Ejercicios sobre funciones numéricas para las pruebas de ingreso a la educación superior (página 2)

En el caso del Instituto Preuniversitario Vocacional de
Ciencias Exactas "Revolución Húngara de 1919" los
estudiantes también presentan insuficiencias en el dominio
de los contenidos relacionados con las funciones, que se
adquieren o debían adquirir en grados anteriores
evidenciadas en los distintos controles realizados. Con la
aplicación de diferentes instrumentos como la prueba
pedagógica de entrada, entrevistas a profesores y
encuestas se detecta que los estudiantes presentan dificultades a
la hora de trabajar con la representación gráfica
de las mismas, de determinar los puntos necesarios para
representarlas, a la hora de trazar la curva, no tienen claro las
condiciones que cumplen los parámetros que afectan
directamente a la "x" y a la "y" en las distintas funciones
estudiadas, además aún los estudiantes no dominan
el trabajo con las propiedades fundamentales. En el caso de doce
grado, se dificulta la sistematización de este contenido
debido a la carencia de ejercicios con este fin que hay en los
materiales que ellos tienen a su alcance.

Del análisis anterior surge el problema
científico de la investigación relativo a
¿Qué características deben poseer los
ejercicios de un sistema para desarrollar habilidades en la
representación gráfica y determinación de
propiedades globales de las funciones en la preparación de
los estudiantes de 12. grado del IPVCE "Revolución
Húngara de 1919" para la prueba de ingreso a la
Educación Superior?

El objeto de investigación es el
desarrollo de habilidades matemáticas con funciones y el
campo de investigación es el desarrollo de
habilidades en la representación gráfica y
determinación de propiedades globales de las funciones en
la preparación de los estudiantes de 12. grado del IPVCE
"Revolución Húngara de 1919" para la prueba de
ingreso a la Educación Superior.

La línea de investigación es
problemas del aprendizaje en la educación
preuniversitaria.

El objetivo de la investigación es
proponer un sistema de ejercicios que desarrollen habilidades en
la representación gráfica y determinación de
propiedades globales de las funciones en la preparación de
los estudiantes de 12. grado del IPVCE "Revolución
Húngara de 1919" del municipio Melena del Sur para la
prueba de ingreso a la Educación Superior.

Definición de la
variable

En la presente investigación se declara como
variable el desarrollo de habilidades en la representación
gráfica y determinación de propiedades globales de
las funciones.

Los métodos aplicados en la
obtención, procesamiento y análisis de los
resultados son los teóricos, empíricos y
matemático – estadísticos.

Los instrumentos utilizados en el proceso investigativo
fueron los siguientes: guía de observación a
clases, cuestionario de encuesta a estudiantes y a docentes,
guía de entrevista a estudiantes y a docentes y pruebas
pedagógicas (inicial, intermedia y final).

La población la constituyen los 147 estudiantes
de 12. grado y la muestra empleada en la investigación se
resumen a los 36 estudiantes del grupo 10 de doce
grado.

La importancia de esta investigación consiste en
darle una posible solución a la insuficiencia de
ejercicios para desarrollar habilidades matemáticas con
relación a la representación gráfica y
determinación de propiedades globales de las funciones,
objetivo que ha sido considerado como insuficiente en los
resultados de prueba de ingreso de la asignatura y que con esta
propuesta se trabajará con mayor profundidad incrementando
el nivel de asimilación durante toda la unidad del
programa donde se trabaja. Se puede añadir que el sistema
permite darle atención diferenciada a aquellos estudiantes
que no han podido vencer las dificultades que se observan con la
representación de las funciones desde las más
simples hasta las más complejas.

El aporte práctico de esta propuesta
consiste en que se presenta un sistema de ejercicios para
desarrollar habilidades sobre la representación
gráfica y determinación de propiedades globales de
las funciones, en la preparación de los estudiantes de 12.
grado para las pruebas de ingreso a la Educación Superior.
Ofrece en sí ejercicios pocos tratados que podrían
introducirse en la práctica educativa de los
preuniversitarios y contribuir a obtener mejores resultados en
este contenido. Los ejercicios que ofrece este sistema son
variados, suficientes y diversificados, desarrollados en forma de
preguntas cerradas como verdaderos o falsos y seleccionar,
así como preguntas abiertas.

