El matemático griego Menecmo (vivió sobre
el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el
matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga
(antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar
detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad
plana que las definía. Apolonio descubrió que las
cónicas se podían clasificar en tres tipos a los
que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y
parábolas.
Las elipses son las curvas que se
obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no
es paralelo a ninguna de sus generatrices.
Las hipérbolas son las curvas
que se obtiene al cortar una superficie cónica con un
plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y
arista).
Las parábolas son las curvas
que se obtienen al cortar una superficie cónica con un
plano paralelo a una sola generatriz (Arista).
Apolonio demostró que las curvas cónicas
tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas
propiedades son las que se utilizan actualmente para
definirlas.
Quizás las propiedades más interesantes y
útiles que descubrió Apolonio de las cónicas
son las llamadas propiedades de reflexión.
Si se construyen espejos con la forma de una curva
cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los
llamados espejos elípticos, parabólicos o
hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio
demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de
un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo
se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente
lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos
incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz
reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad
permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo
parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol.
Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.)
logró incendiar las naves romanas durante la defensa de
Siracusa usando las propiedades de los espejos
parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza
para los radares, las antenas de televisión y espejos
solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo
que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que
los faros de los automóviles concentren el haz en la
dirección de la carretera o para estufas. En el caso de
los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los
focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se
utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie
mayor iluminada.
En el siglo XVI el filósofo y
matemático René Descartes (1596-1650)
desarrolló un método para relacionar las curvas con
ecuaciones. Este método es la llamada Geometría
Analítica. En la Geometría Analítica las
curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de
segundo grado en las variables x e y. El resultado más
sorprendente de la Geometría Analítica es que todas
las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan
secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt
(1629-1672).
Sin lugar a dudas las cónicas
son las curvas más importantes que la geometría
ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de
reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero
sin duda lo que las hace más importantes en la
física es el hecho de que las órbitas de los
planetas alrededor del sol sean elipses y que, más
aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una
fuerza gravitatoria es una curva cónica. El
astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630)
descubrió que las órbitas de los planetas alrededor
del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el
caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás
planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de
Plutón.. Más tarde el célebre
matemático y físico inglés Isaac Newton
(1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo
alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva
cónica.
Definición
Una cónica es el lugar
geométrico de los puntos del plano (x,y) que
satisfacen una ecuación completa de segundo
grado:
La ecuación de una cónica se
puede escribir en forma matricial
como
donde
Ejemplo:
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