Solucionario del tercer módulo de resolución de problemas (página 3)

y reemplazando los datos numéricos hallados se tiene:

• 44. Del gráfico, donde se encuentran los valores numéricos de los datos, podemos obtener el perímetro del trapecio ABCD

Respuesta: El perímetro del trapecio ABCD es 34 unidades.

• 45. Familiarización y comprensión:

• Como nos dan las medidas de los tres lados del terreno triangular podemos determinar si el triángulo (del terreno) es rectángulo ó no.

Comprobando: 202 = 400

y: 162 + 122 = 256 + 144 = 400

Luego como la medida del cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos, según el recíproco del Teorema de Pitágoras, el terreno tiene la forma de un triángulo rectángulo.

• También nos damos cuenta que el área de hierba que podría comer la jirafa tiene un ancho constante de 2 metros alrededor del cerco triangular.

Búsqueda de estrategias:

El área de hierba que podría comer la jirafa se puede descomponer como la suma de las áreas de tres rectángulos más la suma de las áreas de tres sectores circulares.

Ejecución:

En el siguiente gráfico, mostramos el área total de hierba que puede comer la jirafa, descompuesta en 3 rectángulos y 3 sectores circulares.

• a) La suma de las áreas de los tres rectángulos es; (aplicando la fórmula)

20 × 2 + 16 × 2 + 12 × 2 = 96 m2

• b) Ahora los tres sectores circulares tienen el mismo radio (2 metros) y se pueden entonces ensamblar dentro de un mismo círculo de radio 2m.

Para esto tenemos que hallar la suma de los ángulos m; n y p y ver qué parte del círculo ocupan.

m = 360 – ( 90 + 90 + ( ) = 180 – (

n = 360 – ( 90 + 90 + ( ) = 180 – (

p = 90° = 90°

Luego sumando miembro a miembro:

m + n + p = (180 + 180 + 90) – (( + () …. (1)

Pero como la suma de las medidas de los tres ángulos internos del triángulo debe ser 180°, y como uno de los ángulos es 90°, se tiene que: ( + ( = 90° …. (2)

Reemplazando (2) en (1):

m + n + p = ( 180 + 180 + 90 ) – ( 90 ) = 360°

Luego, los tres sectores circulares juntos forman exactamente un círculo completo ya que la suma de sus ángulos de es 360° (una vuelta):

y la suma de las áreas de los tres sectores circulares será igual al área de un círculo de radio 2m, ó sea:

Luego, el área total de hierba que puede comer la jirafa es igual a:

La suma de las áreas de los 3 rectángulos + la suma de las áreas de los 3 sectores.

y reemplazando los valores hallados obtenemos:

96 + 4( y si asumimos: ( ˜ 3,14

96 + 4 (3,14) = 108,56 m2 (aproximadamente)

Respuesta:

El área en m2 que la jirafa podría comer es 108,56 m2 aproximadamente.

• 46. Llamaremos "a"; "b"; "c"; "m"; "n" y "p" a las medidas de los segmentos indicados en la figura:

Nos piden hallar el perímetro del rectángulo grande, que sería:

2 × (a + b + c + m + n + p) ………….. (1)

Según dato el número que está en el interior de un rectángulo indica su perímetro, y como sabemos que los lados opuestos de los rectángulos tienen igual medida podemos plantear las siguientes relaciones que indican el perímetro de cada rectángulo.

2 (m + b) = 6 ( m + b = 3 (2)

2 (n + a) = 12 ( n + a = 6 (3)

2 (n + b) = 4 ( n + b = 2 (4)

2 (n + c) = 5 ( n + c = 2,5 (5)

2 (p + b) = 8 ( p + b = 4 (6)

Sumando (2) + (4) + (6) miembro a miembro:

m + b + n + b + p + b = 3 + 2 + 4

(m + n + p) + 3b = 9 ………………… (7)

Sumando (3) + (4) + (5) miembro a miembro:

n + a + n + b + n + c = 6 + 2 + 2,5

(a + b + c) + 3n = 10,5 ……………. (8)

Sumando (7) + (8) miembro a miembro y ordenando tenemos:

(m + n + p) + (a + b + c) + 3b + 3n = 9 + 10,5

(a + b + c + m + n + p) + 3 (b + n) = 19,5

Pero por la relación (4): b + n = 2

y reemplazando este valor en la relación anterior:

(a + b + c + m + n + p) + 3 × 2 = 19,5

De donde: (a + b + c + m + n + p) = 13, 5

y en (1), obtenemos el perímetro pedido:

p = 2 (a + b + c + m + n + p) = 2 × 13,5

p = 27

Respuesta: El perímetro del rectángulo grande es 27 centímetros.

• 47. Llamaremos D al punto que indica el 4° vértice del rectángulo.

Como sabemos las 2 diagonales de un rectángulo tiene la misma medida. Luego:

Luego:

Medida de la diagonal AB = Medida de la diagonal OD, pero OD vendría a ser un radio del círculo y por lo tanto su medida será igual a la medida de que es, según dato en el gráfico igual a: 6 + 4 = 10 unidades

La medida de la diagonal AB sería 10 unidades

Respuesta: La medida de la diagonal del rectángulo que va de la esquina A a la esquina B es 10 unidades.

• 48. Familiarización y comprensión:

Nos piden la relación entre el área del triángulo sombreado y el área del hexágono regular en la siguiente figura:

Búsqueda de estrategias:

Aunque podríamos hallar por fórmulas, el área del triángulo sombreado y el área del hexágono regular, mejor sería dividir el hexágono en varias partes iguales de tal manera que el triángulo formado sea una ó más de estas partes, para luego encontrar la relación entre estos dos valores.

