Las Cónicas (página 2)

Recíprocamente, completando el
cuadrado en y, se puede demostrar que una ecuación como la
anterior representa a una parábola cuyo eje es paralelo al
eje X.

Ecuación de la
tangente a una parábola

Como la ecuación de la
parábola es de segundo grado, consideremos los tres casos
siguientes:

• Tangente en un punto de contacto
  dado

• Tangente con una pendiente
  dada

• Tangente trazada desde un punto
  exterior

• Tangente en un punto de contacto
  dado

Vamos a determinar la ecuación de la
tangente a la parábola

Por la condición de tangencia, el
discriminante de sta última ecuación debe anularse,
y por lo tanto se obtiene

La ecuación anterior nos permite
deducir el siguiente resultado:

• Tangente con una pendiente
  dada

Consideremos el problema general de
determinar la ecuación de la tangente de pendiente
m a la parábola anterior.

• Tangente trazada desde un punto
  exterior

Para estudiar este caso resolveremos el
siguiente problema.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones de las tangentes
trazadas desde el punto (2,-4) a la parábola .

en donde el parámetro m es
la pendiente de la tangente buscada.

Reordenando la ecuación
tenemos

EJEMPLOS DE
PARÁBOLA

• Los cables de los puentes colgantes
  forman la envolvente de una parábola

• La trayectoria de proyectiles tienen
  una forma parabólica

• En la forma de antenas, telescopios,
  detectores de radar se muestra una
  parábola.

La elipse

Una elipse es la curva cerrada que resulta
al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de
simetría –con ángulo mayor que el de la
generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que
gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado,
mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal
genera un esferoide alargado.

Una elipse es el lugar geométrico de
un punto que se mueve en un plano de modo que la suma de sus
distancias as dos puntos fijos de un plano es siempre igual a una
constante, mayor que la distancia entre los dos
puntos.

Los dos puntos fijos se denominan focos de
la elipse. Tal como puede observarse en la figura, sean F Y F"
los focos de una elipse. La rexta r que pasa por los focos recibe
el nombre de eje focal.

El eje focal corta a la elipse en dos
puntos, V y V", que se denominan vértices. La
porción del eje comprendida entre los vértices, es
decir el segmento VV", se llama eje mayor. El punto C del eje
focal, punto medio que une los focos, se denomina centro. La
recta r"que pasa por C y es perpendicular ala eje focal r recibe
el nombre de eje normal. El eje normal r" corta a la elipse en
dos puntos, A y A", y el segmento AA"se denomina eje menor. Un
segmento como BB" que une los puntos diferentes cualesquiera de
la elipse, se llama cuerda. Una cuerda que pasa por uno de los
focos se denomina cuerda focal. Una cuerda focal tal como LL",
perpendicular al eje focal r, se llama lado recto. Como la elipse
tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una
cuerda que pasa por C, tal como DD", se denomina
diámetro.

Ecuaciones de la
elipse

Tal como puede observarse en la figura 3.1,
consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal
coincide con el eje X.

siendo a una constante positiva mayor que
c.

Para simplificar la ecuación
anterior, pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos
al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos
semejantes. De este modo se obtiene

Por ser a y -a las intersecciones con el
eje X, las coordenadas de los vértices V y V"son (a,0) y
(-a,0), respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a
2ª.

Las intersecciones con el eje Y son b y
–b.

Por lo tanto, las coordenadas de los
extremos A y A"del eje meno son (0,b) y (0,-b), respectivamente,
y la longitud del eje menor es igual a 2b.

Así pues, la elipse es
simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al
origen.

Despejando y en la ecuación de la
elipse se obtiene

de manera que se obtienen los alores reales
de x, únicamente para valores de y comprendidos en el
intervalo.

Consideremos ahora el caso en que el centro
de la elipse está en el origen, pero su eje focal coincide
con el eje Y. Las coordenadas de los focos son entonces (0,c) y
(0,-c). En este caso la ecuación de la elipse
es

Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes
mayor y menor de la elipse, respectivamente. Si se trasladan los
jes coordenados de manera que el nuevo origen O"coincida con el
entro (h,k) de laelipse, la ecuación de la elipse referida
a los nuevos ejes X" e Y"vendrá dada por

Consideremos la ecuación de la
elipse en la forma

Obviamente los coeficientes A y C deben
tener el mismo signo.

Recíprocamente, consideremos una
ecuación de la forma anterior y reduzcámosla a la
forma ordinaria completando cuadrados. Se obtiene

Propiedades de la
elipse

• La normal a una elipse en uno
  cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo
  formado por los radios vectores de ese punto.

EJEMPLOS DE ELIPSE

• Orbita de los planetas alrededor del
  Sol

• Cometas y Satélites como la
  orbita de la luna, describen una elipse

La
hipérbola

Una hipérbola (del griego
?pe?ß???) es una sección cónica, una curva
abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un
plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor
que el de la generatriz respecto del eje de
revolución.

Una hipérbola es el lugar
geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo
que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una cantidad
constante, positiva y menor que la distancia comprendida entre
los focos.

