Guía didáctica para el Interaprendizaje de Medidas de Tendencia Central

CAPÍTULO II

Competencias

– Interpreta adecuadamente las
características y propiedades de las medidas de tendencia
central y comprende sus aplicaciones.

– Emplea correctamente algoritmos
matemáticos para calcular medidas de tendencia central de
manera manual y empleando Excel.

– Realiza eficientemente diagramas de caja
y bigotes de manera manual y empleando Graph.

– Crea y resuelve correctamente ejercicios
de aplicación sobre las medidas de tendencia
central.

Media
aritmética

Las medidas de tendencia central son
medidas representativas que como su nombre lo indica, tienden a
ubicarse hacia el centro del conjunto de datos, es decir, una
medida de tendencia central identifica el valor del dato central
alrededor de cual se centran los demás datos, siendo la
media aritmética una de aquellas medidas.

La medida aritmética, a igual que
cualquier otra medida de datos estadísticos, cuando se
calcula a nivel de toda la población, se
denominan parámetro, como por ejemplo, la
calificación promedio en el examen de admisión de
todos los estudiantes que ingresan a la Universidad UTN al primer
semestre del presente año lectivo. Pero si se calcula
basada en muestras, se denomina estadígrafo o
estadístico, como por ejemplo, la calificación
promedio en el examen de admisión de estudiantes de
colegios fiscales que ingresan a la Universidad UTN al primer
semestre del presente año lectivo.

2.1.1) MEDIA ARITMÉTICA
SIMPLE

2.1.1.1) Definición

Es la medida de tendencia central
más utilizada por lo general se ubica hacia el centro de
distribución estadística.

2.1.1.2) Métodos de
Cálculo

a) Para Datos sin Agrupar

b) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencias.- Cuando una serie se la agrupa en serie simple
con frecuencias para obtener la media aritmética, se
multiplica la variable por la frecuencia respectiva (f), luego se
obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se
lo divide para el número de elementos (n). Todo esto puede
representarse mediante una fórmula matemática,
así:

c) Para Datos Agrupados en Intervalos.-
Cuando una serie se la agrupa en intervalos para obtener
la media aritmética, se multiplica la marca de clase de
intervalo (xm) por la frecuencia respectiva (f), luego se obtiene
la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo
divide para el número de elementos. Todo esto puede
representarse mediante una fórmula matemática,
así

Ejemplo ilustrativo

Calcular la media aritmética de las
siguientes calificaciones de Estadística tomadas de una
muestra de 20, sin agrupar, agrupando en tablas de frecuencias y
agrupando en intervalos.

4, 8, 10, 10, 5, 10, 9, 8, 6, 8, 10, 8, 5,
7, 4, 4, 8, 8, 6 y 6

Solución:

1) Sin agrupar

En Excel se calcula insertando la
función PROMEDIO:

2) Agrupando en tablas de
frecuencias

Además presentar los datos en un
diagrama de sectores.

3) Agrupando en intervalos

Nota: Cuando se agrupa en intervalos los
cálculos son sólo aproximaciones

En Excel se calcula insertando la
función: SUMAPRODUCTO (C27:C30;D27:D30)/SUMA(C27:C30) como
se muestra en la siguiente figura:

Nota: La principal propiedad de la
media aritmética es:

La suma algebraica de las desviaciones de
un conjunto de datos respecto de su media aritmética es
cero

2.1.2) MEDIA ARITMÉTICA
PONDERADA

Ejemplo ilustrativo: Se tiene una
información acerca de las utilidades por pan y cantidades
vendidas de panes de tres tiendas. Calcular la media
aritmética promedio de la utilidad por pan.

Solución:

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Defina con sus propias palabras lo que
entiende por medidas de tendencia central

2) ¿Cuál es la diferencia
entre parámetro y estadígrafo?. Mediante un ejemplo
ilustre su respuesta.

3) ¿Qué entiende por media
aritmética simple?

4) ¿Qué entiende por media
aritmética ponderada?

5) Calcule la media aritmética de
las siguientes calificaciones de Estadística tomadas de
una muestra en forma manual y empleando Excel.

5.1) Sin agrupar.

7,35

5.2) Agrupando en frecuencias.

7,35

6) Compruebe la propiedad principal de la
media aritmética con los datos del ejercicio anterior sin
agrupar y con los datos agrupados en frecuencias de manera manual
y empleando Excel.

7) Calcule la media aritmética de
las siguientes calificaciones de Matemática tomadas de una
muestra en forma manual y empleando Excel.

7.1) Sin agrupar.

7,0833

7.2) Agrupando en frecuencias.

7,0833

7.3) Agrupando en intervalos de ancho
2.

7

8) Compruebe la propiedad principal de la
media aritmética con los datos del ejercicio anterior
agrupados en intervalos de manera manual y empleando
Excel.

9) Cree y resuelva un ejercicio similar al
N° 8 con datos de cualquier tema de su
interés.

10) Para construir un edificio se
contrataron 30 obreros con un sueldo mensual de $ 300 cada uno.
Calcule el sueldo promedio.

$ 300

11) En una investigación sobre la
población en 4 barrios de la ciudad de Ibarra, se
encontró que el número de habitantes es: 2000,
3000, 4500, 5000. Se supone que en 10 años la
población se duplicará. Calcule la población
promedio dentro de 10 años.

7250 habitantes

12) Cuatro personas ganan mensualmente:
$400, $300, $500, $700. Calcule el salario promedio si a cada uno
le aumentan $80.

$555

13) Un grupo de estudiantes obtuvieron las
siguientes calificaciones evaluadas sobre 10 como se indica en la
siguiente tabla:

Calcule la calificación promedio del
grupo

7,5

14) Un estudiante en la asignatura de
Estadística en los tres aportes parciales evaluados sobre
10 tiene: 4, 6 y 10. ¿Cuánto debe obtener en el
cuarto aporte para que su promedio exacto sea 7?

8

15) Cree y resuelva un ejercicio similar
anterior.

16) Los tres primeros aportes de un
estudiante en la asignatura de Matemática son: el primer
aporte es el doble del segundo, y éste es cuatro unidades
menos que el tercer aporte, y el cuarto aporte es 2 unidades
más que el tercer aporte. Si el promedio exacto es 5,
¿cuáles fueron los aportes?

x1 = 4, x2 = 2, x3 = 6 y x4 = 8

17) Cree y resuelva un ejercicio similar
anterior.

18) Si el examen final de
Estadística cuenta tres veces más que una
evaluación parcial, y un estudiante tiene 8 en el examen
final, 7 y 9 en las dos parciales. Calcule la calificación
media en forma manual y empleando Excel.

8

19) Cree un ejercicio de aplicación
sobre la media aritmética ponderada y resuélvalo
forma manual y empleando Excel.

Media
geométrica

2.2.1) PROPIEDADES

– La media geométrica proporciona
una medida precisa de un cambio porcentual promedio en una serie
de números.

– Se utiliza con más frecuencia para
calcular la tasa de crecimiento porcentual promedio de series de
datos, a través del tiempo.

– Es una medida de tendencia central por lo
general menor que la media aritmética salvo en el
extraño caso en que todos los incrementos porcentuales
sean iguales, entonces las dos medias serán
iguales.

– Se le define como la raíz
enésima del producto de "n" valores. Cuando los datos son
bastantes o cantidades grandes, para facilitar el cálculo
se lo debe simplificar pero sin alterar su naturaleza, para lo
cual se puede utilizar los logaritmos de base 10.

2.2.2) MÉTODOS DE
CÁLCULO

2.2.2.1) Para Datos No Agrupados

Ejemplo ilustrativo N° 1

La media geométrica es útil
en el cálculo de tasas de crecimiento; por ejemplo, si el
crecimiento de las ventas en un pequeño negocio son 3%,
4%,8%,9% y 10%, hallar la media de crecimiento.

Solución:

Respuesta: 6,128%

Utilizando logaritmos:

Empleando Excel se calcula insertando
la función MEDIA.GEOM.

Ejemplo ilustrativo N° 2

Calcular la tasa de crecimiento promedio a
la que ha variado las ventas de cierto producto con base a la
siguiente tabla:

Solución:

Es necesario calcular el porcentaje que las
ventas de cada mes representan respecto de los obtenidos el mes
anterior.

Calculando la media geométrica se
obtiene:

Restando 1 para convertirlo a un incremento
mensual promedio da 1,112-1 =0,112, o un incremento promedio de
11,2% para el período de 6 meses.

Comprobación:

Se puede observar que el valor de 850,146
calculado con la media geométrica es semejante al valor de
venta real de 850, por lo tanto el valor calculado para la media
geométrica está correcto.

2.2.2.2) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencias

Se emplea la siguiente
ecuación:

Ejemplo ilustrativo N° 3

Calcular la media geométrica para
las siguientes calificaciones de Estadística:

Solución:

Se llena la siguiente tabla, realizando los
cálculos respectivos:

Se aplica la siguiente ecuación para
obtener la respuesta.

2.2.2.3) Para Datos Agrupados en
Intervalos

Se emplea la ecuación:

Donde:

xm = marca de clase

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Realice un organizador gráfico
sobre la media geométrica

2) Cree y resuelva un problema similar al
ejemplo ilustrativo Nº 2 para el cálculo de la media
geométrica con datos sin agrupar. Resuelva manualmente
empleando las dos ecuaciones presentadas y empleando
Excel

3) Calcular la media geométrica para
las siguientes calificaciones de Estadística de manera
manual y con Excel

G = 5,23

4) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior.

5) Dado los siguientes datos:

19, 20, 21, 20, 19, 20, 21, 22, 22, 23, 24,
25, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 31 y 33

5.1) Agrupe en intervalos de ancho
3.

5.2) Calcule la media geométrica
manera manual y empleando Excel.

G = 24,15

6) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior.

Media
armónica

La media armónica de una serie de
números es el recíproco, o inverso, de la media
aritmética de los recíprocos de dichos
números, entendiéndose como recíproco al
número que multiplicado por este nos da la
unidad.

2.3.1) PROPIEDADES

– Es un promedio que se utiliza para el
cálculo del costo promedio y todo tipo de variables
expresadas en tasas o porcentajes.

– La media armónica no está
definida en el caso de la existencia en el conjunto de valores
nulos.

– Cuando la unidad constante o unidad de
evaluación es igual a la unidad del numerador de una
razón, se usa el promedio armónico, y si es igual a
la unidad del denominador se usa el promedio
aritmético.

2.3.2) MÉTODOS DE
CÁLCULO

2.3.2.1) Para Datos No Agrupados

Ejemplo ilustrativo: La velocidad de
producción de azúcar de tres máquinas
procesadoras son 0,5, 0,3 y 0,4 minutos por kilogramo. Hallar el
tiempo promedio de producción después de una
jornada de 4800 minutos del proceso.

Solución:

Como en la razón minutos/kilogramos
(min/kg) cada máquina trabaja 4800 min, la razón
contante es el tiempo de trabajo (4800 min), es decir la contante
es la unidad del numerador, por lo tanto se debe emplear el
promedio armónico.

El tiempo promedio de producción es
0,383 minutos por kilogramo de azúcar.

Empleando Excel se calcula insertando
la función MEDIA.ARMO

2.3.2.2) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencias

Se emplea cualquiera de las siguientes
ecuaciones:

Ejemplo ilustrativo: En la siguiente tabla
se presentan los datos sobre el tiempo en horas que se demoran en
realizar la misma obra determinados obreros. Calcular el tiempo
promedio que se demora en realizar la obra un obrero tipo (un
obrero promedio).

Solución:

2.3.2.4) Para Datos Agrupados en
Intervalos

Se emplea la siguiente
ecuación:

Ejemplo ilustrativo: En la siguiente tabla
se presentan los datos sobre el tiempo en minutos que se demoran
para resolver una prueba de Estadística determinados
estudiantes. Calcular el tiempo promedio que se demora en
resolver la prueba un estudiante tipo.

Solución:

Realizando los cálculos respectivos
se obtiene:

Aplicado la ecuación se
obtiene:

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Realice un organizador gráfico
sobre la media armónica.

