Aprender Jugando: El caso de la Geometría y el doblado de papel (página 2)

Proponemos la estrategia de "aprender jugando" , que se
remonta a Sócrates y Platón, aplicado concretamente
para el caso de la geometría el doblado y recorte de papel
(papiroflexia) resaltando la acción circular como la
morfología de la acción típica en el dominio
visible, como lo establece el concepto de la Geometría
Constructiva[6]de lo cual abundaremos mas
adelante.

Agregaremos antes otras consideraciones del campo
psicológico. Aporte indiscutido de la psicología es
la división de los estadíos inconsciente,
conciente y preconsciente de los actos mentales
humanos. Podemos decir que existe un cierto isoformismo entre
estos estadios y los estados sensible, formal y estético
(lúdico) definidos por Schiller. Por ejemplo, los
elementos comunes entre el estadío consciente y el estado
o impulso formal son muy amplios; y en el estadío
inconsciente se hallan los determinantes del impulso sensible,
aunque es posible concebir partes del impulso sensible que no lo
sean. Pero la relación entre el impulso estético
(lúdico) y el estadío preconsciente es el que
dá mas fruto. El destacado psicólogo Lawrence
Kubie, en su obra "El proceso creativo y su distorsión
neurótica"[7], sostiene que la creatividad
descansa en el estadío preconsciente, y recibe luego su
forma comunicable en el estadío consciente. El
estadío preconsciente es el encargado de unir las
distintas impresiones o datos, diríamos, en forma
multiconexa y muy veloz, para encontrar nuevas relaciones, o
isomorfismos, regularidades, y de allí nuevos conceptos
que empujen el proceso científico, tecnológico y
cultural. Se requiere en un primer momento adquirir un acervo de
impresiones muy grande, y en segundo lugar, un momento
(estadío preconsciente) en que seleccionemos y
relacionemos de la multitud informe de impresiones las
pertinentes y hagamos las relaciones, isoformismos o
metáforas adecuadas. Kubie identifica que este segundo
momento se dá típicamente en las ocasiones de
vigilia, entrando o saliendo del sueño, también se
concibe otras ocasiones diferentes en que estas
características pueden darse.

Estos dos momentos, sostengo, los podemos generar en el
Taller o Sesión de Aprendizaje, específicamente, en
el caso del aprendizaje de la Geometría en la
Educación Básica – Primaria, sobre "Aprender
Geometría doblando papel". Brindaremos el conocimiento de
muchos procesos y objetos geométricos resultantes –
por construcción – y también las conexiones
entre objetos y procesos diferentes, como esperamos demostrar con
los modelos que daremos a conocer.

Diremos también, que entre otros muchos pedagogos
se ha discutido la utilidad de la papiroflexia concretamente para
la enseñanza de las matemáticas. Según
Blanco y Otero, esta "proporciona al profesor de
matemáticas una herramienta pedagógica que les
permite desarrollar diferentes contenidos, o sólo
conceptuales, sinó de procedimientos. También
desarrolla la psicomotricidad … fina, así como la
percepción espacial." "Desarrolla la destreza manual",
añaden, "la exactitud en la realización del trabajo
y la precisión manual. Relaciona la disciplina de las
matemáticas con otras ciencias como las artes; por
ejemplo". También "motiva al estudiante a ser creativo, ya
que puede desarrollar sus propios modelos e investigar la
conexión que tiene con la geometría, no solo plana,
sino también espacial". Hernández Acosta
añade que la papiroflexia "estimula la imaginación
y la creatividad" y el "desarrollo de la destreza, la exactitud y
la precisión manual", "fomenta la capacidad de crear
modelos propios". E "impulsa la creación imaginativa, no
tanto en la búsqueda de la perfección sino en favor
de la riqueza expresiva y la variedad de formas".