Tal como puede observarse en la figura, los
focos se designan por F y F". La recta r que pasa por los focos
recibe el nombre de eje focal. El eje focal corta la
hipérbola en dos puntos, V y V", denominados
vértices. La porción del eje focal comprendido
entre los vértices VV", se llama eje transverso. El punto
medio C se denomina centro. La recta r" que pasa por C y es
perpendicular al eje focal r recibe el nombre de eje normal. El
eje normal r" no corta a la hipérbola. La porción
del eje normal, el segmento AA" que tiene C por punto medio, se
denomina eje conjugado. E segmento que une dos puntos distintos
cualesquiera de la hipérbola se llama cuerda. Una cuerda
que pasa por un foco, tal como EE", recibe el nombre de cuerda
focal. Una cuerda focal como LL", perpendicular a l eje focal r,
se denomina lado recto. Evidentemente la hipérbola tiene
dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD", se
llama diámetro. Si P es un punto cualquiera de la
hipérbola, los segmentos FP y F"P que unen los focos con
el punto P se denominan radios vectores de P.

Ecuaciones de la
hipérbola

Tal como puede observarse en la figura 5-1,
consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo
eje focal coincide con el eje X.

Si el centro de la hipérbola no
está en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes
coordenados se obtiene el siguiente resultado:

Asíntotas de
la hipérbola

Si un punto de la hipérbola se mueve
a lo largo de la curva, de manera que su abscisa x
aumente ilimitadamente, el radical del segundo miembro de la
ecuación anterior se aprxima cada vez más a la
unidad y la ecuación tiende a la forma

Los resultados anteriores pueden resumirse
del modo siguiente:

Como estas rectas son perpendiculares,
resulta que las asíntotas de la hipérbola
equilátera son perpendiculares entre sí. Por este
motivo la hipérbola equilátera se denomina
también hipérbola rectangular.

Una forma particularmente útil de la
hipérbola equilátera es

en donde k es una constante cualquiera
diferente de cero.

Si dos hipérbolas son tales que el
eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de
la otra, se dice que son hipérbolas conjugadas.

Puesto que la ecuación de la
hipérbola es

En la figura 5-2 se han representado un par
de hipérbolas conjugadas, junto con sus respectivas
asíntotas.

Propiedades de la
hipérbola

EJEMPLOS DE
HIPÉRBOLA

• Un avión que vuela a velocidad
  supersónica paralelamente a la superficie de la
  tierra, deja una huella acústica hiperbólica
  sobre la superficie

• La intersección de una pared y
  el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con
  pantalla troncocónica, es una
  hipérbola.

Problemas
resueltos

Ejercicio 1:

Identifica la siguiente
cónica, halla sus focos y su
excentricidad:

Ejercicio 2 :

Identifica esta cónica y
halla sus elementos

Ejercicio 3 :

Dada la siguiente cónica,
identifícala, obtén sus elementos
característicos

Ejercicio 4:

Describe la siguiente cónica,
obtén sus elementos

Ejercicios
propuestos

1. Encontrar la ecuación de
la parábola que satisface las condiciones
dadas: 

a. F(3, 0), V(2, 0) 

b. F(0, 0), V(-1, 0) 

c. F(2, 3), directriz: x =
6 

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la
parábola pasa por el punto (2, 2) 

e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la
parábola pasa por el punto (2, 2) 

f. Eje focal vertical, y la parábola
pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16,
-7) 

2. Cada una de las ecuaciones
descritas a continuación corresponden a parábolas.
Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la
directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de
la tangente en el vértice. 

3. Demuestre que la ecuación
de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q)
de la curva, viene dada por: px = 2c(y +
q). 

4.  a. Demuestre que la
ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el
punto (p, q) de la curva, viene dada por:

.

b. Demuestre que la ecuación
de la normal a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de
la curva, viene dada por: 

5.   a. Demuestre
que la perpendicular desde el foco a la tangente trazada por un
punto cualqui- era de la parábola corta a esta en un punto
localizado sobre el eje y. 

6. Determine el punto máximo
(mínimo) de las siguientes
parábolas: 

7. Para cada una de las siguientes
ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas
determinando además los vértices y los
focos: 

8. En los siguientes ejercicios
encuentre la ecuación de la elipse que satisface las
condiciones dadas. Trace su gráfica

9. En cada uno de los ejercicios
siguientes encuentre el centro, los focos y los vértices
de cada elipse. Trace la gráfica
correspondiente. 

10. Demuestre que una
ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0 con A ¹ 0, C
¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son del mismo
signo: 

a. Es la ecuación de una elipse con
centro en (0, 0) si A ¹ C 

b. Es la ecuación de un
círculo con centro en (0, 0) si A = C 

Aplicaciones en la
vida diaria

Resumimos a continuación las
diferentes aplicaciones que las secciones cónicas tienen
en la vida real:

• Los cables de los puentes colgantes
  tienen forma parabólica (forman la envolvente de una
  parábola). Se creía hace tiempo que las cuerdas
  o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por
  sus extremos también formaban parábolas (hoy
  sabemos que la curva que describen es un coseno
  hiperbólico).

• Las trayectorias de los proyectiles
  tienen forma parabólica. Los chorros de agua que salen
  de un surtidor tienen también forma parabólica.
  Si salen varios chorros de un mismo punto a la misma
  velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la
  envolvente de esta familia de parábolas es otra
  parábola (llamada en balística parábola
  de seguridad, pues por encima de ella no es posible que pase
  ningún punto de las parábolas de la familia).
  El mayor alcance que se puede obtener es aquél en que
  el ángulo de inclinación inicial es de 45
  grados.

• La forma de los telescopios, detectores
  de radar y reflectores luminosos son parabólicas. En
  los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco
  de la parábola, de modo que los rayos, al reflejarse
  en la lámpara, salen formando rayos paralelos. La nave
  espacial PLUTO de la NASA incorpora también un
  reflector parabólico. Recordar también el
  conocido efecto de quemar un hoja de papel concentrando los
  rayos solares mediante un espejo
  parabólico.

• Un telescopio de espejo líquido
  es un telescopio reflectante (es decir, que usa la propiedad
  reflectante de la parábola) cuyo espejo principal
  está hecho de mercurio líquido. Un famoso
  ejemplo lo constituye el telescopio HUBBLE situado en el
  espacio exterior. El problema es cómo puede un
  líquido formar un espejo parabólico y por
  qué se quiere así. La respuesta es que si se
  tiene un contenedor giratorio de líquido, la
  superficie del mismo formará un paraboloide perfecto,
  incluso si la superficie interior del contenedor tiene
  imperfecciones. De este modo, no es necesario el pulido de
  los lentes y además los espejos pueden hacerse
  más grandes que los sólidos. Al utilizar
  mercurio líquido se consigue que los espejos sean
  más baratos que los tradicionales (sólo hace
  falta una capa muy fina de mercurio pues este es muy
  pesado).

• Las órbitas de los planetas
  alrededor del sol son elípticas (el sol se encuentra
  en uno de los focos). La excentricidad de la órbita de
  la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente 0,0167. La de
  mayor excentricidad es la órbita de Plutón,
  0,2481, que incluso es pequeña. Los cometas y los
  satélites también describen órbitas
  elípticas. En el extremo contrario está el
  cometa HALLEY cuya excentricidad es de 0,9675, muy
  próxima a 1.

• En diseño artístico es
  común encuadrar retratos y fotografías en un
  marco con forma elíptica. La mayoría de los
  dispositivos usados para recortar figuras elípticas
  están basadas en las ecuaciones de la elipse como
  comentamos anteriormente.

• Una revolucionaria técnica
  médica introducida a mediados de la década
  pasada para el tratamiento de los cálculos renales
  utiliza propiedades reflexivas de las cónicas. La idea
  principal consiste en usar ondas sonoras intensas generadas
  fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras y
  convertirlas en arena que pueda ser fácilmente
  eliminada por el organismo. La clave está en enfocar
  las ondas para que no afecten al cuerpo, sólo al
  cálculo. Para ello se usa una cámara
  semielipsoidal. En uno de sus focos se crea una poderosa
  chispa que evapora agua. La parte que golpea el reflector
  converge en el otro foco, donde se encuentra la piedra, con
  toda su intensidad, provocando su destrucción. La
  mejor cura para un cálculo es un poco de
  cálculo. Este tratamiento se aplica en la actualidad
  en más del 80% de piedras en el riñón y
  la uretra. Además el tiempo de recuperación es
  de 3 días en comparación con las dos semanas
  con la cirugía convencional, así como la tasa
  de mortalidad es del 0,01% frente al 2% del método
  tradicional.

Conclusiones

• Esta monografía acerca de las
  cónicas, nos ayudó mucho a aclarar ciertas
  dudas que teníamos sobre este tema.

• En este trabajo hemos podido ampliar
  nuestros conocimientos acerca de las secciones
  cónicas, conocer mejor las cónicas, como por
  ejemplo Elipse (Son figuras geométricas cerradas,
  formadas por segmentos de recta); Hipérbola, Lugar
  geométrico de todos los puntos para las cuales la
  diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados
  focos es constante. Una parábola es una línea
  que se puede ajustar, en un espacio bidimensional y en
  relación a sistema de coordenadas ortonormales, con la
  relación y=a.x²+b, o la aplicación de una
  transformación que represente un giro, a dicha
  relación.

• Otro punto de vital importancia es que
  nos hemos podido dar cuenta de que las cónicas no son
  un simple tema de teoría en matemáticas, sino
  que también tienen mucha relación con nuestras
  vidas ya que en todas partes siempre vamos a encontrar
  algún tipo de sección cónica.

• Hemos tenido la oportunidad de saber
  qué son y para qué nos sirven estas secciones
  cónicas de las que nos habla tanto el tema, incluso
  hemos llegado a conocer que algunos de estos usos resultaron
  muy importantes, desde un uso cualquiera en situaciones
  comunes n casa o en la calle, hasta su utilización en
  los avances tecnológicos.

• También hemos podido Identificar
  y establecer la relación existente entre el
  Álgebra y la Geometría como consecuencia de la
  asociación de ecuaciones y figuras
  geométricas.

Autor:

Rosita