Distribuciones de probabilidad discreta (página 2)

Definición: Para una variable
aleatoria discreta con valores posibles y sus posibilidades
representadas por la función de masa p (xi) la esperanza
se calcula con una variable aleatoria continua la esperanza se
calcula mediante la integral de todos los valores y la
función de densidad , o La esperanza también se
suele simbolizar con Las esperanzas para se llaman momentos de
orden . Más importantes son los momentos
centrados.

Propiedades La esperanza es un operador
lineal, ya que: Combinando estas propiedades, podemos ver que
donde e son variables aleatorias y dos constantes
cualesquiera.

Varianza y
desviación estándar

VARIANZA

Esta medida nos permite identificar la diferencia
promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su
punto central (Media Este promedio es calculado, elevando cada una
de las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos
negativos), y calculando su promedio o media; es decir, sumado
todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a
la media y dividiendo este resultado por el número de
observaciones que se tengan. Si la varianza es calculada a una
población (Total de componentes de un conjunto), la
ecuación sería:

Ecuación
5-6

 Donde () representa la varianza, (Xi) representa cada
uno de los valores, () representa la media poblacional y (N) es el número
de observaciones ó tamaño de la población.
En el caso que estemos trabajando con una muestra la
ecuación que se debe emplear
es: 

Ecuación
5-7

 Donde (S2) representa la varianza,
(Xi) representa cada uno de los valores, () representa la media
de la muestra y (n) es el número de observaciones ó
tamaño de la muestra. Si nos fijamos en la
ecuación, notaremos que se le resta uno al tamaño
de la muestra; esto se hace con el objetivo de aplicar una
pequeña medida de corrección a la varianza,
intentando hacerla más representativa para la
población. Es necesario resaltar que la varianza nos da
como resultado el promedio de la desviación, pero este
valor se encuentra elevado al cuadrado.

 Desviación estándar o
Típica

Esta medida nos permite determinar el promedio
aritmético de fluctuación de los datos respecto a
su punto central o media. La desviación estándar
nos da como resultado un valor numérico que representa el
promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para
calcular la desviación estándar basta con hallar la
raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su
ecuación sería:

Ecuación
5-8

  Para comprender el concepto de las
medidas de distribución vamos a suponer que el gerente de
una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los
pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por
lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para
pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500,
510, 515 y 520) gramos respectivamente.

 Por lo que su media
es: 

 La varianza sería:

Por lo tanto la desviación estándar
sería:

Con lo que concluiríamos que el peso promedio de
los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por
debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta
información le permite al gerente determinar cuánto
es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los
empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios
en el proceso de empacado.

Función de
probabilidad discreta

Denotaremos como   a la probabilidad de que la
variable aleatoria tome el valor  

Se llama función de probabilidad
de una variable aleatoria discreta   a la aplicación que
a cada valor de   de la variable le hace corresponder la
probabilidad de que la variable tome dicho valor:

Por definición, deducimos que si
  son los
valores que puede tomar la variable   entonces:

Ya que esta suma es, en realidad, la
probabilidad del suceso seguro.

Ejemplo:

En el experimento de lanzar tres monedas al
aire, la aplicación   que asigna a cada resultado el
numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este
caso:

Observa que  

Función de
distribución acumulativa

La gráfica de la función
distribución acumulada de una variable discreta es siempre
una gráfica escalonada.

Función distribución
para la variable aleatoria del ejemplo

Distribución de probabilidad
binomial

Esta distribución se basa en el
proceso de Bernoulli. Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a
todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas,
caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en
si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios
e independientes.

Para identificar un proceso Bernoulli en
una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres
condiciones:

• Resultados dicotómicos:
  Los resultados de cada prueba se pueden clasificar en
  "éxito" si verifican cierta condición, o
  "fracaso" en el caso contrario.

• Independencia de las pruebas: El
  resultado de una prueba cualquiera es independiente del
  resultado obtenido en la prueba anterior, y no incide en el
  resultado de la prueba siguiente.

• Estabilidad de las pruebas: La
  probabilidad p de obtener un resultado considerado como un
  éxito se mantiene constante a lo largo de toda la
  serie de pruebas.

Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se
desea saber la probabilidad de obtener exactamente r
éxitos, en una serie de n pruebas, con una
probabilidad de éxito p, se puede aplicar la
fórmula de la probabilidad binomial:

Veamos el siguiente ejemplo:

Sea el caso de una drogaX, con una dosis
mortal de 1g/100 ml para cobayos experimentales, en el 25% de los
casos. Aplicando esta dosis a cien cobayos se desea saber cuanto
vale la probabilidad de que mueran veinte de ellos.

Primero analizaremos si este caso cumple
los supuestos básicos de una distribución
binomial:

• Los cobayos mueren (éxito) o
  sobreviven (fracaso).

• Que un cobayo muera con la dosis, no
  significa que lo hará el siguiente ( independencia)
  pues no se trata de una epidemia.

• La probabilidad de que mueran se
  mantiene constante a lo largo de la serie de pruebas (p =
  0,25).

Entonces, como si cumple los supuestos
básicos, aplicamos la formula:

Distribución de probabilidad
Poisson

Se denominan procesos de tipo Poisson, a
todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas
dentro de un continuo, caracterizadas por tener resultados que se
pueden clasificar en si verifican o no, cierta propiedad o
atributo, siendo aleatorios e independientes del lugar que
ocurren dentro del continuo.

Para identificar un proceso Poisson en una
serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres
condiciones:

• Sucesos puntuales: Los
  sucesos ocurren dentro de un continuo (espacio o tiempo) y
  ocupan una parte infinitesimal del mismo. Es decir, en el
  espacio un suceso es puntual y en el tiempo es
  instantáneo. En términos prácticos, los
  sucesos no ocupan una parte apreciable del
  continuo.

• Sucesos independientes: La
  ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo no
  condiciona la ocurrencia del anterior (o del siguiente) en
  otra parte del mismo.

• Probabilidad constante: La
  probabilidad de ocurrencia de un suceso en un lugar del
  continuo es la misma en todo punto del mismo.

Son ejemplos de este tipo de
proceso:

• la llegada de pacientes a una cola o
  línea de espera,

• los accidentes en una ruta,
  etc.

Esta probabilidad se aproxima la
binomial cuando la probabilidad de éxito es muy
pequeña, por eso muchos la llaman: la "binomial de los
sucesos raros".

Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se
desea saber la probabilidad de obtener exactamente x
éxitos en un intervalo de tiempo, con un promedio de
eventos esperados l , se puede aplicar la fórmula de la
probabilidad de Poisson:

X = 0, 1, 2, …., n

e = 2.71828 (es una constante, la base de
los logaritmos naturales)

Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que estamos investigando la
seguridad de una peligrosa intelección de calles, los
registros policíacos indican una media de 5 accidentes
mensuales en esta intersección.

El departamento de seguridad vial desea que
calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran
exactamente 3 accidentes.

Analizando el problema, este
situación se ajusta a un proceso de Poisson, hay una
secuencia de llegada (por mas que exista un choque
múltiple, siempre hay uno que choca primero). Tenemos la
siguiente información:

l = 5 accidentes por mes

x = 3 accidentes por mes

Aplicando la formula de la probabilidad de
Poisson:

Autor:

Mayra Elizabeth Avila
Beltran