Entendemos por número la expresión de un
valor, la
cuantificación de una magnitud.

Los números naturales expresan valores
referentes a cosas enteras, no partidas, los números
naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la
partición de las unidades, y solamente expresan valores
positivos.

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}

REPRESENTACION
GRÁFICA

Una gráfica es la representación en unos
ejes de coordenadas de los pares ordenados de una
tabla.

Las gráficas describen relaciones entre dos
variables.

La variable que se representa en el eje horizontal se
llama variable independiente o variable x.

La que se representa en el eje vertical se llama
variable dependiente o variable y.

La variable y está en función de
la variable x.

Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla,
analizarla y extraer conclusiones.

Para interpretar una gráfica, hemos de observarla
de izquierda a derecha, analizando cómo varía la
variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente,
x.

En esa gráfica podemos observar que a medida que
compramos más kilos de patatas el precio se va
incrementando.

En esta gráfica observamos que la mayor parte de
los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.

ADICION EN
N

Es una operación que hace corresponder a cada par
de números a, b E|N otro número natural
llamado suma y denotado por a + b.

Ejemplos

PROPIEDADES DE LA ADICION EN N

Propiedades de la Adición: La adición
cumple varias propiedades que permiten realizar las operaciones
de una forma más sencilla. Estas propiedades
son.

Propiedad conmutativa: el orden de los sumandos no
altera el resultado de la suma.

Elemento neutro: En la adición, todo
número sumado con cero, es igual a sí
mismo.

Propiedad asociativa: cuando una suma tiene  de
tres a más sumandos, se pueden realizar sumas
parciales y al final se obtiene el mismo
 resultado.

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES Y
DECIMALES

Para efectuar sustracciones o
de números naturales y decimales, se emplea el mismo
procedimiento
que con la adición.

Sin embargo recordemos que: minuendo, es la cantidad de
la cual se restará otra llamada sustraendo; sustraendo, es
la cantidad que se resta del minuendo y diferencia, es el
resultado de la resta, es decir, el minuendo menos el
sustraendo

SUSTRACCIÓN EN N

Restar es la operación matemática
en la cual se quitan, sacan o sustraen elementos de un
determinado conjunto, siendo su símbolo (-), que significa
"menos".

Dentro de la sustracción se encuentran varios
elementos:

• El término mayor de los dos números
  que se restan al que llamamos MINUENDO representa la
  totalidad de objetos que se tienen, al cual se le va a quitar
  una cantidad.  

• El Número menor que aparece en la
  sustracción al que se le da el nombre de SUSTRAENDO
  representa la cantidad menor de la
  sustracción. 

• Al resultado de la sustracción, se le llama
  DIFERENCIA 

• Y el signo señalado por una rayita
  pequeña se le da el nombre de SIGNO
  MENOS 

Cuando se resuelve una SUSTRACCIÓN hay que tener
presente:

• Los números que se restan deben estar
  colocados correctamente, es decir; UNIDADES debajo de las
  UNIDADES, DECENAS debajo de las DECENAS, CENTENAS debajo de
  las CENTENAS. 

• Siempre se deben restar objetos de una misma
  especie; naranjas a naranjas, perros a perros, muñecas
  a muñecas, carros a carros, hombres a hombres,
  piñas a piñas. Esto quiere decir objetos de una
  misma clase de un mismo género. 

El MINUENDO siempre tiene que ser mayor que el
SUSTRAENDO. Es decir la primera cantidad que aparece en la resta
debe ser más grande que la segunda cantidad, ya que es
imposible quitarle a un número menor uno mayor,
¿verdad?

PROPIEDADES DE LA
SUSTRACCIÓN

Igual que la suma la resta es una operación que
se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas
¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo
sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que
hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el
resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas.
Sabría que 6 – 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las
ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los
lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad
conmutativa (no es lo mismo a – b que b – a)

PROPIEDADES EN LA MULTIPLICACION DE LOS NUMEROS
NATURALES

La multiplicación de números naturales
cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y
distributiva del producto
respecto de la suma.

