La lógica trivalente general (página 2)

¿Cuándo la implicación en el
cálculo proposicional es verdadera? La implicación
(y toda constante lógica) es una idea a la que se le puede
atribuir veracidad o falsedad (o cualquier valor veritativo)
según la veracidad o falsedad del juicio resultante o
juicio complejo que se forma del uso de la constante en
cuestión. Comúnmente, para definir esto se usan
tablas de veracidad o matrices. Denotemos a "verdadero" por "v" y
a "falso" por "f". Supongamos que tenemos los juicios "a" y "b",
y la forma "aIb". Dentro del cálculo de la lógica
bivalente, el juicio "aIb" será verdadero si:

• "a" es "v" y "b" es "v",

• "a" es "f" y "b" es "f",

• "a" es "f" y "b" es "v",

Lo que no puede pasar es que siendo "a" verdadero, sea
"b" falso. En tal caso el juicio "aIb" resultará falso
también. El supuesto de que verdadero implica falso
contradice el sentido de la implicación. La idea de la
implicación es que del juicio "a" se infiere "b", en el
sentido de "b" como verdadero por necesidad Si "b" es falso,
siendo "a" verdadero; contradice el sentido de la
implicación. En forma matricial esta idea puede expresarse
de la tabla siguiente:

¿Cómo pueden darse, entonces situaciones
paradójicas? Se presentan con relación a algunos
juicios que aparentemente tienen una implicación material
y contradicen el sentido fundamental de la implicación.
Por ejemplo, en el lenguaje natural decimos: "Si conectamos el
interruptor, entonces la lámpara se enciende". Este juicio
tiene aparentemente la forma "aIb", es decir, la de la
implicación. Según la matriz de la
implicación "a" puede ser "f" siendo el juicio "b" del
tipo "v", y "aIb" será verdadero; pero en el juicio
anterior no puede pasar que se encienda la lámpara ("b"
sea "v") sin que se conecte el interruptor ("a" sea "f").
Evidentemente, si no conectamos el interruptor, la lámpara
no se encenderá. Esto contradice el sentido de la
implicación.

¿Realmente el juicio "si conectamos el
interruptor, entonces la lámpara se enciende" se
corresponde con el de la implicación material, teniendo
ésta la misma forma que la implicación formal o
lógica? ¿No se tratará de dos tipos
distintos de constantes lógicas? Evidentemente, es
necesario investigar a fondo los distintos tipos de constantes
lógicas.

Supongamos que tenemos los juicios "a" y "b".
¿Cuántas relaciones por medio de constantes
lógicas pueden existir entre ellos? Dos juicios con dos
valores veritativos ("v" y "f") suman cuatro. El número de
combinaciones será dos elevado a la cuatro, es decir, 16.
Representemos en una matriz lo dicho. Sea:

Evidentemente, no existen otras posibles combinaciones.
Al mismo tiempo, cada una de estas posibles 16 combinaciones
pudiera tener determinado sentido lógico. Así, por
ejemplo, la columna 04 se corresponde con los valores veritativos
de la implicación.

Definamos, en estos términos, el resto de las
constantes más importantes conocidas. Se puede constatar
que la conjunción (denotémosla por C) se
corresponde con la columna 12; la disyunción no rigurosa
(denotémosla por D), con la 02; la disyunción
rigurosa (denotémosla por R), con la 09; la equipolencia
(denotémosla por E), con la 07; etc. Construyendo por
separado sus matrices de veracidad, tenemos:

¿Qué sentido lógico tienen estas 16
relaciones? ¿Se corresponderán con determinadas
constantes lógicas? Supongamos que alguien nos dice: "Es
necesario que arranque la locomotora, para que el tren eche a
andar". Al parecer hay aquí una constante lógica.
Tiene la forma "Es necesario que "a", para que "b"", donde por
"a" debe tomarse "arranca la locomotora" y por "b" debe tomarse
"el tren echa a andar". ¿Por qué es una constante
lógica?, porque es una idea que une dos ideas o juicios de
forma estable. Analicemos su matriz de veracidad.
Veamos:

• Si arranca la locomotora y el tren echa a andar;
  entonces mi juicio complejo será verdadero, pues se
  cumplen las premisas de la que parte la idea (verdadero y
  verdadero, da verdadero).

