Evolución y tendencias del constructo Educación Matemática (página 2)

Enseñar a
enseñar

En los años 1950, un grupo de destacados
matemáticos, tales como: Klein, Hadamard, Castelnuovo,
Smith, Moore, Enriques, entre otros, sentían la necesidad
de reflexionar sobre los contenidos y fines de la
enseñanza de la Matemática, cuyas impresiones se
centraban en tornos a estrategias de diseños curriculares
escolares como medio cultural intelectual para el desarrollo del
pensamiento matemático. Así, por ejemplo, en el
Congreso Internacional de la Enseñanza de la
Matemática (CIEM) de 1911 celebrado en Milán, se
trataron los temas: 1) La Matemática que se deben
enseñar a los estudiantes; 2) Lugar del rigor en la
enseñanza de la Matemática; y, 3)
Integración de la enseñanza de la Matemática
(Castelnuovo, 1970).

En el marco de las consideraciones anteriores, se
refleja manifestaciones de preocupaciones por parte de los
matemáticos profesionales que invitaron a participar otros
sectores interesados en las prácticas educativas de la
Matemática escolar, en particular, psicólogos y
educadores. Entre ese llamado se pueden mencionar a: Piaget,
Choquet, Gattegno, Papy, Puig Adan, la cual expresaron en la acta
fundacional (CIEM, 1950) lo siguiente:

La Comisión se propone tomar todas las
iniciativas que, en el campo de la acción y del estudio,
lleven a una mejor comprensión de los problemas planteados
por la enseñanza de las matemáticas para su
mejoramiento en todos los niveles. El campo de las
matemáticas es privilegiado en cuanto existen ya
investigadores competentes en el dominio de los fundamentos, de
la lógica, de la epistemología, de la historia, de
la psicología del pensamiento y de la pedagogía
experimental. La Comisión se propone sintetizar las
contribuciones que aportan estas disciplinas a su objetivo
principal (pp. 1).

La inspiración de las preocupaciones
surgía de la comunidad científica de
matemáticos profesionales quienes realizaban prestaciones
de servicios en las universidades y que además observaban
con asombros los avances significativos de la
investigación Matemática del siglo XIX, ejemplo en
la figuras tales como: Cauchy, Cantor, Weiertrass, Fourier,
Gauss, Riemann, Halmiton, Gibbs, Grassman, Galois, Klein, Lie,
entre otros, no menos importante. Destacaban un considerable
progreso y aporte al acontecer científico del momento y
con ello una línea sensibilizada de seguir continuando en
esa trayectoria; por consiguiente, en la Conferencia
Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en
París en 1900, el alemán David Hilbert expuso sus
teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el
hogar académico de Gauss y Riemann, y había
contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de la
Matemática, desde su clásico Fundamentos de la
geometría (1899) a su Fundamentos de la
Matemática en colaboración con otros autores.
La conferencia de Hilbert en París consistió en un
repaso a 23 problemas matemáticos que él
creía podrían ser las metas de la
investigación matemática del siglo que empezaba.
Ésta fue la introducción a la
conferencia:

Quién entre nosotros no estaría contento
de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar
los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su
desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cuál
será el objetivo hacia el que tenderá el
espíritu de las generaciones futuras de
matemáticos? ¿Qué métodos, qué
nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico
campo del pensamiento matemático?

Despertar el interés en la investigación
obligaba atender a los asuntos de formación
académica, en concreto, los procesos de enseñanza
que se desarrollaban en las prácticas educativas; por
ello, era necesario presta atención a los aspectos
curriculares de la Matemática escolar y en la
dirección que marcaba el núcleo de programa
indagatorio de los matemáticos, que para el siglo XX y
más específicamente en los años 1950 se
centraba en el rigor formal de la estructura algebraica y los
avances vertiginosos iniciados por el matemático Babbage,
considerado como padre de la computación, además,
en materia de análisis numérico y Matemática
Discreta, se abrió el camino para la era digital y los
procesos algorítmicos.