Desarrollo

Con una población de 135 estudiantes de
duodécimo grado y una muestra empleada en la
investigación de 30 estudiantes del grupo 11 de doce
grado, se aplicaron instrumentos utilizando diferentes
métodos que arrojaron como resultado la existencia real
del problema.

La variable de esta investigación es el
desarrollo de habilidades matemáticas en la
representación gráfica y análisis de
propiedades.

Dimensiones Indicadores

Representación gráfica 1.-
Determinación de puntos característicos.

2.- Representación gráfica de los
puntos.

3.- Esbozo del gráfico.

Análisis de propiedades 4.- Conocimiento de las
propiedades.

5.- Aplicación de las propiedades.

La prueba pedagógica de entrada demostró
que la variable de desarrollo de las habilidades
matemáticas en la representación gráfica y
análisis de propiedades se comportaba de forma
ineficiente.

La propuesta consiste en un sistema de ejercicios que
contiene ejercicios variados, de diferentes niveles de
desempeño para desarrollar habilidades en la
representación y análisis de propiedades de las
funciones lineales, cuadráticas, cúbicas,
proporcionalidad inversa, raíz cuadrada, raíz
cúbica y modular. Este sistema de ejercicios incluye
además el aspecto semántico de las funciones, sus
características y sus propiedades.

Desde el punto de vista filosófico la
fundamentación de esta propuesta responde a la
formación del hombre integral, al darle la posibilidad de
prepararlo adecuadamente al enfrentar su futuro como
profesional.

Desde el punto de vista pedagógico y
psicológico el sistema de ejercicios se refiere a la Zona
de Desarrollo Próximo que es cuando el estudiante aprende
lo que le falta con la ayuda de sus compañeros,
realizándose un aprendizaje consciente.

Desde el punto de vista didáctico el sistema
proporciona la posibilidad de motivar a los estudiantes por el
desarrollo de estas habilidades al comenzar de lo simple a los
más complejo con ejercicios dinámicos y
motivadores.

El sistema de ejercicios se apoya en una reseña
histórica de las funciones y contiene un resumen de los
principales conceptos tratados en la Enseñanza Media sobre
el tema en cuestión.

Propuesta

SISTEMA DE EJERCICIOS SOBRE REPRESENTACIÓN
GRÁFICA Y ANÁLISIS DE PROPIEDADES DE LAS
FUNCIÓNES NUMÉRICAS.

Reseña histórica de las
funciones:

Las correspondencias son tratadas desde que los infantes
comienzan a relacionarse con el mundo, así como por
ejemplo, reconocen que a cada hijo le corresponde una madre y un
padre, que a cada familia le corresponde un hogar y muchas otras
que pudieran establecerse. Pero no es hasta que ingresan en la
escuela que conocen la importancia que tienen las
correspondencias en matemática; para ello basta
señalar que con ayuda de estas se puede definir uno de los
conceptos más importantes de dicha ciencia, el concepto de
función. Este data desde el nacimiento del hombre aunque
por muchas décadas no hubo un progreso esencial en su
definición el cual está implícito en las
matemáticas desde las primeras civilizaciones que datan
del año 1900 a.n.e.

Este concepto se conserva a lo largo de la historia de
la matemática tal es así que René Descarte
(1596 – 1652) en su geometría muestra que tiene la
idea intuitiva de la variable y función.

Sin embargo, la palabra función fue introducida,
por el matemático alemán G.W.Leibniz (1646 –
1716) quién la utilizó en 1694 para designar la
dependencia entre los valores de las abscisas y los puntos de la
representación gráfica, así como para
designar algunas fórmulas matemáticas. Más
tarde la aplicaron los hermanos Jacob y John Bernoulli para
describir varios segmentos relacionados con puntos de una curva.
En 1718, John Bernoulli planteó una definición de
función independientemente de representaciones
geométricas, y Euler, quién fue su alumno,
precisó esta definición.