• Si arranca la locomotora pero el tren no echa a
  andar, entonces mi juicio complejo sigue siendo verdadero. Lo
  que afirma es que es necesario, pero no suficiente que
  arranque la locomotora para que el tren eche a andar
  (verdadero y falso, da verdadero).

• Si no arranca la locomotora ni el tren echa a andar,
  entonces mi juicio complejo sigue siendo verdadero. No
  contradice la idea que en él está instalada
  (falso y falso, da verdadero).

• Pero si el tren echa a andar sin que arranque la
  locomotora, entonces es porque la forma "Es necesario
  que…, para que…" es falsa. Este supuesto
  contradice la idea de que es condición necesaria que
  arranque la locomotora para que el tren eche a andar. Claro
  que un tren puede echar a andar sin que arranque su
  locomotora. Esto sucede si dicho tren, por ejemplo,
  está en una pendiente y se le quitan los frenos. Pero
  este no es el caso de que hablamos. Mi juicio ("Es necesario
  que arranque la locomotora para que el tren eche a andar") se
  refiere a un tren que porta esta necesidad. Por tanto, si "a"
  es falso y "b" verdadero, entonces mi juicio complejo
  será falso (es decir, falso y verdadero da
  falso).

Designemos esta constante por N y construyamos su matriz
de veracidad. Sea:

Se puede ver que esta constante se corresponde con la
columna 03 de la matriz de posibilidades, es decir, que no se
puede confundir con la de la implicación que es la 04. Se
trata de la relación de condición necesaria, pero
no suficiente. Se trata de la modalidad de necesidad. Pero el
lenguaje puede enmascarar este hecho. Veamos.

Al juicio "Es necesario que arranque la locomotora, para
que el tren eche a andar" le podemos dar la vuelta y decir: "Para
que el tren eche a andar, es necesario que arranque la
locomotora". Cambiemos ahora la nomenclatura. Sustituyamos "el
tren echa a andar" por "a" y "arranca la locomotora" por "b". El
juicio anterior toma la forma "Para que "a", es necesario que
"b"". ¿Cuándo el juicio complejo anterior es
falso?, sólo cuando "b" es falso y "a" verdadero, es
decir, que el tren eche a andar sin que arranque la locomotora.
Construyendo la matriz de veracidad para el juicio anterior,
tenemos:

¡Pero esta matriz es la 04, es decir, la de la
implicación! Por tanto, los giros idiomáticos
pueden movernos de una constante a otra, de una matriz a otra. El
problema estriba en que la relación de condición
necesaria, pero no suficiente; puede moverse de la columna 03 a
la 04 y viceversa según el orden que se les de a los
factores causa y consecuencia. Convengamos en aceptar la forma 03
como la normal.

Analicemos, ahora, el juicio "Si conectamos el
interruptor, entonces la lámpara se enciende".
Parecería por la forma idiomática como que se trata
de la implicación, pero podemos decir "Es necesario
conectar el interruptor, para que la lámpara se encienda".
Como puede verse, ambos juicios (los dos anteriores) encierran la
misma lógica. Se trata de la condición "necesaria
pero no suficiente". Incluso, podemos darle la vuelta al primero
y decir "Si se enciende la lámpara, entonces es porque
conectamos el interruptor". A la implicación no podemos a
gusto darle la vuelta. Por tanto, se trata de dos constantes
lógicas distintas: una, la implicación; la otra, la
condición necesaria pero no suficiente. El hecho que la
constante lógica típica de la condición
"necesaria pero no suficiente" pueda dársele la forma
idiomática "Si "a", entonces "b" crea las premisas para la
confusión.

