Una solución a la de cuarto (Matemáticas) (página 2)

, de donde;

, que es una ecuación de segundo grado con
coeficientes complejos la cual es resoluble;

, de modo que;

(9)

, es la solución a la ecuación (3), de
aquí es posible deducir todas las soluciones,
después de mucho intentos infructuosos es posible, dudar
acerca de la valides de la ecuación bien que es un
método de resolución legitimo, es posible asimismo
resolver la ecuación completa, si la ecuación
es;

(10)

, haciendo;

, llegamos al siguiente sistema de
ecuaciones;

, de manera que;

(11)

, que es la resolvente de sexto grado de la
ecuación de cuarto análogamente;

, de aquí se llega a la
ecuación;

(12)

, de manera que mediante este método es posible
resolver la ecuación general de cuarto grado, un corolario
interesante de esta ecuación es que es posible mediante la
primera ecuación demostrar que una ecuación de la
forma (3) posee por lo menos dos soluciones conjugadas complejas,
si la ecuación de cuarto se expresa mediante coeficientes
reales.

Entiendo que sea un poco complicado, de resolver, debido
a la introducción de números complejos, aquí
presento un M file para ser utilizado con el programa Matlab, o
cualquiera de otras versiones de software libre que lo
emulan;

% Programa para el calculo de la raíces de la
ecuación

%

% x^4 + ax^2 + bx + c = 0

%

% Autor: Gaddy Alcalá

% Fecha: 07/08/2008

%

%

a = input('a = ');

b = input('b = ');

c = input('c = ');

p = -2*a;

q = a^2 – 4*c;

r = b^2;

u = roots([1;p;q;r]);

u(1) = sqrt(u(1));

v = b/(2*u(1));

% soluciones

x_1 = i*u(1)/2 + sqrt(u(1)^2/4 +i*v –
a/2)

x_2 = i*u(1)/2 – sqrt(u(1)^2/4+i*v –
a/2)

x_3 = -i*u(1)/2 + sqrt(u(1)^2/4-i*v –
a/2)

x_4 = -i*u(1)/2 – sqrt(u(1)^2/4-i*v –
a/2)

% Evaluación de las
soluciones

x_1^4 + a*x_1^2 + b*x_1 + c

x_2^4 + a*x_2^2 + b*x_2 + c

x_3^4 + a*x_3^2 + b*x_3 + c

x_4^4 + a*x_4^2 + b*x_4 + c

, el programa puede ser mejorado, y operar de esta forma
con las transformadas de Tschirnhaussen, o cualquier transformada
para llegar a la solución general, nótese que el
símbolo "%" en Matlab es una observación, puede
pegarse, o puede editarse un M file.

Autor:

Gaddy Alcalá F.