Ejercicios para potenciar el aprendizaje de la geometría en la educación primaria (página 2)

Las exigencias declaradas en el Modelo de Escuela
Primaria, las transformaciones realizadas para el
perfeccionamiento, así como la incorporación de
Cuba en los estudios internacionales para este nivel plantean
retos al currículo actual. En el curso 2004-2005 se
inició en tercero y cuarto la implementación de los
ajustes curriculares en la asignatura de Matemática ya que
en el curso 2005-2006 se realizaría el Segundo Estudio
Regional Comparativo y Explicativo del Laboratorio
Latinoamericano de Evaluación de la calidad de la
Educación donde Cuba obtuvo los más altos
resultados.

Es aquí donde se plantea un nuevo reto a los
docentes, el de dar cumplimiento a los objetivos relacionados con
a los ajustes curriculares planteándose dar tratamiento a
los siguientes contenidos: identificación de patrones
geométricos mediante la seriación, localizar
figuras y cuerpos geométricas en el plano y el espacio,
reconocer que un movimiento es una correspondencia de puntos del
plano que transforma una figura en otra igual a ella.

Por otro lado con la concepción del Modelo de la
Escuela Primaria se han precisado los objetivos del nivel
según áreas de la formación de la
personalidad y momentos del desarrollo, expresado en
término de las adquisiciones relativas al desarrollo moral
y afectivo, intelectual, del desarrollo estético,
físico y volitivo.

Estos se caracterizan por su enfoque integral y
desarrollador, los cuales deben materializarse en las clases de
Matemática. Actualmente a los objetivos relacionados con
la Geometría, que a pesar de ocupar un rol fundamental en
el desarrollo del escolar primario falta el tratamiento adecuado
para que cumplan con la concepción
desarrolladora.

A pesar de contar con programas y Orientaciones
Metodológicas que regulan la actividad de los docentes
para dirigir el aprendizaje de la Matemática, aún
predominan en la práctica educativa los siguientes
problemas: falta correspondencia entre documentos antes
mencionados con los libros de textos y los cuadernos de trabajo,
en los escolares se analiza lo relacionado con el manejo de los
instrumentos y las construcciones geométricas, se centran
las acciones en el docente y en menor medida en los escolares
tienden a separar lo instructivo de lo educativo, el uso del
diagnóstico se considera aún
insuficiente.

Albarrán (2007) destaca que en esta etapa: "El
aprendizaje de la Matemática sea sobre la base de la
reflexión, donde se desarrolle en los escolares
procedimientos generalizadores, la meta es enseñar a los
escolares que no están en la escuela para recibir
órdenes, sino para descubrir como pueden hacer tareas cada
vez más complejas usando sus propios recursos y
pensamientos".[8]

Los avances en la ciencia y la técnica aportan al
docente conocimientos en todos los campos y por la necesidad de
continuar elevando la calidad en la educación, surgen las
nuevas transformaciones en todas las enseñanzas y en
especial en la Educación Primaria, fundamentalmente en el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Se introducen las Nuevas
Tecnologías de la Información y las Comunicaciones
(computación, videos, tele clases, software
educativos).

Por otra parte en este período se introducen los
programas audiovisuales como: la Televisión Educativa; la
tele clase de Matemática para el cuarto grado, como
potencialidad para la preparación del escolar y del
docente, que a la vez enseña y se prepara para dar
tratamiento de forma científica Influyendo positivamente
en los contenidos geométricos.

Éstas se caracterizan por la consolidación
de los contenidos, se da tratamiento a los contenidos en
correspondencia con el programa y las Orientaciones
Metodológicas se imparten un total de 39 tele clases de
ellas solo siete están relacionadas con el contenido de
Geometría lo que representa 17.9% del total y en solo dos
de ellas se le da tratamiento a los ajustes curriculares
(seriación, movimiento) ambas se dedican al
ejercitación por lo que se considera esto como una
insuficiencia aún.

La Computación, como medio de enseñanza
para la asignatura Matemática y el uso del software
educativo como procedimientos para la apropiación de los
conocimientos y el desarrollo de habilidades cuenta con la
colección Multisaber con una concepción
pedagógica curricular extensiva, está encaminada a
solucionar problemas de cada ciclo de la Educación
Primaria, son potencialidades que están a
disposición de los docentes para elevar el
aprendizaje.

En cuarto grado se cuenta con los siguientes software:
Feria de las Matemáticas, Problemas Matemáticos,
Las formas que nos rodean I, Jugando con el mundo del saber y El
país de los números. Relacionado con el contenido
de Geometría se plantea utilizar; Las formas que nos
rodean I, en el nivel II se plantea trabajar en la
temática 4.3 contenidos relacionados con los
polígonos los cuadriláteros y la
introducción de los conceptos trapecio y rombo en el nivel
3 también aparecen ejercicios para dar tratamientos a
estos contenidos sala I, en sala II nivel I temática 4.4
figuras y cuerpos redondos, así como en el nivel II
temática 4.4 figuras y cuerpos redondos.

Sin embargo pese a todas las transformaciones durante
estas etapas se sigue manifestando las siguientes insuficiencias,
con respecto al proceso de enseñanza aprendizaje de la
Matemática de forma general, en particular la
Geometría en los escolares de cuarto grado de la
Educación Primaria. El tiempo destinado al desarrollo de
los contenidos geométricos es insuficiente, pues solo se
le dedican 29 horas clases.

Los ejercicios que se ofrecen en el libro de texto y
Orientaciones Metodológicas, para identificar las figuras
y cuerpos geométricos a partir de sus propiedades y
características, por lo general tienden a ser
reproductivos, los mismos no siempre cumplen con las
características de ser variados, suficientes y
diferenciados, que respondan a las exigencias de un aprendizaje
desarrollador. Por otra parte el estudio realizado
permitió determinar las siguientes tendencias:

• La enseñanza de la Matemática,
  fundamentalmente el tratamiento de la Geometría
  evoluciona desde la carencia de los documentos que norman la
  asignatura y bibliografías, hasta la
  consideración de variadas fuentes
  bibliográficas y materiales que le sirven al docente
  para su trabajo.

• Los métodos evolucionan desde la
  reproducción mecánica y la memorización,
  donde el escolar es un ente pasivo y el docente tiene el rol
  protagónico, hasta los métodos activos, donde
  el docente asume el papel de un educador que promueve el
  desarrollo, la independencia cognoscitiva, el pensamiento
  creador o sea desarrollando una cultura general
  integral.

• Los medios de enseñaza se integran combinando
  los medios tradicionales con el uso de las nuevas
  tecnologías en correspondencia con los avances de la
  ciencia y la técnica.

• Las investigaciones realizadas sobre esta
  temática transitan, desde la limitada oferta de
  ejercicios, hasta ofrecer variantes de mayor riqueza
  metodológica que le sirven de guía al
  docente.

El estudio histórico le permitió
identificar la trayectoria del proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la
Educación Primaria, en particular en el tratamiento de
Geometría, por lo que fue necesario analizar algunos
aspectos de carácter teórico y metodológico
relacionados con el Modelo de la Escuela Primaria.

1.2 Consideraciones teóricas que fundamentan
el proceso de enseñanza aprendizaje de la
Matemática y en particular la Geometría en el
cuarto grado de la Educación Primaria.

En este epígrafe se sistematizan los fundamentos
teóricos desde las diferentes ciencias que se asumen. Se
analizan las categorías de la teoría del
conocimiento, las leyes de la dialéctica, los principios
de la Filosofía, la teoría de la actividad,
así como los componentes de la didáctica, los
principios didácticos de la enseñanza
desarrolladora, de carácter general y en particular de la
Matemática y se valora la definición de ejercicio y
su estructura.

La teoría Marxista Leninista del Conocimiento es
la base metodológica para la organización del
proceso de aprendizaje. La vía del conocimiento
matemático transcurre tal y como se expresa en la
vía dialéctica del conocimiento, sintetizada por
Lenin en sus cuadernos filosóficos cuando apuntó:
"De la percepción viva al pensamiento abstracto, y de
éste a la práctica; tal es el camino
dialéctico del conocimiento de la verdad, del conocimiento
de la realidad objetiva" [9]

A través de la asignatura Matemática de
forma general, y en particular la línea directriz
Geometría en los primeros grados de la Educación
Primaria, es posible dar a conocer al escolar una serie de
regularidades existentes en la realidad objetiva, en
relación con los cuerpos y superficies que determinan las
figuras que percibimos de esta realidad.

Ello justifica que en el transcurso del desarrollo
histórico de la Matemática como ciencia los hechos
acumulados atestiguan que los conceptos matemáticos, las
propiedades y las demostraciones lógicas tienen una
procedencia práctica vinculada a los procesos reales del
mundo exterior.

La Geometría surge como resultado de la
experiencia y la práctica de la vida y esta refleja de
forma objetiva una parte de la realidad, por lo que se puede
afirmar que con ello ha sido transformando una parte de la
realidad. De esta forma el escolar va interiorizando la
relación de los entes matemáticos con los objetos
del mundo material y sus leyes.