Dejemos a un lado el problema de la paradoja de la
implicación material. Ella ha sido solo el motivo para
adentrarnos en el tema de la diversidad de las constantes
lógicas. Hemos encontrado que existen más
constantes que las comúnmente aceptadas. Surge la
cuestión por saber: ¿Cuántas constantes
lógicas como mínimo pueden añadirse al
conjunto anterior?

Para simplificar el asunto, definamos la
negación. Convengamos en denotar la negación de un
juicio, digamos "a", alternativamente por los signos "/a"
ó "a". En lógica bivalente el valor veritativo de
un juicio puede ser "v" o "f". En estos términos, la
negación de un juicio puede ser definida como el proceso
que me lleva del valor verdadero del juicio al falso y viceversa,
según la matriz de veracidad siguiente:

Fácil es ver que en la matriz de posibilidades
hay columnas que se corresponden con negaciones de las constantes
lógicas definidas anteriormente. Por ejemplo, la columna
05 se corresponde con la negación del juicio "a
conjunción b", es decir, /(aCb).

Construyamos la matiz en cuestión con la
añadidura de estas constantes y sus negaciones.
Sea:

La matriz anterior es ilustrativa. Por ejemplo, nos
muestra que la negación de la equipolencia nos trae a la
disyunción rigurosa y viceversa, y nos muestra que las
columnas 01 y 16 se corresponden con las tautologías y sus
negaciones respectivamente. Pero nos muestra, además que
faltan dos constantes lógicas:

• Las columnas 06 y 08 son negaciones
  recíprocas una de la otra, lo que se corresponde con
  una constante lógica que no conocemos.

• Las columnas 10 y 11 son negaciones
  recíprocas una de la otra, lo que se corresponde con
  una constante lógica que no conocemos.

Podemos añadir estas dos constantes a la matriz
anterior. Denotemos la columna 10 por la matriz de una constante
que llamaremos U, la cual no conocíamos aún; y la
columna 06 por la matriz de una constante que llamamos A, que es
la otra que no conocemos aún. Completando la matriz de
posibilidades, tenemos:

¿Qué interpretación
empírica, es decir, en el lenguaje natural puede tener
estas constantes, es decir, la U y la A? Veamos.

Supongamos que alguien nos dice: "El revolver
está cargado, por ello puede ser que se dispare"
Evidentemente, aquí hay una constante lógica.
Denotemos al juicio "el revolver está cargado por "a" y
"se dispare" por "b". El juicio complejo toma la forma ""a", por
ello puede ser que "b"" (ó "a, por ello es posible b"). Se
trata de la modalidad de posibilidad. Analicemos la matriz de
veracidad de esta constante:

• Si es verdadero que el revolver está cargado
  y es verdadero que se dispara, entonces mi juicio complejo es
  verdadero también. Aquí no hay nada que
  objetar.

• Si es verdadero que el revolver está cargado
  pero no es verdadero que se dispara, entonces mi juicio
  complejo sigue siendo verdadero también. Él
  sólo acusa la posibilidad, pero no la
  realidad.

• Si es falso que el revolver está cargado y es
  supuestamente verdadero que se dispara, entonces mi juicio
  complejo es falso. Esta circunstancia contradice mi juicio de
  posibilidad. La posibilidad existe sólo en virtud de
  estar cargado.

• Si es falso que el revolver está cargado y es
  falso que se dispar, entonces mi juicio complejo es falso
  también. No puede existir la posibilidad de que se
  dispare sin estar cargado.

Fácil es ver que esta es la constante A.
Construyendo la matriz de veracidad para esta constante,
tenemos:

Como puede verse, la matriz de esta constante se
corresponde con la columna 06 en la matriz de
posibilidades.

Supongamos, por último, que alguien nos dice: "Es
posible que venga a mi casa, porque quiere algo de mí".
Denotemos "que venga a mi casa" por "a" y "quiere algo de mi" por
"b". De este modo tenemos la forma "Es posible "a", porque "b".
Parece ser que aquí hay una constante lógica. Se
trata de la modalidad de posibilidad también.
Analicemos:

• Si viene a mi casa y quiere algo de mí,
  entonces mi juicio complejo es verdadero. Aquí no hay
  nada que objetar.

