Óptica de Fourier y tratamiento ondulatorio de la óptica geométrica

El modelo
ondulatorio de la luz es el que mas
se adecua al estudio de la óptica
no cuántica y es el único utilizado para el
tratamiento de fenómenos como los de difracción,
interferencia y polarización. En gran parte de la
litratura dedicada a la enseñanza de la Física general y
experimental, al llegar al estudio de la óptica
geométrica suele presentarse una ruptura en el desarrollo del
discurso como
si se tratara de un tema que practicamente no está
relacionado con el resto de la disciplina en
cuestión.

Por otra parte, en cursos mas avanzados, se hace un paso a la
óptica geométrica a partir del modelo ondulatorio
acudiendo mayormente al concepto y
ecuación de la iconal, pero suele llegarse a ésta
sin utilizarla para establecer algo que muestre
explícitamente que se ha entrado en tópicos
tratables por la ley de Sneel o al
menos por el Princiio de Fermat, dejando insatisfeho al estudioso
que tiene por óptica geométrica la
aplicación de las citadas formulaciones.

También se presenta la situación de que el
estudiante interesado, encuentra en los medios,
alusiones a temas como el procesamiento de imágenes,
escucha hablar de wavelets, de uso de la tranformada de
Fourier en
óptica, etc., sin que advierta vínculo alguno con
lo que ha aprendido en sus estudios regulares. Y se da muy
frecuentemente que oftalmólogos y optometristas reciben
literatura
especializada en la que encuentran referencias a aplicaciones de
la .Optica de Fourier en oftalmología y optometría,
sin que encuentren apropiados textos sobre esos temas en los que
puedan ahondar sobre los mismos.

Tratando de atender aunque sea en forma lo mas elemental
posible, al saludable interés
intelectual al que nos hemos referido, se ha elaborado el
presente trabajo.

En la Óptica de Fourier se estudian fenómemos de
las ondas
electromagnéticas y por tanto de las luminosas, haciendo
un uso fundamnental de la teoría
de la Tranformada de Fourier.

La transformada de Fourier es una aplicación que hace
corresponder a una función
f(x) de valores
complejos de x , otra función g(() proporcional a (-(,+(
f(x)exp(-i(x)dx.

Veamos una aplicación al estudio de la intensidad
luminosa en el patrón obtenido en la difracción de
Fraunhofer. Para obtenerlo se hace incidir un haz paralelo de luz
en una pantalla opaca con un hendidura muy fina la cual difracta
la luz que después de ser refractada por una lente
convergente forma el patrón en un plano situado a la
distancia focal f de la lente llamado plano de Fourier. La
intensidad luminosa I(x´,y´) viene dada por el
cuadrado de la transformada de Fourier de la función de
transmisión t(x,y) de la hendidura:

Donde x´ e y´, coordenadas en plano de Fourier de
los puntos que conforman el patrón los cuales son funciones de las
frecuencias espaciales y de la longitud de onda ( , siendo

k=2(/(. La trasformada inversa de Fourier de la
correspondiente a la formación del patrón,
producida por una segunda lente convergente, corresponderá
a la de la formación de la imagen
definitiva.

La óptica geométrica muestra que f,
distancia focal de la lente convergente y las distancias s
objeto-lente y s´ lente –imagen están
relacionadas por la fórmula de Descartes
.

1/s+1/s´=1/f en cuya aplicación no se tiene en
cuenta para nada la formáción del patron en el
plano de Fourier. No fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX
que Abbe y Porter descubren la intervención del
patrón en la formación de la imagen final al
aplicarse el principio de Huygens- Fresnel en el proceso. La
aplicación de la teoría de Abbe-Porter y la
Óptica de Fourier ha parmitido implementar métodos de
filtrado de frecuencias en el plano de Fourier, colocando en el
mismo dispositivos como rejillas que eliminen frecuencias
perturbadoras de la calidad de la
imagen. Las posibilidades de la computación y los avances teóricos
de la "Óptica de Fourier , de los procedimientos
basados en las wavelets, de los fractales, etc. han
propiciado un notable progreso en el campo del tratamiento de
imágenes.

El otro punto que vamos a tratar, como indicamos en el
comienzo de este trabajo, se refiere a la introducción de la formulación
propia de la óptica geométrica a partir de la
óptica ondulatoria. Para ello, partirmos de la
ecuación de las ondas electromagnéticas puesto que
eleectromagnética es la naturaleza de
la luz:

Con las suposiciones que en aras del mejor entendimiento hemos
realizado faltando un tanto al rigor pero no a la descripción física, podemos observar
que r nos señala dirección del rayo perpendicular a la fase
que es como decir a la supericie de onda. dada por la
función escalar L, de manera que el gradiente de esa
función (L, nos dará el desplazamientto en la
dirección del rayo, de la superficie de onda..

Se cumplirá pues que: