Un trabajo sobre didactica de las matemáticas (página 3)

• 8. (de aplicación de
  las propiedades a las operaciones entre elementos de la extensión
  del concepto de derivada y de ampliación de la colección
  de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada
  de orden superior)

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Clase Práctica # 6: Derivada de la función
inversa. Derivadas de funciones paramétricas e implícitas. Introducción
a los problemas de rapidez de cambio.

• 1. (de aplicación de
  las propiedades a las operaciones entre elementos de la extensión
  del concepto de derivada y de ampliación de la colección
  de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada)
  Dadas las funciones

Demostrar:

• a) Que f tiene una función
  inversa g.

• b) Calcular la pendiente de la
  recta tangente a la gráfica de g en el punto indicado P.

• 2. (de utilidad del concepto
  de derivada a la solución de problemas de rapidez de cambio) La
  arista de un cubo se dilata con una rapidez de 2 cm por segundo. ¿Cuál
  es la rapidez de variación del volumen cuando la longitud de cada
  arista es 20 cm?

• 3. (de aplicación de las propiedades
  a las operaciones entre elementos de la extensión del concepto
  de derivada y de ampliación de la colección de elementos
  conocidos de la extensión del concepto de derivada)

• 4. (de utilidad del concepto de derivada
  a la determinación de derivadas de funciones dadas implícitamente
  y de ampliación de la colección de elementos conocidos de
  la extensión del concepto de derivada)

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Clase Práctica # 7: Problemas de rapidez de cambio.

• 1. (de utilidad del concepto de derivada
  a la solución de problemas de rapidez de cambio) Un globo esférico
  mantiene su forma pero va aumentando su radio como consecuencia de la
  introducción en el mismo de un gas a presión constante.
  Se conoce que la rapidez con que cambia el volumen es de 4 cm3/seg, y
  se quiere determinar la rapidez con que aumenta el radio del globo cuando
  su longitud es de 5 cm.

• 2. (de utilidad del concepto de derivada
  a la solución de problemas de rapidez de cambio) Una piscina
  tiene 10m de ancho por 20m de largo y una profundidad de 1m en un extremo
  y 3m en el otro, siendo el fondo un plano inclinado. Si se vierte agua
  en el interior de la piscina a razón de 1m3/min. ;¿Con qué
  rapidez se eleva su nivel cuando este es de 1m en el extremo más
  profundo?. (Considere el nivel máximo de agua hasta 2 metros).
  Se debe dibujar el gráfico siguiente

• 3. (de utilidad del concepto de derivada
  a la solución de problemas de rapidez de cambio) Al arrojar
  una piedra en un estanque, se forma y propaga lo que se conoce como "rizo"
  (de hecho se forman varios rizos concéntricos), según se
  aprecia en la figura.

Supóngase que el rizo en cuestión es perfectamente circular
y se desplaza a una velocidad constante de 30cm/seg. ¿Cuál será
la velocidad con que cambia área comprendida por el rizo circular cuando
el radio de este halla alcanzado la longitud de 100cm?.

• 4. (de utilidad del concepto de derivada
  a la solución de problemas de rapidez de cambio) Un campo de
  baseball es un cuadrado cuyo lado tiene 90 pies de longitud. Una pelota
  es lanzada por el bateador a lo largo de una línea que pasa por
  la tercera base con una velocidad constante de 100 pies por segundos.

• a) ¿Cuál es la rapidez con que varía
  la distancia de la pelota a la primera base, cuando la pelota se encuentra
  a la mitad del camino de la tercera base?.

• b) ¿ Cuál es la rapidez con que varía
  la distancia de la pelota a la primera base, cuando la pelota alcanza
  la tercera base?.

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Conferencia # 4: Teoremas básicos del cálculo diferencial

Sumario

• Teorema de Fermat y extremos absolutos.

• Teorema de Rolle.

• Teorema de Lagrange o del valor medio del Cálculo
  Diferencial.

• Teorema de Cauchy.

Problema 4.1. (de utilidad del concepto
de derivada a la determinación de extremos) (de preparación
para la obtención del teorema) Sea la función f(x) definida
en un intervalo (a, b) y tal que en un cierto punto c ( (a, b) alcanza su
valor máximo o mínimo en ese intervalo. ¿Qué se
puede afirmar sobre la tangente en ese punto y sobre el valor de la misma?
Sugerencia: realice un esbozo geométrico de esta situación para
poder llegar a conclusiones.

• Teorema de Fermat

Problema 4.2. (de empleo de recursos
heurísticos para la demostración del teorema) Realice la
demostración de este teorema. Sugerencia: Sin pérdida de generalidad,
suponga que en c, f alcanza su valor máximo, entonces f(x) ( f(c ),
para todo x ( (a,b). Diferencie los casos xc y construya convenientemente
las derivadas laterales en c.

Demostración.

Observaciones (de valoración de la calidad del teorema obtenido)

• ¿Qué ocurre si suprimimos la hipótesis de
  que el punto sea un punto interior del intervalo? R/ El teorema deja de
  ser cierto si suprimimos la hipótesis de que el punto sea un punto
  interior del intervalo, como por ejemplo, y = x, x ( (0,1], que toma su
  valor máximo en x = 1, y en dicho punto la derivada lateral no
  se anula.

• ¿Puede ocurrir que una función alcance su máximo
  o mínimo en un punto y la derivada no sea nula en ese punto? R/
  Sí puede ocurrir, por ejemplo, y = 1 – en
  [-1, 1], alcanza su valor máximo en x = 0 y en ese punto no existe
  derivada.

Definiciones.

• Llamamos punto estacionario de f(x), aquel en que
  la derivada sea cero, es decir, es el conjunto de puntos

(de ampliación de los
significados del concepto de punto estacionario) ¿Qué
significa esto geométricamente?

R/ la recta tangente es horizontal en este punto.

• Llamamos punto crítico de
  f(x), aquel punto del dominio de f(x) que no pertenece al dominio de la
  derivada, es decir, son los puntos del dominio de f donde la derivada
  no exista. El conjunto de puntos críticos es

(de ampliación de los significados del concepto
de punto estacionario) ¿Qué significa esto geométricamente?

R/ en este punto la función tiene un pico (las semitangentes
por la izquierda y por la derecha son diferentes o la recta tangente es vertical
en este punto.

• Método para encontrar el valor máximo
  y el mínimo (extremos absolutos) de una función en un intervalo
  cerrado.

Problema 4.3. (de utilidad de los conceptos
de derivada, punto estacionario y punto crítico a la determinación
de extremos) Sea f(x) definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b]
(compacto). ¿En qué puntos de dicho intervalo puede existir
el valor máximo y mínimo absoluto de la función?

Solución: Estos pueden ser:

• 1) Los puntos estacionarios del interior del intervalo,
  es decir, el conjunto de puntos

• 2) Los puntos críticos del interior del
  intervalo, es decir, el conjunto de puntos

• 3) Los extremos del intervalo x = a, y x = b.

Entonces, el valor de máximo absoluto de f es la mayor imagen
de los puntos considerados en 1), 2) y 3) y el mínimo absoluto de f
es la menor imagen de los puntos considerados en 1), 2) y 3).

Problema 4.4. (de utilidad de los conceptos de derivada,
punto estacionario y punto crítico a la determinación de extremos
y de ampliación de la colección de elementos conocidos de estos
dos últimos conceptos) Determine los extremos absolutos de las
siguientes funciones en el intervalo que se pide:.

• Problemas de extremos

En la vida se presenta una amplia gama de problemas en los
que se requiere maximizar o minimizar determinada magnitud que depende de
otra (o de otras).

En estos problemas se requiere hallar el valor máximo
o mínimo de una función (función a optimizar) en un cierto
conjunto de valores permisibles, dentro de las condiciones del problema para
las variables. Este conjunto suele ser un intervalo, aunque no necesariamente
cerrado, puede ser infinito.

En general, el método es el que se emplea para hallar los extremos
absolutos en un intervalo cerrado, pero cuando el intervalo no sea cerrado,
se analiza la tendencia de la función hacia los extremos del intervalo.

Ejemplo. (de utilidad de los conceptos de derivada, punto
estacionario y punto crítico a la solución de problemas de extremos)
(pág. 62 y 63)

Se desea cercar un campo en forma rectangular, uno de cuyos lados está
formado por la orilla de un río (consideramos la ribera del río
recta). El lado correspondiente al río no será cercado. Si el
campo debe tener 800 m2, halle las dimensiones que éste debe tener
para que el gasto de cerca sea mínimo.

Solución: Insistir en los pasos a seguir al resolver
problemas de extremos:

Figura de análisis + datos

Sean, y la longitud a lo largo del río, x la
otra dimensión y L la longitud total de cerca.

Respuesta: Por tanto las dimensiones del rectángulo son 20 cm
y 40 cm.

• Teorema de Rolle

Problema 4.5. (de utilidad del concepto
de derivada a la determinación de extremos) (de preparación
para la obtención del teorema) Sea la función f que
cumple: f(x) es continua en [a, b], f(x) es derivable en (a, b), f(a) = f(b)
¿Qué se puede afirmar sobre la existencia de puntos estacionarios
de la función? Realice un esbozo geométrico de esta situación.

Solución:

Ver Demostración (pág. 68)

Problema 4.6. (de valoración de
la calidad del teorema obtenido) Ponga ejemplos que ilustren la suficiencia
y la no necesidad de las hipótesis

Observación. Si además de las hipótesis
del teorema de Rolle se cumple que f(a) = f(b) = 0, ¿qué se
puede afirmar sobre la relación entre los ceros de la función
y los de su derivada?

R/ Entonces entre dos ceros de la función f(x) existe un cero
de la función derivada.

• Teorema del valor medio del Cálculo Diferencial
  o teorema de Lagrange.

Problema 4.7. (de utilidad del concepto
de derivada a la determinación de valores intermedios) (de preparación
para la obtención del teorema)

Observe que el teorema se interpreta geométricamente
como la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a) y (b,
f(b)) y la pendiente de la recta tangente en el punto x = c de la función
y = f(x) son iguales.

Problema 4.8. (de empleo de recursos
heurísticos para la demostración del teorema)

Realice la demostración de este teorema. Sugerencia:
construya convenientemente la función:

y verifique que satisface las hipótesis del teorema
de Rolle.

Demostración La función F(x) cumple
las hipótesis del teorema de Rolle y se tiene que

(de valoración
de la calidad del teorema obtenido)

Escribiremos el teorema de Lagrange utilizando
el lenguaje de los incrementos.

(de valoración de la calidad del
teorema obtenido)

Esta última expresión es exacta en comparación
con la expresión aproximada obtenida cuando se introdujo el concepto
de diferencial.

Visualización con el Paquete Mathematica: Visualizacion
Teo Lagrange.nb

• Aplicaciones del teorema de Lagrange

Se deja como ejercicio obtener la tesis de los siguientes
teoremas y demostrarlos:

Problema 4.9. (de utilidad del concepto de derivada)
Si f(x) es derivable en el intervalo (a,b) y para
todo x de (a, b), entonces f(x) es ___________________.

Problema 4.10. (de utilidad del concepto de derivada)
Si dos funciones f(x) y g(x) son derivables en el intervalo (a, b) y para
todo x de (a, b), entonces la relación algebraica que existe entre
f y g es: ________________________.

Ejercicio. Estudiar los ejemplos resueltos de las páginas
74 y 75.

Orientación de la Bibliografía:

• 1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción
  Valdés Castro (págs. 58- 79)

• 2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev.
  Tomo I

• 3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.

• 4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático.
  B. Demidovich

Orientación del estudio independiente

• 1. Ejercicios 1,2, 3,4,5,6,7 págs. 67 y68

• 2. Ejercicios (1 – 9), pág. 78

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Clase Práctica # 8: Teoremas básicos del
cálculo diferencial. Problemas de extremos.

• 1. (de aplicaciones del teorema
  de Rolle) Analizar si es posible aplicar el teorema de Rolle

• 2. (de aplicaciones del teorema
  de Fermat) Hallar los máximos y mimos absolutos de las funciones
  siguientes, en el intervalo indicado.

• 3. (de aplicaciones del teorema
  de Fermat) Una lámina metálica rectangular mide 5 m
  de ancho y 8 m de largo. Se van a cortar cuatros cuadrados iguales en
  las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y soldarla
  para obtener una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse para
  obtener una caja del máximo volumen posible?

• 4. (de aplicaciones del teorema
  de Lagrange) Comprobar que la función f(x) satisface las condiciones
  del teorema del valor medio en el intervalo [a, b] que se indica. Hallar
  todos los números c entre a y b que cumpla el teorema del valor
  medio

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Clase Práctica # 9: Problemas de extremos.

• 1. (de aplicaciones del teorema
  de Fermat) Hallar el punto más cercano y más alejado
  de la parábola y = 4 – x2 al punto (0;1)

• 2. (de aplicaciones del teorema
  de Fermat) ¿Como ha de cortarse en dos trozos un alambre de
  longitud s para que, formando con uno de ellos un cuadrado, y con el otro
  una circunferencia, sea máxima la suma de las áreas de estas
  dos figuras.

• 3. (de aplicaciones del teorema
  de Fermat) Hallar las dimensiones del rectángulo de área
  máxima que resulta de tomar dos vértices sobre el eje X
  y los otros dos sobre las rectas y = 2x y 3x+y = 30 de tal forma que el
  rectángulo quede inscripto en el triángulo formado por las
  rectas y el eje X.

• 4. (de aplicaciones del teorema
  de Fermat) Ejercicio 8 de la pág. 115.

• 5. (de aplicaciones del teorema
  de Fermat) Ejercicio 10 de la pág. 115.

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Conferencia # 5: Regla de L`H䰩tal – Bernoulli. Polinomio
y serie de Taylor.

Sumario

• Indeterminaciones de la forma 0/0.

• Indeterminaciones de la forma (/(.

• Otras formas indeterminadas

• Fórmula de Taylor

• Otras formas del resto

• Serie de Taylor y aplicaciones

(de preparación
para la obtención del teorema) Existen
límites con formas indeterminadas que no pueden ser resueltos o son
muy complejos de resolver utilizando recursos estudiados como: la descomposición
factorial, el empleo de la conjugada de expresiones con radicales, las funciones
equivalentes, límites notables, etc, como:

¿Cómo proceder en estos casos?

Existen varios teoremas que constituyen casos particulares
de los resultados que publicó el matemático francés L"
Hospital (1661-1704) en su manual de cálculo diferencial y sus aplicaciones
a la geometría de 1696 "Análisis Infinitesimal", después
de haber recibido por correspondencia dicho resultado enviado por Bernoulli,
verdadero descubridor de dicho teorema.

• Indeterminaciones de la forma 0/0

Teorema: Supongamos que f y g satisfacen:

(Ver demostración en la página 80)

Observaciones sobre la valoración de la calidad
del teorema obtenido

• Observe que el teorema reduce el cálculo de límites
  indeterminados de la forma 0/0 al cálculo del límite del
  cociente de sus derivadas.

• El teorema es válido en el caso de límites
  en un punto, es decir, no sólo para límites laterales.

• La cuarta hipótesis es muy importante, pues La
  regla de L`H䰩tal no puede ser aplicada cuando el límite

• Si sucede que al aplicar la regla de L`H䰩tal vuelve
  a dar indeterminado de la forma 0/0 y se cumplen las hipótesis
  del teorema esta se puede volver a aplicar.

Problema 5.1. (de aplicaciones del teorema
obtenido) Calcule los siguientes límites:

Observación: (de preparación para
la obtención del teorema) La regla de L` H䰩tal puede ser extendida
al caso en que el límite se tome cuando la variable x tienda a + (,
– ( o (.

Teorema. Supongamos que f y g satisfacen:

(Ver demostración en la página 83)

Problema 5.2. (de aplicaciones del teorema
obtenido)

Observación: (de preparación para
la obtención del teorema) La regla de L`H䰩tal puede ser aplicada
también al caso en que la forma

• Indeterminaciones de la forma (/(

Teorema: Supongamos que f y g satisfacen:

(Ver demostración en la página 84)

Problema 5.3. (de aplicaciones del teorema
obtenido)

• Otras formas indeterminadas

Problema 5.4. (sobre la valoración
de la calidad del teorema obtenido) Las formas indeterminadas 0.( y (
– ( pueden ser llevadas, fácilmente a 0/0 ó (/(. ¿Cómo
puede lograrse esto?

Solución:

Problema 5.5. (sobre la valoración
de la calidad del teorema obtenido)

Problema 5.6. (de aplicaciones del teorema
obtenido) Calcule los siguientes límites:

Solución:

• Fórmula de Taylor

(de preparación para
la obtención del teorema) Por las
facilidades que brinda el trabajo con polinomios, en ocasiones resulta necesario
aproximar funciones no polinómicas con polinomios (llamados polinomios
de Taylor, matemático inglés (1685-1731)) o determinar series
de potencias que converjan a dichas funciones (llamadas series de Taylor).

Problema 5.7.

Solución: (en elaboración conjunta)

Determinemos cuáles deben ser los coeficientes del polinomio

para que se cumplan las condiciones expresadas anteriormente.

De todo lo anterior resulta el teorema:

Teorema:

Problema 5.8. (de valoración de la calidad
del teorema obtenido)

• Por su forma de obtención, obsérvese que el polinomio
  de Taylor es único para cada función en un punto

• ¿Cómo puede escribirse esta fórmula en notación
  incremental?

Solución: La fórmula de Taylor puede ser escrita
en forma incremental, poniendo

Ejemplo: (de aplicación del teorema) (ejemplo resuelto
en la página 95) Obtenga el desarrollo por la fórmula de Taylor
de la función

Otras formas del resto

(de valoración
de la calidad del teorema obtenido) La fórmula
de Peano para el resto, es muy útil cuando sólo es necesario
conocer su orden infinitesimal, cuando sea necesario profundizar en el comportamiento
del término del resto es conveniente otras fórmulas.

Ejemplificación con el Mathematica: Taylor.nb

• Serie de Taylor

Problema 5.9. (de preparación para la obtención
del teorema) Teniendo en cuenta el polinomio de Taylor obtenido anteriormente,
¿Cuál será la serie de Taylor asociada a una función?

Solución:

(de valoración de la
calidad del teorema obtenido)

De la relación,

se infiere que para que la serie de Taylor converja a la función
f(x) en el intervalo considerado es necesario y suficiente
que el resto tiende a cero cuando n tiende a (. Es decir, el estudio de la
convergencia de la serie de Taylor a la función que la genera se reduce
al análisis del resto de dicha serie.

Ejercicio (de aplicación del teorema) (Ver ejemplo, pág.
99)

Orientación de la Bibliografía:

• 1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción
  Valdés Castro (págs. 80- 119)

• 2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev.
  Tomo I

• 3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.

• 4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático.
  B. Demidovich

Orientación del Estudio independiente

Se orienta el Seminario # 1 (a ser expuesto y evaluado
después de la clase práctica # 11): Obtención de desarrollos
de Taylor a partir de otros conocidos. Cálculo de límites aplicando
el desarrollo de Taylor.

• 1. (de aplicación del teorema) Ejercicios
  6(a-s) pág. 91

• 2. (de aplicación del teorema) Ejercicios
  8, pág. 113

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Clase Práctica # 10: Regla de
L"H䳰ital

• 1. (de aplicación del
  teorema de L" Hospital-Bernoulli) Calcule los siguientes límites,
  analizando en cada caso, que transformaciones algebraicas son necesarias
  para aplicar la Regla de L"H䰩tal y donde es aplicable la misma.

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Clase Práctica # 11: Fórmula de Taylor.

• 1. (de aplicación de los teoremas del polinomio y la serie
  de Taylor)

• a) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado.

• b) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado
  con resto de Lagrange.

• c) Encontrar la serie de Taylor de f(x) en el punto indicado y determinar
  el intervalo de convergencia con suma f(x).

• d) Para n = 9, estimar e y calcular la precisión
  de la aproximación

• 2. (de aplicación de los teoremas del polinomio y la serie
  de Taylor)

• a) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado.

• b) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado
  con resto de Lagrange.

• c) Encontrar la serie de Taylor de f(x) en el punto indicado y determinar
  el intervalo de convergencia con suma f(x).

• d) Para n = 2, encontrar el polinomio de Taylor de f(x) en (/3.

• e) Estimar cos 61o y calcular la precisión de la aproximación

• 3. (de aplicación de los teoremas del polinomio y la serie
  de Taylor)

• a) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado
  con resto de Lagrange.

• b) Encontrar la serie de Taylor de f(x) en el punto indicado y determinar
  el intervalo de convergencia con suma f(x).

• 4. (de aplicación de los teoremas del polinomio y la serie
  de Taylor)

• a) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado
  con resto de Lagrange.

• b) Estimar ln(1.1), para n = 4 y calcular la precisión de
  la aproximación

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Seminario # 1: Obtención de desarrollos de Taylor
a partir de otros conocidos. Cálculo de límites aplicando el
desarrollo de Taylor.

(Estos ejercicios han sido clasificados en su orientación)

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Conferencia 6: Extremos locales o relativos de una función

Sumario:

• Extremos relativos (locales) de una función. Definición.

• Sobre la monotonía de una función.

• Criterio de la primera derivada.

• Criterio de la segunda derivada.

(de preparación para
la obtención de los teoremas relativos a la monotonía y convexidad
de funciones)

En ocasiones resulta necesario representar funciones que no son de
las conocidas hasta el momento, por ejemplo:

Problema 6.1 Representar gráficamente
la función

Uno de los aspectos más importantes a determinar es la monotonía
(intervalos donde la función crece o decrece), los puntos del dominio
donde la función cambia la monotonía (extremos locales), la
convexidad (intervalos donde la función es cóncava o convexa),
los puntos donde cambia la convexidad (puntos de inflexión), las rectas
hacia donde la función se acerca tanto como se quiera (asíntotas),
etc.

Por tanto, la solución del problema 6.1 se irá abordando
paulatinamente en la medida en que se vayan introduciendo las herramientas
necesarias para llevar a cabo estos análisis.

• Extremos relativos (locales) de una función

Comenzaremos definiendo qué entenderemos por extremos relativos
(locales) de una función.

(de generalización
conducente a la definición)

Definición.

(de preparación para
la obtención del teorema) Teniendo
en cuenta el teorema de Fermat ¿qué relación puede establecerse
entre la existencia de un extremo relativo en x0 y el valor de la derivada
en dicho punto?

Como consecuencia inmediata del teorema de Fermat, se obtiene:

Teorema: (de determinación de condiciones necesarias para
el concepto) Condición necesaria para la existencia de extremos locales.

Problema 6.2 (de valoración de la calidad
del teorema obtenido) Existen funciones en los que falla la hipótesis
f(x) es derivable en

por tanto el conjunto de puntos donde la función puede alcanzar
extremos locales no es solo el de los puntos estacionarios. ¿En qué
conjuntos de puntos del dominio, puede alcanzar una función sus extremos
locales?

Solución

El problema de la determinación de los puntos de extremos locales
de una función f(x) se debe hacer atendiendo a los dos conjuntos de
puntos siguientes:

Problema 6.3 (de aplicación del teorema obtenido)

De donde se obtiene que:

El punto x = 2/3 es un punto estacionario y el punto x =
1 es un punto crítico, estos son los posibles puntos de extremos relativos.

(de preparación
para la obtención del teorema de la condición suficiente de
extremo) ¿Cómo determinar si
son máximos o mínimos locales?

Observación: (de valoración de la
calidad del teorema de Fermat) Observe que el teorema de Fermat es una
condición necesaria de extremos pero no es suficiente, por ejemplo,
la función f(x) = x3 en x = 0 tiene un punto estacionario y no es un
extremo de la función.

Condición suficiente de extremos relativos

Problema 6.4 (de preparación para
la obtención del teorema de la condición suficiente de monotonía)
Observe en el gráfico expuesto anteriormente que en los puntos
de extremos locales se produce un cambio de monotonía de la función,
lo que equivale a decir que son aquellos puntos en que se produce un cambio
de signo de la pendiente de la recta tangente a la curva antes y después
del punto de extremo. ¿Cómo puede enunciarse analíticamente
una caracterización de la monotonía de la función atendiendo
a las pendientes de las rectas tangentes en los intervalos de crecimiento
y decrecimiento?

La solución de este problema conduce al teorema

Teorema. (Sobre la monotonía de una función)

Problema 6.5 (de empleo de recursos heurísticos
para la demostración del teorema) Realice la demostración
de este teorema. Sugerencia: tenga en cuenta la definición de monotonía
de una función, y utilice convenientemente el teorema de Lagrange.

Demostración:

Observación: (de valoración de la calidad del teorema
obtenido)

Por tanto, estamos en condiciones de resolver el problema:

Problema 6.6 (de preparación para la obtención
del teorema de la condición necesaria y suficiente de monotonía)
¿Cómo puede enunciarse un teorema que constituya una condición
necesaria y suficiente para la monotonía?

La solución de este problema es el teorema:

Teorema: Condición necesaria y suficiente de monotonía

Condiciones suficientes para la determinación de extremos
locales

Problema 6.7 (de preparación para la obtención
del teorema de la condición suficiente de extremo) Utilizando los
resultados anteriores se puede formular una condición suficiente utilizando
la primera derivada para la determinación de extremos locales de una
función. ¿Cómo quedará enunciado este resultado?
Ilustre geométricamente el mismo.

La solución de este problema es el teorema:

Teorema: Condición suficiente para la determinación
de extremos locales. (Criterio de la primera derivada)

Observaciones. (de valoración de la calidad del teorema obtenido)

• Este criterio no requiere la existencia de la derivada en el propio
  punto

• En el caso de una función discontinua en el punto puede
  suceder que este punto sea de máximo o de mínimo o no ser
  extremo relativo.

Problema 6.8 (de aplicación del
teorema obtenido) Utilizando el teorema anterior. Analice la existencia
de extremos locales de las funciones siguientes (realice un esbozo de la función
atendiendo a estos resultados)

El punto x = 2/3 es un punto estacionario y el punto x =
1 es un punto crítico, estos son los posibles puntos de extremos relativos.

Problema 6.9 (de preparación para la obtención
del teorema de la condición suficiente de extremo) Nótese
que al trazar las tangentes al gráfico de la función f en
los puntos de cierta vecindad de un punto de mínimo local x0, si las
observamos de izquierda a derecha, estas se hacen cada vez más crecientes,
¿qué significado analítico tiene este resultado geométrico?
Ilustre geométricamente y formule el teorema relativo a este resultado.

Utilizando los resultados anteriores se puede formular una condición
suficiente utilizando la segunda derivada para la determinación de
extremos locales de una función. ¿Cómo quedará
enunciado este resultado? Ilustre geométricamente el mismo.

La solución de este problema es el teorema:

Teorema: Condición suficiente para la determinación
de extremos locales. (Criterio de la segunda derivada)

Problema 6.10 (de empleo de recursos
heurísticos para la demostración del teorema)

Realice la demostración de este teorema. Sugerencia: tenga en
cuenta la definición de f䴨x) por el límite del cociente
incremental, utilice convenientemente las hipótesis y diferencie los
casos pertinentes de acuerdo al signo de (x.

Demostración:

Observación: (de valoración de la calidad
del teorema obtenido)

El criterio no es aplicable cuando siendo un
punto estacionario, 0
o cuando no
exista.

Ejemplo: Emplee el criterio de la segunda derivada
para determinar los extremos relativos de la función:

Problema 6.11 (de valoración de
la calidad del teorema obtenido)

Elabore un ejemplo donde no decida el criterio de la 2da
derivada.

Solución:

Orientación de la Bibliografía:

• 1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción
  Valdés Castro (págs. 121- 135)

• 2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev.
  Tomo I

• 3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.

• 4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático.
  B. Demidovich

Orientación del estudio independiente

• 1. Ejercicios 1,2, 3,4,5,6 págs. 135 y 136

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Clase Práctica # 12: Extremos locales.

• 1. (de aplicación de los teoremas
  obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de monotonía
  y extremos, sobre la utilidad de los conceptos de derivada, monotonía
  y extremos) Calcule los máximos y mínimos locales de
  f(x) en su dominio de definición, determine dónde f es creciente
  o decreciente y realice un esbozo del gráfico de f.

• 2. (de aplicación de los teoremas
  obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de extremos,
  sobre la utilidad de los conceptos de derivada y extremos)
  

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Clase Práctica # 13: Extremos locales.

• 1. (de aplicación de los teoremas
  obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de extremos,
  sobre la utilidad de los conceptos de derivada y extremos)

• 2. (de aplicación de los teoremas
  obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de extremos,
  sobre la utilidad de los conceptos de derivada y extremos)

• a) Un mínimo relativo en x = 2.

• b) Un mínimo relativo en x = 3.

• c) Demuestre que la función no puede tener un máximo
  relativo para ningún valor de a.

• 3. (de aplicación de los teoremas
  obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de monotonía
  y extremos, sobre la utilidad de los conceptos de derivada, monotonía
  y extremos)

• 4. (de la utilidad del concepto de extremo
  a la demostración de desigualdades) Demostrar las desigualdades
  siguientes, utilizando la teoría sobre extremos locales.

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Conferencia # 7: Convexidad y punto de inflexión
del gráfico de una función. Asíntotas. Esquema para la
discusión del gráfico de funciones.

Sumario

• Convexidad del gráfico de una función.

• Punto de inflexión.

• Asíntotas.

• Trazado del gráfico de una función.

• Convexidad del gráfico de una función

Problema 7.1 (de comparación de objetos particulares,
análisis de rasgos comunes, abstracción de los no comunes, síntesis
de rasgos esenciales, generalización a otros objetos, obtención
de la definición) ¿Cuándo podemos decir que el gráfico
de una función es convexo (abre hacia arriba), o cóncavo (abre
hacia abajo) en un intervalo? Compare la posición relativa del gráfico
de la función con los segmentos de secantes y tangentes a la función
en dicho intervalo. Apóyese en representaciones gráficas convenientes.

La solución de este problema conduce a la definición:

Definición

Problema 7.2 (de obtención de la definición
de función cóncava (convexa)) Exprese el resultado relativo
a la secante analíticamente.

Problema 7.3 (de obtención de una caracterización
de función cóncava (convexa)) Obtenga una caracterización
analítica de este concepto. Note que al trazar las tangentes al gráfico
de la función f en los puntos de un intervalo donde la función
es convexa, si las observamos de izquierda a derecha, estas se hacen cada
vez más crecientes, ¿qué significado analítico
tiene este resultado geométrico? Ilustre geométricamente y formule
el teorema relativo a este resultado.

(de preparación para
la obtención del teorema) Utilizando
este resultado se puede formular una condición necesaria y suficiente
utilizando la segunda derivada para la determinación de la convexidad
de una función. ¿Cómo quedará enunciado este resultado?

La solución de este problema es el teorema:

Teorema: Condición necesaria y suficiente para la determinación
de la convexidad de una función.

(Ver demostración en pág. 138 y 139)

Problema 7.4 (de aplicación del teorema obtenido)
Analice la convexidad de las siguientes funciones

Obsérvese que si consideramos un intervalo que contenga al punto
x = 1 en su interior, entonces y" cambia de signo en ese intervalo y
por tanto la gráfica de y = f(x) no tiene la convexidad definida en
ese intervalo.

• Punto de inflexión

A continuación consideremos los puntos donde la gráfica
de la función cambia la dirección de su concavidad, los cuales
reciben un nombre especial: punto de inflexión.

Definición.

(obtención de una caracterización
analítica del concepto punto de inflexión) ¿Qué
quiere decir esto analíticamente?

Problema 7.5 (de ampliación de la colección
de elementos conocidos y de utilidad del concepto de derivada) En las
funciones del ejercicio anterior, analice la existencia de los puntos de inflexión

Nota: (de valoración de la calidad de la caracterización
obtenida) Este criterio puede aplicarse también cuando no exista
la derivada segunda en el punto

Problema 7.6 (de preparación para la obtención
del teorema de la condición necesaria de punto de inflexión
para funciones dos veces derivables) Por tanto, estamos en condiciones
de seleccionar la tesis correcta del siguiente teorema:

Solución: La tesis correcta es la b)

(Ver demostración por reducción al absurdo en pág.
142)

Problema 7.7 (de ampliación de la colección
de elementos conocidos de los conceptos función convexa y punto de
inflexión y de aplicación de los teoremas relativos a las condiciones
necesarias y/o suficientes de convexidad y puntos de inflexión)

Determine los puntos de inflexión y el tipo de convexidad de
la curva de Gauss Realice
un esbozo de su gráfico.

Solución:

Criterio de la tercera derivada

También existe un criterio de la tercera derivada para analizar
la existencia de puntos de inflexión.

Teorema:

Criterio de la derivada n-ésima. (Criterio general)

Problema 7.8 (de preparación para la obtención
del teorema del criterio de la derivada n-sima) Generalice los resultados
obtenidos hasta el momento: criterio de la segunda derivada para la determinación
de extremos y criterio de la tercera derivada para la determinación
de puntos de inflexión y formule el criterio de la derivada n-esima
para la determinación de extremos y puntos de inflexión.

La solución de este problema es la obtención del teorema:

Teorema: Criterio de la derivada n-ésima. (Criterio general)

Ver ejemplo resuelto pág. 147.

Ejemplo. (de aplicación de los teoremas anteriores)

Como n = 5, la función posee en el punto x = 0 un punto de inflexión.

• Asíntotas

Intuitivamente, se conoce que una recta asíntota es aquella
hacia la cual el gráfico de la función se acerca tanto como
se quiera.

Problema 7.9 (de comparación de objetos particulares,
análisis de rasgos comunes, abstracción de los no comunes, síntesis
de rasgos esenciales, generalización a otros objetos, obtención
de la definición) Teniendo en cuenta que la asíntota puede
ser de uno de dos tipos:

• Vertical: si tiene ecuación x=x0

• No vertical: si tiene ecuación y=mx+b (la cual incluye la
  asíntota horizontal cuando m=0 y las oblicuas cuando m(0)

¿Cómo puede llegar a definirse con rigor analítico
los conceptos de asíntota vertical y asíntota no vertical?

Sugerencia: En el caso de la vertical analice el comportamiento que
debe tener f a la derecha o a la izquierda de x=x0 y en el caso de
las no verticales, analice el comportamiento que debe tener la diferencia
entre la imágenes de la función y la recta cuando x tiende
a +( o a -(. Ilustre geométricamente cada situación.

Solución

La solución de este problema conduce a las definiciones:

Definición. Asíntota vertical

Definición. Asíntota no vertical

(de determinación de
condiciones necesarias y/o suficientes) Método práctico para
determinar las asíntotas

Recíprocamente, si los límites anteriores existen, la
recta y = mx + b es una asíntota a la curva y = f(x).

Problema 7.10 (de ampliación de la colección
de elementos conocidos del concepto asíntota y de utilidad del concepto
de derivada)

• Construcción del gráfico de una función.

El comportamiento de una función y la construcción de
su gráfico puede realizarse siguiendo los pasos siguientes:

• 1) Determinar el dominio de la función, la simetría,
  periodicidad y demás características de la función.

• 2) Determinar los puntos de discontinuidad y clasificarlos.

• 3) Determinar las asíntotas.

• 4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

• 5) Determinar los extremos relativos de la función.

• 6) Determinar los intervalos de convexidad y los puntos de
  inflexión

• 7) Trazado del gráfico de la función.

Por tanto ya estamos en condiciones de resolver completamente el Problema
6.1

Representar gráficamente la función

que revisaremos en la próxima clase.

Orientación de la bibliografía:

• 1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción
  Valdés Castro (págs. 136- 174)

• 2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev.
  Tomo I

• 3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.

• 4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático.
  B. Demidovich

Orientación del estudio independiente

• 1. Ejercicio 1(a,b,c,d) pág.157 y 158

• 2. Ejercicio 1(a,b,c,d) pág.170

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Clase Práctica # 13: Convexidad y punto de inflexión

• 1. (de utilidad y ampliación de
  la colección de elementos conocidos de los conceptos estudiados,
  de aplicación de los teoremas estudiados) Determine dominio,
  intervalos de monotonía y convexidad, extremos y puntos de inflexión,
  asíntotas y trace el gráfico de las funciones siguientes:

• 2. (de utilidad y ampliación
  de la colección de elementos conocidos de los conceptos estudiados,
  de aplicación de los teoremas estudiados)

Valoración de la factibilidad de la investigación por criterio
de especialistas

• a) Selección de los especialistas.

Para la determinación de la pertinencia de una serie
de aspectos y subaspectos propuestos que avalan la calidad del trabajo desarrollado,
no solo en el diseño de la estrategia, sino en la planificación
prevista ara su ejecución y control, seleccionamos un grupo de 7 especialistas
integrado por profesores de los departamentos de Matemática de varias
universidades de Cuba y de Angola.

Aunque existen variadas formas para objetivar la selección
de los especialistas, decidimos realizar la misma por medio de una serie de
criterios que exponemos a continuación:

• Ser profesores de alguna de las disciplinas matemáticas
  de algún CES de Cuba o de Angola.

• Tener por lo mínimo 10 años de experiencia
  como profesores.

• Poseer conocimientos de Geometría Plana, Álgebra
  Elemental, Lógica y Análisis Matemático en una o
  varias variables.

• Haber impartido el tema Cálculo Diferencial de
  funciones reales en alguna carrera universitaria.

• Estar de acuerdo en colaborar con la investigación.

• Autovalorarse con una puntuación entre 7 y 10
  puntos (de una escala de 10, como valor máximo) en cuanto a su
  nivel de conocimiento sobre el tema.

Los especialistas seleccionados autovaloran que poseen un
conocimiento alto sobre el tema que se trata, como muestra el hecho de que
5 especialistas se autocalifican con 9 puntos sobre su conocimiento del tema,
1 con 8 y 1 con 7, de una escala de 10 puntos posibles como valor máximo.
Esta autovaloración fue obtenida por medio del 綠del instrumento.

b) Características del instrumento de consulta
a los especialistas.