• Si viene a mi casa, pero no quiere algo de
  mí; entonces mi juicio complejo es falso. Puede ser
  que venga a mi casa, pero sin querer algo de mí. Pude
  ser que vengador casualidad. Pero en tal caso mi juicio sigue
  siendo falso. El acusa la posibilidad de que venga a mi casa
  por querer algo de mí. Se trata de que venga a mi casa
  por querer algo de mí y no por casualidad.

• Si no viene a mi casa pero quiere algo de mí,
  entonces mi juicio complejo sigue siendo verdadero. Él
  no ha venido, pero quiere algo de mí. Por eso la
  posibilidad existe. Él no ha venido a mi casa por X
  motivos, pero cave la posibilidad de que venga porque quiere
  algo de mí.

• Si no viene a mi casa y no quiere algo de mí,
  entonces mi juicio complejo es falso. La posibilidad en estos
  términos no existe. Se niega en los hechos.

¿Cuál es la constante en la matriz de
posibilidades que tiene esta matriz de veracidad?, la constante U
de la columna 10. Construyamos la matriz de veracidad de esta
constante por separa. Tenemos:

Como puede verse, se trata de la columna 10.

Hemos tratado de interpretar (de dar sentido a) las
constantes A y U en el cálculo proposicional de la
lógica bivalente. No importa para el caso que esta
interpretación no sea del todo correcta, lo que vale es el
intento. De hecho las constantes existen, independientemente de
su interpretación.

En este cálculo debiera prestársele
más atención al análisis de las constantes
lógicas que aparecen en los distintos giros del lenguaje
natural. Se debe usar más bien el sentido de lo que se
dice o escribe antes que la forma gramatical o lexical. De este
modo evitamos que surjan situaciones paradójicas. El
análisis concreto del giro del lenguaje natural puede
mostrar cuál es la matriz de veracidad que hay en un
juicio complejo de este lenguaje, es decir, en la relación
que se forma por la vinculación de dos juicios simples por
medio de una constante lógica. Esta forma de abordar el
lenguaje natural puede inscribirse como principio del enfoque
concreto del lenguaje, o ley del estatus concreto del lenguaje.
Ya V. I. Lenin apuntaba que "la verdad abstracta no existe, la
verdad es siempre concreta" (1).

Según la lógica modal, estos giros del
lenguaje natural, como por ejemplo, "es necesario…", "es
posible…", es casual…", "se prohíbe…",
"está bien…", etc., son formas (conceptos u
operadores) modales. La lógica modal se construye, como
norma, separadamente del cálculo proposicional
clásico, es decir, del cálculo de proposiciones
asertóricas. La tabla anterior muestra que las formas
modales pueden tener una interpretación
(representación, análisis, etc.) dentro del mismo
campo que el del la implicación, disyunción,
conjunción, etc., es decir, del cálculo
clásico.

La verdad es concreta, pero el lenguaje
tiene una dimensión abstracta. Los signos del lenguaje son
abstracciones. Por eso, sólo en la contextualidad puede
asumirse el sentido de lo que se escribe o dice. Supongamos que
alguien nos dice: "la mesa es de madera". ¿A qué
mesa se refiere? Puede ser esta mesa en la que estoy ahora
escribiendo. Puede ser la que se encuentra en una
habitación de su casa, etc. Es el contexto el que nos da
la respuesta. Lo mismo acontece con el uso de las constantes
lógicas. Sólo el contexto puede darnos el sentido
exacto de lo que se quiere decir. Pero cualquiera que sea la
matriz de las posibilidades, será siempre una de estas 16
posibilidades, mejor dicho, una de las 14 intermedias, pues la 01
y la 16 quedan excluidas.

