Espacio Vectorial

Definición y
Propiedades de un espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto
básico de estudio en la rama de la matemática
llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios
vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden
realizarse dos operaciones: la multiplicación por
escalares y la adición (una asociación entre un par
de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a
un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de
las tuplas de números reales así como de los
vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es
el de dimensión.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los
espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII:
geometría analítica, matrices y sistemas de
ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y
axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo
XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios
vectoriales provienen del análisis funcional,
principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de
Análisis funcional requerían resolver problemas
sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios
vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener
en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios
vectoriales topológicos, en particular los espacios de
Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría
más rica y elaborada.

Vector
fijo

Elementos de un vector

Dirección de un vector

La dirección del vector es la
dirección de la recta que contiene al vector o de
cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector

Módulo de un vector

El módulo de un vector es un
número siempre positivo o cero.

Módulo de un vector a partir de sus
componentes

Módulo a partir de las
coordenadas de los puntos

Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos,
A y B, son:

Clases de vectores

Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen
igual módulo, dirección y
sentido.

Vectores libres

El conjunto de todos los vectores
equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los
vectores libres tienen el mismo módulo,
dirección y sentido.

Vectores fijos

Un vector fijo es un representante del
vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo
módulo, dirección, sentido y
origen.

Vectores ligados

Los vectores ligados son vectores
equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los
vectores fijos tienen el mismo módulo,
dirección, sentido y se encuentran en la misma
recta.

Vectores opuestos

Los vectores opuestos tienen el mismo
módulo, dirección, y distinto
sentido.

Vectores unitarios

Los vectores unitario tienen de
módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la
misma dirección y sentido que el vector dado se divide
éste por su módulo.

Vectores concurrentes

Los vectores concurrentes tienen el mismo
origen.

Vector de posición

Vectores linealmente
dependientes

Varios vectores libres del plano son
linealmente dependientes si existe una combinación lineal
de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos
los coeficientes de la combinación lineal.

Vectores linealmente
independientes