Sesiones de
Aprendizaje con Geometría Constructiva.
Descripción

Las "Sesiones" o Módulos, en un total de 33,
están reseñados en el libro de mi autoría,
"Aprender Geometría doblando papel: Módulos de
aprendizaje con Geometría Constructiva". Las sesiones
han sido agrupadas en secciones que tratan de "Construcciones
básicas: polígonos", "Poliedros Básicos",
"La proporción áurea", "Simetría",
"Paralelogramos – relaciones geométricas",
"Sólidos platónicos – cono – cilindro".
El principio establecido en nuestras sesiones es no hacer uso de
definiciones, formulaciones algebraicas; se usan cantidades
numéricas en lo estrictamente necesario sólo para
que el docente disponga los materiales adecuándolos al uso
de los alumnos. Se trata de construir las formas
geométricas con el doblado — y recorte – de papel,
partiendo de una hoja de papel cortada en forma circular, o
también, cuadrada (que sale a su vez de la forma
circular). El maestro da las indicaciones a los alumnos, pudiendo
escoger no decirles "vamos a construir tal figura…", sino "si
hacemos de esta manera, ¿qué figura nos
saldrá?", para que el alumno vaya descubriendo mas
espontáneamente el resultado del proceso de
construcción que está ejecutando. A la medida del
avance, el alumno va descubriendo las relaciones – por
ejemplo, como un cuadrado está relacionado con un
octógono; como un triángulo equilátero con
su circunferencia inscrita –. Si se desea, se puede ir
introduciendo los nombres de los nuevos objetos o nuevas
relaciones que se van descubriendo. Aún en el caso que no
se den los nombres, el efecto seguirá siendo el mismo. La
idea es que el alumno sea puesto en contacto mediante su propia
actividad de construcción, con el despliegue de su
imaginación, con las formas presentes en la naturaleza,
mediante una actividad libre pero reflejante de las leyes
naturales[8]

Este aprestamiento le permitirá conocer procesos
y conceptos que después hallarán en la
química, la biología, la arquitectura, el arte, el
diseño industrial y de ingeniería, etc. Es decir,
se les dará las primeras impresiones y relaciones de los
conocimientos que posteriormente – en la educación
básica secundaria y educación superior –
verán y someterán a definiciones y tratamiento
formal.

A su vez, estas sesiones se convierten en ejercicios
artísticos (estéticos), porque las armonías
y regularidades permiten poner en juego la sensibilidad
estéticas, y más si hacemos uso profuso de los
colores y de la imaginación, para convertir las formas
geométricas en "casitas", "barcos", "pelotas", "planetas",
"platos", etc.

Objetivos de las
Sesiones

Las Sesiones buscan un aprestamiento que permita al
niño, guiado por su maestro, conocer, mediante su
actividad lúdica y estética, procesos y conceptos
geométricos que después hallarán en las
diversas disciplinas científicas y tecnológicas,
como la química, la botánica, la biología,
la astronomía, la arquitectura, el arte, el diseño
industrial y de ingeniería, etc.

El alumno reconocerá el resultado de su
acción de construcción, las formas
geométricas, como los polígonos y los poliedros,
hasta reconocer e identificar sus propiedades, elementos y
relaciones, como resultado de la propia acción de
construcción.

Ejemplos de
Sesiones de Aprendizaje

"Construyendo y Conociendo un
triángulo regular mediante el doblado de papel"

"Construyendo y Conociendo un
exágono y un octágono regular mediante el doblado
de papel"

"Construyendo un tetraedro
regular"

Otras
experiencias y ejemplos

Del gran acervo de experiencias de aplicación de
la geometría constructiva y de la papiroflexia, que
atestiguan cientos de sitios web alrededor del mundo, y que
están al alcance de los lectores en cualquier buscador
digitando "papiroflexia+matemáticas", tomaremos
algunas.