En 1837 Dirichlet dio una definición de
función que desempeñó un papel importante en
la historia del Análisis Matemático. Sin embargo
por largo tiempo se ignora que Nikolai I. Lobatchevsky, gran
matemático ruso, planteó en 1834 esta idea de una
forma reprobable.

En el renacimiento, el desarrollo del simbolismo
algebraico y el perfeccionamiento de la trigonometría
contribuyen a que los matemáticos se interesaran por
estudiar las relaciones entre cantidades de magnitudes como en
los estudios de Galileo Galilei (1564 – 1642) sobre el
movimiento de los cuerpos materiales puso de manifiesto el
interés de estudiar las relaciones que tenían la
forma de razón o proporción.

Función es un término usado para indicar
la relación o correspondencia entre dos o más
cantidades. El matemático francés René
Descartés lo utilizó para designar una potencia xn
de la variable x. En 1694 el matemático Gottfried Wilhelm
Leibniz utilizó el término para referirse a varios
aspectos de una curva, como su pendiente.

Hasta recientemente, su uso más generalizado ha
sido el definido en 1829 por el matemático alemán
Meter Dirichlet que entendió la función como una
variable, llamada dependiente, cuyos valores son fijados o
determinados de una forma definida según los valores que
se asignan a la variable independiente x, o a varias variables
independientes x1,x2,…, xk.

Un problema muy importante surgido en el siglo XIX
relacionado con el movimiento de vibraciones de un muelle fue el
de definir el significado de la palabra función.
Diferentes matemáticos intervinieron en el problema donde
se destacaron Euler, Lagrange y Furrier, pero fue el
matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien
propuso su definición en los términos
actuales.

En este sistema de ejercicios repasarás el
concepto de función y profundizarás en la
representación y análisis de propiedades de las
funciones numéricas tratadas en el
preuniversitario.

RESUMEN IMPORTANTE

Correspondencias:

Una correspondencia entre un conjunto A y otro conjunto
B (B puede coincidir con A) se designará por una letra
minúscula en general (f, g, ect.), y es una ley que
permite relacionar cada elemento de A con otro u otros de
B.

Ejemplos:

Se escribe, por ejemplo, f(A)=8 y se dice que 8 es la
imagen de A, y que A es una preimagen o antiimagen de
8.

APLICACIONES O FUNCIONES

Las aplicaciones son un tipo particular, muy utilizado,
de correspondencias. Se definen del modo siguiente:
Aplicación es toda correspondencia que asigna a cada
elemento de A un único elemento de B.

Otra forma de definir las funciones o aplicaciones es la
utilizada como pares ordenados la cual plantea que una
función f: A(B es un conjunto de pares ordenados ( x ; y )
tal que cada xX
aparece como la primera coordenada de solo un par
ordenado.

Al conjunto A se le llama dominio de la función y
a sus elementos se les llama elementos o preimágenes. A
los elementos de B que son correspondientes de algún
elemento de A, se les llama imágenes y al conjunto de
ellos se le denomina conjunto imagen o codominio.

Las funciones se pueden representar a través de
diagramas de Venn, tablas gráficos cartesianos, ecuaciones
y en forma descriptiva.

A las funciones cuyo dominio e imagen son conjuntos
numéricos se les llama funciones
numéricas.

Las funciones que se estudian en el nivel medio superior
son:

• Funciones lineales o afines.

• Funciones potenciales:

• Funciones exponenciales.

• Funciones logarítmicas.

• Funciones irracionales.

• Funciones Trigonométricas.

Clases de aplicaciones:

• Inyectivas. Una aplicación es inyectiva si
  cada elemento del segundo conjunto es imagen como
  máximo de un elemento del primer conjunto.

Desde el punto de vista algebraico es inyectiva si
elementos diferentes tienen imágenes diferentes, en la
práctica es cómodo utilizar el
contrarrecíproco: es inyectiva si f(x1) =f(x2) se deduce
que x1 = x2. Geométricamente esto significa que las
paralelas al eje x cortan a la gráfica de f e un
único punto.

