Fin de las Geometrías no Euclidianas

Introducción

En este trabajo se presenta el capítulo 8 del
libro titulado HACIA UNA MATEMÁTICA SIN CONTRDICCIONES, de
mi autoría y registrado en el SAPI (Venezuela) bajo el
número 7224. En dicho capítulo se presenta la
demostración de unicidad de la recta que pasa por dos
puntos distintos con base en los cuatro postulados de incidencia;
unicidad que siempre ha sido postulada. Se presenta,
además, la demostración del postulado de las
paralelas como un sencillo teorema de la geometría
euclidiana; postulado que se daba por indemostrable con base en
los demás axiomas euclidianos.

Lo anterior es la razón del título del
trabajo que a continuación se presenta a la
consideración se los expertos en el campo de las
geometrías.

8.1 Unicidad de la
Recta que Pasa por Dos Puntos

Se presentará en esta primera sección de
este capítulo la demostración del postulado de
unicidad de la recta que pasa por dos puntos
distintos.

Se supone conocido por el lector todo lo relacionado con
rectas, puntos, planos y espacio, así como puntos
colineales y coplanarios.

8.1.1 Postulados de Incidencia

Los primeros cuatro postulados que dan nacimiento a toda
geometría que trate de rectas y planos en el espacio son
los siguientes:

Postulado 1 (de los dos puntos
distintos)

Por dos puntos distintos cualesquiera pasa una
recta.

Obsérvese que acá no se está
postulando la unicidad de dicha recta. Esto es porque la unicidad
es demostrable a partir de los demás postulados de
incidencia.

Postulado 2 (de la cantidad mínima de
puntos)

a) Toda recta contiene al menos dos puntos
distintos.

b) El plano contiene al menos tres puntos distintos no
colineales.

c) El espacio contiene al menos cuatro puntos distintos
no coplanarios.

Postulado 3 (de los tres puntos
distintos)

Para cada tres puntos distintos existe al menos un plano
que los contiene.

Postulado 4 (de la recta en el plano)

Toda recta que tiene dos de sus puntos en un plano,
está contenida totalmente en dicho plano.

Para la demostración de unicidad de la recta que
pasa por dos puntos distintos sólo se necesitan los
siguientes dos teoremas.

8.1.2 Teorema 8.1 (el plano que contiene a r y
no a s)

Si dos rectas se intersecan en algún punto (por
postulado 1 y postulado 2 parte b, lo hacen), entonces existe al
menos un plano que contiene a una pero no a la otra.

Demostración:

Ahora se está en condiciones de demostrar que si
dos rectas se intersecan en algún punto, éste es
único.

8.1.3 Teorema 8.2 (intersección de dos
rectas)

Si dos rectas se intersecan en algún punto,
éste es único.

Demostración:

Ahora, como corolario de este teorema 8.2, se
tiene

Corolario 8.2.1

La recta que pasa por dos puntos distintos es
única.

En efecto, si por dos puntos distintos pasaran dos
rectas distintas, éstas se estarían intersecando en
dos puntos distintos, lo que contradiría al teorema
anterior. Así, la recta que pasa por dos puntos distintos
es única. (

8.1.4 Consecuencias del Teorema 8.2

La consecuencia directa del teorema 8.2 es la
desaparición de la geometría elíptica como
tal; pasando a ser sólo el estudio de las
geodésicas de una esfera. Veamos el
porqué.

El plano para la geometría elíptica es la
esfera y en ésta los grandes círculos son las
rectas. Según los postulados de esta geometría, por
dos puntos distintos pasa al menos una recta. Además,
existen pares de puntos en el plano de dicha geometría por
los cuales pasa más de una recta. Estos son los puntos
conocidos como antípodas. Sin embargo, en los cinco
postulados que dan nacimiento a dicha geometría,
están implícitos los cuatro postulados de
incidencia; pues sin éstos, es imposible el nacimiento de
geometría alguna.

Ahora bien, al demostrarse que por dos puntos distintos
no puede pasar más de una recta, entonces esta
geometría no es una geometría de líneas
rectas, sino la aplicación de la geometría
euclidiana, con algunas restricciones, al estudio de las
geodésicas de la esfera; que es como se le debe
tener.

De esta manera, queda esclarecido el porqué
Beltrami y Klein dedujeron que
las geometrías no euclidianas eran consistentes si la
euclidiana lo era, puesto que dichas geometrías (las no
euclidianas) no son más que aplicaciones de
aquella.

8.2 El Teorema de las
Paralelas

El teorema de las paralelas o quinto postulado de
Euclides en su forma de Playfair (físico y
matemático escocés) se enuncia
así:

"Por un punto exterior a una recta r pasa una
única paralela a r".