1.- La de mas impacto para el autor fueron las decenas o
cientos de exposiciones, talleres, clases sobre la
geometría constructiva, entre otros temas, llevados a cabo
internacionalmente por el Instituto Schiller[9].
Una parte de estas actividades se dieron con niños del
nivel primario, especialmente en los EE.UU., de lo cual quedaron
testimonios escritos y gráficos publicados en revistas
como Fidelio, XXIst. Century Science & Technology , New
Federalist, El Federalista, etc. En el Perú, la actividad
mas significativa fue el Taller de Invierno 2005 llevado a cabo
con niños de entre 6 y 12 años por el Instituto
Schiller – Capítulo Peruano y la Comisaría de
la Policía Nacional de Miraflores, céntrico
distrito de Lima, capital del país. El Taller
incluyó bel canto, flauta dulce y geometría
constructiva; llevándose a cabo en sesiones consecutivas
los días sábado entre los meses de julio y
diciembre de 2004. Un reporte sobre el mismo fue publicado en la
revista Resumen Ejecutivo[10]La parte de la
geometría constructiva, llevada a cabo según un
guión del autor, similar a las "Sesiones", se dedicaron en
especial a la construcción de los sólidos
platónicos. Era notable que, al dársele la consigna
y organizándolos en grupos, el trabajo cooperativo era muy
animado. Las clases, que iban después de las de bel canto
y flauta, se extendían por dos horas, cuando sólo
se había programado una sólo. "¿Podemos
hacer un sólido regular con 8 triángulos?", se les
preguntaba a los niños, que competían para hacerlo
con triángulos de cartulina dúplex con
pestañas que se unían mediante ligas de goma. El
orgullo de los niños mostrando sus octaedros era
conmovedor, los niños experimentaron y expresaron
notablemente la alegría del descubrimiento.

El año 2002, el autor, junto con el ingeniero
Alembert Pacora, en una visita a la Provincia de Sullana,
Departamento de Piura, Perú, sustentaron una conferencia
en el Salón de Actos de la Municipalidad Provincial ante
un público mixto de estudiantes y adultos, mayormente,
maestros. Allí, decenas de jóvenes construyeron,
sólo doblando un círculo de papel, un
triángulo equilátero y un tetraedro (con la
consigna que figura en los ejemplos del presente trabajo),
revisando los conceptos de línea, ángulo, y otros
que fueron apareciendo. "Hemos pasado en un momento de la
geometría que se enseña en primaria a la de la
secundaria", comentó uno de los profesores
asistentes.

2.- El antecedente mas importante es el del hindú
Sundara Row, y su libro "Construcciones geométricas en
doblado de papel", en idioma ingles sin traducción
castellana. Row llega a la conclusión que
prácticamente todos los contenidos de la Elementos de
Euclides pueden construirse mediante doblado de papel. Sin
embargo, Row se limita a usar papel cuadrado, perdiéndose
de la vuelta al origen de la "Esférica" que se refleja si
usamos papel cortado el círculo.

3.- Otro enfoque interesante es el de Víctor
Larios y Noraisa González (ver bibliografía), de la
Universidad Autónoma de Querétaro, en su paper "El
doblado de papel: una experiencia en la enseñanza de la
geometría", con ejemplos de aplicación a
paralelogramos, aplicando los conceptos de los profesores
holandeses esposos Van Hiele. Ambos tienen una página web
muy interesante llamada Doblando la Geometría
(www.uaq.mx/matematicas) Larios también publicó en
internet propuestas muy interesantes de talleres de
construcción de polígonos con doblado de papel. Sin
embargo, Larios y González se limitan a la
"enseñanza de la geometría euclidiana", lo que
implica un enfoque que excluye el concepto escogido por mi y
muchos otros y muy reconocidos antes que yo de una
geometría constructiva no axiomática.

4.- Notable es el libro de Donovan A. Jonson,
"Matemáticas mas fáciles doblando papel", que fue
promovida por le Consejo Nacional de Profesores de
Matemáticas de los Estados Unidos. De este libro,
podríamos comentar lo mismo que del trabajo anterior. En
su edición en español, también se
acompaña por el libro de Magnus Wenninger,
"Matemáticas más fáciles construyendo
poliedros", que es de mucha utilidad y muy
recomendable.

5.- Hay cientos o miles de experiencia recogidas en
internet sobre "papiroflexia modular", y temas como modelos
moleculares, modelos de arquitectura con papiroflexia – por
ejemplo, cúpulas geodésicas con papiroflexia
realizadas en España en un colegio de secundaria, o
modelos del ADN doblando papel. En Japón, la unión
entre papiroflexia (origami) y matemáticas está muy
trabajada, existiendo comisiones para el tema dentro de las
sociedades de origami. Estas experiencias, dijimos, están
al alcance de los lectores en cualquier buscador digitando
"papiroflexia+matemáticas".

Conclusiones y
recomendaciones

• La estrategia del "Taller de Geometría
  Constructiva para aprender Geometría doblando papel",
  como aplicación del concepto de "aprender jugando", es
  muy apropiada para el aprestamiento a la geometría de
  los niños de educación básica regular
  –primaria, a la luz del marco teórico presentado
  y de las experiencias exitosas reseñadas.

• Recomendamos a los profesores de primaria el
  tratamiento de los contenidos de geometría del
  currículo bajo los conceptos presentados y usando los
  moldes propuestas

• Recomendamos a los profesores de primaria adaptar
  las 33 sesiones del libro "Aprender Geometría doblando
  papel. Módulos de Aprendizaje con Geometría
  Constructiva", para su aplicación con su grupo
  clase.

• Recomendamos a las instituciones educativas de
  primaria la organización de Talleres de
  Geometría Constructiva usando los modelos propuestos
  y/o los contenidos en el libro Aprender Geometría
  doblando papel, y/o de la bibliografía arriba
  mencionada, ó creando nuevas sesiones con similar
  enfoque.

• Recomendamos a los profesores que hallan aplicado
  estas indicaciones comuniquen sus resultados para su mejora
  permanente y para alentar a los demás profesores a
  hacer lo mismo.

Bibliografía

• Schiller, Federico. La Educación
  Estética del Hombre en una serie de Cartas, Madrid
  1920, Editorial Calpe

• Platón, "La
  República". En: "Diálogos"; Ed, Porrúa,
  Ciudad de México, Vigésima edición;
  1984

• Platón: "Las Leyes. Epinomis. El
  Político". Cuarta Edición. Editorial
  Porrúa S.A. Ciudad de México, 1985.

• Kubie, Lawrence, "El proceso creativo, su
  distorsión neurótica". Editorial Pax, Ciudad de
  México, 1966.

• Hidalgo, Manuel, "Aprender Geometría
  doblando papel: Módulos de aprendizaje con
  Geometría Constructiva". Editorial AMEC, Lima,
  2006.

• Hidalgo, Manuel, Sesiones de Aprendizaje con
  Geometría Constructiva, sitio web ubicado en:
  http://es.geocities.com/mhidalgot7

• González, Noraísa y Víctor
  Larios, "El doblado de papel: una experiencia en la
  enseñanza de la geometría". En: Revista
  Electrónica de Didáctica de las
  Matemáticas. Año 1, num. 2. Enero 2001.
  Universidad Autónoma de Querétaro. Consultado
  en:
  consultado el 10/Oct/2005.

• Jonson, Donovan A.,
  "Matemáticas mas fáciles doblando papel",
  Barcelona, 1975, Editorial Dinstein.

