Generalidades en Cónicas (página 2)

En el siguiente gráfico vemos la
cónica que representa la ecuación cuadrática
anterior

En este caso la matriz de la cónica
y las matrices adjuntas correspondientes son

Las figuras que representan las ecuaciones
cuadráticas pueden ser, además de elipses,
hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto
secantes como paralelas y estas últimas pueden ser
distintas o coincidentes. También puede darse el caso de
que la ecuación sea verificada por un único punto o
por ninguno. Alguna de estas últimas también se
pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las
imágenes siguientes:

Clasificación

Las cónicas son las curvas
resultantes al cortar un doble cono de revolución mediante
un plano. Dependiendo de la posición del plano nos
quedarán circunferencias, elipses, hipérbolas o
parábolas. Estas curvas presentan una serie de propiedades
que las hacen muy útiles en gran variedad de campos, sobre
todo en óptica, transmisión de señales,
astronomía, etc. Repasemos un poco las
características de todas ellas y veamos alguna
aplicación CIRCUNFERENCIA ————— Es el lugar
geométrico de todos los puntos que están a la misma
distancia de un punto que llamaremos centro. Las aplicaciones de
la circunferencia son infinitas, empezando por el invento de la
rueda, así como la cantidad de veces que la naturaleza
presenta esta figura geométrica.

La ecuación de una circunferencia
centrada en el origen y de radio r es

ELIPSE ———-

Es el lugar geométrico de los puntos
tales que la suma de las distancias a dos puntos llamados focos
es constante. La ecuación de una elipse centrada en el
origen y de semiejes a y b, será

Las elipses presentan una propiedad muy
curiosa. Si lanzamos un cuerpo desde uno de los focos y este
rebota en las paredes de la elipse, entonces pasará por el
otro foco. Y esto es cierto con un objeto, con un rayo de luz,
con una onda, etc. Por ejemplo, en las llamadas capillas de los
secretos, si una persona colocada en uno de los focos murmura en
voz baja, el sonido rebota contra las paredes y llega al otro
foco, de forma que una persona colocada en el otro foco escucha
la conversación mejor que las personas que están
más cercas del orador, pues todos los rebotes le llegan.
Otra aplicación es la construción de hornos
elípticos, donde se coloca la fuente emisora de calor en
uno de los focos y el cuerpo a calentar en el otro foco, pues
será el punto que más calor reciba. Por otra parte,
se puede demostrar que todo sistema planetario gira alrededor de
una estrella o planeta siguiendo una trayectoria elíptica
con la masa central colocada en un foco PARABOLA
———–

Es el lugar geométrico de los puntos
que están a la misma distancia de un punto llamado foco y
una recta llamada generatriz

Una ecuación de una parábola
sencilla es

Las parábolas al igual que las
elipses presentan algunas propiedades interesantes. Si lanzamos
el cuerpo desde el foco a cualquier punto de la parábola
este seguirá una trayectoria tras el choque siempre
perpendicular a la directriz. Esta propiedad tiene mucho
interés pues por ejemplo: Los faros de los coches son de
forma parabólica, situando la bombilla en el foco se
consigue que los rayos formados por las distintas reflexiones
salgan todos paralelos, de forma que alumbran más lejos.
Por la simetría de la óptica, todo rayo que
provenga de un emisor muy lejano, incidirá en la
parábola con rayos paralelos, de forma que si orientamos
bien la parábola podemos concentrar todos esos rayos en el
foco. Así por ejemplo podemos construir un horno solar, de
forma que colocamos el objeto a calentar en el foco. Algo
parecido ocurre en las llamadas antenas parabólicas. Las
ondas provenintes de un satélite que está muy lejos
llegan paralelas, y si orientamos bien la parábola todas
convergerán en el foco, que es deonde colocamos el
receptor. El nombre de estas antenas se debe a su forma
parabólica. Por otra parte todo cuerpo sometido a una
fuerza central como un peso seguirá una trayectoria
parabólica al ser lanzado.

HIPERBOLA ————-

Es el lugar geométrico de los puntos
tales que la diferencia de la distancia a dos puntos llamados
focos es constante. La ecuación de una hipérbola
centrada en el origen y de semiejes a y b es

Las hipérbolas presentan propiedades
ópticas parecidas a las elipses. Debido a sus
características tienen aplicaciones por ejemplo en la
construcción de telescopios de tipo Cassegrain, así
como en el sistema de navegación LORAN (long range
navigation)

Elementos notables de las
cónicas

Centro:

Polar  Dado un
punto  P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de
una cónica C de matriz A a la recta de
ecuación

Si el punto P está en la
cónica C entonces la recta polar de P
respecto a C es precisamente la recta tangente a
la cónica en dicho punto P.

