- Definición
- Ecuación ordinaria de la
circunferencia - Ecuación general de la
circunferencia - Familia de circunferencias
- Ejemplo Ilustrativo N° 1
- Ejemplo Ilustrativo N° 2
- Ejemplo Ilustrativo N° 3
- Bibliografía
DEFINICIÓN
Es el lugar geométrico de los puntos del plano
que están a la misma distancia de un punto fijo llamado
CENTRO (C). La distancia fija se llama RADIO ( r ) de la
circunferencia.
Una circunferencia queda completamente determinada si se
conocen su centro y su radio.
ECUACIÓN
ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Observemos el gráfico. Sea una
circunferencia de centro (h,k) y radio r.
Por la ecuación de distancia entre dos puntos
tenemos:
Eliminando la raíz y transponiendo
términos se obtiene:
Si el centro está en el origen de
coordenadas, C (0,0), la ecuación se reduce a
DEDUCCIÓN GENERAL DE LA
CIRCUNFERENCIA
La ecuación ordinaria de la circunferencia
es
Realizando las operaciones indicadas se transforman
en
Transpongamos r2 y ordenemos los
términos
Que representa la forma
Ecuación
general de la circunferencia
En donde: D = -2h ; E = -2K y F = h2 + k2 –
r2
Caso Recíproco
Si escribimos la ecuación general en la forma x2
+ Dx + y2 + Ey = -F y sumamos y restamos los términos que
se indican para completas trinomios cuadrados perfectos se
tiene
Factorando en el primer miembro y sumando
en el segundo se tiene
Comparando con (x-h) 2 + (y– k) 2 =
r2, se concluye que
El centro C es y el radio r =
Como D2 + E2 – 4F da el valor del radio,
los casos que pueden presentarse son:
a) Si D2 + E2 – 4F ( 0 existe
circunferencia, r es real
b) Si D2 + E2 – 4F ( 0 no existe
circunferencia, r es imaginario
c) Si D2 + E2 – 4F = 0 no existe circunferencia, la
ecuación representa al punto (-D/2 , -E/2).
FAMILIA DE
CIRCUNFERENCIAS
Son todas las circunferencias que pasan por el punto de
la intersección de dos circunferencias, la ecuación
de todas ellas está dado por:
x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + K ( x2 + y2 +
D2x + E2y + F2) = 0
Esta expresión representa una circunferencia para
los valores de K, excepto para K= -1. Para K=-1 la
ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda
común de dichas circunferencias.
EJE RADICAL
Es la recta que pasa por la
intersección de dos circunferencias.
Sean las circunferencias x2 + y2 + D1x +
E1y + F1 = 0
x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0
La ecuación del eje radical se
obtiene restando las ecuaciones de las
circunferencias.
Ejemplo Ilustrativo
N° 1
Hallar la ecuación de la
circunferencia que pasa por los puntos (2,3) y (3,6) y sea
tangente a la recta 2x+y-2=0
Calculando la pendiente con los puntos
(2,3) y (3,6) se obtiene:
Calculando la pendiente de la mediatriz que
pasa pos los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:
Como la mediatriz es perpendicular al
segmento formado al unir los puntos (2,3) y (3,6), por lo tanto
la pendiente es la inversa negativa de 3, lo que da
Calculando el punto medio de (2,3) y (3,6)
se obtiene:
Calculando la ecuación de la
mediatriz al segmento formado por los puntos (2,3) y (3,6) se
obtiene:
Realizando un gráfico ilustrativo se
tiene:
Reemplazando los puntos (2,3) y (3,6) en la
ecuación ordinaria de la circunferencia se
obtiene:
Igualando las 2 ecuaciones anteriores de
r2
Dividiendo por 2
Que es la ecuación de la mediatriz
calculada anteriormente
Despejando h
Calculando la distancia del radio de la
circunferencia aplicando la ecuación de distancia de un
punto C(h,k) a la recta 2x+y-2=0 se tiene:
Elevando al cuadrado la ecuación
anterior:
Igualando la ecuación (6) con la
(1)
Reemplazando la ecuación (3) en la
anterior se tiene:
Resolviendo la ecuación
obtenida:
Reemplazando los valores de k obtenidos en
la ecuación (3) se halla los valores de h
Por lo tanto el centro C(h,k) de las
circunferencias son:
Reemplazando los valores obtenidos en la
ecuación (6) se calcula los radios:
Reemplazando los valores de h, k, y r en la
ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene la
solución al ejercicio
Ejemplo Ilustrativo
N° 2
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa
por el punto (-2,2) y por los puntos de intersección de
las circunferencias x2+y2+3x-2y-4=0 y x2+y2-2x-y-6=0.
Aplicando la ecuación de familia de
circunferencias
Reemplazando el valor encontrado se
tiene:
Graficando se obtiene:
Ejemplo Ilustrativo
N° 3
Determinar el ángulo formado por la
intersección de la recta y la circunferencia
Encontrando el centro y el radio de la circunferencia
dada:
Calculando los puntos de
intersección entre la recta y la
circunferencia:
Graficando:
Calculando la pendiente del radio (El radio
es perpendicular a la tangente de la circunferencia)
Calculando la pendiente de la tangente a la
circunferencia por el punto (1,2)
Calculando la ecuación de la
tangente a la circunferencia por el punto (1,2)
Calculando la pendiente de la recta
Calculando el ángulo de intersección entre
la recta y la circunferencia
BIBLIOGRAFÍA
LEHMANN, C.(1977). Geometría
Analítica. México: Editorial LIMUSA
LONDOÑO, N. Y BEDOYA, H.(1993)
Geometría Analítica y
Trigonometría. Colombia: Editorial NORMA
KINDLE, J.(1973). Teoría y Problemas de
Geometría Analítica. Serie de Compendios
SCHAUM. México: Editorial McGRAW-HILL
SUÁREZ, M. (2004). Interaprendizaje
Holístico de Matemática. Ecuador, Ibarra:
Gráficas Planeta.
Autor:
Mario Suarez