• Exhaustiva, epiyectivas o sobreyectivas. Una
  aplicación es sobreyectiva si todo elemento del
  segundo conjunto es imagen de algún elemento del
  primer conjunto.

Biyectivas. Se llama así a toda aplicación
que es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Una aplicación
f: N(M es biyectiva si ningún elemento de N es imagen de
más de un elemento de M y todos los elementos de N son
imagen de algún elemento de M.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Conjunto de partida. Conjunto A

Conjunto de llegada. Conjunto B

Dominio: conjunto de elementos del conjunto A que
tienen imagen en el conjunto B, o sea, elementos para los cuales
está definida la aplicación o
función.

Imagen: conjunto de elementos del conjunto B que
son preimágenes de algún elemento de A.

El dominio e imagen de una función se pueden
determinar a partir de sus representaciones gráficas. Si
proyectamos la gráfica en el eje "x" obtenemos el dominio
y si la proyectamos en el eje "y" podemos determinar la
imagen.

Cero de una función: es el elemento del
dominio cuya imagen es cero.

Signo: conjunto de valores del Dominio donde la
imagen es positiva o negativa.

Monotonía:

Desde el punto de vista gráfico las funciones se
analizan de izquierda a derecha y esto deriva en:

• si la función se eleva de izquierda a derecha
  y en este caso notamos que los valores de la función
  aumentan a medida que aumentan los valores de x para todo el
  dominio se dice entonces que la función es
  creciente.

• si la función desciende de izquierda a
  derecha y en este caso notamos que los valores de la
  función disminuyen a medida que aumentan los valores
  de x en todo el dominio se dice entonces que la
  función es decreciente.

Paridad de una función:

Se dice que una función es par si es
simétrica respecto al eje " y " y es impar si es
simétrica respecto al origen de coordenadas.

Si f es par se cumple que f(x) =f(-x) y si
es impar f(x) =-f(-x).

A continuación se expone un ejemplo
de los ejercicios planteados en la propuesta.

1- Determina cuáles de las siguientes
correspondencias son funciones y cuáles no. Fundamenta tu
respuesta.

• a) A cada número real se le
  asocia su cubo.

• b) A cada número natural se
  le hace corresponder sus múltiplos.

• c) A cada número real se le
  hace corresponder su módulo.

2.- Diga si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Justifique las falsas.

• a) ___ El dominio de la
  función f(x)=3x es los Enteros.

3.- Dadas las siguientes
funciones

• Esboce su gráfico en el
  intervalo dado.

3.2 Analice dominio, imagen,
monotonía, signo, paridad e inyectividad

Después de aplicada la propuesta se detecta un
incremento gradual del desarrollo de las habilidades
matemáticas de representación gráfica y
análisis de propiedades. La prueba pedagógica de
salida (ver anexo 3), constató los avances cualitativos de
estas habilidades matemáticas y sus resultados demostraron
el comportamiento de los indicadores de la variable utilizada
(ver anexo 4 ). Los resultados cualitativos que se recogen se
corresponden con los reales objetivos de este contenido en el
programa de la asignatura para preparar a estudiantes para prueba
de ingreso a la Educación Superior.

Los resultados de esta prueba de salida determinan que 8
estudiantes dominan la habilidad matemática de
representación gráfica y análisis de
propiedades para un 27%, 19 estudiantes tienen dificultades en
tres de los indicadores para un 63% y 3 estudiantes no han
desarrollado aún estas habilidades para un 10%.

La aplicación de la propuesta se considera
eficiente teniendo en cuenta que aún existen dificultades
en el desarrollo de estas habilidades que solo la práctica
y la ejercitación controladas, diversificada y suficiente
como este sistema de ejercicios puede resolver.

Autor:

Lic. Rotceh del Cueto Delgado

Profesor de Matemática.

IPVCE "Revolución Húngara de
1919".

Enviado por:

Andrés A. Arocha
Gámez