Solucionario del cuarto módulo de resolución de problemas matemáticos (página 3)

En la 2ª posición tiene que ir ahora un
libro azul (para que no haya libros vecinos con pasta del mismo
color) y como hay tres para escoger tenemos entonces
también 3 libros para escoger y colocar en esta
posición.

En la 3ª posición tiene que ir un libro
Rojo; y como uno de ellos ya se quedó en la 1ª
posición, solamente quedarían para escoger
cualquiera de los otros dos:

En la 4ª posición tiene que ir un libro Azul
y como uno de ellos ya se colocó en la 2ª
posición, solo quedaría para escoger cualquiera de
los otros dos.

En la 5ª posición tiene que ir un libro
Rojo; y como dos de ellos ya están ubicados en la 1ª
y 3ª posición, quedaría para escoger el
único libro Rojo que queda para esta
posición.

Igualmente seguirá en la 6ª posición
el único libro Azul; que queda:

Ahora aplicando el principio de la multiplicación
en Combinatoria, obtenemos el número de formas posibles de
arreglo, para este primer caso:

3 × 3 × 2 × 2 × 1
× 1 = 36 formas.

Segundo caso:

Si ahora empezamos colocando en la 1ª
posición un libro azul (siguiendo el mismo análisis
del primer caso, obtendríamos 36 formas de arreglo
más.

Luego: En total hay: 36 + 36 = 72 formas
diferentes de arreglar los 6 libros.

Respuesta: Hay 72 formas
diferentes de arreglar los libros de tal manera que los libros
vecinos no tengan pastas del mismo color.

• 32. Familiarización y
  comprensión:

En la sucesión: 1, 2, 3, . . . . , 8, 9, 10, 11,
… , 98, 99, 100.

El dígito 9 puede ocupar el orden de unidades y/o
el orden de decenas de un número. Por ejemplo: en el 29 el
9 aparece una vez como cifra de unidades; en el 94;el 9 aparece
como cifra de decenas, y en el 99 aparece 2 veces tanto en la
cifra de unidades como de decenas.

Búsqueda estrategias:

Contaremos el número de dígitos 9 que
aparecen como unidades y luego los que aparecen como decenas y
sumaremos los resultados para obtener la cantidad
pedida.

Ejecución:

El 9 aparece como unidades en los números: 9, 19,
29, …, 89, 99 ( son 10 veces

El 9 aparece como decenas en: 90, 91, 92, …, 98,
99 ( también son 10 veces

En total son 10 + 10 = 20 veces que se escribe el
dígito 9.

Respuesta: El dígito 9 se
escribe 20 veces.

• 33.  Del grupo de 30 personas, se
  mencionan a su vez a dos conjuntos:

Los que hablan francés y los que hablan
español, así como su intersección (o sea los
que hablan francés y a la ves español).

En estos problemas conviene usar diagramas de Venn para
visualizar las relaciones entre los datos.

Sea:

? el conjunto de todas las personas en la
reunión, y por dato su número de elementos es: n(?)
= 30

F el conjunto de las personas que hablan francés:
n(F) = 18

E el conjunto de las personas que hablan español:
n(E) = 15

Y la intersección F ( E será el
conjunto de las personas que hablan francés y
español: n(F ( E) = 7

En un diagrama de Venn: colocamos los datos
numéricos.

Luego: El número de personas que hablan
francés pero no español es: 18 – 7 =
11

E igualmente el número de los que hablan
español pero no francés es: 15 – 7 =
8

El número de los que no hablan francés ni
español sería: 30 – (11 + 7 + 8) =
4

Luego: La probabilidad de que al escoger al azar
a una persona de las 30 personas, ésta no hable
francés ni español es:

Respuesta: La probabilidad de que al escoger al
azar una persona, ésta no hable francés ni
español es

• 34. Familiarización y
  comprensión:

Como cada dado tiene 6 caras, marcadas con puntos desde
1 al 6, al arrojar los dados, el número total de puntajes
posibles de obtener, aplicando el principio de
multiplicación de la Combinatoria es:

Estas 36 posibilidades serían:

De estas posibilidades las que suman un puntaje de ocho
son:

(2;6) ; (3;5) ; (4;4) ; (5;3) ; (6;2) o sea 5
parejas.

Luego, la probabilidad de que al arrojar los dos
dados se obtenga una suma igual a 8, es:

Respuesta:

La probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga
una suma igual a 8 es

En la urna hay: 10 bolitas rojas.

15 bolitas verdes.

y 8 bolitas azules.

Para saber el mínimo número de bolitas que
debemos sacar de la urna para tener la certeza que se ha sacado
por lo menos 1 bolita roja y 2 bolitas azules, usaremos el
método del caso crítico o más desfavorable
que ya conocemos.

El caso crítico (o más desfavorable)
será aquel en el que saquemos la mayor cantidad posible de
bolitas pero sin que se cumpla la condición del
problema.

Al sacar estas 26 bolitas quedarían en la urna 7
bolitas azules y todavía no cumplimos la condición,
porque faltaría una bolita azul (para tener las 2 bolitas
azules).

Luego, tenemos que sacar una bolita más (que va a
ser azul) para tener la certeza de contar siempre con 1 bolita
roja y 2 bolitas azules, por lo menos.

Respuesta: El número de bolitas que
debemos sacar para tener la certeza de que en el grupo hay por lo
menos una bolita roja y dos bolitas azules es
27.

• 36. Familiarización y
  comprensión

En un diagrama estadístico circular o de sectores
circulares, se establece una correspondencia proporcional entre
la medida del ángulo central del sector circular que
representa a un rubro y el porcentaje del total que representa
dicho rubro.

Así: 360° (una vuelta) corresponde al
100%

180° corresponde al 50%

Si x° corresponde al y%

Por proporcionalidad se obtiene:

Y se puede obtener el ángulo del sector circular
o el porcentaje de un rubro determinado según sea el
caso.

Búsqueda de estrategias:

Como ya hemos establecido, aplicaremos proporcionalidad
directa para responder a las preguntas que se hagan en un
diagrama circular, teniendo como partida que:

360° (una vuelta) corresponde al 100%
(total) de los datos estadísticos

O sea que la suma de los ángulos de todos los
sectores circulares debe ser 360° y la suma de los
porcentajes representados por todos los sectores circulares debe
ser 100%.

Ejecución del Plan:

Como nos faltan los porcentajes correspondientes a los
rubros de Educación y "Reserva en efectivo", sumaremos
todos los porcentajes y el resultado debe ser 100%, [por dato, si
la compañía guardó como reserva en efectivo
x%, en Educación invirtió el triple o sea (3x)%
].

De donde: 4x = 12

x = 3

Luego: En "Reserva en efectivo" se guardo: 3% y
en Educación se invirtió 3 × 3 =
9%.

• (a) ¿Cuánto se invirtió
  en Educación?

Según hemos determinado, en Educación se
invirtió el 9% del total de las inversiones

O sea: 9% de 250 000 dólares

• (b) ¿Cuál debe ser la medida
  en grados sexagesimales del ángulo central que
  corresponde al sector "Servicios
  Públicos"?

Sea "(" la medida del ángulo central del sector:
"Servicios Públicos".

Del gráfico vemos que la inversión en
Servicios Públicos fue el 35% del total y según
hemos visto, la correspondencia proporcional que se debe plantear
es::

Respuestas:

a) En "Educación" invirtieron 22500
dólares.

b) La medida del ángulo central que
corresponde a "Servicios Públicos" es:

26° sexagesimales.

• 37. Como en la bolsa habían 4
  bolas:

1 bola negra.

1 bola blanca.

2 bolas rojas.

Entonces al sacar dos bolas de la bolsa y siendo una de
ellas roja, las posibles combinaciones que tendría en sus
manos la persona serían:

(1 roja y 1 roja)

(1 roja y 1 negra)

(1 roja y 1 blanca)

Luego: La probabilidad de que la otra bola sea
también roja es 1 caso favorable de un total de 3 posibles
o sea .

Respuesta: La probabilidad de que la
otra bola sea también roja es:

• 38.  Representaremos por ? a un caníbal
  y por ? a un misionero.

IMAGINACIÓN
GEOMÉTRICA:

Observar que las 8 tarjetas son del mismo tamaño
y forma y que la tarjeta A, es la que se ve
completamente.

Después de hacer un análisis visual
podemos deducir que el orden en que han sido colocadas empezando
por la primera es: E – F – G – H – B
– C – D – A.

El siguiente esquema muestra la forma:

Respuesta:

El orden en que se colocaron las tarjetas, comenzando
por la última hasta llegar a la primera, fue: A – D
– C – B – H – G – F –
E.

En todo rectángulo (entre los cuales se
incluye el cuadrado también) hay dos propiedades
básicas relativas a áreas:

• 1) La diagonal de un rectángulo, lo
  divide en dos triángulos de igual
  área:

• 2) Si dos vértices adyacentes de un
  rectángulo se unen mediante un segmento con un mismo
  punto del lado opuesto, se forma un triángulo cuya
  área es la mitad de la del rectángulo y la suma
  de los otros dos triángulos será también
  la mitad de la del rectángulo.

En el gráfico del problema:

Como el área del cuadrado ABCD es 108cm2, al
trazar la diagonal AC del cuadrado, por la propiedad (1), el
área del triángulo ADC es la mitad del área
del cuadrado o sea:

Igualmente, como el triángulo ADC ha sido formado
uniendo 2 vértices adyacentes del rectángulo ACEF,
con un punto D del lado opuesto, por la propiedad (2), el
área de este triángulo ADC (que es 54 cm2) es la
mitad del área del rectángulo ACEF.

Luego el área del rectángulo ACEF es:
2(54) = 108 cm2.

Respuesta: El área del
rectángulo ACEF es 108 cm2.

• 41.  Familiarización y
  comprensión:

En el diagrama se muestra el triángulo QPR con la
medida de dos de sus ángulos interiores (falta el tercero)
y también se muestran tres ángulos consecutivos al
mismo lado de una línea recta y exactamente uno de estos
ángulos es el ángulo del triángulo cuya
medida no conocemos.

Búsqueda de estrategias:

Para hallar "x" aplicaremos:

• 2) La suma de las medidas de los tres
  ángulos interiores de un triángulo es
  180°.

• 3) La suma de las medidas de los ángulos
  consecutivos y que están a un mismo lado de una recta
  es 180°.

Ejecución del Plan:

Por la propiedad (1), en el triángulo QPR: 46 +
52 + m = 180°

De donde despejando m = 180° – 98 =
82°

Por la propiedad (2), en la recta QRS: la suma de los
tres ángulos consecutivos es 180°

m + x + 25 = 180°

y reemplazando m = 82 y despejando: x = 180 – 25
– 82 = 73

Luego: x = 73°

Respuesta: El valor de x es
73°

• 42. Familiarización y
  comprensión:

El siguiente esquema muestra como sería el
área del terreno de la casa de la familia Maldonado y de
cómo estaría sujeto su perro
Gastón.

Tenemos que determinar el área cubierta o
protegida por Gastón.

Búsqueda de estrategias:

Tenemos que visualizar las figuras que se
formarán al desplazarse Gastón alrededor de la casa
y luego calcularemos el área de cada figura aplicando las
fórmulas correspondientes y por último sumaremos
los resultados.

Ejecución del Plan:

Gastón al desplazarse, sujeto al punto P con la
cuerda de 20 m de largo, formará las siguientes
figuras.

Parte (a)

Podemos observar que se formó:

Los de
un círculo de radio 20m más 2 cuartos de
círculo de radio 10 metros.

o sea de
un círculo de radio 20m más círculo de radio
10m.

Parte (b):

Calculando:

Área de de un círculo de radio 20m:

Área de de un círculo de radio 10m:

Luego:

El área en metros cuadrados de la zona por la que
se podrá mover Gastón es:

300( + 50( = 350(.

O efectuando operaciones: 350 × (3,1416) =
1099,56m2.

Respuesta: El área, en
metros cuadrados, de la zona por la que se podrá mover
Gastón es 1099,56 m2.

• 43. Familiarización y
  comprensión:

Los puntos E y F son puntos medios de los lados
y CD
respectivamente del cuadrilátero ABCD.

Si el vértice A, lo unimos con estos puntos E y F
se forma un cuadrilátero AECF que, según dato,
tiene un área de 15cm2.

Ahora nos piden hallar el área del
cuadrilátero ABCD en cm2.

Búsqueda de estrategias:

Como se ha unido el vértice A a los puntos medios
de BC y CD podemos formar los triángulos ABC y ACD y las
líneas trazadas AE y AF serían medianas de estos
triángulos y luego aplicaremos la siguiente propiedad de
la mediana:

Propiedad:

Cualquiera de las medianas de un triángulo divide
al triángulo en otros dos que tienen la misma
área.

Como E es el punto medio de BC, AE es una mediana y como
los triángulo ABE y AEC tienen bases de igual medida (BE =
EC) y también tienen igual altura entonces tendría
igual área. Luego:

Área de ABE = Área de
ACE.

Ejecución del Plan:

Si en la figura dada como dato, se une el vértice
A con los puntos E; C y F, se tendría:

DATO:

ÁREA DEL CUADRILÁTERO AECF
15cm2.

En esta figura, se formó el triángulo ABC,
y donde, por ser E el punto medio de BC, se tendría que AE
es mediana del triángulo ABC.

Por la propiedad de la mediana, los triángulos
ABE y AEC tiene la misma área. Representaremos por "a" al
valor del área de cada uno de estos
triángulos.

Igualmente, en el triángulo ACD, AF es la mediana
y los triángulo ACF y AFD tiene la misma área.
Representaremos por "b" al valor del área de cada uno de
estos triángulos:

Como podemos observar el área que tenemos que
hallar (del cuadrilátero ABCD) se puede descomponer como
la suma de las áreas de 4 triángulos indicados en
la figura:

ó

Pero: (a + b) es equivalente al área
del cuadrilátero AECF que por dato es 15cm2.

Luego:

Respuesta: El área del
cuadrilátero ABCD es 30 cm2.

• 44. Nos piden: ¿Qué
  fracción del rectángulo ABCD esta
  sombreada?

Luego tenemos que hallar:

Para determinar esta relación,
podemos dividir el rectángulo ABCD (cuyo ancho es 6
unidades) en 6 rectángulos pequeños de ancho una
unidad y cuyas alturas sean iguales a las del rectángulo
ABCD.

Cada uno de estos rectángulos
representaría la sexta parte del rectángulo
grande.

Como observamos en la figura, la
línea MN es una diagonal del tercer rectángulo
pequeño y por la propiedad analizada en un problema
anterior, esta diagonal dividirá al rectángulo
pequeño en dos triángulos de igual
área.

Luego el área de cada uno de estos
triángulos será la mitad de o sea:

del rectángulo.

Ahora sí podemos hallar el
área sombreada:

Y como:

Se tiene que:

Área sombreada ABMN = del área del
rectángulo.

Y despejando hallamos la razón
ó fracción pedida:

Respuesta: El área
sombreada es los del área del rectángulo
ABCD.

• 45. 

En este problema nos piden el valor de la
siguiente razón:

Primera forma:

Por dato si el radio del círculo grande es 6
unidades, el radio del círculo pequeño es:
unidad y el radio
del círculo mediano es el doble del radio del
círculo pequeño ó sea: 2
unidades.

Luego, aplicando la fórmula del área del
círculo: Área = ? (radio)2

A del círculo grande = ? (6)2 = 36 ?
unidades cuadradas.

A del círculo mediano = ? (2)2 = 4 ?
unidades cuadradas.

A del círculo pequeño = ?
(1)2 = ? unidades cuadradas.

Pero el área sombreada
sería:

(Área total del círculo grande) –
(Área del círculo mediano) – 2(Área
del círculo pequeño)

o sea: Área de la figura sombreada =
36 ? – 4 ? – 2 (?? = 30 ?.

Ahora si podemos hallar la relación
pedida:

y simplificando:

Respuesta: Está sombreado
los del
círculo grande.

Segunda forma:

También podríamos usar
proporcionalidad diciendo:

Como la fórmula del Área del
círculo = ? (radio)2

Se observa que: el área de un
círculo es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al cuadrado del
radio.

Ahora según datos:

Los radios de los círculos
pequeño, mediano y grande son como 1 ; 2 y 6
respectivamente.

Y como las áreas son proporcionales
a los cuadrados de los radios; entonces:

Las áreas serán como: 12 = 1
22 = 4 y 62 = 36

Luego el área del círculo
grande es como 36

Y el área sombreada es como 36
– 4 – 2(1) = 30

Reemplazando en la fórmula
pedida:

• 46. El siguiente es un rectángulo que ha
  sido dividido en 4 rectángulos más
  pequeños y donde los números dados indican el
  área (en medidas cuadradas) del rectángulo
  pequeño donde se encuentran.

Si llamamos a, b, c y d, a las medidas de unidades de
los lados mostrados y sabiendo que en los rectángulos los
lados opuestos tienen igual medida, podemos aplicar las
fórmulas del área para cada
rectángulo.

b × c = 9 (1)

a × c = 6 (2)

a × d = 10 (3)

Multiplicando miembro a miembro (1) y
(3)

b × c × a × d = 9 ×
10

y reemplazando la relación (2): a
× c = 6, obtenemos que:

b × 6 × d = 90

de donde: b × d = 15

y esta última relación es
precisamente el área del 4°
rectángulo.

Luego:

Área del rectángulo grande: 6
+ 9 + 10 + 15 = 40

Respuesta: El área del
rectángulo grande es 40 unidades
cuadradas.

Como según dato la figura siguiente en forma de
"jarra":

Ha sido formada por tres "cuartos de circunferencia" y
un "tres cuartos de circunferencia", podemos completar las 4
circunferencias y obtenemos la siguiente figura.

Ahora, los "cuarto de circunferencia" a, b y c, que
forman parte de la "jarra" los podemos trasladar a los cuartos de
las circunferencias en blanco que están dentro del
cuadrado.

Luego, estaríamos mostrando que el área
del cuadrado es equivalente al área de la jarra y como el
lado del cuadrado es el doble del radio mide: 10 + 10 = 20
cm.

( El área de la jarra es: 20 × 20 =
400cm2.

Respuesta: El área de la
figura en forma de jarra es 400cm2.

48.

Si ABCD es un rectángulo, nos piden
determinar.

¿Cuál de los rectángulos sombreados
S1 ó S2 en la siguiente figura tiene mayor
área?

Nuevamente en este problema aparece una diagonal que
divide a un rectángulo en triángulos de igual
área.

Si colocamos letras de identificación a los
vértices:

En el rectángulo mBnr la diagonal la divide en
dos triángulos de igual área. Llamaremos "a" al
valor del área de cada triángulo.

En el rectángulo qrpD la diagonal rD lo divide en
dos triángulos de igual área. Llamaremos "b" al
valor del área de cada uno de estos
triángulos.