Por otra parte, el Programa Sputnik fue una serie de
misiones espaciales con alto despliegue en el campo
científico tecnológico para demostrar la viabilidad
de los satélites artificiales en órbita terrestre,
dicha empresa estuvo patrocinada por la Unión
Soviética a finales de los años 1950. La
denominación Sputnik viene del ruso ??????? y su
significado es compañero de viaje. Del Programa, las
reseñas de mayor cobertura publicitaria, probablemente,
fueron Sputnik 1 y 2.

El inmenso asombro del despliegue
científico tecnológico producidos por las proezas
de la puesta en órbita del Sputnik impacto a los
ciudadanos estadounidenses, quienes respondiendo enseguida con el
lanzamiento de varios satélites incluyendo Explorer 1;
también, aceleró la creación de
Aeronáutica Nacional y Administración Espacial, su
siglas en inglés NASA, el término Aeronautics viene
de la palabra griega "aire" y "navegar". Además,
incrementó la inversión por parte del gobierno en
la investigación y educación científicas, en
especial, la reforma curricular en Matemática. Igualmente,
las autoridades educativas de los países como Francia e
Inglaterra sostenían a principios de los años 1960
que "sin una fuerte formación en Matemática, el
cual incluyera calidad y cantidad, las sociedades no
estaría en condiciones de asumir controles
tecnológicos sobre los destinos de su progreso."
Más aun, el concierto de todas las autoridades educativas
a nivel mundial contempló con asombro el desarrollo de los
sucesos espaciales lo cual sensibilizó a una comunidad de
educadores quienes sintieron la obligación de
redimensionar nuevas expectativas en el marco de los eventos
emergentes en esa dinámica social; de allí que, los
planes de enseñanzas centraban sus temas en aplicaciones
tecnológicas, Lietzmann (citado por Freudenthal,
1978).

Además, factores de alcance mundial, tales como:
1) el contexto político e histórico de la
posguerra; 2) la ideología y filosofía de la
Matemática; 3) la influencia de los matemáticos en
la educación superior; y, 4) la atmósfera de
producción intelectual de eventos científicos y
tecnológicos. Señalaron líneas de alarmas
para reflexionar sobre el producto que se esperaba de los
procesos educativos formales con respecto a lo que se
tenía. Entonces, las autoridades educativas de varios
países sentían la preocupación de llevar a
cabo un cambio curricular importante en la enseñanza de la
matemática escolar. Esto fue definiendo un movimiento
denominado matemática moderna o la nueva
matemática.

Sus bases filosóficas se establecieron durante el
seminario de Royamount, celebrado en 1959. En el transcurso del
mismo, el famoso matemático francés J.
Diudonné lanzó el grito de "abajo Euclides" y
propuso ofrecer a los estudiantes una enseñanza basada en
el carácter deductivo de las proposiciones
lógico-matemáticos y que partiera de unos axiomas
básicos en contraposición a la enseñanza de
la geometría imperante en aquellos momentos
(Geometría Euclidiana). En ese mismo seminario la
intervención de otro matemático francés, G.
Choquet va en el mismo sentido: "… disponemos de un excelente
ejemplo, el conjunto de los números enteros, donde
estudiar los principales conceptos del álgebra, como son
la relación de orden, la estructura de grupo, la de
anillo". Estas dos intervenciones se pueden considerar muy
influyentes en el sentido que dio inició a un movimiento
renovador, enseñar a enseñar, pues en primer lugar,
dibuja el enfoque estructural formal que ha de caracterizar la
enseñanza de la Matemática y, en segundo, apunta
hacia el contenido más apropiado para su enseñanza.
La idea en principio parecía bastante lógica y
coherente. Por un lado se pretendía transmitir a los
estudiantes el carácter y el estilo
lógico-deductivo de la Matemática y al mismo tiempo
unificar los contenidos por medio de la teoría de
conjuntos, las estructuras algebraicas y los conceptos de
relación-función de la Matemática
superior.

