El problema de la dieta: aplicaciones de programación lineal en la crianza animal

Desde un punto de vista económico,
la programación lineal es tal vez el avance
matemático más importante del siglo XX.

Si preguntas algo como: ¿Que
invención de la segunda guerra mundial permite el balanceo
de una dieta animal … Posiblemente te pase por la mente
escenas de la serie de televisión combate o de la
película la lista de shindler .Y luego quedes confundido
.Pero en 1947 George B. Dantzig propone un modelo
matemático para optimizar el entrenamiento, abastecimiento
logístico y movimiento de tropas en la Fuerza Aérea
de los EEUU. Reemplazando el uso de reglas empíricas
subjetivas por desigualdades lineales y una función
objetivo.

Desarrolla luego un método de
solución: El algoritmo del simplex.

George B. Dantzig

(1914 – 2005)

Hablemos de
matemática

Un problema de programación lineal
es un problema de optimización donde: Se pretende
maximizar o minimizar (Mínimo costo o máximo
beneficio por ejemplo.).

• A la expresión matemática
  de nuestro problema le llamaremos función objetivo. (
  función costo o función rentabilidad por
  ejemplo ).

• A nuestros parámetros les
  llamaremos restricciones.( no mas de , solo una vez , no
  superior a ,por ejemplo . ). Cada una de las restricciones
  será una ecuación lineal o una desigualdad
  lineal en las variables de decisión.

• Llamaremos Región Factible a un
  área donde todas las líneas constituidas por
  las restricciones crean una figura que las cumple y
  hallaremos una respuesta posible en cada intersección
  de ellas determinando la mínima o
  máxima.

A este punto es difícil entender que
es el simplex y como funciona .Pero veamos el primer problema de
la dieta planteado por el matemático Stigler:

"El problema de
la dieta" de Stigler

Objetivo:

Encontrar la combinación de
alimentos de costo mínimo que permita satisfacer nueve
requerimientos nutricionales básicos de una persona de
peso promedio.

Motivación:

Reducir costos en el abastecimiento de
tropas.

Modelación
matemática

Función objetivo :

min. x1 + x2 ( Buscar el mínimo
costo al combinar cantidades x de alimento por su costo
unitario)

Restricciones :

2×1 + x2 = 3 ( Requerimiento mínimo
de proteína )

x1 + 2×2 = 3 ( Requerimiento mínimo
de carbohidratos )

x1 = 0 ( cantidad mínima de papas en
la dieta )

x2 = 0 (Cantidad mínima de
fréjoles en la dieta )

En su intento por resolverlo, Stigler
obtiene una de las primeras formulaciones de programación
lineal : con 77 variables y 9 restricciones. Encuentra una
solución por métodos heurísticos: $39.93 en
1939.

Algunos años después Laderman
en 1947 usó el simplex para encontrar la solución
óptima siendo el primer cálculo a gran escala que
preciso de 120 días-hombre empleando 10 calculadores de
escritorio manuales con $39.69 sólo 24 ctvs. más
barato que Stigler.

Claro el avance de la computación
hace de estas experiencias simplemente anecdóticas. Pero
la idea básica es la misma .Ahora veamos un ejemplo donde
la programación lineal cobra importancia .

Un ejemplo :

Alimento Balanceado Para Pollos (1- 21
días) a su Mínimo Costo

El Crecimiento De Los Pollos Depende De Una
Sólida Alimentación Que Cumpla Los Requerimientos
Nutritivos De Los Mismos .Este ejemplo desarrolla un balanceo
simple de dos alimentos con restricciones de energía ,
proteína y metionina..

Tomemos en cuenta que el método de
cuadrado pearson no puede dar una solución con más
de un requerimiento y tampoco asegura una respuesta mínima
en función al costo.

El cuadro 1 muestra las exigencias
nutricionales mínimas de pollos de cría (1 a 21
días ) .

Para producir la ración balanceada
se usara maíz y soya .El cuadro 2 muestra la
composición nutritiva de estos dos insumos .Y el cuadro 3
presenta el precio por Kg. . de cada uno .

Ahora modelemos el problema diciendo que :
x,y son Kg. . de alimento , el cual claro debe ser mayor igual a
0 (Puede ser que solo uno de ellos cumpla los requerimientos que
buscamos ).