También llamaremos S1 y S2 a las áreas
sombradas.

Pero, en el Rectángulo AVCD, la diagonal BD
también lo divide en dos triángulos de igual
área:

Área del triángulo ABD = Área del
triángulo DBC

Y reemplazando los valores:

a + S1 + b = a + S2 + b

de donde cancelando a y b queda que:

S1 = S2

Respuesta: Los rectángulos
sombreados tienen igual área.

INVESTIGACIONES
MATEMÁTICAS

INVESTIGACIÓN Nº 1: LOS
PENTOMINÓS

• a) ¿Cuántos Pentominós
  diferentes existen?

De acuerdo a las condiciones dadas para formar los
Pentominós y luego de hacer los análisis
correspondientes, nos damos cuanta que existen 12 posibles
"Pentominós" y sus formas son:

Para acordarse de los 12 Pentominós pueden notar
que sus formas parecen la últimas letras del alfabeto: T,
U, V, W, X, Y y Z, además de las letras diferentes de la
palabra FELIPIN (F ; I ; L ; P y N).

• b) Usando cada Pentominó diferente
  una sola vez recubre exactamente el área de los
  siguientes rectángulos:

Solución:

INVESTIGACIÓN Nº 2: ROTULAN
ARROZ

EJEMPLO 1:

De la noticia podemos leer los siguientes
datos:

Se decomisó 50 toneladas de arroz = 50 ×
1000 = 50000 kilos de arroz.

Se decomisaron: 1170 sacos de arroz.

El producto decomisado está valorizado en: 60 mil
soles aproximadamente.

Solución a las preguntas del primer
ejemplo:

• 1) Si todos los sacos de arroz tienen el mismo
  peso

¿Cuántos kilos de arroz entran en un
saco?

Según dato en los 1170 sacos entran 50000 kilos
de arroz.

Luego, en cada saco entran:

• 2) ¿Cuál es el precio de un kilo
  de arroz?

Según dato el valor de los 50000 kilos de arroz
es 60000 soles aproximadamente,

Luego, cada kilo de arroz vale:

• 3) ¿Cuál es el precio de un saco
  de arroz?

Como el precio de un kilo de arroz vale 1,20 soles y en
cada saco entran 42,74 kilos, entonces, el precio del contenido
de un saco es:

EJEMPLO 2:

Solución a las preguntas del primer
ejemplo:

• 1) ¿Cuántas manos de
  plátano fueron incautadas por la
  policía?

Como 5 unidades de plátano forman 1 mano de
plátanos, las 20000 unidades de plátano incautadas
formarán:

20000 : 5 = 4000 manos de
plátanos.

• 2) ¿Cuál es el valor en soles de
  los plátanos incautados por la
  policía?

Como se incautaron 20000 unidades de plátano,
esta cantidad equivale a 20 millares y como el precio del millar
del plátano incautado es 30 soles, el valor de los
plátanos incautados es:

• 3) Si el precio del plátano ecuatoriano
  es treinta soles el millar y el precio del plátano
  nacional es setenta soles el millar según informan,
  entonces el precio del plátano ecuatoriano
  ¿cuánto por ciento inferior es con respecto al
  precio del plátano nacional? Compara tu resultado con
  el de la noticia y coméntalo.

Considerando el precio del plátano nacional como
referencia:

El precio del plátano nacional es: S/. 70 el
millar . . . . . 100%

El precio de plátano ecuatoriano es: S/. 30 el
millar . . . . . x%

Y es inferior que el plátano nacional, es: S/. 40
el millar . . . . . y%

Luego, resolviendo las reglas de tres simple directas,
para despejar "x" e "y":

Luego, el precio del plátano ecuatoriano es (y):
57,14% inferior al precio del plátano nacional y no 70%
como informaron en la noticia.

Autor:

Carlos Alberto Yampufe Requejo