Como hecho particular y vinculado con la
exposición anterior, el ambiente en Latinoamérica
(países del continente americano de habla español,
portugués y francés) experimentaba la ausencia de
una sólida comunidad científica en
Matemática, situación que hizo la entrada de la
reforma enseñar a enseñar, aún más
fácil, porque las universidades se involucraban
satisfactoriamente y los eventos de promoción social
hacían que la Matemática moderna gozará de
niveles de aceptación altos frente sus educadores. Los
estudiantes graduados en Matemática continúan sus
estudios de postgrado en los Estados Unidos y Europa y
volvían a sus países de origen llenos de
energías para activar los mecanismos curriculares que
dieran lugar a contenidos bien conocidos: introducción a
la teoría de conjunto, simbolismo moderno, enfoque
algebraico de la geometría y en sentido general la
construcción algebraica del sistema axiomático.
Dado este contexto, se llevo a cabo el Comité
Interamericano de Educación Matemática (CIAEM),
celebrado en Colombia 1961, su primer presidente fue el
matemático Marshall Stone y Luis Santaló, Stone
científico estadounidense que impulso considerablemente el
desarrollo matemático en el continente Americano y
además fue fiel partidario del programa de
investigación grupo Bourbaki y Santaló
matemático de origen español y radicado en
Argentina. El Comité fue un agente directo en la reforma
de Educación Matemática con representante en todas
partes del continente. El CIAEM llegó a convertirse en un
verdadero puente institucional entre el Norte y el Sur del
continente americano en lo que se refiere a las
matemáticas y su enseñanza. El espíritu y la
mística que generó la reforma enseñar a
enseñar entre los matemáticos contribuyeron mucho a
formar nuevos estilos de relaciones entre los profesionales de
toda la región y a fortalecer su espacio académico
en las universidades.

Los acontecimientos anteriores, impulsó una
didaxología muy propia a las condiciones de la
Matemática Moderna, conocido más tarde como el
Estructuralismo Formal de la Matemática o simplemente
Estructuralismo. El Estructuralismo dio comienzo a la
renovación del currículo escolar en la necesidad de
adecuar la formación Matemática al desarrollo
científico y tecnológico de las principales
ciudades occidentales, la misión histórica era
involucrase en la enseñanza preuniversitaria y
además establecer un puente adecuado con la
educación superior. Matemáticos de profesión
dictaban directrices en qué enseñar y cómo
presentar esos contenidos, llamó la atención el
trabajo de Bourbaki, formados por notables matemáticos y
motivados por la algebrización de la Matemática.
Consecuentemente, la tarea de organizar los contenidos a
enseñar se podría englobar a través de dos
gigantes estructuras: la estructura algebraica y la estructura
topológica. Cada una se dividía en subestructuras.
Por ejemplo: la algebraica se dividía en grupos, anillos,
módulos, cuerpos, etc.; la topológica en grupos,
espacios compactos, espacios convexos, espacios normados, etc.
Ambas estructuras se unían estrechamente a través
de la estructura de espacio vectorial.

El Estructuralismo planteó un
esquema de enseñanza tradicional clásico

cuyo discurso descansa en el rigor de los
argumentos tratado mediante un formato expositivo magistral, el
cual organiza la sistematización de los contenidos en una
estructura cohesiona en el razonamiento deductivo; por lo tanto,
la navegación y exploración de la Estructura
Matemática tiene un hilo conductor en las implicaciones
lógicas finito-consistente. La manipulación de los
símbolos en los procedimientos y los algoritmos
permitía fijar el significado en su semántica y
sintaxis, el sentido en el manejo del código
simbólico se convierte en una herramienta para los
pensamientos creativos, cuya operación de no
contradicción está encarnada en los encadenamientos
de proposiciones formales finitas. La reflexión de estos
encapsulados constituyen la conciencia de su contenido y
significado: el objeto matemático
formalizado.

Pues bien, la esencia de su Epistemología se
reduce a: 1) la Matemática es independiente a la mente
humana, el sujeto no la inventa sólo la descubre en su
contexto de acción; 2) el descubrimiento no se hace
mediante la experiencia sensible del mundo físico sino
mediante el contacto de los entes ideales de la estructura. En
definitiva, es un modo de proceder que personifica la
posición filosófica del Formalismo, cuya postura es
la reflexión del objeto matemático descubierto en
el dinamismo de sus encadenamientos lógicos, previamente
validos por implicaciones. Las transformaciones que modifican la
estructura Matemática deben sustentarse en ciclos
creativos de implicaciones que los estudiantes deben activar y
descubrir en los encadenamientos lógicos, una labor de
naturaleza consciente que demanda creatividad, imaginación
y alta competencia en el manejo de las proposiciones y los entes
ideales.

El Formalismo convierte a la Matemática en un fin
para sí mismo, porque lo verdaderamente esencial es el
producto de logro en el avance consistente de su estructura. El
aspecto ontológico se basa en la creencia de encontrar un
algoritmo de condición natural el cual representa un
patrón formal consistente a descubrir, pista de sus
inicios estén arraigados en las posturas de Hilbert
(citado por Ángel, 2001) el cual sostenía que la
existencia de los elementos no deben tomarse como verdades, lo
que se discute son sus relaciones definidas en el curso de sus
descubrimientos. Hacer de la consistencia un estilo de vida es
disciplinar una posición ante la vida; de allí que,
es comprensible la postura de vida en Galileo Galilei (1564-1642)
sobre el mundo exterior, para él la cosmología del
universo es un libro abierto donde la naturaleza de su
entendimiento reposa en un código de comunicación
que se conviene, es el lenguaje matemático como la forma
de hacer la lectura ante lo sensible y con ello develar el
secreto de su funcionamiento. Aprender a codificar, descodificar,
procesar y comunicar el código matemático, es
aprender Matemática; de modo que, su aprendizaje
estará dirigida a enseñar el sentido
hermenéutico de esa lectura.

Aprender Matemática en el contexto enseñar
a enseñar es un esfuerzo de actividad mental para
desentrañar, develar y comprender el contenido,
significado y método de la Matemática de modo a
priori y, en tanto que la Matemática es un cuerpo
fuertemente cohesionado con proposiciones que dan cuenta de una
lógica conceptual sobre las implicaciones libre de
contradicciones. En ella se encierra un círculo
hermenéutico. El todo recibe en el sentido de las partes y
las partes sólo pueden comprenderse en relación al
todo. Desde esta óptica, el sentido representa la
capacidad dar significación del todo con las partes y las
partes constituyendo al todo. Por ello es que, la
Matemática se comprende a luz de las formalizaciones de un
conjunto de leyes descubierta en el seno de su misma estructura.
La estructura reposa en un conjunto de componentes básicos
y simples que permitirán la construcción del
edificio lógico que se va levantando mediante reglas que
mantiene cohesionado todas las proposiciones con respecto a su
totalidad, como entes ideales subordinados a los sistemas de
transformaciones que desemboca dentro su frontera. Al respecto,
Hilbert (citado por Angulo, 2002) formula:

Cuando miramos de cerca una teoría
matemática advertimos siempre que unas pocas y
determinadas proposiciones del dominio de referencia, hacen el
fundamento para la construcción del encasillado especial
de los conceptos y tales proposiciones alcanzan para construir
según principios lógicos el encasillado total de
toda la estructura (pp. 21).

Estas valoraciones, encontró apoyo e influencia
en Piaget, quien pensó que la clave del desarrollo del
pensamiento humano era la superación de etapas
genéticas estructurales, no solo en la sociogénesis
sino también en la psicogénesis. Fundando la
Epistemología Genética cuya tesis se enfoca en la
actividad de conocer la realidad del sujeto como un
interacción constante entre la influencia directa de los
conocimiento previos y la forma de actuar en situaciones nuevas
de aprendizaje; consecuentemente, el aprendizaje se basan en la
voluntad del sujeto en incorporar, asimilar, adaptar y adecuar el
nuevo material, pero al mismo tiempo se modifica el sujeto en
cuestión, pues aumenta la complejidad de sus estructura
cognitiva.