Las leyes de la dialéctica, permiten el nexo
universal, la interconexión entre los procesos y
fenómenos del mundo material. El tratamiento a la
Geometría en la Escuela Primaria está dirigido
fundamentalmente al desarrollo de las habilidades
geométricas tales como: trazar, identificar, reconocer,
argumentar, lo cual permite preparar a los escolares para
enfrentarse a situaciones de la vida diaria.

Entre estas se encuentran la ley de la unidad y lucha de
contrarios, la ley de la negación de la negación y
la ley del tránsito de los cambios cuantitativos en
cualitativos y viceversa.

En este sistema teórico conceptual se hace
énfasis en los principios de la teoría
dialéctico materialista del conocimiento. Entre ellos, el
de reflejo, el desarrollo y de la práctica; el primero se
refiere a que los objetos son el contenido del reflejo del sujeto
y que estos existen fuera e independiente del mismo en una
reproducción ideal de una imagen más o menos
adecuada del objeto.

El conocimiento es el reflejo activo, creador, corregido
por el pensamiento e indudablemente ligado a la actividad
practica del hombre, por lo que es esencial tener en cuenta este
principio al planificar el proceso de enseñanza
aprendizaje de los contenidos geométricos, ya que los
escolares pueden percibir adecuadamente las formas de las
figuras, cuerpos y concretarlas en el medio, en modelos o en
situaciones más complejas.

El desarrollo es un sustento importante en el
tratamiento de la Geometría en la Educación
Primaria; este refiere que el conocimiento es un proceso, y por
tanto lo que se conoce de la realidad, sucede de una manera
incompleta e inexacta a una manera más completa y
exacta.

Este constituye uno de los aportes fundamentales del
Marxismo a la teoría del Conocimiento, ya que no se debe
suponer jamás a nuestro conocimiento acabado e invariable,
sino considerar el mismo como un proceso, gracias al cual el
conocimiento incompleto e inexacto llega a ser más
completo y más exacto mediante la adquisición de
nuevos contenidos; pero lo que si es realidad es que nunca
será acabado.

La enseñanza de los contenidos geométricos
tiene su antesala en el programa de nociones elementales de la
Matemática desde los Círculos Infantiles, programa
Educa a tu Hijo y el grado preescolar. De igual modo los
escolares desde los primeros grados conocen las, figuras
geométricas así como algunas de sus propiedades, es
decir tienen conocimientos previos de la realidad objetiva
(vivencias, experiencias).

De acuerdo con la concepción materialista en la
organización del proceso del conocimiento en la
enseñanza en Cuba, se parte de la realidad objetiva, lo
que sirve como base en los escolares para la abstracción
de conceptos.

En el tratamiento de los contenidos geométricos
en cuarto grado, se pone de manifiesto este principio al
reconocer las características y propiedades de las figuras
y cuerpos geométricos, se parte del objeto real o una
representación de la figura o cuerpo geométrico, se
identifica el objeto en el medio y se comparan ambas, se
determinan sus rasgos esenciales, aquí la realidad
objetiva lo constituye los objetos los cuales aportan los
conocimientos para posteriormente realizar actividades más
complejas.

El tercero reconoce el papel decisivo de la
práctica como la base del conocimiento siendo esta su
fuerza motriz y móvil, pues plantea ante él en cada
período histórico problemas concretos que exigen
una solución en el conocimiento humano porque ella es
punto de partida de la teoría del conocimiento, surge de
lo planteado por Lenin, tanto la actividad cognoscitiva como la
valorativa son expresiones de la práctica social se
refiere a que el conocimiento es un proceso que revela la esencia
más profunda del pensamiento.

El desarrollo de los conocimientos depende de las
necesidades en la práctica social por tanto, estas
constituyen la fuerza motriz, partir de la solución de
problemas científicos, con diferentes fuentes vinculadas a
necesidades provenientes de la práctica es lo que logra el
incremento del saber. La actividad práctica es fundamento
y fin del conocimiento; así como criterio objetivo de su
veracidad, o sea se considera la práctica como criterio
valorativo de la verdad:

Este principio es un fundamento importante para el
tratamiento a la Geometría el carácter
eminentemente práctico con que se debe desarrollar, los
conocimientos que aquí se adquiere se hacen de forma
intuitiva, operativa, mediante actividades prácticas con
objetos de la realidad objetiva donde los escolares desarrollan
habilidades de medir, trazar, identificar, superponer pegar, es
decir que opera con los conceptos al construir los
modelos.

Por otra parte para fundamentar la propuesta es
imprescindible un profundo estudio de las definiciones de
Educación, así como la importante relación
que debe existir entre la escuela-familia–comunidad.

En ese sentido el estado cubano, con la
participación y respaldo de las organizaciones
políticas y de masas es el encargado de la
estructuración y funcionamiento de un Sistema Nacional de
Educación, orientado al desarrollo y la formación
de las nuevas generaciones en un proceso docente educativo
integral, sistemático, participativo y en constante
desarrollo, que se apoya en un conjunto de principios que forman
un sistema para el desarrollo de la tesis se tuvieron en cuenta
por su importancia los siguientes:

• Del carácter masivo y con equidad de la
  educación.

• De la gratuidad.

• De la participación democrática de
  toda la sociedad en las tareas de la
  educación.

• De la coeducación y la escuela abierta a la
  diversidad.

• De la atención diferenciada y la
  integración escolar.

Relacionado con el tema de la Educación el
Comandante sentenció…"nuestro país va a dar
un salto gigantesco en el terreno educacional y
cultural…"[10] Precisamente en el campo de la
Educación, vienen gestándose transformaciones
encaminadas a elevar el aprendizaje de los escolares, y con ello,
cumplir con el último fin que es la formación o el
desarrollo de la personalidad.

Según Blanco (2001): "Educación es el
conjunto de influencias recíprocas que se establecen entre
el individuo y la sociedad, con el fin de lograr su
inserción plena de ella, o sea la socialización del
sujeto. Nos referimos, por tanto, a un fenómeno social
complejo, encaminado a la transmisión y apropiación
de la herencia cultural, los valores, normas y patrones
socialmente aceptados".[11]

El apóstol J. Martí sentenció
"Educar es depositar en cada hombre toda la obra humana que le ha
antecedido: es hacer a cada hombre resumen del mundo viviente,
hasta el día en que vive: es ponerlo al nivel de su
tiempo, para que flote sobre él, y no dejarlo debajo de su
tiempo, con lo que no podrá salir a flote; es preparar al
hombre para la vida."[12]

En esta definición Martí resume de una
forma muy peculiar cómo la educación es un
fenómeno general que tiene como fin la formación
del hombre en el proceso de instrucción y educación
para que pueda vivir y transformar el mundo en su propio
beneficio.

En ese sentido, la Matemática de forma general, y
en particular la Geometría contribuye a preparar a los
escolares, ya que desde sus contenido se educan a los mismos en
el cuidado de todo lo que lo rodea, mediante el desarrollo de los
contenidos geométricos, se preparan a los escolares para
utilizarlos en situaciones de la vida cotidiana, acordes con el
desarrollo de la ciencia y la técnica, por lo que se asume
la definición dada por José
Martí.

Por otra parte, la relación escuela –
familia – comunidad es otro elemento a tener en cuenta,
porque estas encierran sus influencias educativas, para
garantizar la cooperación, la colaboración e
integración en la solución colectiva, a las
necesidades del proceso pedagógico que se lleva a cabo en
cuanto al tratamiento de los diferentes contenidos y sus
habilidades, con énfasis en la solución de las
actividades de estudio independiente

En correspondencia con lo antes planteado Ernesto Che
Guevara (1957.1967.) apuntó "…la sociedad en su conjunto
puede convertirse en una gran
escuela"[13]

Para los fundamentos pedagógicos se parte de que
en los procesos de aprendizaje cada persona hace suya la cultura,
que le permite el dominio progresivo de los objetos y sus usos,
modos de actuación, pensar y sentir, inclusive las formas
de aprender en cada contexto histórico de manera que los
aprendizajes que se realizan constituyan basamento indispensable
para que se produzcan procesos de desarrollo abriendo caminos
seguros a los nuevos aprendizajes.

En esta perspectiva juega un papel importante el
docente, pues es el encargado de llevar adelante el aprendizaje
de la Geometría a cada uno de los escolares, por lo que
debe plantearse exigencias crecientes a la hora de organizar y
planificar el proceso, de manera que conduzca a niveles de
desarrollo superiores, desde dos niveles diferentes de desarrollo
el actual y el potencial.

Se conoce como zona de desarrollo actual, la que se
manifiesta en la solución independiente de ejercicios y el
segundo constituye la zona de desarrollo próximo, es decir
lo que aún no ha logrado pero está en condiciones
de realizar en ayuda de otros.

Se asume la definición de aprendizaje dada por
Rico "es el proceso de apropiación por el niño de
la cultura, bajo condiciones de orientación e
interacción social. Hace suya esa cultura, requiere de un
proceso activo, reflexivo, regulado, mediante el cual aprende, de
forma gradual, acerca de los objetos, procedimientos, la forma de
actuar, la forma de interacción social, de pensar, del
contexto histórico social en que se desarrolla y cuyo
proceso dependerá de su propio
desarrollo"[14]

El aprendizaje, además de los procesos cognitivos
lleva implícitos los aspectos de formación que
corresponde al área afectiva emocional de la personalidad.
Es por ello que en el proceso de enseñanza-aprendizaje de
la Matemática, la instrucción desempeña un
papel fundamental al descubrir cualidades específicas de
la mente que conducen al escolar a nuevos niveles de desarrollo
tanto en el aprendizaje del contenido de la línea
directriz de la Geometría como en otras líneas
escolares, es decir, que la educación debe estar orientada
hacia el futuro, no hacia el pasado.

En ese sentido se puede plantear que en la
pedagogía de estos días se manifiesta un problema
fundamental que está dado por la ley de la unidad de la
instrucción y la educación, la cual tiene como
contenido esencial el desarrollo de una personalidad capaz de
favorecer el progreso social e individual.

Por otro lado también es necesario tener en
cuenta que la Psicología constituye un arma insustituible
para el trabajo del docente, aportándole elementos
teóricos indispensables para la correcta dirección
del proceso de enseñanza aprendizaje, la formación
de hábitos y habilidades en la actividad de estudio,
así como aspectos relacionados a la dirección del
proceso educativo.

Para el desarrollo del proceso de enseñanza
aprendizaje de la Matemática, y en particular los
contenidos geométricos, le corresponde al docente una
tarea fundamental: ejercer conscientemente una influencia
educativa en la formación de la personalidad, y para ello
no le basta dominar los contenidos de las diferentes asignaturas,
sino que les es imprescindible conocer las características
psicopedagógicas de los escolares de cuarto grado
correspondientes al momento del desarrollo. (Ver anexo
I)

Sobre las etapas del desarrollo Bozhovich
expresó: "cada etapa se caracteriza por un conjunto
especial de condiciones de vida y de la actividad de los alumnos
y por la estructura de las particularidades psicológicas
que se forman bajo la influencia de esas condiciones."
[15]

Para que los escolares interioricen los conceptos
geométricos es imprescindible que estos tengan pleno
conocimiento de las características, propiedades y
proposiciones de las figuras y cuerpos geométricos. Por lo
que se hace necesario partir de la definición de
conocimiento que: "es el reflejo del mundo objetivo en
el pensamiento humano, este puede ser mediato o inmediato"
[16]

Por otro lado según el Diccionario de
Filosofía:" el conocimiento es un proceso
socio-histórico de la actividad creadora de los hombres,
que forma su saber, sobre la base del cual surgen los fines y
motivos de las acciones humanas." [17]

Según Guétmanova (1999): el conocimiento
"es el proceso dialéctico del reflejo de la realidad en la
conciencia humana, movimiento del pensamiento de la ignorancia al
saber; de un saber incompleto inexacto a uno más completo
y más exacto" [18]

Para lograr un conocimiento más completo y exacto
de los contenidos de la Matemática y en particular de la
Geometría tienen una gran significación los
procesos cognoscitivos (sensación, percepción,
memoria, imaginación, la atención y el pensamiento)
que están dentro de la esfera ejecutora. Por lo que se
asume la definición dada por Guétmanova acerca del
conocimiento.

Es por ello que enseñar a pensar a los escolares
desde los primeros grado es una tarea de los docentes que
imparten Matemática, en ello juega un papel fundamental
los procesos lógicos del pensamiento (análisis,
síntesis, abstracción y generalización) la
forma en que se conciban los procedimientos para la
solución de los ejercicios en los contenidos de
Geometría, propiciará que el escolar transite
progresivamente de un pensamiento concreto a un pensamiento
abstracto, y los conceptos geométricos tienen un alto
nivel de abstracción.

Otro de los procesos cognoscitivos de gran importancia
para el tratamiento de los contenidos geométricos, en los
escolares de cuarto grado, es la percepción por su
carácter detallado y analítico, aumentando el poder
de abstracción donde se consolidan las relaciones
espaciales, lo que favorece el alcance de un aprendizaje
significativo.

También se debe tener en cuenta la esfera
inductora que es la esfera afectiva de la psiquis humana, ya que
a ella pertenecen todos los fenómenos que orientan,
impulsan, y sostienen la actuación de los escolares en los
diferentes contextos, siendo de gran significación los
sentimientos acordes con los valores que se aspira fomentar en
dicha asignatura y así contribuir a formar un hombre apto
para vivir en sociedad.

Los fundamentos psicológicos tienen su base en el
enfoque histórico cultural de Vigotsky (1896 –
1934), el trabajo con la Geometría se fundamenta en la
concepción vigotskiana de que la educación conduce
al desarrollo, considerando como algo esencial la Zona de
Desarrollo Próximo (ZPD), en la que el docente no solo
debe tener en cuenta lo que el escolar ha aprendido, que ya
conoce, domina, puede enfrentar y aplicar por sí mismo,
sino aquello que aún no es capaz de enfrentar solo, pero
con una pequeña ayuda de otros puede resolver, lo que
expresa las potencialidades de su desarrollo futuro.

Según estudios realizados se evidencia que el
tratamiento individual al nivel de interrelaciones del escolar,
es un hecho importante en cada uno de los procesos de
comunicación que desarrolla, manifestándose como
individualidad y como resultado de las exigencias indispensables
para desarrollar en los escolares procedimientos generalizados
que le permitan una conciencia metacognitiva.

Por lo que la meta es enseñar a los escolares que
no están en la escuela para recibir órdenes, sino
para descubrir cómo pueden realizar tareas cada vez
más complejas usando sus propios recursos y
pensamientos.

Otra ciencia que se asume para el desarrollo de la
investigación es la Didáctica, esta se define como"
parte de la Pedagogía y tiene por objeto el proceso
docente – educativo o el proceso de enseñanza
– aprendizaje[19]

En el caso particular de la Didáctica de la
Matemática, tiene como objeto el proceso de
enseñanza – aprendizaje que se opera en la
transmisión y operación de los conocimientos,
habilidades y valores, de sentimientos, que en sentido general
promueva la formación de una cultura general
integral.

El proceso de enseñanza-aprendizaje comprende
tanto los componentes personales (escolar-docente), como los no
personales (objetivo, contenido, método, medios,
evaluación) de la Didáctica, siendo los
protagonistas del proceso: el escolar, el docente, y el
grupo.

Dentro de los componentes se destaca la función
del docente en la dirección del proceso de
enseñanza-aprendizaje, donde tiene el encargo social de
establecer la mediación indispensable entre la cultura y
los escolares, con vista a potenciar la apropiación de los
contenidos, que respondan a los intereses de la sociedad y
desarrollar su personalidad integral en correspondencia con el
fin y los objetivos del Modelo de Escuela Primaria.

En la Educación Primaria se realiza un amplio
proceso de preparación metodológica dirigida a
potenciar el aprendizaje de los escolares, no obstante falta
lograr que todos los docentes, estructuren acciones de
enseñanza que satisfagan las necesidades de un aprendizaje
desarrollador, en correspondencia con las necesidades de los
escolares, por lo que resulta importante tener presente en las
actividades de aprendizaje los tres momentos para desarrollarlas:
la orientación, la ejecución y el
control.

Desde el punto de vista didáctico, se hace
necesario partir del concepto Geometría, desde varias
fuentes. La palabra Geometría se utiliza desde
épocas muy remotas. El vocablo Geometría proviene
de las voces griegas GEO que quiere decir tierra y Metrón
que denomina medida. Hoy en día, el objeto de estudio de
la Geometría como ciencia está dirigido a analizar,
organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. Estudia la
extensión, forma, relaciones de posición de los
cuerpos y los elementos que lo constituyen así como sus
propiedades, es por ello que Engels planteó "…la
Geometría es el modelo matemático del espacio
físico." [20]

Geometría: "Parte de la Matemática
que trata de las propiedades y medida de la extensión
geométrica, perteneciente o relativo a Geometría."
[21]

Geometría: "Parte de las
Matemáticas que se ocupa de las propiedades, medidas y
relaciones entre puntos, líneas, ángulos,
superficies y cuerpos." [22]

Geometría: "del griego geo, "tierra";
metrón, medida), rama de las Matemáticas que se
ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más
elemental, la Geometría se preocupa de problemas
métricos como el cálculo del área y
diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de
cuerpos sólidos."[23]

En todas estas definiciones se observa un elemento
común, la propiedad de que los cuerpos se pueden medir
así como que la misma surgió por una necesidad
social del hombre. Se asume la primera definición por
estar en estrecha correspondencia con los objetivos que se
plantean en el Modelo de Escuela Primaria y que se materializan
en el programa de Matemática de cuarto grado, lo que
permite la formación de conceptos por vía
inductiva, que es la más utilizada en seta
educación.

Se considera que la concepción del
currículo de Geometría en la escuela cubana (Rizo
1987, 1989, 1990) se sustenta, con plena vigencia, en estos
objetivos generales para el aprendizaje de los contenidos
geométricos y se organiza en tres etapas fundamentales: la
primera etapa denominada ciclo inicial o propedéutico, que
abarca la enseñanza preescolar y hasta el cuarto grado de
la Escuela Primaria, con un estudio intuitivo; una segunda etapa
donde se realiza el estudio racional o deductivo, que comienza en
los grados quinto y sexto, y se extiende hasta los tres grados de
Secundaria Básica; luego una tercera etapa de
complementación.

La clase es la forma fundamental de organización
del proceso de enseñanza aprendizaje. La clase de
Geometría en el cuarto grado tiene un carácter
sistematizador e incluye numerosas actividades prácticas y
de representación muy necesarias para la
comprensión de las características esenciales de
las figuras y cuerpos geométricos que propicien el
desarrollo de un sentido geométrico y de habilidades en el
trazado; las mismas deben trabajarse en un bloque dentro del
período. En esta se ponen de manifiesto los componentes de
la didáctica.

A continuación se hace una valoración de
cada uno de esos componentes, aunque en la actualidad se conciben
otras que adquieren un papel determinante en enseñar a
aprender, lo cierto es que hoy se debe propiciar que el escolar
no aprenda solo en el aula sino fuera de ella bajo la
dirección del docente y en la sociedad.

Según Zilberstein (2002) El objetivo "es la
categoría rectora del proceso de enseñanza
aprendizaje, define el encargo que la sociedad le plantea a la
educación institucionalizada, representa el elemento
orientador del proceso y responde a la pregunta ¿Para
qué enseñar y para qué
aprender?"[24] Los objetivos tienen el papel
rector en el currículo escolar. Se enuncian en
función de los escolares, la derivación de estos
deben tener un carácter de sistema.

Por otra parte es importante precisar los componentes de
los objetivos: las habilidades a lograr por los escolares
(acciones y operaciones) los conocimientos, las condiciones en
que ocurrirá la apropiación (el nivel de
asimilación, el nivel de profundidad y el nivel de
sistematización). Ellos suelen clasificarse en; objetivos
educativos dirigidos a lograr transformaciones raigales de la
personalidad y los objetivos instructivos dirigidos al dominio o
apropiación por los escolares del contenido de las
asignaturas, ambos forman una unidad
dialéctica.

Según Ballester (1992) los objetivos
fundamentales en el primer ciclo de la Educación Primaria
están determinados por la "adquisición de
conocimientos y capacidades relacionadas con los conceptos
geométricos su descripción así como el
desarrollo de habilidades en el trazado y la construcción
de figuras geométricas."[25]

En correspondencia con este tema de los objetivos el
Modelo de Escuela Primaria plantea que los escolares de cuarto en
los contenidos de Geometría deben: identificar en el medio
y en modelos, figuras y cuerpos geométricos elementales,
realizar algunos de ellos con diferentes instrumentos y construir
objetos con esas formas, así como argumentar algunas
proposiciones a partir del conocimiento de sus propiedades y
características.

Los objetivos esenciales de la enseñanza de la
Geometría que se platean en el programa de cuarto grado
son los siguientes:

• Conocer y profundizar en el conocimiento de figuras
  y cuerpos geométricos y sistematizar algunas de sus
  características esenciales.

• Reconocer las características esenciales de
  figuras planas y cuerpos, así como recocerlas en
  objetos del medio.

• Determinar las posiciones relativas entre puntos,
  puntos y rectas, rectas y planos.

• Comparar y relacionar las características de
  las figuras y cuerpos, e identificar su dirección
  orientación y perspectiva en el plano o el
  espacio.

• Reconocer figuras incluidas unas en
  otras.

• Desarrollar habilidades en el trazado y
  construcción de algunas figuras planas utilizando los
  instrumentos correspondientes.

• Reconocer la congruencia o igualdad
  geométrica en figuras planas estudiadas y en caras o
  cuerpos.

Existe una estrecha relación entre objetivo y
contenido, los objetivos determinan el contenido, Addine (2004)
destaca que el contenido responde a la pregunta
¿Qué enseñar-aprender? "Es aquella parte de
la cultura y experiencia social que debe ser adquirida por los
estudiantes y se encuentra en dependencia de los objetivos
propuestos."[26]

El contenido está formado por conocimientos,
habilidades, hábitos, métodos de la ciencia, normas
de relación con el mundo y los valores. Lo analizado hasta
aquí del componente contenido del proceso de
enseñanza-aprendizaje reafirma la idea de la unidad de la
instrucción y la educación, juicio básico y
central. Según Castellano: "el predominio de uno sobre
otro, o el deterioro de algunas de las áreas,
afectará radicalmente el desarrollo integral de los
escolares." [27]

En la enseñanza de la Geometría del primer
ciclo, los escolares se familiarizan con los primeros conceptos
geométricos, sus relaciones y algunas propiedades, sobre
la base de un carácter totalmente propedéutico,
práctico, intuitivo operativo.

Según el criterio de Ballester los conceptos son
una categoría especial en la enseñanza de la
Matemática, pues a partir de ellos opera el pensamiento
matemático, estos tienen su origen en las necesidades
características de la práctica que surgen en la
larga lucha del hombre por trasformar la realidad. Por lo que se
hace necesario sistematizar los mismos en el proceso de
enseñanza aprendizaje de la Geometría.

Para lograr esto es necesario que el escolar desarrolle
actividades prácticas de modo que observe, dibuje,
manipule, modele, recorte, componga, descomponga las figuras y
cuerpos, y a partir de estas actividades experimentales, pueda
percibir adecuadamente sus formas y reconocerlas, tanto en el
medio, como en modelos o en situaciones más
complejas.

Los conceptos geométricos tanto de objetos como
de relaciones y operaciones que deben haber adquirido los
escolares al concluir el cuarto grado de la Enseñanza
Primaria son los siguientes:

Figuras geométricas elementales (punto, recta,
segmento, semirrecta, plano y semiplano)

Figuras planas (polígonos, triángulos,
trapecios, paralelogramos, rectángulos cuadrados rombo,
circunferencia)

Cuerpos geométricos: (prisma, ortoedro, cubo,
pirámides, cilindro, esfera, cono.)

Al organizar los contenidos geométricos, como
actividad conjunta donde interactúan el docente, el
escolar o entre ellos, se fomenta el desarrollo de cualidades de
su personalidad, intereses relacionados con el estudio, forma de
relación entre sus compañeros, se genera un clima
emocional favorable muy eficaz para el aprendizaje donde los
escolares logren transitar por los diferentes niveles de
desempeño.

Se asume por niveles de desempeño cognitivos
cuando se refiere a dos aspectos íntimamente relacionados,
ellos son: El grado de complejidad con que se quiere medir este
desempeño y la magnitud de los logros alcanzados en una
asignatura determinada.

Se han considerado tres niveles de desempeño
cognitivos según la magnitud y peculiaridades de los
logros del aprendizaje alcanzados por los escolares en las
diferentes asignaturas del curso escolar. Referido a los niveles
de desempeño cognitivo en la asignatura Matemática
se asume las definiciones planteada por Bernabeu
(2005).

Nivel I: Reconocimiento de objetos y elementos.
Implica la identificación de hechos, conceptos,
relaciones, y propiedades Matemáticas expresadas de manera
directa y explicita el enunciado.

Nivel II: Solución de problemas simples.
Exige el uso de información Matemática que
explícita en el enunciado, referente a una sola variable y
al establecimiento de relaciones directas necesarias para llegar
a la solución.

Nivel III: Solución de problemas
complejos. Requiere la organización e información
Matemática pronunciada en el enunciado y la
estructuración de una propuesta de solución a
partir de relaciones no explícitas, en las que se
involucran más de una variable.

Para el cuarto grado en el folleto del Modelo de Escuela
Primaria, derivado por niveles de desempeño para los
contenidos de Geometría se plantean los
siguientes:

Nivel I. Trazar figuras y cuerpos
geométricos con diferentes instrumentos y construir
objetos con esas formas.

Nivel II. Identificar las características
esenciales de las figuras y cuerpos geométricos
estudiados, así como reconocerlas en objetos del
medio.

Nivel III. Argumentar proposiciones
geométricas a partir del conocimiento de sus propiedades y
características.

Para la sistematización de los contenidos
geométricos se deben resolver ejercicios donde se tenga
presente estos niveles de forma general.

El método de enseñanza es otro componente
del proceso de enseñaza aprendizaje, responde a la
pregunta ¿Cómo desarrollar el proceso? En textos de
carácter filosófico se define al método como
un: "sistema de reglas (metódicas) que determinan las
clases de los posibles sistemas de operaciones que, partiendo de
ciertas condiciones iniciales, conducen a un objetivo
determinado. Un método es, pues una serie de pasos u
operaciones estructurados lógicamente, con los que se
ejecutan distintas acciones encaminados a lograr un objetivo
trazado previamente." [28]

Por otro lado Zilberstein plantea que el método
(¿cómo enseñar y cómo aprender?)
"constituye el sistema de acciones que regula la actividad del
profesor y los escolares, en función del logro de los
objetivos"[29]. A partir de las exigencias
actuales, se debe vincular la utilización de
métodos reproductivos con productivos, procurando siempre
que sea posible, el predominio de estos
últimos.

En el libro de Metodología de la Enseñaza
tomo I se define al método de la siguiente forma: "Los
métodos de enseñanza de la escuela socialista son
instrumentos para acciones y modos de conducta del profesor que
sirven para provocar actividades necesarias de los escolares y
por tanto, para la conducción efectiva y planificada,
dirigida hacia un objetivo, del proceso de instrucción y
educación de la
enseñanza."[30]

Entre los métodos de enseñanza de la
asignatura Matemática se pueden citar los del proceso de
comunicación en la enseñanza y el grado de
independencia del trabajo de los escolares; entre estos
están: Exposición, Elaboración Conjunta,
Trabajo Independiente, la Conversación Heurística,
es la más empleada (dirigido productivo). Este
último contribuye al desarrollo de la actividad
cognoscitiva de los escolares y es muy utilizado en las clases de
Matemática.

En estas clases ocupa un lugar importante la de
sistematización, y la aplicación para la
fijación de los conocimientos geométricos y ello se
logra mediante la solución de ejercicios fundamentalmente
del nivel aplicativo y creativo donde predomina el trabajo
independiente, lo que facilita el desarrollo de las habilidades.
Labarrere ve a este método "como el momento donde el
escolar resuelve el ejercicio con cierta dirección del
docente." [31]aspecto que se asume para la
investigación.

En unidad dialéctica con los métodos se
encuentran los procedimientos, Zilberstein y Silvestre, ven en
estos herramientas didácticas o acciones concretas que le
permiten al docente el logro de los objetivos, mediante la
creación de actividades, a partir de las
características del contenido y de los escolares, que
cumplen la función de, orientar y dirigir la actividad del
escolar en la clase y el estudio, entre ellos se encuentran los
procedimientos inductivos y deductivos.

Estos procedimientos son utilizados en la
realización de las distintas situaciones típicas de
la enseñanza de la Matemática, entiéndase
las situaciones como, elaboración de conceptos,
elaboración de procedimientos, solución de
ejercicios, entre otros para la solución de estas
actividades se consideran, dos tipos de procedimientos: los
algorítmicos y los procedimientos
heurísticos.

Los procedimientos algorítmicos
–sucesión de indicaciones con carácter
algorítmico (SICA). Su utilización está muy
relacionada con el desarrollo de las habilidades de resolver
ejercicios donde se encuentran figuras incluidas, movimiento en
el plano y el espacio trazado y construcción de figuras y
cuerpos geométricos, pues permiten racionalizar el trabajo
mental y práctico, produciéndose una
reducción de generalización de las acciones por
parte de los escolares. La teoría de Galperin sobre la
formación por etapas de acciones mentales constituye su
fundamento lógico metodológico para resolver estos
ejercicios se emplea este procedimiento.

Unido al desarrollo de habilidades para resolver
problemas geométricos están los procedimientos o
habilidades lógicas asociados a los conceptos Campistrous
(1997), Álvarez (1998), Gámez (1998),
Guétmanova (1995), que deben además constituir
objeto de enseñanza explícita en la escuela; entre
ellas se encuentran:

• Reconocer propiedades.

• Distinguir propiedades: esenciales, necesarias, y
  suficientes.

• Identificación de conceptos. Decidir si un
  objeto pertenece o no a un concepto, que incluye las acciones
  de: recordar propiedades suficientes del concepto, reconocer
  si el concepto posee o no la propiedad, decidir.

• Definir (caracterizar, describir) que incluye:
  escoger el género, distinguir rasgos esenciales o
  diferenciales, comparar con otros conceptos del mismo
  género.

• Clasificar (sistematizar).

• Ejemplificar, las acciones en este caso pueden ser:
  recordar rasgos esenciales, buscar objetos que posean esos
  rasgos, identificar los objetos.

• Deducir propiedades, que incluye las acciones:
  identificar el concepto al cual pertenece el objeto, recordar
  propiedades necesarias del concepto, concluir que el objeto
  posee las propiedades.

Estos procedimientos constituyen una poderosa
herramienta metodológica para la organización del
proceso de enseñanza-aprendizaje, pues permiten potenciar
el desarrollo del pensamiento en los escolares.

En la enseñanza de la Matemática la
capacidad de los escolares para integrar los conocimientos
adquiridos y aplicarlos a diferentes situaciones es necesario
como opción metodológica el empleo de la
instrucción heurística, pues propicia y racionaliza
el trabajo mental y práctico, por lo que constituye una
fuerte contribución al logro de la reflexión, la
independencia cognoscitiva y la elevación del nivel
creativo por lo que facilita el cumplimiento de los
objetivos.

La instrucción heurística, comprende
separar lo dado de lo buscado, recordar conocimiento relacionados
con lo dado y lo buscado, representar gráficamente la
situación planteada, por ejemplo esta regla lleva
implícita la representación de un segmento;
trázalo en tu libreta, es decir la realidad objetiva se
trasformó en lo buscado.

Para concluir con este aspecto de la didáctica se
considera esencial para la reflexión el siguiente
pensamiento de la pedagoga cubana Escalona, quien consideraba
"que no hay alumno que no aprenda Matemática, sino
docentes que no saben
enseñarla.[32]

Por otra parte, al efectuar un estudio sobre la
definición de medios de enseñanza se evidencian
diferentes criterios Klingber refiere como: "Todos los medios
materiales necesitados por el docente para una
estructuración efectiva y racional del proceso de
instrucción y educación en todos los niveles, en
todas las esferas de nuestro sistema educacional y para todas las
asignaturas para satisfacer las exigencias del plan de
estudio.[33]

Por otro lado Zilbrestein precisa que "los medios de
enseñanza (¿con qué enseñar y
aprender?) están constituidos por objetos naturales o
conservados o sus representaciones, instrumentos o equipos que
apoyan la actividad de docentes y escolares en función del
cumplimiento de los objetivos.[34]

Hoy en día los docentes tienen retos que cumplir
ante el enorme desarrollo de la ciencia y la técnica;
contando en todas nuestras escuelas con los Programas de la
Revolución que constituyen una herramienta esencial en
cada clase.

En la Educación Primaria los materiales impresos
constituyen uno de los medios más empleados por los
docentes. Son aquellos que permiten la transmisión de la
información de forma escrita, los más empleados son
los Programas, las Orientaciones Metodológicas, los libros
de textos, cuadernos de trabajo, ejercicios en tarjetas, entre
otros.

Los libros de textos se emplean tanto para los escolares
como para los docentes, en ellos aparecen los ejemplos,
ejercicios resueltos, y ejercicios propuestos con diferentes
niveles de complejidad.

Silvestre, Patiño y Hernández (2000),
explican que los pedagogos llevan siglos estudiando el problema
de la efectividad del libro como medio de enseñanza y
aprendizaje, que fue Comenius, el creador del primer libro
ilustrado dirigido a enseñar a niños.

Para estos autores el libro es un medio principal en el
proceso de enseñanza y aprendizaje; el escolar encuentra
en él la principal fuente de los conocimientos que debe
adquirir y un medio que le ayuda a su asimilación y el
docente su principal fuente de apoyo.

El libro docente, es aquel que responde a un programa
específico y desarrolla sus contenidos esenciales en el
orden estricto del programa se le identifica como libro de texto
para dicho programa, tiene las ventajas de ajustarse con
precisión al contenido del programa y como
limitación que no potencia el desarrollo del escolar
más allá de los conocimientos esenciales
mínimos de dicho programa y al caducar o modificarse el
programa el libro pierde su vigencia, lo que se ve reflejado en
el actual libro de texto de Matemática de cuarto
grado.

El libro de consulta con fines docentes, no responde a
un programa específico, incluye los núcleos
básicos del conocimiento o ideas rectoras estructuradas a
partir de la evolución histórica de la
lógica de la ciencia o rama del conocimiento o en orden de
complejidad. Propician que el docente investigue, profundice y
sistematice sus conocimientos. Estos envejecen con el avance
indetenible de la humanidad, de la cultura, de la ciencia y de la
tecnología.

Sin embargo, los autores mencionados, advierten que
aunque el libro de texto ocupa el lugar central como medio en el
proceso de la mayoría de las asignaturas, no es el
único. Esta investigación está en
correspondencia con los planteamientos y valoraciones realizadas
por los autores citados, de que el libro de texto ocupa el lugar
central como medio en el proceso de enseñanza aprendizaje
de la mayoría de las asignaturas, no es el único
como se expresa pero sí el más
utilizado.

En tal sentido se realiza esta investigación para
la elaboración de las sugerencias metodológicas y
los ejercicios para el cuarto grado en la Educación
Primaria, que contiene aspectos teóricos y
prácticos sobre los conocimientos geométricos que
deben potenciarse en los referidos escolares, donde se presentan,
ejercicios del nivel aplicativo y creativo según los
métodos contemporáneos de la
Pedagogía.

1.3 Fundamentos de los ejercicios
geométricos.

De acuerdo con el objetivo general para el trabajo en el
nivel inferior, en la enseñanza de la Geometría en
los tres primeros grados se dan las bases para la
enseñanza futura y el enfrentamiento del escolar con su
medio. Los escolares conocen figuras lineales simples, planas,
cuerpos geométricos y las relaciones entre ellos. Se
capacitan para aplicar estos conocimientos en otras asignaturas y
en las más diversas situaciones incluso fuera del aula,
además, se desarrolla continuamente la imaginación
espacial de los escolares.

El contenido de la enseñanza de la
Geometría en el cuarto grado es de gran actualidad ya que
permite apreciar claramente, las tareas esenciales del grado
siguiente, primeramente se repasan importantes conceptos y
relaciones geométricas entre ellos. Para dirigir
correctamente la enseñanza de la Geometría en este
grado, el docente de Matemática debe tener pleno
conocimiento de la materia, elaborada con anterioridad, debe
tener información con respecto a los contenidos que le
suceden

Una vía metodológica fundamental para
lograr una organización adecuada del contenido
geométrico, que conduzca al logro de los fines propuesto
se debe fundamentar en el trabajo con ejercicios correctamente
organizados, debido a que los mismos resuman las exigencias que
deben plantearse a los escolares, de modo que su personalidad se
desarrolle en la dirección adecuada. Este trabajo con
ejercicios debe ser realizado de forma tal, que la
participación del escolar sea efectiva y desarrolle sus
capacidades de trabajo independiente.

No debe verse el trabajo con ejercicios como una
actividad solo del docente, sino como una actividad conjunta en
la que el escolar participa, en cierta medida cada vez más
independiente y en la que aplica y fija los conocimientos
adquiridos.

Es por ello que los docentes deben conocer formas
efectivas de explotar al máximo las posibilidades que
estos le brindan para potenciar el aprendizaje de la
Geometría. En tal sentido, para adentrarse al estudio de
la categoría ejercicio, como una actividad que se realiza
en las clases de Geometría para potenciar su aprendizaje;
es necesario reflexionar acerca de asuntos relacionadas con la
categoría actividad como una categoría esencial de
la Psicología que se relaciona con la Educación. La
solución de un ejercicio es una actividad. La estructura
de la actividad sirve de fundamento a la estructura del
ejercicio. Este concepto (actividad) ha sido definido por varios
autores desde diferentes ópticas.

Guadarrama (1992), la ha definido como "la forma
específicamente humana de relación activa hacia el
mundo circundante, cuyo contenido es su cambio y
transformación racional".[35]

La actividad supone determinada contraposición
del sujeto y el objeto. El sujeto es el hombre concreto, cuya
esencia son las relaciones sociales, el objeto es aquella parte
de la realidad objetiva que el hombre humaniza.

Petrovski (1980) La actividad es "la forma de
relación activa hacia la realidad, a través de la
cual se establece el vínculo real entre el hombre y el
mundo en el cual vive"[36]

Leontiev (1980) define la actividad como "una unidad
(…) no aditiva de la vida del sujeto corporal (…)
es la unidad mediatizada por el reflejo psíquico, cuya
función real consiste en que orienta al sujeto en el mundo
de los objetos.[37]

La actividad está conformada por dos componentes:
Los intencionales (motivos y los objetivos) y los procesales (las
acciones y las operaciones) y toda actividad responde a un
motivo, el cual le da orientación, sentido e
intención a la misma, no existe actividad humana sin
motivo.

"La actividad se entiende como el proceso mediante el
cual el individuo, respondiendo a sus necesidades, se relaciona
con los objetos de la realidad adoptando una aptitud hacia ellos
y la comunicación entre los
sujetos…"[38]

En la investigación se asume la definición
dada por Leontiev (1981) ya que los escolares deben realizar con
el contenido de enseñanza actividades cognoscitiva,
prácticas, y valorativas lo que conduce a su
apropiación consciente de la herencia histórico
cultural. Precisamente cuando el escolar se enfrenta a la
solución de un ejercicio geométrico, está
desarrollando una actividad práctica para fijar los
conocimientos adquiridos

Las definiciones anteriores expresan en lo esencial la
relación sujeto – objeto, teniendo en cuenta los
motivos y cómo a través de la actividad, el hombre
se transforma y conoce al mundo. Es necesario que esto constituya
un referente básico al dirigir el aprendizaje de la
Geometría, así como el proceder en la
solución de ejercicios, para que los escolares adquieran
una concepción científica, y sustente con
fundamentos sólidos la actividad humana y
académica.

El éxito de las diferentes actividades que el
escolar realiza depende en gran medida de la forma en que dichas
actividades sean asimiladas por él y los ejercicios como
forma de actividad Según Ballester(1992) "constituyen una
exigencia para la realización de las acciones,
solución de diferentes situaciones, deducciones de
relaciones, cálculo, etcétera"[39]
Para que este proceso tenga un carácter creador,
desempeñan un importante papel los conocimientos que
desarrollen los escolares como parte del contenido de la
enseñanza.

El concepto de ejercicio en la enseñanza de la
Matemática ha sido tratado por varios especialistas. En el
libro de Metodología de la Enseñanza de la
Matemática tomo1 se considera un concepto amplio para los
ejercicios: El ejercicio es una exigencia para actuar que se
caracteriza por:

• 1. El objetivo de las acciones; en la
  resolución de un ejercicio es, en cada caso
  trasformar, una situación inicial (elemento dado,
  premisa) en una situación final (elemento que se
  buscan, tesis)

• 2. El contenido de las acciones; en la
  resolución de un ejercicio está caracterizado
  por:

a) el objeto de las acciones, que puede estar dado por
los elementos de la materia matemática (conceptos
proposiciones y procedimientos algorítmicos); la
correspondencia entre situaciones extramatemáticas y
elementos de materia matemáticos; y los procedimientos
heurísticos (principios, estrategias, reglas
etc.)

b) Tipos de acciones: identificar, realizar, comparar,
ordenar, clasificar, reconocer, describir, aplicar, fundamentar,
buscar, planificar, controlar.

3. Las condiciones para las acciones se encuentran en
primer lugar las exigencias que el ejercicio plantea al escolar
expresadas por el grado de dificultad del ejercicio.

Los componentes de un ejercicio son: elementos dados,
vía de solución y elementos que se buscan, estos se
pueden interpretar de diferentes formas que conduzcan a
diferentes tipos de ejercicios.

Otras exigencias que se asumen relacionadas con la
estructuración y selección de los ejercicios para
garantizar el aprendizaje de los conceptos geométricos son
planteadas en el V Seminario Nacional para Educadores (2005), las
cuales se refieren a continuación:

• 1. Buscar variedad de los ejercicios tanto en
  la forma como en el contenido. Esta está relacionada
  con el grado de dificultad de cada ejercicio.

• 2. Presentar ejercicios tanto en una
  dirección del pensamiento y en dirección
  opuesta.

• 3. Plantear ejercicios con solución
  única o con varias soluciones o sin ninguna
  solución.

• 4. Plantear ejercicios con condiciones
  excesivas o donde falten condiciones.

Al seleccionar o estructurar los ejercicios que se van a
plantear, el maestro debe tener en cuenta: los contenidos a
sistematizar de acuerdo con los objetivos de la Enseñanza
Primaria y la actividad mental que deben desarrollar los
escolares en el proceso de solución, aquí hay que
tener presente el contenido de las acciones, el objetivo de las
acciones y los tipos de acciones (identificación y
realización como las acciones fundamentales) y otros como
comparar, ordenar, clasificar, fundamentar.

Por otro lado, en el libro Metodología de la
enseñanza de la Matemática de primero a cuarto,
tercera parte, se señalan las etapas del proceso de
solución para ejercicios cualesquiera, las cuales se
asumen para la solución de los ejercicios
geométricos que se presentan.

Primera etapa: recepción de la tarea y
comprensión del problema

Segunda etapa: observación analítica de
los datos en relación con la pregunta planteada.
(Análisis de las condiciones)

Tercera etapa: hallar el principio de solución
(la vía de solución)

Cuarta etapa: realización del principio de
solución.

Quinta etapa: coordinación de la solución
del problema plantado

Cuando se elaboran o seleccionan los ejercicios para las
clases de sistematización de los conceptos
geométricos, en este caso los destinados la
solución de ejercicios de selección múltiple
mediante la aplicación de las características y
propiedades de las figuras y cuerpos geométricos y no se
tienen en cuenta estas exigencias didácticas, se induce a
la reproducción mecánica de modelos dados por el
docente lo que provoca la memorización de algoritmos, sin
lograr una real comprensión de los contenidos.

El planteamiento del ejercicio tiene que promover en la
mayor medida posible al pensamiento independiente y al trabajo
creador, por lo que el éxito de la calidad del saber y del
poder en la Matemática depende del planteamiento del
ejercicio.

Al reflexionar acerca de las definiciones ofrecidas
sobre el concepto ejercicios es preciso generalizar que los
ejercicios geométricos están relacionados con la
actividad que desarrolla el escolar a través de diferentes
procesos; de ahí la importancia del concepto de actividad
para la enseñanza aprendizaje de la Matemática;
como proceso en el que incluye los conocimientos
específicos, las operaciones y los conocimientos y
operaciones lógicas para llegar al pleno dominio de los
conceptos geométricos.

Por otra parte los ejercicios de sistematización
de objetos y conceptos geométricos son útiles para
adiestrar el pensamiento lógico de los escolares, los
ejemplos de este tipo de ejercicios se utilizan para familiarizar
a los escolares con las formulaciones tal como se usan en la
lógica, pero, al mismo tiempo, para hacer que apliquen
diferentes formas de expresión para la misma
situación.

De esa forma los escolares aprenden que el trapecio ABCD
los lados AB y CD o los lados BC y AD son paralelos entre
sí (alternativa).Los escolares formulan, por ejemplo; "En
un trapecio por lo menos dos lados son paralelos entre si". "En
un trapecio es suficiente que dos lados sean paralelos entre
sí". Cuando los escolares han determinado que en todo
rectángulo ABCD los lados AB y CD y los lados BC y AD son
paralelos entre sí (conjunción) entonces
están en condiciones de derivar de ello las proposiciones
siguientes: "Todos los rectángulos son paralelogramos";
"Hay paralelogramos que no son rectángulos"; "Si un
cuadrilátero ABCD no es un paralelogramo, entonces tampoco
es un rectángulo.

Para lograr que los escolares lleguen a tener dominio de
las proposiciones, es necesario que tengan pleno dominio de las
características y propiedades de las figuras y cuerpos
geométricos, así como de un proceder que le permita
resolver los ejercicios que se plantean en las clases de
sistematización para identificar los conceptos
geométricos.

Al seleccionar o estructurar los ejercicios que se van a
plantear, el maestro debe tener en cuenta la actividad mental que
deben desarrollar los escolares en el proceso de solución,
aquí hay que tener presente el contenido de las acciones,
el objetivo de las acciones y los tipos de acciones
(identificación y realización como las acciones
fundamentales) y otras como comparar, ordenar, clasificar,
fundamentar.

Otras acciones intelectuales que revisten gran
importancia en la solución de los ejercicios
geométricos son: la observación, la
descripción, la modelación, la elaboración
de preguntas, argumentar, identificar entre otras, esta
última se desarrolla cuando el escolar es capaz de
interiorizar en las características y propiedades de las
figuras y cuerpos geométricos.

Durante el proceso de enseñanza aprendizaje de
esta asignatura los escolares asimilan acciones de tipo
geométrico como: trazar, identificar, medir, fundamentar,
comparar entre otras. Estas acciones le permiten operar con el
pensamiento abstracto.

Es por ello que para dirigir el proceso de
enseñanza de aprendizaje de la Matemática en la
Escuela Primaria y en particular los contenidos
geométricos, es importante tener en cuenta la
teoría del desarrollo de la psiquis humana planteada por
L. S. Vigotsky, el cual se produce a través del proceso de
apropiación de la experiencia acumulada por la humanidad
(contenido) a lo largo de toda la historia social, este proceso
constituye el mecanismo esencial para el cual se produce el
fenómeno de la transmisión de la herencia
histórico – cultural.

La concepción teórica del aprendizaje de
la formación por etapas de las acciones mentales hasta
convertirse en intelectuales, es desarrollada por Galperin y
comprobada en la práctica por numerosas investigaciones,
que aportan la llamada teoría de la formación por
etapas de las acciones mentales, ésta se basa en la
concepción dialéctico-materialista del desarrollo
de la personalidad, las acciones mentales se desarrollan en la
actividad de los escolares.

Para cada acción debe crearse un modelo interno y
la formación de este tiene fases o etapas: fase de
orientación; fase de formación de la acción
y del control, esta contempla la formación de la base
orientadora de la acción, de la acción en forma
externa, en el plano verbal externo, en el interno y su
formación de manera interna mental generalizada; fase de
aplicación, esta lleva un amplio proceso de de
familiarización de los escolares con nuevas formas de
trabajo matemático.

Desde esta perspectiva, el docente es el encargado de
valorar el nivel de desarrollo alcanzado por el escolar para
plantearle exigencias crecientes, que lo conduzcan a niveles de
desarrollo superiores, por lo que él debe tener en cuenta
dos niveles diferentes de desarrollo de los escolares, el primero
es el nivel de desarrollo actual (Zona de Desarrollo Actual), el
cual se manifiesta en la solución independiente de
ejercicios; y el segundo lo constituye la zona de desarrollo
próximo (Zona de Desarrollo Potencial), es decir, lo que
aún no ha logrado pero está en sus posibilidades de
alcanzarlo, con ayuda de otro .

En el cuarto grado concluye el tratamiento a la
Geometría de forma intuitiva operativa porque se basa en
el estudio de conceptos y propiedades mediante actividades
experimentales como (medir, trazar, superponer, calar) en este
grado se sistematiza lo aprendido en grados anteriores y se
completa su formación básica con
introducción de conceptos; no se dan definiciones; pero
sí que los escolares puedan identificar y describir sus
propiedades y características.

En la tesis se refiere que para continuar potenciando
los contenidos de Geometría, desde el punto de vista
didáctico, el docente debe organizar este proceso de
manera que los ejercicios permitan la fijación de los
conocimientos que el escolar necesita para identificar las
características y propiedades de las figuras y cuerpos
geométricos y al final poder aplicar estos conocimientos,
es decir, poner en acción lo aprendido y esto es posible
lograrlo si los ejercicios se sustentan en la concepción
desarrolladora.

Se asume para estructurar las sugerencias
metodológicas, el desarrollo de un proceder en la
solución de ejercicios de selección múltiple
con enfoque desarrollador, donde deben identificar las figuras y
cuerpos geométricos a partir del conocimiento de sus
características y propiedades; para ello se tiene en
cuenta las exigencias didácticas declaradas por los
autores Silvestre, Zilberstein (2002) y Rico
(1999-2005)

Se apoya en los principios didácticos, planteados
como exigencias para el proceso de para una enseñanza –
aprendizaje desarrollador.

Diagnosticar integralmente la preparación del
escolar para las exigencias del proceso de enseñanza y
aprendizaje, nivel de logros y potencialidades en el contenido
del aprendizaje, desarrollo intelectual y afectivo valorativo,
introducir los nuevos conocimientos a partir de los conocimientos
y experiencias precedentes; estructurar el proceso de
enseñanza – aprendizaje hacia la búsqueda activa
del conocimiento por el escolar, teniendo en cuenta las acciones
a realizar donde estén los momentos de orientación,
ejecución y control de la actividad; concebir un sistema
de actividades para la búsqueda y exploración del
conocimiento por el escolar, desde posiciones reflexivas, que
estimule y propicie el desarrollo del pensamiento y la
independencia en el mismo; orientar la motivación hacia el
objeto de la actividad de estudio y mantener su
constancia.

Por otra parte es necesario tener en cuenta: desarrollar
la necesidad de aprender y entrenarse en cómo hacerlo;
estimular la formación de de los procesos lógicos
del pensamiento y el alcance del nivel teórico, en la
medida en que se produce la apropiación de los
conocimientos y se eleva la capacidad de resolver problemas;
desarrollar formas de actividad y de comunicación
colectivas que favorezcan el desarrollo intelectual, logrando la
adecuada interacción de lo individual con lo colectivo en
el proceso de aprendizaje; atender las diferencias individuales
en el desarrollo de los escolares, en el tránsito del
nivel logrado en lo que se aspira y vincular el contenido de
aprendizaje con la práctica social y estimular la
valoración por los escolares en el plano educativo y los
procesos de su formación cultural en general.

Al valorar lo planteado por M. Silvestre (2002) en el
libro de Didáctica de la Escuela Primaria sobre
cómo se puede lograr el protagonismo de los escolares en
el proceso de enseñanza- aprendizaje, se valoran las
siguientes características de las tareas y enfatiza que
para lograr el desarrollo de los conocimientos, estas deben ser:
Suficientes, que se repita un mismo tipo de acción,
aunque varié el contenido teórico o
práctico.

Variadas, que impliquen diferentes modos de
actuar, desde las más simples hasta las más
complejas, lo que facilite una cierta "automatización" en
el desarrollo de las habilidades.

Diferenciadas, atendiendo al desarrollo alcanzado
por los escolares y propiciando un nuevo salto en el desarrollo
de la habilidad.

Los ejercicios que se presentan están
estructurados bajo estos requisitos.

El estudio de la evolución histórica
permitió obtener información del tratamiento que se
le ha dado a la Geometría en diferentes momentos, la misma
se realizó sobre la base de tres etapas, las cuales
permitieron conocer el marco teórico referencial dirigido
a profundizar en los ejercicios, para el desarrollo de los
contenidos geométricos en las diferentes etapas, los
cuales se han caracterizado por su carácter reproductivo,
es decir, conducen a la repetición mecánica, los
ejercicios son predominantemente formales, limitando el
protagonismo de los escolares y la vez impiden que estos sean
activos, reflexivos y valorativos de cada situación de
aprendizaje que se le presente; por otra parte es insuficiente la
cantidad de ejercicios para la sistematización.

El estudio del proceso de enseñanza aprendizaje
de la Matemática, en particular de la Geometría en
cuarto grado en la Educación Primaria, desde posiciones
filosóficas, sociológicas, psicológicas y
didácticas de la categoría actividad y en
particular ejercicio, constituye una premisa fundamental para el
desarrollo del pensamiento, por lo que, se evidencia perfeccionar
la selección y la estructuración de los ejercicios,
que contribuyan a potenciar los conocimientos geométricos
en los escolares del referido grado.

CAPÍTULO II:

Sugerencias
metodológicas y ejercicios dirigidos a potenciar el
aprendizaje de la geometría el cuarto grado de la
educación primaria

En este capítulo se precisa caracterizar el
estado actual del desarrollo de los conocimientos
geométricos en el cuarto grado de la Educación
Primaria, mediante el proceso de diagnóstico. Se
continúa con la fundamentación de los ejercicios
para la sistematización de los contenidos de
Geometría en el referido grado y se concluye con las
valoraciones del diagnostico final donde se verifica la
efectividad de la solución al problema
científico.

Para determinar el estado actual del dominio de los
conocimientos en los contenidos de Geometría en los
escolares de cuarto grado de la Educación Primaria se
efectuaron observaciones directas a clases, se aplicaron pruebas
pedagógicas a escolares, entrevistas a docentes, encuestas
a miembros de la estructura, así como revisión los
productos de la actividad de los escolares, docentes y
estructura.

La investigación se realizó en la escuela
primaria "Marcelo Salado Lastra" que está ubicada en el
Consejo Popular No. 1, municipio Colombia. Tiene 42 trabajadores
docentes, incluyendo a tres profesores de Educación
Física, tres de Computación, una Logopeda. El
Consejo de Dirección lo integra el director y dos jefas de
ciclo, hay nueve docentes en formación; se encuentran 14
docentes incorporados a la Maestría en las diferentes
ediciones. En el centro hay un total de 17 grupos con una
matrícula de 300 escolares de preescolar a sexto grado, de
ellos hay 52 en cuarto grado. Se tomó como muestra el aula
de 4to A con una matrícula de 20 escolares, de los cuales
se encuentran ocho en el nivel I; nueve en el nivel II y uno en
el nivel III de la asignatura Matemática.

2.1 Caracterización del estado
actual de los conocimientos geométricos en los escolares
de cuarto grado de la Educación Primaria.

A partir de la necesidad de aplicar las sugerencias
metodológicas y los ejercicios para potenciar el
aprendizaje de los contenidos sobre las características y
las propiedades de las figuras y cuerpos geométricos se
determinó, una variable, dos dimensiones con sus
respectivos indicadores, para evaluar el nivel de aprendizaje en
los escolares de cuarto grado. La variable se refiere al proceso
de enseñanza aprendizaje de la Geometría. (ANEXO
II)

Dimensión 1. Conocimientos que poseen los
docentes sobre el trabajo con la Geometría.

Indicadores.

1.1 Dominio de los conocimientos que debe impartir sobre
la Geometría el docente

1.2 Conocimientos que tienen la estructura sobre el
tratamiento de los contenidos geométricos.

1.3 Dominio de las exigencias didácticas para la
selección y estructuración de los ejercicios para
la fijación de los contenidos
geométricos.

Dimensión 2 Conocimientos que poseen
los escolares sobre la de Geometría.

Indicadores.

2.1 Trazar figuras con diferentes
instrumentos y construir objetos con esas formas.

2.2 Identificación de las características
esenciales de figuras y cuerpos geométricos, así
como reconocerlas en objetos del medio

2.3 Argumentar proposiciones geométricas a partir
del conocimiento de sus propiedades y
características.

Escala valorativa la dimensión 1 (ANEXO
III)

Escala valorativa de la dimensión 2
(ANEXOIII)

Análisis de los resultados obtenidos en los
indicadores a partir los instrumentos aplicados.

El estudio de los productos de la actividad, dirigido a
la determinación de las insuficiencias, para contribuir a
potenciar el aprendizaje de los contenidos en las clases de
Matemática con énfasis en la Geometría, se
efectuó a partir del análisis de la estrategia para
dirigir el aprendizaje (hoy Plan de Trabajo Metodológico)
donde se evidenció que el trabajo metodológico
está encaminado a la solución de los problemas del
diagnóstico, sin embargo se detectaron insuficiencias en
el tratamiento, tanto de contenido como didáctico y
metodológico al desarrollo de los contenidos de
Geometría, faltando especificar en componentes de la
didáctica como son, los métodos, procedimientos y
ejercicios que se deben trabajar para la sistematización
de los conocimientos geométricos a partir de la
identificación de las características y propiedades
de las figuras y cuerpos geométricos.

En los sistemas de clases de las docentes se pudo
observar que existen insuficiencias en la selección y
estructuración de los ejercicios de opción
múltiple para lograr que se transite por los tres niveles
cognitivos viéndose más afectado el aplicativo y el
creativo por lo que se ven afectados los conocimientos en los
contenidos de Geometría, en particular la
identificación de figuras y cuerpos
geométricos.

Por otro lado al revisar los tratamientos
metodológicos de las docentes, se pudo apreciar que en el
50% (cinco) de las clases es insuficiente el carácter
interactivo de los ejercicios, no facilitando la relación
entre los escolares, docentes y grupo.

Se revisaron las actas (13) de los colectivos de ciclo
desarrollados en esta etapa donde se apreció que falta
demostración a los docentes de las características
de las clases de consolidación, las cuales contribuyen a
la fijación de de los conocimientos geométricos. En
el análisis de estos documentos, se evidenció que
se da tratamiento de forma general a la estructuración de
los ejercicios por niveles de desempeño cognitivo, pero
falta precisar las exigencias didácticas desarrolladoras
de los mismos para consolidar los conocimientos referidos, pues
son insuficientes las actividades que respondan a qué debe
hacer el docente para la selección y estructuración
de los ejercicios de opción múltiple en
función de potenciar los conocimientos.

La encuesta se efectúo a tres docentes
para conocer sus criterios y opiniones acerca del tratamiento que
se le brinda al contenido de Geometría, en particular
relacionado con el dominio de las características y
propiedades de los conceptos geométricos que se declaran
en los objetivos del Modelo de Escuela Primaria y en el programa
de Matemática de cuarto grado.

De las tres docentes una, que representa el 33.3%, se
ubicó en nivel alto ya que demostró un pleno
conocimiento de los conceptos que se trabajan en los contenidos
de Geometría, los menciona todos, así mismo
muestra alto dominio de las habilidades del trabajo con la
Geometría, la bibliografía para desarrollar el
trabajo con los conceptos, posee pleno dominio de las
posibles causas que limitan el trabajo con los contenidos
geométricos para la sistematización de los
conceptos emitiendo respuestas claras y precisas sobre los
aspectos que se deben mejorar para el tratamiento a los
contenidos de Geometría, enfatizando en la
selección y estructuración de los ejercicios, la
sistematización; así como en las condiciones
previas que deben tener los escolares.

Fue evaluada una docente en el nivel medio, pues muestra
pleno dominio de las posibles causas que limitan el trabajo con
los contenidos geométricos para la sistematización
de los conceptos, emitiendo respuestas claras y precisas sobre
los aspectos que se deben mejorar para el tratamiento a los
contenidos de Geometría, muestra dominio de algunas de las
habilidades del trabajo con estos contenidos, así como la
bibliografía para desarrollar el trabajo con los
conceptos; solo utiliza como bibliografía para desarrollar
los contenidos, las Orientaciones Metodológicas, posee
dominio parcial de las posibles causas que limitan el trabajo con
los contenidos geométricos, no señala dentro de las
causas la falta de sistematicidad en estos contenidos,
faltándole precisar en los elementos de orden
didáctico y metodológico poco dominio de
condiciones previas y poca variedad de ejercicios.

En el nivel bajo una porque demuestra poco conocimiento
de los conceptos que se trabajan en los contenidos de
Geometría, menciona los básicos. Muestra pobre
dominio de las habilidades del trabajo con estos contenidos
así como la bibliografía para desarrollar el
trabajo con los conceptos; solo utiliza como bibliografía
para desarrollar los contenidos, las Orientaciones
Metodológicas, manifiesta insuficiente dominio de las
causas que limitan el trabajo con los contenidos
geométricos para el desarrollote los conceptos emitiendo
respuestas imprecisas. (ANEXO IV)

La entrevista fue realizada, a tres miembros de
la estructura de dirección para obtener información
sobre el nivel de conocimiento que poseían sobre el
tratamiento de los contenidos geométricos, así como
conocer sus puntos de vista sobre la preparación que
poseían los docentes de cuarto grado para enfrentar la
tarea con los escolares, lo que resultó valioso en la
proyección de los ejercicios para dar tratamiento a las
insuficiencias detectadas en los escolares en los contenidos de
Geometría que se declaran en los objetivos del Modelo de
Escuela Primaria y los programas de Matemática de cuarto
grado.

Ningún miembro de la estructura fue evaluado de
alto, ya que faltaba pleno dominio en los aspectos
metodológicos, didácticos y de contenidos acerca
del tratamiento de los contenidos geométricos.
identificaron los problemas, sus causas pero no se reproyectan
las actividades encaminadas a dar solución a las
insuficiencias, manifestaron insuficiente conocimiento de los
contenidos afectados en esta línea directriz ,según
los resultados de los operativos no se evidenció pleno
conocimiento de los contenidos que se trabajan, así como
del dominio que tienen los docentes acerca de la
Geometría, le falta profundizar en los tipos de ejercicios
y actividades que potencian el desarrollo de los contenidos en el
trabajo con esta línea directriz. De forma general se
puede plantear, que aún es insuficiente el trabajo de
preparación de los docentes y el dominio de este
contenido, así como la escasa consulta
bibliográfica que tienen al alcance de los
docentes.