Supongamos ahora que construimos la misma matriz de
posibilidades, pero un poco más compleja. Incorporemos los
valores veritativos no sólo de "a" y "b", sino
también de "a" y "b", e incorporemos las fórmulas
correspondientes. Como las columnas 01 y 16 no nos interesan, las
omitiremos. Coloquemos directamente los resultados.
Veamos:

La matriz anterior nos permite obtener un sistema de
equivalencias. Consideremos por el término "equivalencia"
el fenómeno por medio del cual dos fórmulas ocupan
en la matriz de posibilidades una misma columna, y
denotémosla por el signo "=". Aquí es factible
diferenciar la equivalencia de la equipolencia. Así,
tenemos:

El sistema anterior constituye una buena
generalización de las leyes de Morgan.

Supongamos que queremos conocer el conjunto de
fórmulas fundamentales asociadas a todas estas constantes.
Introduzcamos un axioma. Ya definíamos que "a" es la
negación de "a". Supongamos axiomáticamente
entonces que "/a = a" ó "a = /a". Sustituyamos, entonces,
en el sistema anterior a "b" por los valores de "a" y "a"
distintamente tenemos:

I.- Sustituyendo por "a":

II.- Sustituyamos por "a" y tomemos en
cuenta que "/a = a":

Fácil es darse cuenta que se obtiene las misma
series que cuando sustituimos por "a". Sustituyendo por "a",
tenemos que: En tal caso la 02 se convierte en la 03, y la 03 en
la 02. La 04 se convierte en la 05, y la 05 en la 04. La 12 se
convierte en la 13, y la 13 en la 12. La 14 se convierte en la
15, y la 15 en la 14. La 07 se convierte en la 09, y la 09 en la
07. La 06 sigue siendo la 06. La 08 sigue siendo la 08. Y la 10
se convierten la 11, y la 11 en la 10. Por tanto, vasta con el
sistema de series I.02-I.15.

Consideremos, entonces, solamente el sistema
I.02-I.15.

Fácil es darse cuenta que en el sistema I.02-I.15
hay dos tipos de fórmulas: las que son compatibles con las
leyes de la lógica clásica bivalente y las que no
lo son. Agrupémoslas por el empleo que se hace en cada una
de ellas de cada constante lógica. Veamos:

Del sistema de series anteriores, son leyes de la
lógica (tautologías) el subconjunto:

Este se puede demostrar acudiendo a las
matrices donde se verifican las fórmulas.

Es curioso que en las series

No hay ninguna fórmula que sea
tautología.

El sistema de series III.O1-III.06 recoge la
expresión formal de las leyes fundamentales de la
lógica bivalente. Notemos que el sistema de series II
recoge la totalidad de fórmulas fundamentales de esta rama
de la lógica, pues no existiendo otras posibilidades. Por
ello, el sistema III agota el conjunto de estas leyes.

Comúnmente, las fórmulas III.02 y III.06
se identifican con la ley de la identidad; las fórmulas
III.01 y III.05, con la ley del tercero excluido; y las
fórmulas III.03, con la ley de la no contradicción.
En este espíritu, las fórmulas III.04 se
deberán corresponder con una ley fundamental de la
lógica (desconocida hasta ahora). Al mismo tiempo, pudiera
considerarse que cada serie en el sistema III es una ley en
sí, con lo que tenemos 6 leyes fundamentales.

Tratemos de encontrar el máximo racional posible
de constantes lógicas que puede existir en el marco de la
bivalencia. Ya no se trata de las ocho que como mínimo
podemos encontrar, sino del máximo racional posible.
Supongamos que cada columna de la matriz de posibilidades, con
excepción de la 01 y la 16, se corresponde con una y
sólo una constante. Denotemos estas nuevas constantes de
la forma siguiente: la 05 por H; la 08 por K; la 11 por M; la 13
por B; la 14 por F; y la 15 por G. Llevando los resultados a la
tabla de posibilidades, tenemos:

En otras palabras, son como máximo racional
posibles las constantes D, N, I, H, A, E, K, R, U, M, C, B, F y
G, es decir, catorce. Este resultado era de esperar: son 14 las
columnas de la matriz, lo que se corresponde cada una con una
constante en particular. Lo que se añade aquí son
sus negaciones, es decir, la relación con otras variables.
Se omiten las fórmulas más complejas.