• Wenninger, Magnus,
  "Matemáticas más fáciles construyendo
  poliedros", En: Jonson, Donovan A.,
  "Matemáticas mas fáciles doblando papel",
  Barcelona, 1975, Editorial Dinstein

• Row, Sundara, "Geometrical
  exercises in paper folding", The Open Court Publishing
  Company, Chicago, 1917

• Delgado, Mª Laura, y Soledad
  Zapatero y Fiol, Mª Lluisa, "El origami
  (papiroflexia) recurso didáctico para el aprendizaje
  de la Geometría". Consultado el 20/Marzo/2006 en :
  
  www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/archivos2/DelgadoZapFiol03.pdf.

• Blanco García, Covadonga y
  Teresa Otero Suárez. Geometría con papel
  (papiroflexia matemática)…. . En :
  webpages.ull.es/users/imarrero/sctm05/modulo3tf/1/cblanco.pdf.
  Consultado el 27 de octubre de 2006.-

Hernandez Acosta, Ramón.
Matemáticas y Papiroflexia En:
http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2006/junio/nosotros121.htm.
Consultado el 27 de octubre de 2006.-

Autor:

Manuel Hidalgo Tupia

mhidalgot[arroba]hotmail.com

Manuel Hidalgo Tupia, nació en Lima,
Perú, 1962. Egresado de la maestría en
Educación en la Universidad Cesar Vallejo Lima Norte.
Economista y además con estudios de Ingeniería
Industrial. Colaboró con distintos programas de
educación "informal" organizados por el Instituto Schiller
– Capítulo Peruano. Investigador, redactor y traductor en
la revista EIR Resumen Ejecutivo. Ha sido profesor en su
especialidad en la Universidad Nacional Federico Villarreal y
otras instituciones educativas.

Autor del libro "Aprender Geometría
doblando papel"; actualmente se desempeña como asesor
metodológico y docente en diferentes instituciones de
educación superior en Lima – Perú.

[1] Schiller, Federico. La Educación
Estética del Hombre en una serie de Cartas, Madrid 1920,
Editorial Calpe. Hay ediciones posteriores en Editorial
Aguilar, p. 83.

[2] Platón, “Las Leyes o de la
Legislación”, Libro VII, pp. 157 – 158. En:
Platón: “Las Leyes. Epinomis. El
Político”. Cuarta Edición. Editorial
Porrúa S.A.. México, 1985.

[3] Platón, “La
República”, Libro VII. En:
“Diálogos”; Ed, Porrúa,
México, Vigésima edición; 1984, p. 566

[4] “… el ideal de la belleza , que
la razón construye, exige un impulso iedal de juego,
que, en todos sus juegos, debe el hombre tener muy
presente”, dice Schiller, Op. Cit., p.82

[5] Op. Cit., pag. 80

[6]
Geometría“constructiva” o
“sintética”….. “….significa un
sistema de representación inteligible tanto del dominio
geométrico abstracto como del dominio físico,
exclusivamente mediante la construcción basada completa
y originalmente en un principio único de acción
universal, por ejemplo, el principio
“isoperimétrico” o del “mínimo
máximo” de Nicolás de Cusa (La Docta
Ignorancia), y el principio de acción mínima de
Gottfried Leibniz”. “Esta es también la
definición de una verdadera “geometría no
euclidiana”, definición que excluye la dependencia
de un conjunto de axiomas y postulados, y prohíbe el uso
de los métodos de la lógica deductiva, salvo
negativamente, en su totalidad.”. Lyndon H. LaRouche,
“En defensa del Sentido Común”, Instituto
Schiller, Washington D.C., 1992, página. V.

[7] Kurt Lewin, “El proceso creativo y
su distorsión neurótica”

[8] La teoría de la Gestalt sostiene
entre otras muchas cosas que el individuo posee en su mente las
formas básicas de la Naturaleza, en forma innata.

[9] Ver: http://www.schillerinstitute.org Hay
un enlace a las páginas en castellano.

[10] Perales, Teresa, “¡Hagamos
de cada niño un genio!”, En.: EIR Resumen
Ejecutivo, Vol. XXI, n. 21, 1ª quincena de noviembre de
2004, ,p. 34 y 35