2) Calcule la media armónica de
manera manual y empleando Excel de los siguientes
números:

2, 4, 6, 8, 9 y 10

H= 4,789

3) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior.

4) En una empresa se ha controlado el
tiempo que tardan tres obreros en realizar una obra. Uno demora 8
horas, otro 6 horas y un tercero 4 horas.

4.1) Halle de manera manual y empleando
Excel el rendimiento de un obrero tipo (obrero
promedio).

H= 5,534

4.2) ¿Para qué le
serviría a la empresa saber el rendimiento promedio de un
obrero tipo?

5) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior.

6) Cree y resuelva dos ejercicios similares
al ejemplo resuelto para el cálculo de la media
armónica con datos agrupados en tablas de
frecuencias.

7) En la siguiente tabla se presentan los
datos sobre el tiempo en minutos que se demoran para resolver una
prueba de Estadística determinados estudiantes.

7.1) Calcule el tiempo promedio que se
demora en resolver la prueba un estudiante tipo. Resolver de
manera manual y empleando Excel.

H= 69,096

7.2) ¿Para qué le
serviría al profesor saber el tiempo promedio que se
demora en realizar la prueba un estudiante tipo?

8) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior

8.1) Realice los cálculos de manera
manual y empleando Excel

8.2) Compruebe que la media
geométrica es menor o igual que la media
aritmética, y mayor o igual que la media armónica,
es decir, en símbolos:

9) ¿En qué caso
ocurriría que la media geométrica sea igual a la
media aritmética e igual a la media armónica?.
Ponga un ejemplo y resuélvalo manera manual y empleando
Excel.

La
mediana

La mediana, llamada algunas veces media
posicional, es el valor del término medio que divide una
distribución de datos ordenados en dos partes iguales, es
decir, el 50% de los datos se ubican sobre la mediana o hacia los
puntajes altos y el 50% restante hacia los puntajes
bajos.

2.4.1) PROPIEDADES

-La Mediana no tiene propiedades que le
permite intervenir en desarrollos algebraicos como la media
aritmética, sin embargo, posee propiedades que ponen en
evidencia ciertas cualidades de un conjunto de datos, lo cual no
ocurre con la media aritmética que promedia todos los
valores y suprime sus individualidades. En cambio, la mediana
destaca los valores individuales.

– Tiene la ventaja de no estar afectada por
las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que
toma la variable, sino del orden de las mismas.

-Para el cálculo de la mediana
interesa que los valores estén ordenados de menor a
mayor.

– Su aplicación se ve limitada, ya
que solo considera el orden jerárquico de los datos y no
alguna propiedad propia de los datos, como en el caso de la media
aritmética.

2.4.2) MÉTODOS DE
CÁLCULO

2.4.2.1) Para Datos No Agrupados

a) Si el número n de datos es impar,
la mediana es el dato que se encuentra a la mitad de la lista.
Para calcular su posición se aplica la siguiente
ecuación:

Ejemplo ilustrativo:

Calcular la mediana de las siguientes
calificaciones del curso de Estadística evaluadas sobre
diez: 10, 8, 6, 4, 9, 7, 10, 9 y 6

Solución:

La media es el valor de x5 (quinto dato),
es decir, Md=8

En Excel se insertando la
función MEDIANA

b) Si el número n de datos es par,
la mediana es la media aritmética de los dos datos que se
encuentran a la mitad de la lista. Para calcular su
posición se aplica la siguiente
ecuación:

Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana de
las siguientes calificaciones del curso de Matemática
evaluadas sobre diez: 10, 8, 9, 6, 4, 8, 9, 7, 10 y 9

Solución:

2.4.2.2) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencia

Para calcular la posición de la
mediana se aplica la siguiente ecuación:

Ejemplo ilustrativo:

Dados los siguientes 20
números:

1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 6, 6, 4, 4, 4
,4, 5, 5, 5, 5

1) Agrupar los datos en tabla de
frecuencia.

2) Calcular la mediana.

Solución:

Calculando la posición de la mediana
se obtiene: