Las secciones cónicas (página 2)

Es una cónica con excentricidad
e, la cónica es una elipse si e < 1.
Una parábola si e =1 y una hipérbola si
e > 1.

Si N es un vector normal a L y P cualquier
punto de L, la distancia d(X,L) de cualquier punto X a L, viene
dada por la fórmula:

d( X,L ) = I(X – P)*Nl /
lNl

Cuando N tiene longitud 1. Esta
expresión se simplifica y queda d( X.L ) = I(X –
P)*Nl. Y la ecuación fundamental de las secciones
cónicas, se transforma en:

lX – Fl = e l(X –
P)*Nl

La recta L separa el plano en dos regiones,
que llamaremos arbitrariamente" positiva" y "negativa"
según la elección de N. Si l(X – P)*Nl >0,
decimos que X está en el semiplano positivo, y si l(X
– P)*Nl < 0 en el semiplano negativo.

Para los puntos de la recta L,
tenemos:

l(X – P)*Nl = 0. En la figura 8, la
elección del vector normal N indica que los puntos
situados a la derecha de L está en el semiplano positivo y
los de la izquierda en el plano negativo.

Figura 8. Una cónica de
excentricidad e s el conjunto de todos los X que
satisfacen

lX – Fl = e (X – P)*N
– d.

Coloquemos el foco F en el semiplano
negativo, como se indica en la figura 8 y elijamos P de modo que
sea el punto de L más próximo a F. Entonces P – F =
dN , siendo ldi = ll P – Fil la distancia del foco a la
directriz. Puesto que F está en el semiplano negativo,
tenemos (F –P).N = – d < 0, así que d es
positivo. Sustituyendo P por F + dN, obtenemos el teorema
siguiente que se representa en la figura 8.

Teorema 1. Sea C una cónica
con excentricidad e, foco F y directriz L a una
distancia d de F. Si N es un vector unitario normal a L y si F
está en el semiplano negativo determinado por N, entonces
C es el conjunto de todos los puntos X que satisfacen la
ecuación:

ll X –F ll = e l( X –
F ). N – d l.

La excentricidad de una
cónica es un número que mide su alargamiento y que
está relacionado con los ángulos a y
ß.

La excentricidad de la
circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son
nada

La elipse puede definirse
como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos
fijos, F y F", llamados focos, y un número
fijo k, K>FF", la elipse es el lugar
geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma
de distancias a F y F" es igual a k:

Esta forma de definir una
elipse permite dibujarla mediante el llamado "método del
jardinero": se colocan dos alfileres en la posición de los
focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a
k. Con un lápiz situado de modo que mantenga
tenso el hilo, se recorre la elipse.

Además de los focos F y
F´, en una elipse destacan los siguientes
elementos:

• Centro, O. 
• Eje mayor, AA´. • Eje menor,
BB´. • Distancia focal,
OF.

Fig. 6.

Algunas distancias características de la
elipse se suelen designar con las letras siguientes:

La excentricidad de una
elipse se obtiene así: e =
c/a

Puesto que c < a se verifica
que 0 < e < 1, es decir, la
excentricidad de una elipse es un número comprendido entre
0 y 1.

Las órbitas de todos los
planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las
más excéntricas, aunque ahora ya no se le trata
como planeta, son la de Plutón, e = 0,25 , y la
Mercurio, e = 0,21. Los restantes planetas
tienen órbitas con excentricidades inferiores a 0,1 , es
decir, casi circulares.

Hay otras definiciones de las secciones
cónicas que son equivalentes. En una de ellas de ellas se
consideran unos puntos especiales llamados focos, y, entonces la
elipse se puede definir como el lugar de todos los puntos del
plano cuya suma de distancias d1 y d2 a los dos puntos F" y F
(los focos) es constante (véase fig. 5). Si los focos
coinciden la elipse se reduce a una circunferencia.

Existe un razonamiento muy simple y
elegante que prueba que la propiedad focal de una elipse es
consecuencia de su definición como sección de un
cono.

Esta demostración fue descubierta en
1822 por el matemático belga G. P. Dandelin (1794-1841)
utilizando dos esferas que son tangentes al cono y al plano
secante tal como se indica en la figura 7.

Figura 7

Modificando ligeramente esta
demostración se tienen las correspondientes para la
hipérbola y la parábola. En el caso de la
hipérbola se ha de considerar una esfera en cada hoja del
cono, y para la parábola una esfera tangente al plano
secante en el foco. Esta esfera es tangente al cono a lo largo de
una circunferencia situada en un plano cuya intersección
con el plano secante es la directriz de la parábola. Con
estas indicaciones es fácil probar que las

propiedades focales de la hipérbola
y la parábola se pueden deducir de su definición
como secciones de un cono.

Expresion
analítica de las cónicas

La ecuación general de segundo grado
se representa de la siguiente manera:

En particular, consideraremos el caso en
que la ecuación (1) contiene un término en xy.es
decir el caso en B ? 0, se puede demostrar que por medio de una
rotación de los ejes coordenados siempre es posible
transformar ésta ecuación en otra, de la
forma:

En la que uno de los coeficientes A" y C"
por lo menos es diferente de cero, y no aparece el término
de x"y".

Se sabe que si la ecuación (2)
representa un lugar geométrico real, representa o bien una
cónica o uno de los casos excepcionales de un punto de un
punto o de un par de rectas. Como la naturaleza de un par
geométrico no se altera con transformación de
coordenadas, se sigue que, si la ecuación (1) tiene lugar
geométrico, éste lugar geométrico debe ser
también o una sección cónica o uno de los
casos excepcionales de un punto o un par de rectas. Por los
tanto, la ecuación (¡) se toma, generalmente como la
definición analítica de
cónica.

De esto podemos inferir la existencia de
una definición geométrica, que incluya a
todas las cónicas. Esta misma definición existe
para la parábola, la elipse e
hipérbola.

TRANSFORMACIÓN DE LA
ECUACIÓN GENERAL. (Por rotación de los ejes
coordenados)

Si la ecuación transformada (2) va a
carecer del término en x"y", el coeficiente de B" debe
anularse. Por lo tanto, debe tener:

Por medio de las fórmulas
trigonométricas del ángulo doble, ésta
última ecuación puede escribirse en la
forma:

En resumen:

Teorema 1. La ecuación general de
segundo grado

En donde B ? 0, puede transformarse siempre
en otra de la forma:

Mediante este teorema, es posible
determinar el ángulo ? y por tanto, los valores de sen ? y
cos ? para usarlos en las ecuaciones de transformación por
rotación. De aquí que las ecuaciones de
transformación pueden obtenerse antes de hacer la
sustitución en la ecuación general.

Del teorema 1 podemos deducir una
conclusión muy importante. El ángulo de
rotación ? es de 45°, si A = C, o bien tal
que:

De acuerdo con esto. La ecuacion general
(1) puede transformarse en la forma (6) girando los ejes
coordenados un angulo diferente de cero. Pero hemos visto que, si
la ecuación (6) representa una sección
cónica, el eje paralelo a ( o coincidente con) uno de los
ejes coordenados, y recíprocamente. Por lo tanto si la
ecuación (1) representa una cónica. El eje focal
debe ser oblicuo con respecto a los ejes coordenados
recíprocamente. Este resultado lo enunciamos en el teorema
siguiente:

Teorema 2. Si la ecuación
general de segundo grado,

En donde B ? 0 representa una
sección cónica, el eje focal es oblicuo con
respecto a los ejes coordenados, y,
recíprocamente.

La discriminante D = B2 – 4AC.
Anteriormente se pudo observar que si los ejes coordenados giran
un ángulo ?, la ecuación general

Más aún, si se selecciona el
ángulo de rotación ? como lo especifica el teorema
1, la ecuación (2) toma la forma

Luego se presentará un resumen de la
naturaleza del lugar geométrico de la ecuación (6),
Por ejemplo si A" o C" son iguales a cero, uno u otro, la
ecuación (6) representa una parábola cuyo eje es
paralelo a (o coincidente con) uno de los ejes coordenados, o
constituye unos de los casos excepcionales de dos rectas
diferentes o coincidentes, paralelas a uno de los ejes
coordenados, o ningún lugar geométrico.

Por lo tanto sin temor a equivocarnos
podemos afirmar que la ecuación (6) representa una
cónica género Parábola. Para los
demás casos se usarán términos semejantes al
anterior según las diferentes definiciones:

Definición 1. Si uno de los dos
coeficientes A" o C" es igual a cero, la ecuación (6)
representa una cónica genero parábola, es
decir uno cualquiera de los casos especificados al inicio de la
presente.

Definición 2. Si A" y C" son del
mismo signo, se dice que la ecuación (4) representa una
cónica de género elipse , es decir uno
cualquiera de los casos especificados anteriormente.

Definición 3. Si A" y C" son de
signo contrario, se dice que la ecuación (6) representa
una cónica del género Hipérbola, es
decir uno de los casos también especificados
anteriormente

Usando las primeras tres relaciones de (3)
y la identidad trigonométrica sen2? + cos2? = 1, podemos
demostrar fácilmente que:

Los resultados precedentes se pueden
resumir en el siguiente teorema:

Teorema 3. La ecuación general de
segundo grado:

Para determinar la naturaleza de su lugar
geométrico: reducir la ecuación a su forma
canónica por transformación de coordenadas. Trazar
el lugar geométrico y todos los sistemas de coordenadas
que hayan sido necesarias.

Para establecer la solución de la
ecuación (9), determinamos el indicador
(discriminante):

Obsérvese que por ser ? agudo, 2?
está en el primero o en el segundo cuadrantes en donde el
coseno y la tangente de un ángulo son del mismo signo. De
éste valor de cos 2?, podemos obtener los valores de sen ?
y cos ? por medio de las fórmulas trigonométricas
del ángulo mitad.

Las ecuaciones de transformación por
rotación son entonces:

La ecuación (10) puede
simplificarse, bien por una traslación de los ejes X" y Y"
o completando los cuadrados. El resultado será una
elipse.

De acuerdo al problema considerado, la
gráfica se construye, generalmente a partir de la
ecuación más simple obtenida finalmente por
transformación de coordenadas. Se puede hacer una
comprobación parcial de la exactitud de ésta
gráfica comparando sus intersecciones con los ejes
originales, cuando existen dichas intersecciones, con los valores
de estas mismas intersecciones obtenidas a partir de la
ecuación original.

Figura 8

El teorema 3 establece que el orden en que
se efectúen la traslación y la rotación no
tienen importancia. Si los términos de segundo grado
forman un cuadrado perfecto, se debe hacer la rotación de
los ejes antes que la traslación. Enseguida demostraremos
la razón de esto. Si reemplazamos x y y en la
ecuación general (1)por los valores dados en las
ecuaciones de transformación para
traslación.

No podemos eliminar los términos de
primer grado comenzando por una traslación. En general,
por lo tanto, simplificaremos la ecuación (1) girando
primero los ejes.

LA CIRCUNFERENCIA

Figura 8. Circunferencia.

La Circunferencia, es una curva plana
cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto
fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir
con el círculo (superficie), aunque ambos conceptos
están estrechamente relacionados. La circunferencia
pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas,
pues una circunferencia se puede definir como la
intersección de una superficie cónica con un plano
perpendicular a su eje.

Cualquier segmento rectilíneo que pasa por
el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se
denomina diámetro. Un radio es un segmento que va desde el
centro

hasta la circunferencia. Una cuerda es un
segmento rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de la
circunferencia. Un arco de circunferencia es la parte de
ésta que está delimitada por dos puntos. Un
ángulo central es un ángulo cuyo vértice es
el centro y cuyos lados son dos radios.

La proporción entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro es una constante,
representada por el símbolo p, o pi. Es una de
las constantes matemáticas más importantes y
desempeña un papel fundamental en muchos cálculos y
demostraciones en matemáticas, física y otras
ciencias, así como en ingeniería. Pi es
aproximadamente 3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso
3,14, es suficiente para la mayoría de los
cálculos. El matemático griego Arquímedes
encontró que el valor de p estaba entre
3 + 1/7 y 3 + 10/71.

El centro de la circunferencia es
centro de simetría, y cualquier diámetro es eje de
simetría.

Propiedades de la
elipse

Si desde un punto P de la
elipse se trazan los segmentos PF y PF", la bisectriz
exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente
a la elipse.

Figura 9.

Otra propiedad de la elipse,
consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de
los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el
otro foco.

Ecuación reducida de la
elipse

Si se sitúan los ejes ordenados
del siguiente modo: el eje X coincidiendo con el eje
mayor de la elipse y el eje Y coincidiendo con el eje
menor, la ecuación de la elipse adopta la forma
siguiente:

que se llama ecuación
reducida de la elipse.

Aplicación
de las cónicas

Las cónicas poseen curiosas e
interesantes propiedades por las que resultan sumamente
útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o
el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y
cometas en su rotación alrededor del Sol son
cónicas; los faros de los coches tienen sección
parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas
de seguimiento de satélites, debido a que en la
parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos
al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la
navegación (loran) basado en las propiedades de las
hipérbolas. Pero lo más destacable en su
aplicación en la técnica son los diseños de
los perfiles de engranajes, para su correcto
funcionamiento

Salvo la circunferencia, las
restantes cónicas se pueden definir como lugares
geométricos a partir de un punto fijo F, llamado
foco, una recta fija, d, llamada directriz, y su
excentricidad, e > 0, del siguiente
modo:

El lugar geométrico de los puntos
P del plano tales que el cociente de sus distancias a
F y a d es igual a e
(dist PF/dist Pd = e),
es una cónica de excentricidad e.

Cónicas
degeneradas

Las cónicas propiamente
dichas son las que ya se han descrito: circunferencia, elipse,
hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto
de vista matemático conviene a veces considerar como
cónicas las figuras que se obtienen al cortar la
superficie cónica mediante planos que pasan por su
vértice. A estas figuras se les llama cónicas
degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o
incluso un punto, serían cónicas
degeneradas.

DEFINICIÓN GENERAL DE LA
CÓNICA

Esta definición incluye a la
parábola, la elipse y la hipérbola.

Definición. Dada una recta fija
l y un punto fijo F no contenido en ésta recta.
Se llama cónica al lugar geométrico de un punto P
que se mueve en el plano de l y F de tal manera que la
razón de su distancia de F a su distancia de l es
siempre igual a una constante positiva.

a recta l fija se llama
directriz, el punto fijo F, foco, y la
constante positiva, a la que designaremos por e,
excentricidad de la cónica, cuando e= 1m la
definición anterior es el de la
parábola,

El cual puede expresarse
analíticamente por la ecuación:

Elevando al cuadrado ambos miembros de
ésta ecuación, quitando denominadores y
transponiendo, resulta:

Podemos demostrar, recíprocamente,
que cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la
ecuación (13) es un punto que satisface la ecuación
geométrica (12) y, por lo tanto, está sobre el
lugar geométrico. De acuerdo con esto, la ecuación
(13) es la ecuación buscada.

Por lo anteriormente estudiado, reconocemos
a primera vista que el lugar geométrico de la
ecuación (13) es una cónica, pero su naturaleza
depende, evidentemente, del valor de la excentricidad
e.

Completando el cuadrado en x. podemos
reducir ésta ecuación a la segunda forma ordinaria
de la ecuación de una cónica central,

El que la ecuación (14) represente
una elipse o una hipérbola depende del valor de
e. Tenemos entonces dos subcasos,

Entonces:

Evidentemente, el lugar geométrico
de la ecuación (15) es una hipérbola,
análogamente a como hicimos para la elipse podemos
demostrar que el valor de e dado por la ecuación (14) es
idéntico con su valor previamente definido de

Bibliografía

• 1. CÁLCULO EN LAS TRES
  PRIMERAS DIMENSIONES: Sherman K. STEIN.

2. CALCULUS. Cálculo con funciones
de muna variable, con una introducción al
Álgebra

3.-GEOMETRÍA ANALÍTICA.
Charles Lehmann

4.- Editorial original en Inglés
publicada en Estados Unidos de América ©
1958.

Lineal. Tom M. Apóstol. Volumen 1.
Editorial Reverté.

Traducción y adaptación: Ing.
Humberto Cantú Salinas LIBROS MACGRAW HILL.

Autor:

Flores Dobladillo, Rafael
Oswaldo

Chavéz Chavéz, Giancarlo
Enrique

Chirito Lopez, Ernesto
Eduardo

Flores García, Mery
Nelida

Huaringa Robles, Amador
Macgyver

Malpartida Palacios,
Enrique

Montero Vicente, Brian
Yonathan

Salazar Choy, Juan Carlos

Vásquez Porras, Karina
Mirella

Villacorta Gonzalez, Pilar
Jovanna

Fernández flores,
Wendhy

Docente: Raúl Castro
Vidal

"UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE
AMERICA"

FACULTAD DE MEDICINA

E.A.P: TECNOLOGIA MÉDICA

AREA: TERAPIA FISICA Y
REHABILITACION

Trabajo monográfico de
Cónicas

2010