Óptica de Fourier y tratamiento ondulatorio de la óptica geométrica (página 2)

Volvamos a la ecuación de la iconal. Para el caso de de
una propagación del rayo según el eje X o sea para
( valiiendo cero grados y ( noventa, con x como única
componente de r, se tendrá que por la ecuación de
la iconal:

expresión del camino óptico para un caso
particular que nos permitirá didácticamente en lo
que sigue aplicar el Principio de Fermat a la deducción de la ley de Snell y
evidenciar la formulación de la óptica
geométrica partiendo de la óptica ondulatoria.

El Principio de Fermat es una derivación
del Principio de Maupertuis el cual es mas general .Este
último puede expresarse así:

donde ð es el signo de variación,
p=mv, momento y dl elemento de longitud de la trayectoria.
Mediante (1) se determina la trayectoria del cuerpo cuyo momento
es p en su movimiento
desde A hasta B. El subíndice AB del signo integral indica
integral definida entre A y B. De ahora en adelante y por razones
de comodidad de escritura,
cada vez que aparezca el signo integral se supondrá que
ésta es definida entre A y B.

El Principio de Fermat, resulta de la
adecuación del Principio de Maupertuis a la
determinación de la marcha de la luz en
Óptica Geométrica. Para ello se considera la
naturaleza
corpuscular o cuántica de la luz según la cual a
los cuantos de luz o fotones se le asigna la llamada longitud de
onda de De Broglie:

donde h es la constante de Planck.

A todo medio de propagación de la luz la
corresponde un índice de refracción n=c/v (3) donde
c velocidad de
la luz en el vacío y v la velocidad de la luz en el medio
que se trate. Se tiene además que v=?? (4) donde ?
frecuencia de la luz.

Poniendo (4) en en (3):

que es el Principio de Fermat.

Existen diferentes procedimientos de
iniciar el tratamiento de ls Óptica Geométrica
tomando como punto de partida distintos preincipios que
alternativamente pueden servir de basamento teórico.

Algunos de esos principios pueden
utilizarse en cursos de la enseñanza media general o en estudios
universitarios que no siendo de Física, de
Optometría o de Ingeniería, requieran de algún
conocimiento
de Óptica, como pueden ser las especialidades de Biología, Química u otras
similares.

Como ejemplo de esos presupuestos
teóricos está el Teorema de Malus el cual en una
variante elemental de nuestra autoría, puede utilizarse en
los casos antes mencionados. El Teorema de Malus de la
Óptica Geométrica (no confundirlo con la Ley de
Malus de la Óptica Ondulatoria) expresa en síntesis
que un haz de rayos perpendiculares a una superficie de onda
permanecerá perpendicular a una superficie de onda
despúés de experimentar cualquier número de
refracciones o reflexiones.

Otro principio que puede servir de base
teórica en el tema que nos ocupa, es el de Huygens. Este
principio, por cierto el mas utilizado, considera que cada punto
de un frente de onda puede considerarse como un foco emisor de
ondículas la envolvente de las cuales conformará el
siguiente frente. De un defecto evidente de este aserto
volveremos a ocuparnos mas adelante. En (8) a ?n dl se le llama
longitud óptica por lo cual el Principio de Fermat se
puede enunciar así: "La longitud óptica entre un
punto A y un punto B tiene un valor
estacionario". Sabido es que en cálculo de
variaciones estacionario significa máximo o mínimo,
pero la práctica óptica sólo se tiene en
cuenta el significado de mínimo.

Veamos la comprobación del Principio de
Fermat en el caso sencillo de un rayo de luz que se refracta al
pasar de un medio isótropo de índice de
refracción n´ a otro de índice
n´´.

Tomemos como plano de incidencia el del papel .
Situemos en él los ejes coordenados XY tomando el eje X
como la representación de la superficie de
separación de los dos medios y al Y
como la normal en el origen O(0,0) de coordenadas que será
el punto de incidencia del rayo que estudiamos. Ese rayo sale del
punto A(-x,a) en el segundo cuadrante, llega a O donde se
refracta desviándose hacia la normal. y llega hasta el
punto B(d-x,-b).Sea i el ángulo de incidencia (el de AO
con la normal) y r el de refracción (el de OB con la
normal). En el punto A, el segmento AO forma también el
ángulo i con la vertical que pasa por A, y en el punto B,
el segmento BO forma un ángulo r con la vertical que pasa
por B.

Por el teorema de Pitágoras:

La longitud óptica la obtendremos dando
los siguientes pasos:

poniendo en esta igualdad
los valores
obtenidos para AO y OB y diferenciado se obtiene:

Nos damos cuenta que en la igualdad anterior, el
factor que multiplica a n´es igual a sen i y el que
multiplica a n´´ es igual a sen r, por tanto,
realizando estas sustituciones e integrando en ambos miembros en
la igualdad anterior, se tiene:

con lo cual se comprueba el Principio de Fermat
(8).

Desde el punto de vista didáctico, debemos
apuntar que el Principio de Fermat puede utilizarse para que
dándolo como conocido, o deduciéndolo como hicimos
al principio de este trabajo, a
partir de él deducir la ley de Snell. Este método
será mas adecuado que el muy utilizado para deducir la ley
de Snell mediante el Principio de Huyghens dado el inconveniente
que éste presenta de no poder
justificar el hecho de que el frente de onda sólo se
propague en el sentido que avanza el rayo.

Conclusiones

Se ha visto la aplicación de la
Óptica de Fourier a la
formación de imágenes
mediante lentes teniendo en cuenta la teoría
de Abbe-Porter. Y hemos presentado una forma que aunque a un
nivel no muy alto en el uso de las matemáticas, puede emplearse para
introducir la "Optica Geométrica" en los cursos de
Física General de los primeros años de las carreras
de Física y de Ingenie.

Bibliografía

González, A., E. Moltó et alt.
Óptica. Pueblo y Educación. La Habana.
1984.

Serway, R., J. Jewett.Physics for Scientists and
Engineers.Thomson Brooks/Cole. Belmont. 2004.

Levi, L. Applied Óptics. New York,
1968.

Tippens,P. Física, Conceptos y
Aplicaciones.McGraw-Hill.New York.2001.

Autor

Joaquín González
Álvarez

Graduado de Física y Optometría por
la Universidad de la
Habana.,

Miembro de Mérito de la Sociedad
Cubana de Física, residente en USA.