La lectura del lenguaje matemático se traduce en
navegar y explorar por los sistemas formalizados de su
estructura, adquirir su contenido, método y significado,
requiere de un proceso que permita reconstruirla según las
normas de transformación instrumental, las cuales no son
otro cosa que las cadenas de implicaciones
lógico-matemáticas que edifican la estructura en
sí. En consecuencia, "enseñar a enseñar" es
un acto consciente sobre unas reglas de manipulación en
objetos abstractos para sincronizar la armonía de su
significado, es decir, el estudiante que desea aprender
Matemática debe manipular con conocimiento de causa
ciertas reglas para crear implicaciones consistentes, ese ciclo
creativo puede ser estimulado por unos sujetos de mayor
experiencia en el uso de esas reglas y en la creatividad de
enfrentar situaciones de retos.

El proceso de enseñanza tiene un formato
expositivo cuya relación de contacto es la
transmisión de información entre sujetos de mayor
experiencia (profesor) y con relación a otros menos
expertos (estudiantes). Así mismo, el formato expositivo
anula el proceso de acompañamiento, no es mediador en los
procesos de aprendizaje del otro y no se detiene a reflexionar en
la carga sentimental del proceso humano. Es muy importante
destacar, la carga afectiva no se desconoce, sencillamente no es
objeto de atención ni de estudio. Además, presenta
a la Matemática como una ciencia robusta de rigor formal
que permite hacer lecturas en las consistencias de sus
proposiciones y para aprenderla es menester emular las acciones y
recomendaciones de los sujetos expertos, consecuentemente, estos
sujetos expertos las exponen bajo una organización
magistral, de forma progresiva y gradual, facilitando la
composición definitiva de su episteme, mas que actos
reflexivos constituyen prácticas solidas de su
desempeño, es "enseñar a
enseñar".

En conclusión, el acto supremo de aprender
está subordinado a las condiciones de la enseñanza,
se puede aprender siempre y cuando el sujeto experto escenifique
y facilite el contenido de lo que se debe aprender. El facilitar
se convierte en presentar ejemplificaciones de proposiciones
matemáticas que permitan exponer el rigor expositivo del
discurso formal. Y, aprender se convierte en procesos que deben
incubar esas acciones con la esperanza de reproducir ciclos
creativos que exhiban desempeño iguales o superiores a los
sujetos expertos, quienes facilitaron su contenido, método
y significado. Enseñar a enseñar es facilitar
estrategias en aras de que el enseñado muestre lo
facilitado.

Referencias
bibliográficas

1.- ÁNGEL, M. (2001). Estrategias para
aprender Matemática. Tesis Doctoral, Universidad
Nacional de Matanza, Buenos Aries, Argentina.

2.- ANGULO, P. (2002). Efecto de la estrategia
metodológica condicionamiento Piter (EMCOPI) en el
aprendizaje de las ecuaciones diferenciales de primer orden en el
cuarto semestre de ingeniería mecánica. Trabajo
de grado de Magíster, UC. Valencia, Carabobo

3.- CASTELNUOVO, E. (1970). Didáctica de la
Matemática. México: Editorial Trillos, 2da
edición en español.

4.- GASCÓN, J. (1998). Evolución de la
didáctica de las matemáticas como disciplina
científica. Recherches en Didactique des
Mathématiques. Vol 181, n° 52, pp
7-54.

5.- FRANCES, D. (2005). El papel de la
educación frente a los desafíos de las
transformaciones científicos-tecnológicas.
Revista de Tecnologías Educativa, Vol XII, n°
4. Santiago de Chile.

6.- FREUDENTHAL, H. (1978). Fenomenología
didáctica en las estructuras matemáticas.
México: Cinvestav 2001.

Autor:

Pedro J. Angulo L.