Por tanto, en los marcos de la bivalencia, estas son
sí y sólo sí las relaciones posibles. Este
es un hecho objetivo. Por supuesto, fuera del marco de la
bivalencia la lógica es otra. Pero también
será objetiva. Veamos:

Supongamos que nos trasladamos al campo de la
lógica polivalente, en particular al sistema de la
lógica trivalente. Sabemos que: "Toda hipótesis
polivalente incluye;

• La formulación de un conjunto de valores
  veritativos sobre el cual se definen toman valores las
  fórmulas proposicionales del lenguaje lógico en
  cuestión. Conjunto de cardinal mayor o igual que
  dos.

• El que se admita que una misma fórmula no
  puede tomar al mismo tiempo dos valores veritativos
  diferentes. Esta segunda cuestión no siempre se hace
  explícita, en tanto que la misma queda
  implícita en la misma forma de definir las
  fórmulas proposicionales" (2).

Por eso, en tal caso, tres serán los valores
veritativos de las proposiciones. La designación de estos
valores: el que sea 1, ½ y 0; ó 1, 2 y 3; etc. No
es significativo. Nosotros los designaremos por "verdadero" (v),
"falso" (f) e "indeterminado" (i). Lo sustancial es que son tres
los valores veritativos de las proposiciones. La
interpretación gnoseológica de los valores "v", "i"
e "f" puede sustentarse en la crítica que de la ley de la
exclusión del tercero se hace desde los tiempos
aristotélicos y epicúreos. Supongamos que existen
juicios que su valor veritativo es objetivamente indeterminado,
que no son objetivamente ni verdaderos ni falsos. Por ello,
tenemos estos tres valores. Lo que hay que recalcar es que esta
indeterminación tiene que ser objetiva

Lo primero que hay que definir es la operación de
negación del juicio o proposiciñon "a". Ya
aquí hay que proceder con objetividad. Ser objetivo
significa, en primer lugar, agotar las posibilidades. Una de las
lógicas trivalentes que con mayor grado de generalidad
abordó el asunto fue la de Hans Reichenbach. El
construyó su lógica trivalente para aplicarla a la
mecánica cuántica. Pero la mayoría de las
operaciones de este sistema ya fueron introducidas por Post,
aunque Reichenbach le agregó algunas nuevas. Él
introdujo tres negaciones: La cíclica, la diametral y la
completa. Por eso es que tiene cierto grado de generalidad. Pero:
¿Cuántas negaciones pueden existir por
posibilidades? Construyamos la matriz de posibilidades para la
negación. Como 3 son los valores de "a", la cantidad de
combinaciones son tres elevado a la tres, es decir, 27.
Sea:

La matriz anterior recoge todas las posibles
combinaciones de los valores "v", "i" e "f" para la
negación de la proposición "a". Según
Guétmanova, "pese a las diferencias de las formas de la
negación en lógica polivalente, en todas las
negaciones se impone una limitación única que
refleja la regularidad de la negación bivalente: La
negación de la verdad no puede dar verdad y la
negación de la falsedad no puede dar falsedad, pues de lo
contrario desaparece la diferencia entre la falsedad y la
verdad… La afirmación sobre la oposición de
un juicio no verdadero al verdadero, de no falso al falso
caracteriza la operación definidas por tablas en las
lógicas tanto bivalente como polivalente…Las
propiedades comunes señaladas permiten unir numerosas
variedades de negación en un solo concepto… La
negación en la lógica formal (si se quiere examinar
su papel funcional común) es una operación
lógica que opone al juicio verdadero otro no verdadero, al
juicio falso otro juicio no falso" (3). Si tomamos en cuenta este
criterio, en la matriz anterior quedan las siguientes
negaciones:

Así, por ejemplo, en Hans la 04 es la
negación completa, la 09 es la negación
cíclica y la 11 es la negación diametral. Otro
ejemplo es 02, que se corresponde con la negación de
Heyting. También, por poner otro ejemplo, tenemos la 11,
que se corresponde con la negación de Lukasiewicz.
¿Qué derecho hay para considerar unas y no otras,
si todas son posibles? Para ser objetivos, hay que admitir estas
12 (sí y sólo sí) posibles
negaciones.