El mismo cuenta con seis epígrafes, cuyos títulos
son: 籮 Diseño de la investigación, 粮 Establecimiento del
sistema de acciones, 糮 Propuesta de implementación de la estrategia,
紮 Planificación del control de la implementación del sistema
de acciones, 絮 Consulta a los expertos 綮 Autovaloración acerca
de su competencia como experto sobre el tema consultado, 緮 Autovaloración
acerca de las fuentes que le permiten argumentar sus criterios, 縮 Datos
generales del experto, y, 繮 Otras consideraciones.

La aplicación del instrumento solo se realiza por
vía correo electrónico, por lo que, con el objetivo de encaminar
a los especialistas en su análisis y facilitar su valoración
sobre la propuesta, fue necesario realizar una explicación sobre el
problema científico que nos lleva a proponernos e implementar la estrategia
didáctica, los aportes teóricos y prácticos de la misma,
entre otros aspectos, que constituyen en su conjunto, componentes del diseño
de la investigación (estos se relacionan en 籩.

Está claro que los principales aspectos a valorar
por los especialistas son los relativos al diseño de la estrategia
sobre las fases de orientación, ejecución y control, por lo
que también se incluyen en el instrumento en los epígrafes 粬
糠y 紮

El epígrafe 絠es el más importante del instrumento,
pues es donde los especialistas valoran la pertinencia de los subaspectos
(explicados en epígrafes anteriores) incluidos en una serie de aspectos
propuestos, mediante una escala de 1 (no adecuado) a 5 (muy adecuado).

c) Interpretación de los resultados.

En el anexo 4 se muestra una tabla de frecuencias relativas
sobre las opiniones de los especialistas.

Una valoración matemática de estos resultados
demuestra que los aspectos y subaspectos considerados poseen alta pertinencia
en cuanto a su consideración y forma de medición, pues se aprecia
que ninguno de los especialistas estimó a ninguno de los aspectos considerados
como poco adecuado o inadecuado.

Para realizar una valoración matemática
de estos resultados, confeccionamos la variable P, tal que

donde Ci es el valor numérico asignado a
la categoría y ni es su frecuencia, de esa forma, para cada
aspecto o subaspecto se tiene que 7 ( P ( 35. Estos valores de P
están contemplados en la última columna de la tabla del
anexo 4 y son susceptibles de ser considerados como datos continuos, a los
que se les pueden determinar medidas de la estadística descriptiva
que ofrezcan una caracterización sobre la manera en que los especialistas
valoraron la calidad del diseño de la estrategia .

De la cual puede interpetarse que, en todos los aspectos,
P se manifiesta mayor o igual que 27.

• Media = 32.3125, como promedio, lo que significa que
  los expertos valoran en alta pertinencia los aspectos considerados, pues
  la media es "cercana" al valor máximo de P.

• Moda = 32, valor que más se repite, como se aprecia,
  es alto.

• Desviación = 1.30600351, los valores de P
  se concentran cercanos a la media obtenida, sin una varianza considerable.

Con esto puede afirmarse que los especialistas consideran como muy
adecuada la propuesta en general.

Conclusiones

• Se ha cumplido el objetivo de nuestra investigación,
  pues se ha diseñado una estrategia didáctica basada en la
  resolución de problemas que, como se demuestra a través
  de los resultados obtenidos durante su valoración por consulta
  a expertos, puede contribuir a perfeccionar los procesos de que intervienen
  en el tratamiento de conceptos y teoremas matemáticos.

• El programa heurístico general que se emplea,
  recoge como elementos novedosos, la construcción de árboles
  de problemas debidamente dosificados para garantizar la participación
  de los estudiantes en los procesos didácticos que se derivan de
  los grandes problemas a resolver que consisten en: la realización
  del proceso de formación (desarrollo, generalización) de
  un concepto matemático y la realización del proceso de obtención
  (demostración, valoración y aplicación) de un teorema.

• El sistema de acciones propuesto en el diseño
  de la estrategia es suficiente para abordar el tratamiento de una amplia
  gama de conceptos y teoremas matemáticos, aunque durante su implementación,
  debe adaptarse de forma eficiente y creadora al contenido escogido.

• El sistema de acciones propuesto puede contribuir, por
  medio de una adecuada implementación con estudiantes, al logro
  de un aprendizaje activo, mediado y significativo de los conceptos y teoremas
  del Cálculo Diferencial.

Recomedaciones

Debido a los resultados derivados de esta investigación
y a la experiencia acumulada en la labor docente del autor, se proponen las
siguientes recomendaciones:

• Implementar la estrategia diseñada al tratamiento
  de otros conceptos centrales del currículo del Licenciado en Educación,
  especialidad Matemática.

• Realizar colectivos de carrera encaminados a acordar
  cuáles pueden ser los conceptos y teoremas susceptibles de ser
  tratados con la estrategia propuesta y qué acciones de la misma
  pueden llevarse a cabo a través de los diferentes años de
  la carrera.

• Utilizar la estrategia en cursos de preparación
  de profesores en dos sentidos, primero, para llevar a cabo los procesos
  del tratamiento conceptual de conceptos matemáticos del postgrado,
  segundo, como recurso metodológico a poner en práctica en
  el aula de clases. La utilización de esta estrategia en la superación
  de profesores es un valioso recurso de superación postgraduada
  que puede contribuir a dar un vuelco favorable al tratamiento de conceptos
  y teoremas matemáticos en la enseñanza superior, como muestran
  los resultados obtenidos con su aplicación en una muestra de profesores
  del municipio de Placetas que cursan la Maestría en Matemática
  Aplicada que oferta el dpto de Matemáticas de la UCLV.

Bibliografía referenciada

Alonso, I. (2000). La resolución de problemas matemáticos.
Una alternativa didáctica centrada en la representación. Tesis
presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias
Pedagógicas. Universidad de Oriente. Cuba.