1.-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se
cumple que:

(a · b) · c = a · (b ·
c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 =
30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 =
30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 ·
2)

2.- Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se
cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación
porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple
que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la
suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se
cumple que:

a · (b + c) = a · b + a ·
c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 ·
8

DIVISIÓN EN N

La división es la operación que tenemos
que hacer para repartir un numero de cosas entre un número
de personas.

Los términos de la división se llaman
dividendo (el número de cosas), divisor (el número
de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada
persona) y
resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y
en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No
es lo mismo a/b que b/a.

POTENCIACIÓN EN N

Es la operación aritmética que tiene por
objeto hallar el producto de factores iguales.

El factor repetido se llama base.

El exponente es el número que indica
cuántas veces se toma la base como factor.

Ejemplos .

NUMEROS PRIMOS

Un número es primo cuando es entero positivo,
distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por
sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por
tanto, para todos los otros números por los que intentemos
dividir el número primo no dará solución
exacta)

Ejemplos. Divisores de 3= {1, 3} => es primo D(7)={1,
7} => es primo D(9)={1, 3, 9} => no es primo, es divisible
por 3 además de 1 y 9 Notas:

El 1 se considera primo en muchos casos, aunque
sólo tiene un divisor. Depende de las listas, de las
definiciones, del libro o de la
"cultura" se
considera o no primo. P. Ej. Los antiguos griegos consideraban
que los numeros empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un
número, sólo la unidad. No sotros tampoco lo
consideraremos primo.

El 2 también cumple las características de
número primo; y es el único número primo que
es par.

MULTILPOS Y
DIVISORES

Se llaman múltiplos de un número a todos
los números que resultan de la multiplicación de
ese número con cada uno de los naturales.

Ejemplo: son múltiplos del número 2 el
4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 y muchos más los
múltiplos son infinitos como son infinitos los
números naturales.

Los múltiplos de un número resultan de
multiplicar dicho número por cada uno de los
naturales

Existen algunas reglas que permiten decidir si un
número es múltiplo de otro.

Al observar la serie de los múltiplos de 2 se
encuentra que todos son números pares, generalizando se
puede decir que: Todo número par es múltiplo de
2

Múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6,…

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18,…

Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24,..

Los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,…. son
múltiplos de 3; observa que al sumar las cifras de los
números 12, 15, 18, 21 se obtiene el número 3 o un
múltiplo de 3:

De esta manera, se concluye lo siguiente: Un
número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es
3 o un múltiplo de 3

Los números 0, 10, 15, 20, 25, 30… Son
múltiplos de 5; todos ellos terminan en 0 y 5, por lo
tanto, se dice que:

Un número es múltiplo de 5 cuando su
última cifra es 0 ó 5

Como todo número tiene sus múltiplos
así también tienen sus divisores es decir otros
números que lo dividen exactamente.

Observa los divisores de los siguientes
números:

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10,

Divisores de 35: 1, 5, 7, 35

Divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 6

Los divisores de un número son los que dividen a
éste en forma exacta.

El uno es divisor de todos los
números.

Todo número es divisor de sí
mismo.

Para determinar los divisores de un número, se
buscan todos los números que lo dividen en forma exacta,
es decir, el residuo debe ser cero

A continuación encontrarás algunas reglas
que harán saber cuando un número es divisible entre
otro sin necesidad de estar haciendo la operación. A este
conjunto de reglas le llamamos CRITERIOS DE
DIVISIBILIDAD.

Divisibilidad por 2: un número es
divisible por 2 cuando termina en cifra par. 8, 14, 54, 382, 1876
son divisibles por 2.

Divisibilidad por 3: un número es
divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo
componen, es múltiplo de tres. 6, 21, 69, 255, 1356 son
divisibles por 3.

Divisibilidad por 4: un número es
divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades y
decenas) son dos ceros (00) o son divisibles por cuatro. Doce es
divisible por cuatro por lo tanto 512 es divisible entre cuatro.
Al igual que: 204 y 780, 7500…

Divisibilidad por 5: un número es
divisible por 5 si su último dígito es 0 o
5.

Divisibilidad por 6: un número es
divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la
vez.

Divisibilidad por 7: un número es
divisible por 7, si el número que se obtiene al separar el
último dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el
número que queda, es múltiplo de 7. Esto se ve
complicado pero observa: el número 98 es divisible por 7
porque Se separa el 9 del 8, ahora se multiplica 8 x 2 = 16 y se
resta 16 –9 = 7

245 es divisible por 7. Porque se separa el
último dígito, el 5; queda 24. Ahora se multiplica
5 x 2 = 10 y se resta 24 – 10 = 14

Divisibilidad por 9: un número es
divisible por 9 si la suma de sus dígitos es
múltiplo de 9.

Divisibilidad por 10: un número es
divisible por 10, si su último dígito es
0.

Divisibilidad por 100: un número es
divisible por 100, si sus dos últimos dígitos son
cero. .

Divisibilidad por 1000: un número es
divisible por 1000, sus tres últimos dígitos son
cero.

Divisibilidad por 10000: un número es
divisible por 10000, sus cuatro últimos dígitos son
cero.

MINIMO COMUN
MÚLTIPLO

Es simplemente el más pequeño de los
múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los
múltiplos comunes es 20, así que el
mínimo común múltiplo de 4 y 5 es
20.

Calcular el mínimo común
múltiplo

En realidad es muy fácil de hacer. Sólo
escribe los múltiplos de los números hasta que
encuentres uno que coincida.

Ejemplo 1: encuentra el mínimo
común múltiplo de 3 y 5:

Y puedes calcular el mínimo común
múltiplo de 3 (o más) números.

Ejemplo 2: calcula el mínimo
común múltiplo de 4, 6 y 8

MÁXIMOCOMUN DIVISOR

El máximo común divisor de varios
números, a, b, c…, es el
mayor de sus divisores comunes. Se representa como m.c.d.
(a, b, c…) y se obtiene
descomponiendo los números en factores primos y
multiplicando los factores primos comunes elevados al menor de
sus exponentes

Concepto de máximo común
divisorMáximo común divisor (m.c.d.) de dos o
más números es el mayor de sus divisores comunes.
Observamos que si el único divisor común de dos o
más números es la unidad, dichos números son
primos entre sí.

– Forma práctica de calcular el
m.c.d.Para calcular el máximo común divisor de
dos o más números: 1.º Se descomponen los
números en factores primos. 2.º Se expresan los
números como producto de factores primos. 3.º
Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor
exponente. 4.º El producto…

FUNCIONES Y ECUACIONES EN
N

El concepto de
función corresponde a una idea intuitiva presente en el
idioma de la calle: los impuestos que
pagan las personas están (o deberían estar) en
función de los ingresos, los
resultados obtenidos en los estudios son función del
tiempo
dedicado a estudiar, el consumo de
gasolina en un viaje es función de ("depende de") los
kilómetros recorridos, la estatura es función de la
edad, el número de escaños obtenidos por un partido
político después de unas elecciones es
función del número de votos obtenidos (ley de
Hónt), el área de un cuadrado es función del
lado, el volumen de
agua que
contiene una piscina es función de sus medidas, la
proporción de Carbono 14
presente en una momia egipcia es función del tiempo
transcurrido desde la muerte,
etc.

TABLAS DE
DATOS

Examinemos los siguientes datos que
relacionan un número "x" perteneciente al conjunto A={ -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3} con su duplo ("2x"):

Desde el punto de vista matemático se trata de
una función que transforma el conjunto de números:
A={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} en otro conjunto de números:
B={-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6}. Se dice que esta función
actúa de la siguiente forma: f(x)=2x, y que la imagen de -2 es
-4, y la de 3 es 6 (f(-2) = -4, f(3) = 6). Decimos que la imagen
inversa de 2 es 1 y la de 4 es 2 (f-1(2) = 1, f-1(4) =
2).

Además de la expresión analítica de
una función (f(x) = 2x), se suelen utilizar
gráficas para visualizarlas y entenderlas de una forma
rápida:

ECUACIONES EN N

• Una ecuación es toda igualdad entre dos
  expresiones matemáticas sin importar el valor
  que

• tomen las
  variables implicadas en cada expresión.