Simplifiquemos la matriz anterior. Supongamos que
definimos la posibilidad de que un juicio o proposición
tome los valores veritativos "f" o "i" por la variable "y"; los
valores veritativos "v", "i" o "f", por "x"; y los valores "v" o
"i", por "z". Con esta sustitución, la matriz anterior
toma lo forma:

Notemos algo. El criterio que formula más arriba
Guétmanova no nos satisface del todo. La negación
debe considerarse también en relación a los juicios
indeterminados. La negación de un juicio indeterminado nos
da un juicio no indeterminado, es decir, determinado. Y el valor
veritativo "determinado" es "v" ó "f". Por tanto, la
negación de un juicio con valor "i", deberá arrojar
un juicio con valor "v" ó "f". De este modo, en la matriz
de posibilidades de la negación anterior habría que
excluir las columnas 06, 07, 11 y 12. Nótese que en tal
caso se excluye la de Lukasiewicz. Tomando este criterio, y
designando la alternativa "v" ó "f" por "j; la
negación puede ser definida en la matriz:

Este criterio es más exacto. Pero por cuanto
contradice definiciones anteriores, nos quedaremos con el punto
de vista de Guétmanova, que es también el de
Lukasiewicz.

Trasladémonos, ahora, al problema de la
definición de las constantes lógicas para el caso
de la trivalencia. ¿De qué forma podemos definir
estas constantes de manera que se agote todas las posibilidades,
es decir, de forma tal que todas las lógicas trivalentes
construidas resulte un caso particular de esta lógica
trivalente general? Por ejemplo, en lógica trivalente hay
muchos tipos de implicación: La de Post, la de
Lukasiewicz, la de Heyting, las de Reichenbach (que son
más de una), etc. ¿Cómo construir una
lógica trivalente que contenga todas estas lógicas?
¿Qué debe conservarse en relación a las
constantes en toda generalización de la lógica
bivalente? En general, ¿qué debe conservarse en
toda generalización de un sistema lógico por
otro?

Este es un problema interesantísimo. Fue
Nikolái Vasíliev (1880- 1940), filósofo y
médico ruso, uno de los primeros en plantearlo (aunque no
lo planteara en forma del todo correcta). Vasíliev
promovió la idea de la pluralidad de las lógicas,
por analogía con la pluralidad de los sistemas
geométricos. Él afirmaba: "Nos habituamos a la idea
de una sola lógica, igual para todos, hasta el punto de no
poder imaginar algo contrario…" (4). Según
él, la lógica se compone de un núcleo
constante y absolutamente necesario de leyes que denomina
metamatemática y de un conjunto cambiantes de leyes
lógicas dependientes de las cosas materiales que se
conocen. Para hacer esta delimitación revisó los
postulados lógicos existentes. Por ejemplo,
encontró que "un mismo juicio no puede ser
simultáneamente verdadero y falso; si renunciamos a esta
ley, la lógica se hace imposible porque no somas capaces
de distinguir la verdad de la falsedad" (5). Denominó esta
conclusión ley de la autocontradicción y la
catalogó en la metalógica, es decir, entre las
leyes obligatorias para todo ser pensante, las cuales no pueden
ser quitadas de la lógica sin que deje de ser
lógica. Como puede verse, Nikolái plantea el
problema de la conservación.