Ejemplo:

Consideremos la cónica de
ecuación

que matricialmente se escribe
como

Utilizando la tabla de clasificación
vemos que se trata de una elipse real puesto que

La polar del punto (1,2) será la
recta 

Observamos que el punto (1,2) pertenece a
la cónica y por lo tanto la polar coincide con la recta
tangente en dicho punto.

La polar del punto (1,1) es la
recta

La polar del punto (3/2, 9/4) es la
recta

Es posible que un punto P=(x0,y0)
no tenga polar respecto a una cónica C.
Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar
el sistema de ecuaciones

que impone que los coeficientes de
x e y en la recta polar sean nulos (es decir
que no exista dicha recta).

Para que este sistema tenga alguna
solución se ha de verificar

Además si det A00 es no nulo,
entonces la solución del sistema es única y por lo
tanto habría un único punto que no poseerá
recta polar. Este punto se denomina centro de la
cónica. No todas las cónicas tienen centro.El
centro de la cónica tiene la particularidad de ser su
centro de simetría.

Si C es una elipse o una
hipérbola entonces  det A00  ? 0 y el sistema es
compatible determinado lo que indica que estas cónicas
tienen centro y que éste es
único.Ejemplo:

En la elipse del ejemplo anterior el centro
será el punto (2,2) única solución del
sistema de ecuaciones

Sin embargo si la cónica es una
parábola, todos sus puntos tienen polar. La
parábola es por tanto una cónica sin
centro.

Polo  Dada una
recta r diremos que un punto P es un polo de r respecto a
una cónica C  si r es la polar de P
respecto a C

Diámetro  Llamaremos
diámetro de una cónica C a
cualquier recta sin polo.

Diremos que dos diámetros son
conjugados si  no son asíntotas (en el caso de
la hipérbola) y uno de ellos coincide con el lugar
geométrico de los puntos medios de las cuerdas
determinadas por la cónica en las rectas paralelas al
otro.

Ecuaciones cónicas

Ecuación de la
circunferencia

Ecuación reducida

Ecuación de la elipse

Excentricidad

Ecuación reducida

Elipse de eje vertical

Elipse de eje horizontal y centro distinto
al origen

Elipse de eje vertical y centro distinto al
origen

Ecuación de la
hipérbola

Excentricidad

Asíntotas

Ecuación reducida

Hipérbola de eje vertical

Hipérbola de eje horizontal y centro
distinto al origen

Hipérbola de eje vertical y centro
distinto al origen

Hipérbola
equilátera

Hipérbola equilátera referida
a sus asíntotas

Ecuación de la
parábola

Ecuación reducida de la
parábola

De ejes el de abscisas y de vértice
el origen de coordenadas

De ejes el de ordenadas y de vértice
el origen de coordenadas

Parábola con eje paralelo a OX y
vértice distinto al origen

Parábola con eje paralelo a OY, y
vértice distinto al origen

Aplicaciones de las
cónicas

Las curvas cónicas son importantes en
astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan
según la ley de gravitación universal, sus
trayectorias describen secciones cónicas si su centro de
masa se considera en reposo. Si están relativamente
próximas describirán elipses, si se alejan
demasiado describirán hipérbolas o
parábolas.

También son importantes en aerodinámica y
en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas
por medios mecánicos con gran exactitud, logrando
superficies, formas y curvas perfectas.

Las órbitas planetarias son elipses,
así que el estudio de éstas permite determinar la
posición futura de los planetas, si habrá eclipses,
etc. Otra propiedad de la elipse es que si imaginamos que una
onda parte de uno de sus focos y rebota contra la pared, esta
pasará por el otro foco.Algunos cuerpos celestes como los
cometas o también partículas atómicas
describen trayectorias hiperbólicas en lugar de
elípticas.Las antenas para ver la televisión por
satélite reciben el nombre de parabólicas. Esta
forma es la adecuada para concentrar la señal sobre un
punto, que recibe el nombre de foco de la parábola.
Incluso he oído hablar de un ingenio parabólico que
concentra los rayos del sol en un punto y nos permite cocinar los
alimentos con energía limpia. Los faros de los coches
funcionan también con espejos parabólicos que
proyectan la luz hacia delante.

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente
refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en
dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son
muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el
principio concentrando señales recibidas desde un emisor
lejano en un receptor colocado en la posición del
foco.

La concentración de la radiación solar en
un punto, mediante un reflector parabólico tiene su
aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes
centrales captadoras de energía solar.

Análogamente, una fuente emisora situada en el
foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas
lámparas y faros tienen espejos con superficies
parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz
paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los
rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la
posición focal.

Las órbitas de planetas como la Tierra son
elípticas donde un foco corresponde al Sol. También
le corresponde esta figura a los cometas y satélites.
Además se cree que este razonamiento se aplica
también a las órbitas de los
átomos.

Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que
realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven
elípticas.

La Circunferencia en la Música

Se utilizan técnicas circunferenciales para
muchas cosas. Por ejemplo; Los Cds, piezas ordinarias en la
música actual, son una placa circular con un borde que
termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un
orificio redondo que sirve para tomar el Cd y para que la radio
lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica requieren de
mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo
tanto para su fabricación se usan las técnicas del
radio y el diámetro.

La Circunferencia en las Armas

Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento
que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro,
este diámetro es lo que se usa para medir el tamaño
de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de
pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es solo
un "nombre", sino que esto se refiere al tamaño del
agujero (cañón) por donde salen los proyectiles
(balas) del arma, usando el tamaño del diámetro y
usando una medida milimétrica para lograrlo.

La Circunferencia en el Transporte

En el transporte también podemos apreciar la
presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y
ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos
metálicos con dos ruedas que aplican la geometría
perfectamente: Las ruedas están hechas de un "arco" . La
mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y
desde este salen un montón de alambres delgados llamados
"rayos" y estos son radios que mantienen la forma circunferencial
de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de
la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el
diámetro.

 La Circunferencia en los Deportes

Quizás parezca que en la única parte en
donde podría aplicarse la Circunferencia en los deportes
sería en los balones… Pero no, si solo nos
detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las
canchas o lugares en donde se practican deportes tienen marcas
geométricas y Circunferencias que determinan situaciones
reglamentarias, etc. Los campos de Futbol, las canchas de
Basquetbol, los campos de Futbol Americano y en muchas
más.

La Circunferencia, también presente en la
Naturaleza

La circunferencia también está presente en
la naturaleza, aunque no sea totalmente precisa.

Los árboles, tipos de vida antiquísimos,
crecen con el pasar de los años. Primero crecen
pequeñas ramificaciones desde el suelo. Luego crecen
más y con esto va aumentando el grosor de su Tronco. La
circunferencia se aplica entonces debido a que las personas
relacionadas con la Naturaleza como los Ingenieros Forestales,
saben perfectamente que al cortar un árbol, se pueden
apreciar muchos "anillos" que están en el tronco. Y con el
"tamaño" de cada anillo, se puede determinar la edad que
tiene cierto árbol. Lo que nuevamente se usa, entonces, es
el diámetro de cada anillo.

En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos
con forma elíptica.

Propiedad Óptica

Consideremos un espejo que tenga forma de
hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos
choca contra el espejo, se reflejará alejándose
directamente del otro foco.

Trayectorias de cometas

Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema
solar y sea atraído por el sol, describirá una
órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y
saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con
algunos cometas.

El reloj de sol

Cada día el Sol, desde que sale por el Este y se
pone por el Oeste, describe sobre el cielo un arco de
circunferencia. Este movimiento es aparente, porque, en realidad,
es consecuencia del movimiento diario de rotación de la
Tierra. Desde hace mucho tiempo se sabe que, cuando el Sol
recorre el cielo a lo largo de un día, la sombra que
proyecta un objeto fijo describe una curva cónica. Esto se
puede comprobar experimentalmente si se va marcando, por ejemplo,
cada media hora, sobre una superficie plana el límite de
la sombra que proyecta un objeto cualquiera. Los relojes de sol
se fundamentan en este hecho. Están provistos de un
marcador o estilete, llamado gnomon, que proyecta su sombra sobre
una superficie plana donde están señalizadas las
horas. El extremo de la sombra indica la hora solar
correspondiente. El sol, por lo lejano que está, se
considera como un foco puntual de luz. La línea imaginaria
que le une con el extremo del gnomon recorre a lo largo del
día parte de la superficie de un cono, también
imaginario. La superficie de este cono se corta por el plano del
reloj donde se observa la sombra del extremo del gnomon. Por eso,
la trayectoria que sigue esa sombra es la de una cónica.
En las latitudes de la Península Ibérica (de
38º a 42º) esa cónica es siempre una
hipérbola, tanto más curvada cuanto más
próximo esté el día 21 de Junio (solsticio
de verano) o al 21 de Diciembre (solsticio de invierno). En dos
días del año, la trayectoria de la sombra que
proyecta el gnomon es una recta en todos los lugares de la
Tierra. Esto ocurre en los días 21 de marzo (equinoccio de
primavera) y 23 de septiembre (equinoccio de otoño). La
razón es que, en esos días, la trayectoria del Sol
y el extremo del gnomon están en un mismo plano que corta
al plano de observación en una recta.

Autor:

Chacaltana Martínez,
Pierre

Siancas Pérez,
Marcelo

Pérez Cumpa,
Franklin

Loyola Chávez,
Jhonatan

Lozano Gonzalo, Erick

Montoya Miranda, Jonathan

García Cruz, Luis

Huamán De La Cruz,
Diego

Ávila Collantes,
Kelvin

MONOGRAFÍA

CURSO: MATEMÁTICA

EAP: TECNOLOGÍA
MÉDICA

RADIOLOGÍA

2010