Ejecución del plan:

Si llamamos "h" a la medida de la altura del triángulo sombreado como se muestra, el centro O del hexágono, dividirá a la altura en 2 segmentos de la misma medida.

Ahora si dividimos el hexágono en 6 triángulos equiláteros congruentes y llamamos "a" al área de cada uno, se tendría que:

Pero, también el área pedida del triángulo sombreado se puede descomponer en el área de los dos triángulos equiláteros sombreados como podemos comprobar aplicando las fórmulas de las áreas del triángulo.

Luego: El triángulo sombreado original de la fig (1) ocupa un área igual a la de dos triángulos equiláteros de la figura (2) por lo tanto su valor es

( Por lo tanto:

Respuesta:

La relación entre el área del triángulo sombreado y el área del hexágono es:

INVESTIGACIONES MATEMÁTICAS

Sea I el número de puntos que están en el interior del polígono y B el número de puntos que están en el borde o perímetro del polígono, y A el área del polígono en unidades cuadradas.

PARTE (a):

Para cada polígono, determinemos los valores de I; B y A.

Los valores de I y B se obtienen simplemente contando los puntos correspondientes de la figura.

En cambio el valor del área A, se obtendrá aplicando las fórmulas correspondientes y/o aplicando descomposición de áreas.

Colocando los resultados en el siguiente cuadro, trataremos de encontrar la relación entre I; B y A.

PARTE (b):

Observando los datos de la tabla anterior y lo que obtenemos de otros ejercicios, conjeturamos que la formula del área es:

PARTE (c):

Ahora aplicaremos esta fórmula a los tres polígonos dados; y luego comprobaremos aplicando las fórmulas correspondientes.

Comprobando:

Podemos considerar, por diferencia de áreas, que el polígono es igual al cuadrado grande de 5 × 5 cuadraditos menos: 1 cuadrado de 2 × 2 y 4 triángulos. Los triángulos tienen bases 5, 4, 2 y 2 y sus alturas son 1, 1, 3 y 2 respectivamente.

Comprobación:

Podemos considerar que el polígono incluye 10 cuadraditos completos más: 5 medios cuadraditos y más un triángulo de base 2 y altura 1.

Nota:

Esta fórmula que hemos hallado corresponde al llamado "Teorema de Pick" demostrado por Georg Alexander Pick en el año 1899 y que dice lo siguiente:

Si P es un polígono simple cuyos vértices están en un cuadriculado (grilla o reticulado o malla) y sea "I" el número de puntos que están en el interior de polígonos y "B" el número de puntos que están en el borde o perímetro del polígono, entonces el área A del polígono P en unidades cuadradas es:

INVESTIGACIÓN Nº 2: LOS CIENTÍFICOS FORENSES

• 1. ¿Cuál es la altura de una mujer si su fémur tiene 46,2 centímetros de longitud?

Considerando la siguiente fórmula dada por los científicos forenses (A), que relaciona la altura de la mujer en función de la longitud de su fémur (F).

A = 61,412 + 2,317 F

Reemplazando F por: 46,2 tenemos:

A = 61,412 + 2,317 × 46,2 = 168,4574

Y redondeando hasta los centésimos: A = 168,46 centímetros

Respuesta: La altura de la mujer es: 168,46 centímetros

• 2. ¿Cuál es la altura de un hombre si su tibia tiene 50,1 centímetros de longitud?

Considerando la siguiente fórmula dada por los científicos forenses que relaciona la altura (A) de un hombre en función de la longitud de su tibia (T).

A = 81,688 + 2,392 T

Reemplazando T por 50, 1 centímetros

A = 81,688 + 2,392 × 50,1 = 201,5272

Y redondeando hasta los centésimos: A = 201,53 centímetros

Respuesta: La altura del hombre es: 201,53 centímetros

• 3. Si una mujer tiene una altura A = 152 centímetros:

• a) ¿Cuál es la longitud de su fémur?

De la fórmula: A = 61,412 + 2,317 F

Despejando:

Y reemplazando: A = 152, obtenemos; redondeando al centésimo:

Respuesta: La longitud de su fémur es, 39,10 centímetros.

• b) ¿Cuál es la longitud de su tibia?

De la fórmula:

Despejando:

Y reemplazando A por 152, obtenemos, redondeando al centésimo:

Respuesta: La longitud de su tibia es: 31,36 centímetros.

• c) ¿Cuál es la longitud de su húmero?

De la fórmula:

Despejando:

Y reemplazando A por 152, obtenemos; redondeando al centésimo:

Respuesta: La longitud de su húmero es: 27,68 centímetros.

• d) ¿Cuál es la longitud de su radio?

De la fórmula:

Y despejando:

Y reemplazando A por 152 tenemos y redondeando al centésimo:

Respuesta: La longitud de su radio es: 20,25 centímetros

• 4. Si el radio de un hombre mide 21,80 centímetros ¿Cuánto tendrá que medir su húmero?

Sabemos que la altura (A) de un hombre en función de la longitud de su radio (R) y de su húmero (H), son respectivamente:

De donde igualando: (1) = (2); porque se trata de la misma persona.

Y reemplazando R por 21,80 centímetros:

De donde despejando R

Y redondeando:

H = 29,09 centímetros

Respuesta: Su húmero mide 29,09 centímetros.

Autor:

Carlos Alberto Yampufe Requejo