• Forma matemática de expresar la igualdad de
  dos expresiones algebraicas; en física,
  expresión que relaciona una o dos cualidades
  fundamentales. También se emplea en Química.Es
  un planteamiento de igualdad escrito en términos de
  variables y constantes

En una ecuación existen cantidades desconocidas
(incógnitas), que en general se designan por letras
minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y
cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por
letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo
anterior lo introdujo el matemático René
Descartes en 1637.

En la ecuación: ax + b = c

a, b y c son coeficientes, x es la
incógnita

En la ecuación 5z – 4 = 16

Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la
incógnita es z.

Llamaremos raíces o soluciones de
la ecuación a
los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.

Ejemplos: Si voy al Correo con Bs. 500 y quiero enviar 3
cartas a Bs.
150 c/u ¿qué vuelto recibiré? Si v
representa el valor del vuelto, éste tiene que
cumplir:

500 = 3 x 150 + v

En la ecuación anterior v es la incógnita
y el valor v = 50 Bs. es la solución.

Clasificación de las ecuaciones con una
incógnita:

Las ecuaciones se catalogan según el exponente o
potencia
más alto que tenga la incógnita.
Así,

6x + 34 = 5 es una ecuación de primer
grado.

8×2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo
grado.

4 x3 + 35 x2 –3x + 2 =7 es una ecuación de
tercer grado.

Resolución de ecuaciones

Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de
la incógnita que satisface la igualdad. Por ejemplo la
ecuación:

500 = 450 + v (el caso del vuelto)

Se satisface para

v = 50

Luego el vuelto de enviar 3 cartas con Bs. 500 es de
Bs.50.

En situaciones reales la solución de la
ecuación debe tener sentido en el contexto en que se
trabaja.

Notemos los siguientes casos:

Pertinencia de la solución:

Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5
niños.
Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada niño, x
debe ser un número natural que satisfaga la
ecuación:

5 x = 24

La ecuación anterior no tiene solución en
los naturales (N).

Existencia de la solución

La ecuación

4x + 5 = 2

No tiene solución en los naturales (N) ni en los
enteros (Z) sino que en los racionales y en los
reales.

La ecuación

4x.x = -7

No tiene solución en los reales (R) ya que no
existe ningún número real que la
satisfaga.

c) Infinitas soluciones

La ecuación

2 + x + x = 2(x+1)

Es una ecuación que es satisfecha por cualquier
valor que tome x, luego tiene infinitas soluciones.

CONCLUSIONES

Número natural, el que sirve para designar la
cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama
cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto
de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11,
12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los
números naturales.

Además de cardinales (para contar), los
números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar
los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º
(decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen
en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de
ordenar son las más elementales que se pueden realizar en
el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están
definidas las operaciones adición y multiplicación.
Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos
números naturales es también un número
natural, por lo que se dice que son operaciones
internas.

La sustracción, sin embargo, no es una
operación interna en N, pues la diferencia de dos
números naturales puede no ser un número natural
(no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso
se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se
puede restar un número de otro, cualesquiera que sean
éstos.

La división tampoco es una operación
interna en N, pues el cociente de dos números naturales
puede no ser un número natural (no lo es cuando el
dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el
conjunto Q de los números racionales, en el que se puede
dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La
división entera es un tipo de división peculiar de
los números naturales en la que además de un
cociente se obtiene un resto.

REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

http://docente.ucol.mx/grios/aritmetica/numenatu.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Número_natural
–

http://ma.usb.ve/cursos/basicas/ma1111

http://ocente.ucol.mx/grios/aritmetica/numenatu.htm

http://www.monografias.com
ۼ
Matematicas

http://ve.kalipedia.com/…/operaciones-numeros-naturales

http://www.rena.edu.ve/…/numerosNaturales

Autor:

Miguel David Rojas
Gerardino

Cumaná, 09 de enero de
2010.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.

MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACIÓN
SUPERIOR.

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL
LIBERTADOR.

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL
MAGISTERIO.

NÚCLEO SUCRE.