La ciencia moderna tiene muchos ejemplos de
generalización de una teoría por otra en los
términos de la conservación. La física no
clásica, por ejemplo, la relativista, conserva como un
caso particular la mecánica clásica (newtoniana).
La geometría no euclidiana contiene como caso particular
la geometría euclidiana. La generalización de una
teoría tiene sentido si se realiza sobre la base de cierta
conservación. ¿Qué sentido tiene generalizar
el concepto de número, si el nuevo concepto de
número no admite el cálculo clásico? La
aritmética con los números complejos conserva las
leyes del cálculo con los números reales. Las
operaciones con los números complejos son generalizaciones
de las mismas operaciones conocidas con los números
reales.

Supongamos que asumimos este principio: el de
conservación. ¿En los términos de la
lógica formal, en qué consistirá? Supongamos
que introducimos la hipótesis: Las constantes
lógicas, para cualquier cantidad de valores veritativos
deberán conservar su esencia de veracidad, es decir, las
relaciones en las cuales toman el valor veritativo "verdadero"
deberá conservarse. En otras palabras, las constantes
lógicas deberán conservarse, para cualquier forma
de la constante el valor "verdadero". Aquí debemos asumir
las 14 constantes destacadas anteriormente, es decir, D, N, I, H,
A, E, K, R, U, M, C, B, F y G, pues de lo contrario se complican
las cosas. Para que se entienda mejor lo dicho, expresemos este
enunciado por medio de una matriz. Utilicemos la forma de la
matriz empleada por Reichenbach.

En esta matriz, construida para los valores veritativos
"v", "i" e "f" de "a" y "b" las constantes lógicas, que
como máximo racional existen en la lógica bivalente
clásica, conservan en la lógica trivalente su valor
"v".

El problema estriba en que la verdad es única (no
así necesariamente la falsedad). De este modo, en
relación a las constantes lógicas, lo que es verdad
en la lógica bivalente deberá de ser verdad en la
lógica trivalente. El pensamiento humano no puede
renunciar al principio de la unicidad de la verdad, pues entonces
no hay forma de distinguir entre la verdad y la no verdad, es
decir, la falsedad o la incertidumbre. Hoy día se ha
puesto de moda la idea de que la verdad es múltiple,
diversa. Esta idea contradice la ciencia de la lógica
formal.

Supongamos, entonces, que queremos completar la matriz
anterior, es decir, llenar las casillas vacantes.
¿Cómo comportarnos en relación a los
cuadrantes (casillas) donde en la lógica bivalente los
valores veritativos son "f"? Debemos extender el principio de
conservación hacia estas nuevas relaciones. Supongamos que
introducimos la hipótesis: Los valores veritativos que
toma la lógica trivalente en los lugares donde la
lógica bivalente toma "f" es ahora "y", es decir, "f" o
"i".

El problema estriba en que por "f" debemos asumir,
ahora, el concepto de no- veracidad. La no-veracidad es parte de
la veracidad, es su continuación. Hay que conservar,
también, la no- veracidad. Coloquemos, para que se
entienda mejor, estos valores en una nueva matriz que contiene la
anterior.

Esta es la matiz de veracidad y no veracidad de la
lógica trivalente. Ya no hay nada más que
conservar. Si ahora a la matriz anterior le añadimos los
valores "x", tal y como la definimos anteriormente (es decir, "x"
por "v", "i" o "f"), tenemos:

Esta matriz es la matriz general de las constantes
lógicas, que como mínimo existen en la
lógica trivalente general. Quizá se pudiera
demostrar que, con sentido lógico no existe otra
combinación cualquiera para cualquier lógica
trivalente.

Por ejemplo, la columna 04, que se corresponde con la
implicación, se puede degradar en algunas de las
implicación conocidas. Sea que:

La implicación de Post es la I de la matriz
anterior, la II es la de Lakasiewicz, la de Heiting es la III y
las de Reichenbach son la IV y la V (la normal y la alternativa
respectivamente), etc.

Notemos que Reichenvach define una constante, que
él le llama "casi implicación" (denotémosla
por L) de la forma siguiente: